第1章 7.1-7.2 正切函数的诱导公式 正切函数的定义(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

３． Ｃ　 易知Ａ ＝ １２ ，φ ＝ π ６ ，ω ＝ ２π ２π ３ ＝ ３． ４． － １２ 　 Ｔ ＝ ２π ω ＝ π，∴ ω ＝ ２． 又ｆ（０）＝ ２ｓｉｎ φ 槡＝ ３，ｓｉｎ φ ＝槡３２ ， 又｜φ ｜ ＜ π２ ，∴ φ ＝ π ３ ． ∴ ｃｏｓ（ωφ）＝ ｃｏｓ ２π ３ ＝ － １ ２ ． ５．（１）由２ｘ － π６ ＝ ｋπ ＋ π ２ ，ｋ∈Ｚ， 解得ｆ（ｘ）的对称轴方程是ｘ ＝ π３ ＋ ｋ ２ π，ｋ∈Ｚ；由２ｘ － π ６ ＝ ｋπ，ｋ∈Ｚ，解得对称中心是π１２ ＋ ｋ ２ π，( )０ ，ｋ∈Ｚ；由２ｋπ － π２ ≤２ｘ － π６ ≤ ２ｋπ ＋ π ２ ，ｋ ∈ Ｚ，解得单调递增区间是 － π６ ＋ ｋπ， π ３ ＋ ｋ[ ]π ，ｋ∈Ｚ； 由２ｋπ ＋ π２ ≤２ｘ － π ６ ≤２ｋπ ＋ ３ ２ π，ｋ∈Ｚ，解得单调递减区间 是π３ ＋ ｋπ， ５π ６ ＋ ｋ[ ]π ，ｋ∈Ｚ． （２）因为０≤ｘ≤ π２ ，所以－ π ６ ≤２ｘ － π ６ ≤ ５ ６ π． 所以当２ｘ － π６ ＝ － π ６ ，即ｘ ＝ ０时，ｆ（ｘ）取最小值为－ １； 当２ｘ － π６ ＝ π ２ ，即ｘ ＝ π ３时，ｆ（ｘ）取最大值为２． § ７　 正切函数 ７． １　 正切函数的定义 ７． ２　 正切函数的诱导公式 必备知识　 探新知 知识点１　 ｓｉｎ ｘｃｏｓ ｘ　 ｘ∈Ｒ ｘ≠ π ２ ＋ ｋπ，ｋ∈{ }Ｚ 知识点２　 ｔａｎ α　 － ｔａｎ α　 － １ｔａｎ α 关键能力　 攻重难 例１：因为ｔａｎ α ＝ ３４ ＞ ０，所以，α是第一或第三象限的角． （１）如果α是第一象限角，则由ｔａｎ α ＝ ３４知，角α终边上必 有一点Ｐ（４，３），所以ｘ ＝ ４，ｙ ＝ ３． 因为ｒ ＝ ｜ＯＰ ｜ ＝ ４２ ＋ ３槡 ２ ＝ ５，所以ｓｉｎ α ＝ ｙｒ ＝ ３ ５ ，ｃｏｓ α ＝ ｘ ｒ ＝ ４ ５ ． （２）如果α是第三象限的角，则由ｔａｎ α ＝ ３４可知，角α终边 上必有一点Ｐ（－ ４，－ ３），所以ｘ ＝ － ４，ｙ ＝ － ３． 可知ｒ ＝ ｜ＯＰ ｜ ＝ （－ ４）２ ＋（－ ３）槡 ２ ＝ ５， 所以ｓｉｎ α ＝ ｙｒ ＝ － ３ ５ ，ｃｏｓ α ＝ ｘ ｒ ＝ － ４ ５ ． 对点训练１：∵ ｘ ＝ １，ｙ ＝ － ２，∴ ｔａｎ α ＝ － ２１ ＝ － ２． ∴ ２ｔａｎ α １ － ｔａｎ２α ＝ － ４－ ３ ＝ ４ ３ ． 例２：原式＝ ｔａｎ（－ α）ｔａｎ（α ＋ ９０°）ｔａｎ α－ ｔａｎ（１８０° － α）ｔａｎ（９０° ＋ α）ｔａｎ（－ α） ＝ － ｔａｎ α·－ １ｔａｎ( )α ·ｔａｎ α ｔａｎ α·－ １ｔａｎ( )α ·（－ ｔａｎ α） ＝ １． 对点训练２：原式＝ ｔａｎ（１８０° ＋ ４５°）＋ ｔａｎ（７２０° ＋ ３０°）－ ｔａｎ ３０° ＋ ｔａｎ ４５° ＝ ｔａｎ ４５° ＋ ｔａｎ ３０° － ｔａｎ ３０° ＋ ｔａｎ ４５° ＝ １ ＋槡３３ －槡３３ ＋ １ 槡＝ ２ ＋ ３． 例３：（１）２ｓｉｎ α － ｃｏｓ αｓｉｎ α ＋ ２ｃｏｓ α ＝ ２ｔａｎ α － １ ｔａｎ α ＋ ２ ＝ ３４ ． （２）ｓｉｎ ２α ＋ ｓｉｎ αｃｏｓ α － ２ｃｏｓ２α ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ ｔａｎ ２α ＋ ｔａｎ α － ２ ｔａｎ２α ＋ １ ＝ ４５ ． 对点训练３：（１）原式＝ － ｃｏｓ θ ＋ ｓｉｎ θ－ ２ｓｉｎ θ ＋ ｃｏｓ θ ＝ － １ ＋ ｔａｎ θ － ２ｔａｎ θ ＋ １ ＝ － １ － ３４ ６ ４ ＋ １ ＝ － ７１０ ． （２）原式＝ ２ ＋ ｔａｎ θ － １ ｔａｎ２θ ＋ １ ＝ ２ ＋ － ３４ － １ ９ １６ ＋ １ ＝ ２２２５ ． 