第1章 4.4 诱导公式与旋转(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

●67H%ˆJ‚ijƒv（‰j）sv‡6 ３．（１）已知ｃｏｓ（π ＋ α）＝ － １２ ，则ｃｏｓ（π － α）＝ 　 　 　 　 ． （２）已知ｓｉｎ π６ －( )α ＝ ２槡２３ ，ｃｏｓ π６ －( )α ＝ １３ ，求ｃｏｓ ５π６ ＋( )α ·ｓｉｎ １９６ π －( )α ＝ 　 　 　 　 ． ［归纳提升］ 〉 ABCD ３ 　 　 （１）已知ｃｏｓ（５３° － α）＝ １５ ，则ｃｏｓ（１２７° ＋ α）＝ （　 　 ） Ａ． ± １５ Ｂ． ２槡６ ５ Ｃ． １ ５ Ｄ． － １ ５ （２）已知ｃｏｓ π６ －( )α ＝槡３３，求ｃｏｓ ７π６ －( )α － ｓｉｎ２ α －１３π( )６ (的值注：ｓｉｎ２ π６ －( )α ＋ ｃｏｓ２ π６ －( )α ＝１，α )为任意角． 归纳提升： hi–—‘¥`a- op １̈ ©hi–—‘¥` a?qœ…rs78 –—rӑŸª#- jt9:t/}R@ ,üª#-«u} v¿ ． （２） ]^ؙŸù úOž€Ó‘Ÿb c?ÊÃӑŸùú Ož€˜™Ÿbc ． KLMN%OPQ １． ｓｉｎ １ ２１５° ＝ （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ａ．槡２２ Ｂ． １ ２ Ｃ． － １２ Ｄ． － 槡２ ２ ２．若ｃｏｓ α ＝ｍ，则ｃｏｓ（－ α）＝ （　 　 ） Ａ． ｍ Ｂ． －ｍ Ｃ． ｜ｍ ｜ Ｄ． ｍ２ ３．在平面直角坐标系ｘＯｙ中，角α与角β均以Ｏｘ为始 边，它们的终边关于ｙ轴对称．若ｓｉｎ α ＝ １３ ，则ｓｉｎ β ＝ 　 　 　 　 ． ４．化简： ｃｏｓ（１８０° ＋ α）ｓｉｎ（α ＋ ３６０°）ｓｉｎ（－ α － １８０°）ｃｏｓ（－ １８０° － α）． 请同学们认真完成练案［６                ］ ４． ４　 诱导公式与旋转 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．掌握诱导公式的推导，并能对诱导公式作归纳，体会公式的 共性与个性． ２．能够利用诱导公式解决简单的求值，化简与证明． 通过诱导公式的推导及应用，逐步培养学生的 数学抽象，逻辑推理和数学运算素养． "!* )*+,%-.+ 知识点１　 ｓｉｎ α，ｃｏｓ α与ｓｉｎ α ± π( )２ ，ｃｏｓ α ± π( )２ 的关系 　 　 （１）如图１，对任意角α，有ｓｉｎ α ＋ π( )２ ＝ ｃｏｓ α　 ，ｃｏｓ α ＋ π( )２ ＝ － ｓｉｎ α　 ． 图１ 　 　 　 　 　 图２ （２）如图２，对任意角α，有ｓｉｎ α － π( )２ ＝ － ｃｏｓ α　 ，ｃｏｓ α － π( )２ ＝ ｓｉｎ α　 ． 知识点２　 正弦函数、余弦函数的诱导公式 　 　 对任意角α，下列关系式成立（其中ｋ∈Ｚ）． ｓｉｎ（α ＋ ２ｋπ）＝ ｓｉｎ α　 ，ｃｏｓ（α ＋ ２ｋπ）＝ ｃｏｓ α　 ，ｓｉｎ（－ α）＝ － ｓｉｎ α　 ，ｃｏｓ（－ α）＝ ｃｏｓ α　 ，ｓｉｎ（α ＋ π）＝ ｓｉｎ（π ＋ α）＝ － ｓｉｎ α　 ，ｃｏｓ（α ＋ π）＝ ｃｏｓ（π ＋ α）＝ － ｃｏｓ α　 ，ｓｉｎ（α － π）＝ － ｓｉｎ α　 ，ｃｏｓ（α － π）＝ － ｃｏｓ α　 ，ｓｉｎ（π － α）＝ ｓｉｎ α　 ，ｃｏｓ（π － α）＝ － ｃｏｓ α　 ，ｓｉｎ α ＋ π( )２ ＝ ｓｉｎ π２ ＋( )α ＝ ｃｏｓ α　 ，ｃｏｓ α ＋ π( )２ ＝ ｃｏｓ π２ ＋( )α ＝ － ｓｉｎ α　 ，ｓｉｎ π２ －( )α ＝ ｃｏｓ α　 ，ｃｏｓ π２ －( )α ＝ ｓｉｎ α　 ． 