第1章 4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

5 (2)因为coe=-3,所以 5m 5 <0，解得 .sin3>0,cos4<0,tan5<0,∴.sin3·cos4·tan5>0. (5m)+12 ②：a是第二象限角，∴sina>0,cosa<0,∴sin acos a m=-1. <0. 课堂检测固双基 ,B利用三角数定义知血a子个-司 例3：(1)：y=6x在区间[-号，0上是递增的。 -1 在区同0，上是递减的。 2Bm号)，即川分} 六当x=0时，yn=1, 3号因)=1且y<0解得y=-县 当x=时=。- 6 6 2 -3 3 由C0sa= =-号，得v9+0=5d2=16,a y=s骨<x≤)的值线为-马， 9+a (2)当a>0时，y=a×1+1=3. 为第二象限角a>0六a=4,心ina=5 4 得a=2, 5如图所示，在坐标系中腾出角？。的终边。 ∴当simx=-1时ym=2×(-1)+1=-1: 当a<0时，ym=a×(-1)+1=3, 得a=-2, ∴当sinx=1时，ym=-2×1+1=- ∴它的最小值为-1. 对点练3：[受小当e(-号时，m 2 平的终边 e[-小 设角平的终边与单位圆的交点为P, 所以2+sxe[子 即函数y=2+(-号的值城为子， 例4：(1)D(2)B(1)y=csx的单调增区间为[2kr 2 T,2k行](keZ)令k=1,得[m,2π]，即为y=eosx的一个单调 2 =1,sin 5= 递增区间，而（π，2π）C[π，2π]，故选D, 4 2,e4 2 (2)欲求函数y=in2x的单调递诚区间， 2 根据正弦函数的性质，有2冰m+号≤2≤2a+受 4.2单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 关键能力攻重难 m+晋≤≤如+平(keZ. 4 例I:(1)由y=4-c0sx知定义城为R 所以函数y=血2x的单调减区间为[m+平，k红+] (2)由题意知2sinx+1≥0，即sinx≥- 2 在一周期(keZ).故选B. 【-受]内满足上述条件的角为x[-云，引，由此可以 对点训练4：(1)y=inx在e【-π，π]上的递增区间为 得到函数的定义域为[m-石，2km+7}keZ)。 -受号引，递减区间为[-，-引[受小 (2)y=csx在x∈[-T,T]上的递增区间为[-T,0],递 对点训练1：(1)R(2)(2kx,2r+π)(eZ)(1)由2减区间为[0，]. +c0sx≠0知c0sx≠-2， 课堂检测固双基 又由cosx∈[-1,1]，故定义域为R (2)由题意知sinx>0.又y=sinx在[0,2π]内inx>0满 .0令1=m,0≤≤若0≤1≤分y=2e0,1,故 足0<x<T,所以定义域为(2m,2km+π)(4∈Z). 选C 例2：(1)m<4<im4<0.m4<0。 2.B .sin4·cos4>0: 3[-受]【-m,-) 借助单位圆可知，y=sinx,xe (2):r<8<3m,即8ad的角是第二象限角。 [-m,引在区间[-，-）上是减少的，在[-受] ∴.sin8>0,cos8<0,∴.sin8·cos8<0. 是增加的. 对点训练2：(1)C(2)见解析 4.2π因为2-sin(2m+x)=2-sinx,所1以y=2-sinx的最小 【解析】(1)由cos6<0且sin0>0,知0是第二象限角， 正周期为2云。 所以？是第一或三象限角。 5当x=-石时，以m=l, (2)①7<3<m,m<4<,<5<2m, 22 ! 当x=受时水m=-2 -296-●67H%xJtuz wuFG<&ys{G<v ３．已知点Ｐ（ｍ，１）是角α终边上的一点，且ｓｉｎ α ＝ １３ ，则ｍ的值为 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ２ Ｂ． － ２槡２ Ｃ． － ２槡２或２ Ｄ． － ２槡２或２槡２ 【分析】　 根据三角函数的定义列方程求得ｍ的值． ［归纳提升］ 〉 ABCD ３ 　 　 （１）已知角α的终边经过点Ｐ（１，ｍ），且ｓｉｎ α ＝ － ３ 槡１０１０ ，则ｃｏｓ α ＝ （　 　 ） Ａ． ±槡１０１０ Ｂ． －槡 １０ １０ Ｃ． 