课堂检测　 固双基 １． Ａ　 ｔａｎ ２π３ ＝ ｔａｎ π － π( )３ ＝ － ｔａｎ π３ 槡＝ － ３． ２． Ｃ　 ｔａｎ（２π ＋ α）＝ ｔａｎ α ＝ － ３２ ＝ － ３ ２ ． ３． Ａ 　 由题意可知ｃｏｓ α≠ ０，分子分母同除以ｃｏｓ２α 得 ｓｉｎ αｃｏｓ α ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ ｓｉｎ α ｃｏｓ α ｓｉｎ２α ｃｏｓ２α ＋ １ ＝ ｔａｎ α １ ＋ ｔａｎ２α ＝ － １２ ，解得ｔａｎ α ＝ － １， 故ｔａｎ（π － α）＝ － ｔａｎ α ＝ １． ４． Ｃ　 由题意可得ｓｉｎ α ＝ － １３ ＝ ａ １ ＋ ａ槡 ２ ， 所以ａ ＝ －槡２４ ，则ｔａｎ α ＝ ａ ＝ －槡 ２ ４ ． ５． － ｃｏｓ α　 ｆ（α）＝ ｓｉｎ α － π( )２ ｃｏｓ ３π２ ＋( )α ｔａｎ（π －α） ｔａｎ（－α －π）ｓｉｎ（－α －π） ＝ － ｃｏｓ α·ｓｉｎ α·（－ ｔａｎ α）－ ｔａｎ α·ｓｉｎ α ＝ － ｃｏｓ α． ７． ３　 正切函数的图象与性质 必备知识　 探新知 知识点２　 π　 奇函数　 ｋπ２ ，( )０ 关键能力　 攻重难 例１：（１） ｘ ｘ≠３π８ ＋ ｋπ ２ ，ｋ∈{ }Ｚ 　 （２）（１，槡３］　 （１）因为ｙ ＝ ｔａｎ ２ｘ － π( )４ ，所以２ｘ － π４ ≠ π２ ＋ ｋπ（ｋ∈Ｚ），解得ｘ≠３π８ ＋ ｋπ ２ ，ｋ∈Ｚ，所以该函数定义域为ｘ ｘ≠ ３π ８ ＋ ｋπ ２ ，ｋ∈{ }Ｚ ． （２）                                                                       因 —３０３— § ( 正切函数 ７． １　 正切函数的定义 ７． ２　 正切函数的诱导公式 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．理解任意角的正切函数的定义． ２．会根据任意角终边上一点的坐标求正切函数值． ３．掌握正切函数的诱导公式的推导及应用． 通过学习正切函数的定义及诱导公式，重点提 升学生的逻辑推理，数学运算素养． )*+,%-.+ 知识点１　 正切函数的定义 　 　 比值　 　 　 　 是ｘ的函数，称为ｘ的正切函数，记作ｙ ＝ ｔａｎ ｘ，其中定义域为　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． 知识点２　 正切函数的诱导公式 ｔａｎ（ｋπ ＋ α）＝ ｔａｎ α　 （ｋ∈Ｚ）　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ｔａｎ（－ α）＝ － ｔａｎ α ｔａｎ（π ＋ α）＝ ｔａｎ α ｔａｎ（π － α）＝ － ｔａｎ α　 ｔａｎ π２ ＋( )α ＝ 　 　 　 　 ｔａｎ π２ －( )α ＝ １ｔａｎ α 其中角α可以为使等式两边都有意义的任意角 /012%345 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●678%t¤FG<&y”IJ １．若ｔａｎ α ＝ ３４ ，借助三角函数的定义求角α的正弦函数值和余弦函数值． 【分析】　 由ｔａｎ α ＞ ０可判断出角α所在的象限，然后利用三角函数的定义求ｓｉｎ α 与ｃｏｓ α． ［归纳提升］ 归纳提升： １̈ ©˜™j α|{° %Î Ｐ ¨ ｘ，ｙ） ?Î Ｐ dóÎ Ｏ -˳ ｒ ＝ ｜ＯＰ ｜ ＝ ｘ２ ＋ ｙ槡 ２?ô ｓｉｎ α ＝ ｙｒ ，ｃｏｓ α ＝ ｘ ｒ ， ｔａｎ α ＝ ｙｘ ． ２̈ ©˜™j α-[‡ ¥?p‘%-[@¥ åA@¥'?