第2章 1 从位移，速度、力到向量(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

３． Ｃ　 由于ω ＝ １６０π，故函数的周期Ｔ ＝ ２π１６０π ＝ １ ８０，所以ｆ ＝ １ Ｔ ＝ ８０，即每分钟心跳的次数为８０．故选Ｃ． ４．（１）５０　 ３０　 （２）ｙ ＝ １０ｓｉｎ π６ ｘ ＋ π( )６ ＋ ４０，ｘ∈［８，１４］ 【解析】　 （２）由图知，ｂ ＝ ４０，Ａ ＝ １０，ω ＝ ２πＴ ＝ ２π ２·（１４ － ８）＝ π ６ ，∴ ｙ ＝ １０ｓｉｎ π ６ ｘ ＋( )φ ＋ ４０，又ｘ ＝ ８ 时，ｙ ＝ ３０， ∴ ｓｉｎ ４π３ ＋( )φ ＝ － １，∴ φ ＝ π６ ． 章末梳理 考点整合　 提技能 例１：（１）Ｃ　 （２）见解析 【解析】　 （１）选项Ａ，Ｂ中角度与弧度混用，不正确； ９ ４ π ＝ ２π ＋ π ４ ，所以 ９π ４与 π ４的终边相同， － ３１５° ＝ － ３６０° ＋ ４５°， 所以－ ３１５°也与４５°终边相同，故选Ｃ． （２）设扇形的半径为Ｒ，则扇形的弧长为Ｃ － ２Ｒ，因为Ｓ ＝ １ ２ （Ｃ － ２Ｒ）× Ｒ ＝ － Ｒ ２ ＋ Ｃ２ Ｒ ＝ － Ｒ － Ｃ( )４ ２ ＋ Ｃ( )４ ２ ，所以当 Ｒ ＝ Ｃ４即θ ＝ Ｃ － ２Ｒ Ｒ ＝ ２时扇形有最大面积 Ｃ２ １６ ． 例２：（１）１５ 　 （２）见解析 【解析】　 （１）由点Ｐ的坐标知，点Ｐ在第二或第四象限；由 ｃｏｓ α ｔａｎ α ＜ ０知α是第三或第四象限角．故角α是第四象限角，所以 ｍ ＜ ０． Ｐ到原点的距离ｒ ＝ １６ ２５ｍ２ ＋ ９ ２５ｍ槡 ２ ＝ １ｍ槡２ ＝ － １ｍ，所以 ｓｉｎ α ＝ ３ ５ｍ － １ｍ ＝ － ３５ ，ｃｏｓ α ＝ － ４５ｍ － １ｍ ＝ ４５ ，所以ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＝ － ３５ ＋ ４ ５ ＝ １ ５ ． （２）１ ＋ ｔａｎ（θ ＋ ７２０°）１ － ｔａｎ（θ － ３６０°）＝ １ ＋ ｔａｎ θ １ － ｔａｎ θ 槡＝ ３ ＋ ２ ２，所以ｔａｎ θ ＝ 槡２ ２ ． 故原式＝ ｃｏｓ ２θ ＋ ｓｉｎ θｃｏｓ θ ＋ ２ｓｉｎ２θ ｃｏｓ２θ ＝ １ ＋ ｔａｎ θ ＋ ２ｔａｎ２θ ＝ １ ＋ 槡２ ２ ＋ １ ＝ 槡４ ＋ ２ ２ ． 例３：（１）Ｃ　 （２）Ｃ　 （１）由正弦函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ的图象与 性质可得． ①函数ｆ（ｘ）的值域为［－ １，１］，正确； ②当ｘ ＝ π２ ＋ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ时，ｆ（ｘ）的最大值为１，正确； ③当２ｋπ ＋ π ＜ ｘ ＜ ２ｋπ ＋ ２π，ｋ∈Ｚ时，ｆ（ｘ）＜ ０，故不正确． （２）①ｆ（－ ｘ）＝ ｘ２ ｓｉｎ（－ ｘ）＝ － ｆ（ｘ），且定义域关于原点对 称，为奇函数，所以正确； ②ｆ（－ ｘ）＝ ｓｉｎ（－ ｘ）＝ － ｆ（ｘ），但定义域不关于原点对称， 不是奇函数，所以不正确； ③ｆ（－ ｘ）＝ ｓｉｎ（－ ｘ）＝ － ｆ（ｘ），且定义域关于原点对称，为 奇函数，正确； ④ｆ（－ ｘ）＝ － ｘ·ｃｏｓ（－ ｘ）＝ － ｆ（ｘ），且定义域关于原点对 称，为奇函数，所以正确． 