槡１０ １０ Ｄ． １ ３ （２）已知角α的终边经过点Ｐ（５ｍ，１２），且ｃｏｓ α ＝ － ５１３，则ｍ ＝ 　 　 　 　 ． 归纳提升： ˜™§j9:¥‘D :-I １． ¢µ˜™–—}§ j9:¥Ñ+@MD :-2 ． ２． h26]Ñ+D :¥?R'…(OL D:ùúE‰ ． ３． F‘+GHRIe B¥'?…´µ˜™ -§j9:¥JJB ¥BCK“ ． KLMN%OPQ １．角α的终边上有一点Ｐ（１，－ １），则ｓｉｎ α的值是 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ａ．槡２２ Ｂ． －槡 ２ ２ Ｃ． ± 槡２ ２ Ｄ． １ ２．若α ＝ ２π３ ，则α的终边与单位圆的交点Ｐ的坐标是 （　 　 ） Ａ． １ ２ ，槡 ３( )２ Ｂ． － １２ ，槡３( )２ Ｃ． －槡３２ ， １( )２ Ｄ． １２ ，－槡３( )２ ３．已知角α的终边与单位圆的交点为－ １２，( )ｙ （ｙ ＜ ０）， 则ｙ ＝ 　 　 　 　 ． ４．已知角α的终边上一点坐标为（－ ３，ａ），且α为第二 象限角，ｃｏｓ α ＝ － ３５ ，则ｓｉｎ α ＝ 　 　 　 　 ． ５．利用定义求ｓｉｎ ５π４ ，ｃｏｓ ５π ４ ，ｔａｎ ５π ４的值． 请同学们认真完成练案［４                         ］ ４． ２　 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 会利用单位圆探究正弦函数、余弦函数的基本性质． 通过探究正弦函数，余弦函数的基本性质．重点提升学生的数学运算和逻辑推理素养． "!$ )*+,%-.+ 知识点１　 正弦函数、余弦函数的基本性质 　 　 １．定义域 正弦函数、余弦函数的定义域均是Ｒ． ２．最大（小）值，值域 当α ＝ ２ｋπ ＋ π２ ，ｋ∈Ｚ时，正弦函数ｖ ＝ ｓｉｎ α取得最大值１；当α ＝ ２ｋπ － π ２ ，ｋ∈Ｚ时，正弦函数ｖ ＝ ｓｉｎ α取得 最小值－ １． 当α ＝ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ时，余弦函数ｕ ＝ ｃｏｓ α取得最大值１；当α ＝（２ｋ ＋ １）π，ｋ∈Ｚ时，余弦函数ｕ ＝ ｃｏｓ α取得最 小值－ １． 函数ｖ ＝ ｓｉｎ α，ｕ ＝ ｃｏｓ α的值域均为［－ １，１］． ３．周期性 （１）对任意ｋ∈Ｚ，ｓｉｎ（α ＋ ２ｋπ）＝ ｓｉｎ α，α∈Ｒ；ｃｏｓ（α ＋ ２ｋπ）＝ ｃｏｓ α，α∈Ｒ． （２）正弦函数ｖ ＝ ｓｉｎ α和余弦函数ｕ ＝ ｃｏｓ α，均是周期函数． （３）对任意ｋ∈Ｚ且ｋ≠０，２ｋπ均是它们的周期，最小正周期为２π． ４．单调性 正弦函数ｖ ＝ ｓｉｎ α在区间２ｋπ － π２ ，２ｋπ ＋ π[ ]２ （ｋ∈Ｚ）上单调递增，在区间２ｋπ ＋ π２ ，２ｋπ ＋ ３π[ ]２ （ｋ∈Ｚ）上单 调递减． 余弦函数ｕ ＝ ｃｏｓ α在区间［２ｋπ － π，２ｋπ］（ｋ∈Ｚ）上单调递增，在区间［２ｋπ，２ｋπ ＋ π］（ｋ∈Ｚ）上单调递减． 知识点２　 正弦函数、余弦函数在各象限的符号 三角函数 象限 第一象限第二象限第三象限第四象限 ｓｉｎ α ＋ ＋ － － ｃｏｓ α ＋ － － ＋ /012%345 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●678%tuFGz wuFG<&y_ １．求下列函数的定义域： （１）ｙ ＝ ４ － ｃｏｓ ｘ；（２）ｙ ＝ ２ｓｉｎ ｘ槡 ＋ １． ［归纳提升］ 〉 ABCD １ 　 　 （１）函数ｙ ＝ １２ ＋ ｃｏｓ ｘ的定义域为　 　 　 　 ． （２）函数ｙ ＝ ｌｎ ｓｉｎ ｘ的定义域为　 　 　 　 　 　 　 　 ． 归纳提升： （１） ‘ 9 : - G H ×?\B‘LhMŸ ROH-NO"-B ¥ÄÅ?%P&h ŒxŸÊŒxŸ3‘ Ñ?LM§j9:- GH×`a?!