…(O L α jÓp-.qê 4E‰ ． "$& 〉 ABCD １ 　 　 已知角α的终边经过点Ｐ（１，－ ２），求２ｔａｎ α １ － ｔａｎ２α 的值． ●67E%t¤FG<‚ij”IJ ２．化简：ｔａｎ（５４０° － α）ｔａｎ（α － ２７０°）ｔａｎ（α ＋ １８０°）ｔａｎ（α － １８０°）ｔａｎ（８１０° ＋ α）ｔａｎ（－ α － ３６０°）． 【分析】　 利用诱导公式均化为α的三角函数． ［归纳提升］ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　〉 ABCD ２ 　 　 求 ｔａｎ ２２５° ＋ ｔａｎ ７５０°ｔａｎ（－ ３０°）－ ｔａｎ（－ ４５°）的值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67H%Jt¤FG<&yŠ‹g†sv ３．已知ｔａｎ α ＝ ２，计算：（１）２ｓｉｎ α － ｃｏｓ αｓｉｎ α ＋ ２ｃｏｓ α； （２）ｓｉｎ ２α ＋ ｓｉｎ αｃｏｓ α － ２ｃｏｓ２ α ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ． ［归纳提升］ 〉 ABCD ３ 　 　 已知ｔａｎ θ ＝ － ３４ ．求下列各式的值： （１） ｓｉｎ θ ＋ ３π( )２ ＋ ｃｏｓ θ － π( )２ ２ｓｉｎ（π ＋ θ）－ ｃｏｓ（θ － π）； （２）２ ＋ ｓｉｎ θｃｏｓ θ － ｃｏｓ ２θ ｓｉｎ２θ ＋ ｃｏｓ２θ ． 归纳提升： ¶Fhi/Ÿ’…B ùúj-bc?]^ …d†%j-Â- ． 归纳提升： ˜™[‡¥?‘§j 9:Øٟ-¥-‘ h2 １̈ ©ÃӑZ:Ÿ- êmtêH›'‚^ ｃｏｓ α（Êｓｉｎ α）Ñd@ M ｔａｎ α-Z:Ÿ； ２̈ ©Ã ｔａｎ α -¥Z ¹‘h6] ． "$' KLMN%OPQ １． ｔａｎ ２π３等于 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ａ． －槡３ Ｂ．槡３ Ｃ． －槡３３ Ｄ．槡 ３ ３ ２．已知Ｐ（２，－ ３）是α终边上一点，则ｔａｎ（２π ＋ α）等于 （　 　 ） Ａ． ３２ Ｂ． ２ ３ Ｃ． － ３ ２ Ｄ． － ２ ３ ３．已知ｓｉｎ αｃｏｓ α ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ － １２ ，α∈（０，π），则ｔａｎ（π － α） 的值为 （　 　 ） Ａ． １ Ｂ．槡２２ Ｃ． － １ Ｄ． －槡 ２ ２ ４．已知角α的顶点与坐标原点Ｏ重合，始边与ｘ轴的非 负半轴重合，它的终边经过点Ｐ（１，ａ），且ｓｉｎ α ＝ － １３ ，则ｔａｎ α ＝ （　 　 ） Ａ．槡２２ Ｂ．槡 ２ ４ Ｃ． － 槡２ ４ Ｄ． － 槡２ ２ ５．已知α为第三象限角，ｆ（α）＝ ｓｉｎ α － π( )２ ｃｏｓ ３π２ ＋( )α ｔａｎ（π － α） ｔａｎ（－ α － π）ｓｉｎ（－ α － π） ＝ 　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１２                     ］ ７． ３　 正切函数的图象与性质 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．能画出ｙ ＝ ｔａｎ ｘ，ｘ≠π２ ＋ ｋπ，ｋ∈Ｚ的图象． ２．理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间 － π２ ， π( )２ 内的单调性． 通过学习正切函数的图象与性质，重点 培养学生的数学抽象，逻辑推理、数学运 算素养． )*+,%-.+ 知识点１　 正切曲线 　 　 正切函数的图象称作正切曲线． 知识点２　 正切函数的图象与性质 解析式 ｙ ＝ ｔａｎ ｘ 图象 定义域 ｘ∈Ｒ ｘ≠ π２ ＋ ｋπ，ｋ∈{ }Ｚ 值域 Ｒ 周期 π　 "$(