例４：（１）由题图可知Ａ ＝ ３，Ｔ４ ＝ ７π １２ － π ３ ，所以Ｔ ＝ πω ＝ ２，ｆ（ｘ）＝ ３ｓｉｎ（２ｘ ＋ φ），所以２π３ ＋ φ ＝ π ２ ，φ ＝ － π ６ ，所以ｆ（ｘ）＝ ３ｓｉｎ ２ｘ － π( )６ ． （２）由（１）知ｇ（ｘ）＝ ｆ ｘ ＋ π( )３ ＝ ３ｓｉｎ ２ ｘ ＋ π( )３ － π[ ]６ ＝ ３ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )２ ＝ ３ｃｏｓ ２ｘ， 令２ｘ ＝ ｋπ（ｋ∈Ｚ），所以所求的对称轴为直线ｘ ＝ ｋπ２ （ｋ∈Ｚ）， 令２ｘ ＝ π２ ＋ ｋπ（ｋ∈Ｚ）， ｘ ＝ ｋπ２ ＋ π ４ （ｋ ∈ Ｚ），所以所求的对称中心为 ｋπ ２ ＋ π ４ ，( )０ （ｋ∈Ｚ）． 例５：令ｕ（ｘ） 槡＝ ２ｓｉｎ ｘ － π( )４ ， ｆ（ｘ）＝ ｌｏｇ １ ２ 槡２ｓｉｎ ｘ － π( )[ ]４ ＝ － １２ ＋ ｌｏｇ １２ ｓｉｎ ｘ － π( )４ ． （１）要使ｆ（ｘ）有意义，则ｓｉｎ ｘ － π( )４ ＞０， 所以２ｋπ ＜ ｘ － π４ ＜（２ｋ ＋１）π，（ｋ∈Ｚ）． 即ｆ（ｘ）的定义域为２ｋπ ＋ π４ ，２ｋπ ＋ ５ ４( )π （ｋ∈Ｚ）． 因为０ ＜ ｓｉｎ ｘ － π( )４ ≤１， 所以 槡０ ＜ ２ｓｉｎ ｘ － π( )４ ≤槡２， 所以ｆ（ｘ）＝ ｌｏｇ １ ２ ｕ（ｘ）≥ － １２ ． 所以ｆ（ｘ）的值域为－ １２ ，＋[ )∞ ． ｘ － π４ ∈ ２ｋπ，２ｋπ ＋ π( )２ 时，ｕ（ｘ）是增函数， 所以ｆ（ｘ）＝ ｌｏｇ １ ２ ｕ（ｘ）是减函数． 所以ｘ∈ ２ｋπ ＋ π４ ，２ｋπ ＋ ３ ４( )π 时，函数是减函数． 同理可求得ｘ∈ ２ｋπ ＋ ３４ π，２ｋπ ＋ ５ ４[ )π （ｋ∈Ｚ）时，函数是 增函数； （２）因为ｆ（ｘ）的定义域不关于原点对称，所以ｆ（ｘ）是非奇 非偶函数． 又ｆ（ｘ ＋ ２π）＝ － １２ ＋ ｌｏｇ １２ ｓｉｎ ｘ ＋ ２π － π( )４ ＝ － １２ ＋ ｌｏｇ １ ２ ｓｉｎ ｘ － π( )４ ＝ ｆ（ｘ），其中ｘ∈ ２ｋπ ＋ π４ ，２ｋπ ＋ ５４( )π （ｋ∈ Ｚ），所以ｆ（ｘ）是周期函数，且最小正周期是２π． 第二章　 平面向量及其应用 § １　 从位移、速度、力到向量 必备知识　 探新知 知识点１　 （１）大小　 方向　 （２）→ＡＢ　 （３）｜→ＡＢ ｜（或｜ ａ ｜） 关键能力　 攻重难 例１：③④　 时间不是向量，故①不正确                                                                       ． —６０３— 两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点和终 点的位置无关，故②不正确． 单位向量的长度为１，当所有单位向量的起点在同一点Ｏ 时，终点都在以Ｏ为圆心，１为半径的圆上，故③正确． ④显然正确，故所有正确命题的序号为③④． 对点训练１：Ｄ　 不管向量的方向如何，它们都不能比较大 小，故Ａ、Ｂ不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段 的长度，与方向无关，故Ｃ不正确；向量的模是一个数量，可以比 较大小，故Ｄ正确． 