知识点３　 诱导公式的记忆方法 　 　 诱导公式可以统一概括为“ｋ·π２ ± α（ｋ∈Ｚ）”的诱导公式．当ｋ为偶数时，函数名不改变；当ｋ为奇数时，函 数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”． /012%345 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●678%xJ‚ijŠ‹g†z sv １．计算： （１）ｓｉｎ２１２０° ＋ ｃｏｓ １８０° － ｃｏｓ２（－ ３３０°）＋ ｓｉｎ（－ ２１０°）； （２）槡１ ＋ ｃｏｓ １００°ｓｉｎ １７０° ｃｏｓ ３７０° ＋ １ － ｓｉｎ２槡 １７０° ． 【分析】　 利用诱导公式，先化简再求值． ［归纳提升］ 归纳提升： ¶Fhi/Ÿcì§j 9:Ÿ-Þß Fhi/Ÿ]_NOj -§j9:bc0sj §j9:?6 wxBá!`c[?c Z?cdsj¡yÔ3 ． "#" 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　〉 ABCD １ 　 　 化简 ｓｉｎ（θ － ５π）ｃｏｓ θ － π( )２ ｃｏｓ（８π － θ） ｓｉｎ θ － ３π( )２ ｓｉｎ（－ θ － ４π） ＝ 　 　 　 　 ． ●67E%HTŒj<Ž ２．求证：ｓｉｎ（２π － α）ｓｉｎ（－ ２π － α）ｃｏｓ（６π － α） ｃｏｓ（２π － α）ｓｉｎ α ＋ ３π( )２ ｃｏｓ α ＋ ３π( )２ ＝ － ｓｉｎ αｃｏｓ α ． ［归纳提升］ 〉 ABCD ２ 　 　 求证： ｓｉｎ（θ － ５π）ｃｏｓ π２ －( )θ ｓｉｎ π２ ＋( )θ ｃｏｓ（３π － θ）ｃｏｓ ３π２ ＋( )θ ｓｉｎ（－ ４π － θ） ＝ － １． ●67H%‚ij<‘’J ３．若α的终边与单位圆交于点Ｐ ｍ，槡１５( )４ ，且α为第二象限角，试求 ｓｉｎ α － π( )２ ｓｉｎ（π ＋ α）－ ｓｉｎ ３π２ －( )α ＋ １ 的值． ［归纳提升］ 〉 ABCD ３ 　 　 已知角α以ｘ轴的非负半轴为始边，Ｐ －槡５５ ， ２槡５( )５ 为终边上一点． （１）求ｓｉｎ α ＋ ２ｃｏｓ α的值；（２）求 ｓｉｎ（２π － α）ｃｏｓ（α － π）ｃｏｓ ３２ π ＋( )α ｃｏｓ ５π２ －( )α ｓｉｎ（３π － α）ｓｉｎ（－ π － α） 的值． 归纳提升： ¶Fhi/ŸJKxŸ `a?@ApM/Ÿ- *+ÂF?îJK-¦ FIRá １̈ ©z%{{E?LÑ %xM‚%{?%é |dì ． ２̈ ©}~%Iá6J K}~³{QxM›% eŸm ． （３） ÛLaýrˆ‰# -«u?RÛL>€ù úOž?^‚«u ． 归纳提升： Fhi/Ÿc쑥- I １̈ ©LM§j9:Ÿ -c쑥`a?% ƒ„hi/Ÿœú-ó ô?6œFhi/Ÿc ìOž?…dj-† %?¡ùú‡c@?^ ˆJ§j9:tY‰ ． （２） LM ÷ ± αå÷２ ± α 4³Šhi/Ÿ?‡ö ,F‹%Š/ŸŒO t?D,F=%Š/Ÿ ŒOt ． "#! KLMN%OPQ １．若ｓｉｎ π２ ＋( )θ ＜ ０，且ｃｏｓ π２ －( )θ ＞ ０，则θ是（　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ．第一象限角 Ｂ．第二象限角 Ｃ．第三象限角 Ｄ．第四象限角 ２．已知ｃｏｓ π２ ＋( )α ＝ － ３５ ，且α是第二象限角，则 ｓｉｎ α － ３π( )２ 的结果是 （　 　 ） Ａ． ４５ Ｂ． － ４ ５ Ｃ． ± ４ ５ Ｄ． ３ ５ ３．已知ｓｉｎ π３ －( )ｘ ＝ － ３５ ，则ｃｏｓ ｘ ＋ π( )６ 等于（　 　 ） Ａ． ３５ Ｂ． ４ ５ Ｃ． － ３ ５ Ｄ． － ４ ５ ４．