第1章 三角函数 章末梳理(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

２．某星星的亮度变化周期为１０天，此星星的平均亮度 为３． ８星等，最高亮度距离平均亮度０． ２星等，则可 近似地描述此星星亮度与时间之间关系的一个三角 函数可以是下列中的 （　 　 ） Ａ． ｙ ＝ ０． ２ｓｉｎ １０ｔ ＋ ３． ８ Ｂ． ｙ ＝ ３． ８ｓｉｎ π５ ｔ ＋ ０． ２ Ｃ． ｙ ＝ ０． ２ｓｉｎ π５ ｔ ＋( )φ ＋ ３． ８ Ｄ． ｙ ＝ ３． ８ｓｉｎ １０ｔ ＋ ０． ２ ３．某人的血压满足函数式ｆ（ｔ）＝ ２４ｓｉｎ（１６０πｔ）＋ １１０， 其中ｆ（ｔ）为血压，ｔ为时间，则此人每分钟心跳的次数 为 （　 　 ） Ａ． ６０ Ｂ． ７０ Ｃ． ８０ Ｄ． ９０ ４．如图某地夏天从８ ～ １４时用电量变 化曲线近似满足函数ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）＋ ｂ． （１）这一天的最大用电量为　 　 　 　 万度，最小用电量为　 　 　 　 万度； （２）这段曲线的函数解析式为　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１４                   ］ 章末梳理 +,±²%ª³´ 三角函数 周期变化 任意角正角、负角、零角终边相同的角、象限角、区间角、{ 轴线角的概念及表示方法 弧度制：弧度数、弧长与扇形面积公式 正、余弦函数 正、余弦函数的定义 正、余弦函数的基本性质 定义域 值域 周期性 单调性               函数值的符号 诱导公式 函数ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）的图象 φ对ｙ ＝ ｓｉｎ（ｘ ＋ φ）的图象的影响 ω对ｙ ＝ ｓｉｎ ωｘ的图象的影响 Ａ对ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）的图象的影响 振幅、周期、频率、相位、{ 初相 三角函数的图象和性质 正、余弦函数的图象 五点法 正弦曲线{余弦曲线 正、余弦函数的性质 周期性 奇偶性 单调性 定义域、{ 值域 正切函数的性质和图象 周期性 奇偶性 单调性 定义域、值域                         正切曲线                                         三角函数模型的简单应用 "%$ µB¶‘%·¸1 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●678%T<UVdebc １．（１）与９π４终边相同的角的表达式中，正确的是 （　 　 ） Ａ． ２ｋπ ＋ ４５°，ｋ∈Ｚ Ｂ． ｋ·３６０° ＋ ９π４ ，ｋ∈Ｚ Ｃ． ｋ·３６０° － ３１５°，ｋ∈Ｚ Ｄ． ｋπ ＋ ５π４ ，ｋ∈Ｚ （２）扇形的周长Ｃ一定时，它的圆心角θ取何值才能使该扇形的面积Ｓ最大，最 大值是多少？ ［归纳提升］ ●67E%HTFG<&yd‚ij ２．（１）角α的终边上存在一点Ｐ － ４５ｍ， ３ ５( )ｍ ，且ｃｏｓ αｔａｎ α ＜０，则ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＝ 　 　 　 　 ． （２）已知１ ＋ ｔａｎ（θ ＋ ７２０°）１ － ｔａｎ（θ － ３６０°）＝ ３ ＋ ２槡２，求［ｃｏｓ ２（π － θ）＋ ｓｉｎ（π ＋ θ）ｃｏｓ（π － θ）＋ ２ｓｉｎ２（π － θ）］· １ ｃｏｓ２（－ π － θ）的值． ［归纳提升］ 归纳提升： （１） @Mjðròð -±c jðròð-±c@ AB†‡±c/Ÿ? ÊBé ÷ ＝ １８０ ¬ì9 êi±c/Ÿ?LM ¦ë-jðtòð¤ ì´öî±c@¿ ． （２） @Mòð¥/Ÿ -ÂF pí}-ž-Æ0t ò.t:îjx`a '?