例２：（１）作出向量→ＡＢ，→ＢＣ，→ＣＤ，如图所示： （２）由题意得，△ＢＣＤ是直角三角形，其中∠ＢＤＣ ＝ ９０°，ＢＣ 槡＝ １０ ２米，ＣＤ ＝ １０米，所以ＢＤ ＝ １０米． △ＡＢＤ是直角三角形， 其中∠ＡＢＤ ＝ ９０°，ＡＢ ＝ ５米，ＢＤ ＝ １０米，所以ＡＤ ＝ ５２ ＋ １０槡 ２ ＝ 槡５ ５（米），所以｜→ＡＤ 槡｜ ＝ ５ ５． 对点训练２：取每个方格的单位长 为１，依题意，结合向量的表示可知，（１） （２）的向量如图所示． （３）由图知，△ＡＯＢ是等腰直角三 角形，所以｜→ＡＢ ｜ ＝ ｜→ＯＢ ｜ ２ － ｜→ＯＡ ｜槡 ２ ＝ ３． 例３：（１）∵ Ｅ，Ｆ分别是ＡＣ，ＡＢ的 中点，∴ ＥＦ∥ＢＣ， ∴与→ＥＦ共线的向量为→ＦＥ，→ＢＤ，→ＤＢ，→ＤＣ，→ＣＤ，→ＢＣ，→ＣＢ． （２）∵ Ｅ，Ｆ，Ｄ分别是ＡＣ，ＡＢ，ＢＣ的中点， ∴ ＥＦ ＝ １２ ＢＣ，ＢＤ ＝ ＤＣ ＝ １ ２ ＢＣ，∴ ＥＦ ＝ ＢＤ ＝ ＤＣ． ∵ ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ均不相等，∴与→ＥＦ长度相等的向量为→ＦＥ，→ＢＤ， →ＤＢ，→ＤＣ，→ＣＤ． （３）与→ＥＦ相等的向量为→ＤＢ，→ＣＤ． 对点训练３：ＣＤ　 单位向量的模均相等且为１，但方向并不 一定相同，故Ａ错误； 零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等 的，故Ｂ错误； 若四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，则一组对边平行且相等，有 →ＡＢ ＝→ＤＣ， 若→ＡＢ ＝→ＤＣ，则ＡＢ ＝ ＤＣ，ＡＢ∥ＤＣ，则四边形ＡＢＣＤ是平行四 边形，故Ｃ正确； 由零向量的规定，知Ｄ正确．故选ＣＤ． 例４：由题意知△ＯＡＢ，△ＯＢＣ，△ＯＣＤ，△ＯＥＤ，△ＯＥＦ， △ＯＦＡ均为等边三角形， ∴ →ＯＤ与→ＯＢ夹角∠ＤＯＢ ＝ １２０°，→ＯＤ与→ＯＥ夹角∠ＤＯＥ ＝ ６０°． →ＯＤ与→ＡＢ夹角等于→ＡＯ与→ＡＢ的夹角， ∴ →ＯＤ与→ＡＢ夹角θ ＝ ６０°． 对点训练４：９０°　 ３０°　 ＡＥ⊥ＢＣ，ＡＥ平分∠ＢＡＣ． 课堂检测　 固双基 １． Ｂ　 对于①，零向量的方向是任意的，故①错误；对于②，零向 量的模为０，故②错误；③正确，相等向量的方向相同，因此一 定是平行向量；④显然正确． ２． Ｂ　 由于向量的起点确定，而向量平行于同一直线，所以随着 向量模长的变化，向量的终点构成的是一条直线． ３． Ａ　 如图，连接ＡＣ，由｜→ＯＣ ｜ ＝ ｜→ＯＢ ｜，得 ∠ＡＢＣ ＝ ∠ＯＣＢ ＝ ３０°．因为Ｃ为半圆 上的点，所以∠ＡＣＢ ＝ ９０°，所以｜→ＡＣ ｜ ＝ １ ２ ｜ →ＡＢ ｜ ＝ １．故选Ａ． ４．（１）（４）　 由平行四边形的性质和相等向量的定义可知：→ＡＤ ＝ →ＢＣ，→ＯＢ≠→ＯＤ；→ＡＣ≠→ＢＤ，→ＡＯ ＝→ＯＣ． ５．（１）建立如图所示的直角坐标系，向量→ＡＢ，→ＢＣ，→ＣＤ即为所求． （２）根据题意，向量→ＡＢ与→ＣＤ方向相反，故向量→ＡＢ∥→ＣＤ．