若ｓｉｎ α ＝ － ２槡６５ ，且α是第四象限角，则 (ｃｏｓ α ＋ π )２ ＝ 　 　 　 　 ． ５．化简： ｓｉｎ（θ － ７π）ｃｏｓ － π２ －( )θ ｃｏｓ（６π － θ） ｓｉｎ θ － ３π( )２ ｓｉｎ（－ θ － ８π） ． 请同学们认真完成练案［７                        ］ § & 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 ５． １　 正弦函数的图象与性质再认识 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．借助单位圆能画出正弦函数的图象． ２．了解正弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值． ３．借助图象理解正弦函数在［０，２π］上的性质． 通过学习正弦函数图象及正弦函数的性质，重 点提升学生的逻辑推理，数学运算素养． )*+,%-.+ 知识点１　 正弦函数的图象 知识点２　 正弦函数的性质 　 　 （１）定义域：Ｒ． （２）值域：［－ １，１］． 当且仅当ｘ ＝ ２ｋπ ＋ π２ （ｋ∈Ｚ）时，正弦函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ取得最大值１； 当且仅当ｘ ＝ ２ｋπ － π２ （ｋ∈Ｚ）时，正弦函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ取得最小值－ １． （３）周期性：最小正周期为２π． "## 4.3诱导公式与对称 (2)ma)sin(a)=c) 必备知识探新知 x轴-inac0sa原点原点 sin a (3m+若-a-m(君-a+看-a=分 轴ina -C08 关键能力攻重难 2929 例1：(1)方法：in1320°=in(3×360°+240°) 对点训练3：(1)D(2)见解析 h240a(10+60r)-h0-号 【解析】()因为as(53°-a)=5,所以cos(127°+a) 方法二：8in1320°=sin(4×360°-120°）=sin(-120°) =[180-(53°-a)]=-(53°-a)=-子放选D -in(180°-60)=-sm60°=-5 2 (2)m(-a-in(a-lg）=-[+(g- 2)方法-(-）m=m+7引 sim[(a-石）-2] (后-小-m(君-小-9子 3 方法二m(-指m(-6a+ 课堂检测固双基 1.A5in12150=5in(3×360°+135°）=sin135=5in(180°- 2 对点调练1：(1)片-方(21(1)m750°=sn(2× 59血5”号 -2 2.A cos(-a)cos a =m 360°+30)=n30°=2： 3 3 由题意可知a+B=行+2km,kcZ c0s(-2040°)=c0s2040°=c0s(5×360°+240) sin a=3 =s240=m(180°+60P）=-m60P=-2 六nB=n(m+2冰m-a）=sma=分 (2)原式=-血若-1g (-cos a)sin a =-mn(4++看）-m(++） 4.原式=-in(a+180°)]eos(180°+@ sin acos a =血君+w号=+= sin(a+180°)cos(180°+a） sin acos a 例2：(1)0(2)见解析 -(-sima（-cms）=l 【解析】(1)原式=m号+m号+m + 7 4.4诱导公式与旋转 m(-）+m(m-）+(-）=m号+9+ 必备知识探新知 知识点1(1)cos&-sina(2)-cos&sina m-m号-w号-号=0 知识点2 sin a cos a-sin a cos a-sina-cosc sin a cos a sin a cos a cos a sin a cos a 2)默-仁m:- sin a 关键能力攻重难 对点训练2：(1)）=二aa8=cosa cos a)sin a 例1：(1)原式=n60-om0°-os30e+血30e=}- （2小-=-6x2m+ 31 2、 1 21 (-5）m(-6x2m+）=m号=m号 (2)原式= /1+c0s(180°-80°)sim(90°+80°) 例3：)-722g 0s(360°+10°)+/1-sin2(180°-10°) (1)方法一：因为c0s(云+a)= =1+-c0s80)c0s80 .