ÅŅFdòð ¥/Ÿ-OžLF? ^}-žÆ0-³• ԅŸVGï™"Ê uð‘Æ0 ． 归纳提升： １． hi[@tA@9 :¥åŒxŸ`a? ¶F9È:X§j9 :GH‘h ． ¶F§ j9:GHha'… (Oj-|{ñpÀ ¯°!Bu¯°?( Oê4E‰ ． ２． ¶Fhi/Ÿ‘¥ % â !` c [3 ! c Z3 !Z c s3!s‘¥3-Þ ßùú ． (Oá jtòO“[@OA @ÊA@O[@?[ ‡rA‡ª#Oc ． k!K[Õ.q3B “_ α Õºsj'ó 9:¥-K[ ． ±îºFB!`jO [j?jOZj? ZjOsj3 ． "%% 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67H%tz wuFG<“@d€› ３．（１）设函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ，ｘ∈Ｒ，对于以下三个命题： ①函数ｆ（ｘ）的值域是［－ １，１］； ②当且仅当ｘ ＝ ２ｋπ ＋ π２ （ｋ∈Ｚ）时，ｆ（ｘ）取得最大值１； ③当且仅当２ｋπ ＋ π ＜ ｘ ＜ ２ｋπ ＋ ３π２ （ｋ∈Ｚ）时，ｆ（ｘ）＜ ０． 其中正确命题的个数是 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ０ Ｂ． １ Ｃ． ２ Ｄ． ３ （２）下列函数中，奇函数的个数为 （　 　 ） ①ｙ ＝ ｘ２ ｓｉｎ ｘ；②ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ，ｘ∈［０，２π］；③ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ，ｘ∈［－ π，π］；④ｙ ＝ ｘｃｏｓ ｘ． Ａ． １个 Ｂ． ２个 Ｃ． ３个 Ｄ． ４个 ［归纳提升］ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67]%sHTFG<„¡j ４．已知函数ｆ（ｘ）＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ (） 其中ｘ∈Ｒ，Ａ ＞ ０，ω ＞ ０， ｜φ ｜ ＜ π )２ 的部分图象如图所示． （１）求ｆ（ｘ）的解析式； （２）请写出ｇ（ｘ）＝ ｆ ｘ ＋ π( )３ 的表达式，并求出函数ｙ ＝ ｇ（ｘ） 的图象的对称轴和对称中心． ［归纳提升］ 归纳提升： hi[@tA@9: ->Í`a?…¶F 9È:X-[@tA @9:-GH‘h? gˆ“¤ŽÍx9: ->Íhi`a ．  Ï 9 : - G H × `a ． 归纳提升： 阙–—VG9: ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）-h MŸ?„…VG Ａ，ω， φ，îX Ａ，ω ó‘?¼ Æôõ‘ φ -^• I ． （１） wöÎI é ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）＝ Ａｓｉｎ ω ｘ ＋ φ( )[ ]ω ™% -wöÎ-¶½¾0 － φ ω ． ２̈ ©VGY¥I 4•I÷{Ù!ø ùOû3SŒŒõö úIˆ‰?„h% eTW-§j2 ． ３̈ ©¶F9c> Ã9: ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）-;.r ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ -;.