又｜→ＡＢ ｜ ＝ ｜→ＣＤ ｜，所以在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ瓛ＣＤ，四边形ＡＢＣＤ为平 行四边形，所以→ＡＤ ＝→ＢＣ，所以｜→ＡＤ ｜ ＝ ｜→ＢＣ ｜ ＝ ４００（海里）． § ２　 从位移的合成到向量的加减法 ２． １　 向量的加法 必备知识　 探新知 知识点　 １．和 关键能力　 攻重难 例１：（１） 　 　 　 　 　 　 　 甲→ＡＣ ＝ ａ ＋ ｂ　 　 　 　 乙→ＡＣ ＝ ａ ＋ ｂ （２）方法一：如图１所示，首先在平面内任取一点Ｏ，作向量 →ＯＡ ＝ ａ，接着作向量→ＡＢ ＝ ｂ，则得向量→ＯＢ ＝ ａ ＋ ｂ；然后作向量 →ＢＣ ＝ ｃ，则向量→ＯＣ ＝（ａ ＋ ｂ）＋ ｃ ＝ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ即为所求． 　 方法二：如图２所示，首先在平面内任取一点Ｏ，作向量→ＯＡ ＝ ａ，→ＯＢ ＝ ｂ，→ＯＣ ＝ ｃ，以ＯＡ、ＯＢ为邻边作ＯＡＤＢ，连接ＯＤ，则→ＯＤ ＝→ＯＡ ＋→ＯＢ ＝ ａ ＋ ｂ．再以ＯＤ、ＯＣ为邻边作ＯＤＥＣ，连接ＯＥ，则 →ＯＥ ＝ →ＯＤ ＋→ＯＣ ＝ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ即为所求． 对点训练１：（１）→ＤＢ　 （２）→ＣＡ　 （１）ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＝ →ＤＣ ＋ →ＣＯ ＋ →ＯＢ ＝→ＤＢ                                                                       ； —７０３— 第二章 　 平面向量及其应用 § ! 从位移、速度、力到向量 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平 面向量的意义和两个向量相等的含义． ２．理解平面向量的几何表示和基本要素． 通过学习向量的有关概念及表示，重点 培养学生的数学抽象、直观想象素养． )*+,%-.+ 知识点１　 向量的概念 　 　 （１）既有大小　 又有方向　 的量统称为向量． （２）具有方向和长度的线段叫作有向线段．向量可以用有向线段表示，若有向线段的起点为Ａ，终点为Ｂ，则 该有向线段记作　 　 　 　 ，也可以用黑体小写字母ａ，ｂ，ｃ，…表示，手写则用→ａ，→ｂ，→ｃ表示． （３）向量→ＡＢ（或ａ）的大小，称为向量→ＡＢ（或ａ）的长度，也叫模，记作　 　 　 　 　 　 　 ． 知识点２　 与向量有关的概念 零向量 长度为０的向量称为零向量，记作０．任何方向都可以作为零向量的方向． 单位向量 模等于１个单位长度的向量称为单位向量． 相等向量 长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量．向量ａ与ｂ相等，记作ａ ＝ ｂ． 共线（平行） 向量 若两个非零向量的方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量． ａ与ｂ共线或 平行，记作ａ∥ｂ．零向量与任一向量共线． 相反向量 若两个向量的长度相等、方向相反，则称它们互为相反向量．向量ａ的相反向量记作－ ａ． 