个-c0s809 -c08a=- 2,所以sa=2,则cs(-a)=-sa- c0s10°+√/1-sin10 2cos10° sin80°_cos10°_1 2 20s10°-2cs10=2 方法二：记+a=x,m-a=y,问题变为已知csx求 sin(0-5)cm0-)co(80) c08 对点训练1：sin6 显然x+y=2π（目的是消去）， s(-}m(-0-4 所以omy=s(2m-)=0m(-)=w=-子 (-sin a)sin 0cos 0=sin 0. cos (sin 0) 297 例2：【证明】左边= 4.26 sin(-e)·in(-a)·cos(-a) 5 cos asin[2m-(受-a.cos[2m-(受-aj] -sin(-0+7a)eos(号+0小os0 (-sina)·(-4inc)·cosa 5.原式= asin[-(受-m[-(受-cj -m(-0+ [-sin(0+8m)] sin'a =-sin(+(-sin 0)cos 0 cos (sin 0) -m受-小m(受-a = -sin 0(-sin 0)cos 0 sin'a =-csa·ina -加g=右边. cos八-sin8) cos.a =sin 0. “原等式成立 对点训练2：【证明】左边= §5正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 -sin(5-)sin 0cos 8 cos(T-0)sin 0[sin(4+0) 5.1正弦函数的图象与性质再认识 =二in(n-》in0.-m9=-1=右边. -cos Osin (-sin sin 6 关键能力攻重难 故原式得证. 例1：按五个关键点列表 例3：由题意知。(=1，解得m6 0 因为&为第二象限角，故m<0, sin x 0 0 0 所以m=一子 1 -2sin x 描点连线得： 所以加a=平ma一士 -cos a 原式=（-ina)-(-cosa)+打 4 =-3+5 y=d -51 6 yml-2sinxE- 4 对点训练3：)因为角。的终边上点P(-又 (1)由图象可知函数y=1-2inx在y=1上方的部分y>1, 在y=1下方的部分y<1, (+( 所以当xe（-T,0)时y>1,当xe(0,m)时，y<l, 所以na2ma-5.所以ma+2sa0 (2)如图，当直线y=a与y=1-2sinx有两个交点时，1<a 5 51 <3或-1<a<1, 所以a的取值范围是a1<a<3或-1<a<1. (2) in(2-a)cos(a-)cos+a) 3 m(受-aj小m(3m-a)n(--a (3)由图象可知ym=3,此时=一受y=-1,此时 5 其= 2 -sina·(-cos o）·sine-cosa_ 5 ina·sin·sinx sin o 25 2 对点训练1：取值列表如下： 0 3 课堂检测固双基 1.B因为cs0<0,5in0>0,.0是第二象限角. sin x 0 0 0 2Bm(受+-子 2 .-sin a=- 3 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来.（如图） y 又a是第二象限角山cosa=一5 +sinxxE[0.2 T] 3 m(a-）=ma-子 3cm(+)=血[受-(+)]=（号-） -做选C -298