š›?nB% û-”%e9cÖ# Ñd%exŸ?ho 6]‘+ φ． "%& 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67%HTFG<€› ５．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｌｏｇ １ ２ 槡２ｓｉｎ ｘ － π( )[ ]４ ． （１）求它的定义域和值域、单调区间； （２）判断它的奇偶性、周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期． ［归纳提升］ 归纳提升： （１） ‘h*“9:- R@>Í`a'? ›'QRdfü9: rƒü9:-_NT ý}%û-š±ñþ @¿?ÓV€ùúx ÿbc ． （２） p‘§j9:- GH×'?Œ!…Q R9:ŸROH?D S!…(O§j9: _N-GH×-… ‘ ． %Bˆ0h § j 9 : Œ x Ÿ ¨3©?]F;.I Ê9È:I ． （３） ‘*“9:-9 cÖ#Ââ"*“9 :9c>-®ôù ú ． ŽaB§j9: rL:9:*“-9 :?ÂpîGH×° L§j9:-9cÖ #ùúxÿbc‘+ ?9:-9cÖ#? FL:9:-#:B GH'?!Â(OL GHùúê4E‰? $#VG?9:-9 cÖ# ． （４） F129:-G H‘9:-12B‘ 12-´ŽI?p JKR@9:-12 >`a'?'¦F1 29:-GHgm n ． 请同学们认真完成考案（一） "%' ３． Ｃ　 由于ω ＝ １６０π，故函数的周期Ｔ ＝ ２π１６０π ＝ １ ８０，所以ｆ ＝ １ Ｔ ＝ ８０，即每分钟心跳的次数为８０．故选Ｃ． ４．（１）５０　 ３０　 （２）ｙ ＝ １０ｓｉｎ π６ ｘ ＋ π( )６ ＋ ４０，ｘ∈［８，１４］ 【解析】　 （２）由图知，ｂ ＝ ４０，Ａ ＝ １０，ω ＝ ２πＴ ＝ ２π ２·（１４ － ８）＝ π ６ ，∴ ｙ ＝ １０ｓｉｎ π ６ ｘ ＋( )φ ＋ ４０，又ｘ ＝ ８ 时，ｙ ＝ ３０， ∴ ｓｉｎ ４π３ ＋( )φ ＝ － １，∴ φ ＝ π６ ． 章末梳理 考点整合　 提技能 例１：（１）Ｃ　 （２）见解析 【解析】　 （１）选项Ａ，Ｂ中角度与弧度混用，不正确； ９ ４ π ＝ ２π ＋ π ４ ，所以 ９π ４与 π ４的终边相同， － ３１５° ＝ － ３６０° ＋ ４５°， 所以－ ３１５°也与４５°终边相同，故选Ｃ． （２）设扇形的半径为Ｒ，则扇形的弧长为Ｃ － ２Ｒ，因为Ｓ ＝ １ ２ （Ｃ － ２Ｒ）× Ｒ ＝ － Ｒ ２ ＋ Ｃ２ Ｒ ＝ － Ｒ － Ｃ( )４ ２ ＋ Ｃ( )４ ２ ，所以当 Ｒ ＝ Ｃ４即θ ＝ Ｃ － ２Ｒ Ｒ ＝ ２时扇形有最大面积 Ｃ２ １６ ． 例２：（１）１５ 　 （２）见解析 【解析】　 （１）由点Ｐ的坐标知，点Ｐ在第二或第四象限；由 ｃｏｓ α ｔａｎ α ＜ ０知α是第三或第四象限角．故角α是第四象限角，所以 ｍ ＜ ０． Ｐ到原点的距离ｒ ＝ １６ ２５ｍ２ ＋ ９ ２５ｍ槡 ２ ＝ １ｍ槡２ ＝ － １ｍ，所以 ｓｉｎ α ＝ ３ ５ｍ － １ｍ ＝ － ３５ ，ｃｏｓ α ＝ － ４５ｍ － １ｍ ＝ ４５ ，所以ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＝ － ３５ ＋ ４ ５ ＝ １ ５ ． （２）１ ＋ ｔａｎ（θ ＋ ７２０°）１ － ｔａｎ（θ － ３６０°）＝ １ ＋ ｔａｎ θ １ － ｔａｎ θ 槡＝ ３ ＋ ２ ２，所以ｔａｎ θ ＝ 槡２ ２ ． 故原式＝ ｃｏｓ ２θ ＋ ｓｉｎ θｃｏｓ θ ＋ ２ｓｉｎ２θ ｃｏｓ２θ ＝ １ ＋ ｔａｎ θ ＋ ２ｔａｎ２θ ＝ １ ＋ 槡２ ２ ＋ １ ＝ 槡４ ＋ ２ ２ ． 