知识点３　 向量的夹角 　 　 （１）定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，在平面内选一点Ｏ，作→ＯＡ ＝ ａ，→ＯＢ ＝ ｂ，则θ ＝∠ＡＯＢ称为向量ａ与ｂ的夹角； （２）范围：０°≤θ≤１８０°； （３）大小与向量共线、垂直的关系：θ ＝ ０°ａ与ｂ同向， １８０°ａ与ｂ反向， ９０°ａ⊥ｂ { ． /012%345 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●678%(¹<º/UV １．给出下列命题： ①时间、摩擦力、重力都是向量； ②两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等； "%( 　 ③若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上； ④在菱形ＡＢＣＤ中，一定有→ＡＢ ＝ →ＤＣ． 其中所有正确命题的序号为　 　 　 　 ． 【分析】　 利用向量定义、相等向量、单位向量的定义进行判断． ［归纳提升］ 〉 ABCD １ 　 　 下列说法中正确的是 （　 　 ） Ａ．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 Ｂ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 Ｃ．向量的大小与方向有关 Ｄ．向量的模可以比较大小 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67E%(¹<»¼`a”IJ ２．某人从Ａ点出发向东走了５米到达Ｂ点，然后改变方向按东北方向走了１０槡２ 米到达Ｃ点，到达Ｃ点后又改变方向向西走了１０米到达Ｄ点． （１）作出向量→ＡＢ，→ＢＣ，→ＣＤ； （２）求→ＡＤ的模． 【分析】　 先确定好向量的起点和终点，用有向线段表示出所求向量． ［归纳提升］ 〉 ABCD ２ 　 　 在如图的方格纸中，画出下列向量． （１）｜ →ＯＡ ｜ ＝ ３，点Ａ在点Ｏ的正西方向； （２）｜ →ＯＢ ｜ ＝ ３槡２，点Ｂ在点Ｏ北偏西４５°方向； （３）求出｜ →ＡＢ ｜的值． 归纳提升： hir€"klR@ `a-@ABÎ+€ "-%î&&€å .ð'Ïá(¯€" -%îB€š›Ê š? . ð Ç R q ñ šx€"-%î B€š›S.ðš x 9Ȁ"-%î B€ÇRqñ?) .ðQB%e9È. 𠔀"-%îB €ÇRqñ?.ð B ０； ®G”€"rN %€"(¯'R* *kl-%î$ #ܶhir€"k lR@-`a' 归纳提升： €"-³•ÔÕI }ÂF １̈ ©^+ÔÕIᜠVG€"-äÎ?¡ VG€"-€?Y =´µ€"-.ðV G€"-|Î ． ,M F^+I-.€" ,ü?0F€"mn ^ + ` a / ¼ Ù ¤Ã ． ２̈ ©GHÔÕIá0 Ù,M,ü]FGH ａ，ｂ，ｃ ÔÕ)„B0 »?0Ùv¿wÆ^ +X-;ž>Í?] FÔՀ"-R€¯ &-äÎr|ÎÔÕ €"?Ï →ＡＢ，→ＣＤ，→ＥＦ x ． ,M€"-,ü ． "%) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67H%½¾(¹dY(¹ ３．如图所示，△ＡＢＣ中，三边长均不相等，Ｅ、Ｆ、Ｄ分别 是ＡＣ，ＡＢ，ＢＣ的中点． （１）写出与→ＥＦ共线的向量； （２）写出与→ＥＦ长度相等的向量； （３）写出与→ＥＦ相等的向量． 