…Q R§j9:NSGH ×-qñ ． （２） …Të(O‘% eUGí“r%eV RÿqI&-í“- ;í'?]^BTW ¥_ŒUG-í“Ë XFYeUG퓡 ‘;í ． "!% ●67E%tuz wuFGv|}<\& ２．判断下列三角函数值的符号． （１）ｓｉｎ ４·ｃｏｓ ４； （２）ｓｉｎ ８·ｃｏｓ ８． 【分析】　 确定４ｒａｄ，８ｒａｄ所在象限，则符号易定． ［归纳提升］ 〉 ABCD ２ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 （１）若ｃｏｓ θ ＜ ０且ｓｉｎ θ ＞ ０，则θ２是第　 　 　 　 象限角． （　 　 ） Ａ．一 Ｂ．三 Ｃ．一或三 Ｄ．任意象限角 （２）判断下列各式的符号： ①ｓｉｎ ３·ｃｏｓ ４·ｔａｎ ５； ②α是第二象限角，ｓｉｎ α·ｃｏｓ α． ●67H%tuFGz wuFG<v_d~v ３．（１）求函数ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ － π３ ≤ｘ≤ ５π( )６ 的值域． （２）已知函数ｙ ＝ ａｓｉｎ ｘ ＋ １的最大值为３，求它的最小值． ［归纳提升］ 归纳提升： LMØ4<=V§j 9:-Z:Ÿ-K[ `a?@AB…\z ]§j9:XÓV- jBà^.qj?¡ ´µ[tA@9:¥ p_.q-K[VG 9:¥-[`?ùD ÑdˆÐ ． 归纳提升： １̈ ©‘[tA@9: -¥×ÊY¥'Â( OGH×?ha'] ab;.ˆ“[tA @9:-9c>ùú êM ． （２） LMVRD:- ¥×ÊY¥?Â(O LD:ê4E‰ ． "!& 〉 ABCD ３ 　 　 函数ｙ ＝ ２ ＋ ｃｏｓ ｘ，ｘ∈ － π３ ， ２π( ]３ 的值域为　 　 　 　 ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67]%tuFGz wuFG<p€ ４．（１）函数ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ的一个递增区间为 （　 　 ） Ａ． － π２ ， π( )２ Ｂ．（０，π） Ｃ． π２ ， ３π( )２ Ｄ．（π，２π） （２）函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ的递减区间是 （　 　 ） Ａ． π２ ＋ ２ｋπ， ３π ２ ＋ ２ｋ[ ]π （ｋ∈Ｚ） Ｂ． ｋπ ＋ π４ ，ｋπ ＋ ３π[ ]４ （ｋ∈Ｚ） Ｃ．［π ＋ ２ｋπ，３π ＋ ２ｋπ］（ｋ∈Ｚ） Ｄ． ｋπ － π４ ，ｋπ ＋ π[ ]４ （ｋ∈Ｚ） ［归纳提升］ 〉 ABCD ４ 　 　 求下列函数的单调区间． （１）ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ，ｘ∈［－ π，π］；（２）ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ，ｘ∈［－ π，π］． 归纳提升： ¶F9È:RbMn höd[@tA@9 :-9cÖ#?Të (OŒef-9cÖ #Œ#g ． KLMN%OPQ １．函数ｙ ＝ ２ｓｉｎ ｘ ０≤ｘ≤π( )６ 的值域是 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ．［－ ２，２］ Ｂ．［－ １，１］ Ｃ．［０，１］ Ｄ．［０，２］ ２．函数ｙ ＝ ２ ＋ １３ ｃｏｓ ｘ的定义域为 （　 　 ） Ａ． ０，π[ ]２ Ｂ． Ｒ Ｃ．｛ｘ ｜ ｘ≠ｋπ，ｋ∈Ｚ｝ Ｄ． ｘ ｘ≠ｋπ ＋ π２，ｋ∈{ }Ｚ ３．函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ，ｘ∈ － π，π[ ]３ 的增区间为　 　 　 　 　 ， 减区间为　 　 　 　 　 　 　 ． ４．函数ｙ ＝ ２ － ｓｉｎ ｘ的最小正周期为　 　 　 　 ． ５．求ｙ ＝ － ２ｓｉｎ ｘ，ｘ∈ － １６ π， ３ ４[ ]π 的最大值与最小值． 请同学们认真完成练案［５                   ］ "!'