例３：（１）Ｃ　 （２）Ｃ　 （１）由正弦函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ的图象与 性质可得． ①函数ｆ（ｘ）的值域为［－ １，１］，正确； ②当ｘ ＝ π２ ＋ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ时，ｆ（ｘ）的最大值为１，正确； ③当２ｋπ ＋ π ＜ ｘ ＜ ２ｋπ ＋ ２π，ｋ∈Ｚ时，ｆ（ｘ）＜ ０，故不正确． （２）①ｆ（－ ｘ）＝ ｘ２ ｓｉｎ（－ ｘ）＝ － ｆ（ｘ），且定义域关于原点对 称，为奇函数，所以正确； ②ｆ（－ ｘ）＝ ｓｉｎ（－ ｘ）＝ － ｆ（ｘ），但定义域不关于原点对称， 不是奇函数，所以不正确； ③ｆ（－ ｘ）＝ ｓｉｎ（－ ｘ）＝ － ｆ（ｘ），且定义域关于原点对称，为 奇函数，正确； ④ｆ（－ ｘ）＝ － ｘ·ｃｏｓ（－ ｘ）＝ － ｆ（ｘ），且定义域关于原点对 称，为奇函数，所以正确． 例４：（１）由题图可知Ａ ＝ ３，Ｔ４ ＝ ７π １２ － π ３ ，所以Ｔ ＝ πω ＝ ２，ｆ（ｘ）＝ ３ｓｉｎ（２ｘ ＋ φ），所以２π３ ＋ φ ＝ π ２ ，φ ＝ － π ６ ，所以ｆ（ｘ）＝ ３ｓｉｎ ２ｘ － π( )６ ． （２）由（１）知ｇ（ｘ）＝ ｆ ｘ ＋ π( )３ ＝ ３ｓｉｎ ２ ｘ ＋ π( )３ － π[ ]６ ＝ ３ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )２ ＝ ３ｃｏｓ ２ｘ， 令２ｘ ＝ ｋπ（ｋ∈Ｚ），所以所求的对称轴为直线ｘ ＝ ｋπ２ （ｋ∈Ｚ）， 令２ｘ ＝ π２ ＋ ｋπ（ｋ∈Ｚ）， ｘ ＝ ｋπ２ ＋ π ４ （ｋ ∈ Ｚ），所以所求的对称中心为 ｋπ ２ ＋ π ４ ，( )０ （ｋ∈Ｚ）． 例５：令ｕ（ｘ） 槡＝ ２ｓｉｎ ｘ － π( )４ ， ｆ（ｘ）＝ ｌｏｇ １ ２ 槡２ｓｉｎ ｘ － π( )[ ]４ ＝ － １２ ＋ ｌｏｇ １２ ｓｉｎ ｘ － π( )４ ． （１）要使ｆ（ｘ）有意义，则ｓｉｎ ｘ － π( )４ ＞０， 所以２ｋπ ＜ ｘ － π４ ＜（２ｋ ＋１）π，（ｋ∈Ｚ）． 即ｆ（ｘ）的定义域为２ｋπ ＋ π４ ，２ｋπ ＋ ５ ４( )π （ｋ∈Ｚ）． 因为０ ＜ ｓｉｎ ｘ － π( )４ ≤１， 所以 槡０ ＜ ２ｓｉｎ ｘ － π( )４ ≤槡２， 所以ｆ（ｘ）＝ ｌｏｇ １ ２ ｕ（ｘ）≥ － １２ ． 所以ｆ（ｘ）的值域为－ １２ ，＋[ )∞ ． ｘ － π４ ∈ ２ｋπ，２ｋπ ＋ π( )２ 时，ｕ（ｘ）是增函数， 所以ｆ（ｘ）＝ ｌｏｇ １ ２ ｕ（ｘ）是减函数． 所以ｘ∈ ２ｋπ ＋ π４ ，２ｋπ ＋ ３ ４( )π 时，函数是减函数． 同理可求得ｘ∈ ２ｋπ ＋ ３４ π，２ｋπ ＋ ５ ４[ )π （ｋ∈Ｚ）时，函数是 增函数； （２）因为ｆ（ｘ）的定义域不关于原点对称，所以ｆ（ｘ）是非奇 非偶函数． 又ｆ（ｘ ＋ ２π）＝ － １２ ＋ ｌｏｇ １２ ｓｉｎ ｘ ＋ ２π － π( )４ ＝ － １２ ＋ ｌｏｇ １ ２ ｓｉｎ ｘ － π( )４ ＝ ｆ（ｘ），其中ｘ∈ ２ｋπ ＋ π４ ，２ｋπ ＋ ５４( )π （ｋ∈ Ｚ），所以ｆ（ｘ）是周期函数，且最小正周期是２π． 第二章　 平面向量及其应用 § １　 从位移、速度、力到向量 必备知识　 探新知 知识点１　 （１）大小　 方向　 （２）→ＡＢ　 （３）｜→ＡＢ ｜（或｜ ａ ｜） 关键能力　 攻重难 例１：③④　 时间不是向量，故①不正确                                                                       ． —６０３—