【分析】　 （１）共线向量只需在图中找出与线段ＥＦ平行或共线的所有线段，再 把它们表示成向量即可；（２）在图中找出与线段ＥＦ长度相等的所有线段，再把它 们表示成向量即可；（３）相等向量必须满足两个条件：方向相同，长度相等，与起始 点的位置无关，所以只需在图中找与线段ＥＦ平行且长度相等的所有线段，再将它 们表示成方向与→ＥＦ的方向相同的向量． ［归纳提升］ 〉 ABCD ３ 　 　 （多选）下列说法中正确的是 （　 　 ） Ａ．单位向量都相等 Ｂ．任一向量与它的相反向量不相等 Ｃ．四边形ＡＢＣＤ是平行四边形的充要条件→ＡＢ ＝ →ＤＣ Ｄ．模为０是一个向量的方向是任意的充要条件 归纳提升： šx€"r(¯€"-1 ‘I >㠚x €" œãrÔ՘™ €"-R€¯& .ð š x - € "?¡VG¸« B›€(¯ >ã (¯ €" œãrÔ՘™ €"-R€¯& wúÊ(¯-¯ &?¡£2›€ r€-€"? (OŒ…Ö×^ Ô՘™€"- R€¯&-|Î 0äÎ?äÎ0 |Î-€" "%* 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67]%(¹<¿T ４．如图，Ｏ是正六边形ＡＢＣＤＥＦ的中心，分别求出→ＯＤ与→ＯＢ，→ＯＤ 与→ＯＥ，→ＯＤ与→ＡＢ的夹角． ［归纳提升］ 〉 ABCD ４ 　 　 在等边三角形ＡＢＣ中，点Ｅ为ＢＣ的中点，则→ＡＥ与→ＥＣ的夹角为　 　 　 　 ，→ＡＥ与→ＡＣ的 夹角为　 　 　 　 ． 归纳提升： ‘€"-3j…( Oáj€> k€ "3j-ÄÅ0¡ ０ ¬ ， １８０ ¬¢ ． KLMN%OPQ １．下列说法中，正确的个数是 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　①零向量是没有方向的； ②向量的模是一个正实数； ③相等向量一定是平行向量； ④向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量． Ａ． １ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ． ４ ２．在同一平面上，把平行于某一直线的一切向量的始点 放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是 （　 　 ） Ａ．一条线段 Ｂ．一条直线 Ｃ．圆上一群孤立的点 Ｄ．一个半径为１的圆 ３．在如图所示的半圆中，ＡＢ为直径，点Ｏ为圆心，Ｃ为 半圆上一点，且∠ＯＣＢ ＝ ３０°，｜ →ＡＢ ｜ ＝ ２，则｜ →ＡＣ ｜等于 （　 　 ） Ａ． １ Ｂ．槡２ Ｃ．槡３ Ｄ． ２ ４．如图，四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，则图中相等的向 量是　 　 　 　 （填序号）． （１）→ＡＤ与→ＢＣ；（２）→ＯＢ与→ＯＤ；（３）→ＡＣ与→ＢＤ；（４）→ＡＯ 与→ＯＣ． ５．一艘军舰从基地Ａ出发向东航行了２００海里到达基 地Ｂ，然后改变航线向东偏北６０°航行了４００海里到 达Ｃ岛，最后又改变航线向西航行了２００海里到达 Ｄ岛． （１）试作向量→ＡＢ，→ＢＣ，→ＣＤ； （２）求｜ →ＡＤ ｜ ． 请同学们认真完成练案［１５                                         ］ "&"