4.4 数学归纳法(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

即2(n-1)a.-2(n-1)a.-1=2(n-1) 题成立与否不确定，所以③正确 所以a,-an1=1,n≥2且neN”, 故答案为③ 所以{a,是以1为公差的等差数列 8.2 当n=k时成立， (2)由(1)可得a,=a1+3,a=a1+6,ag=a1+8 即)=1+1+1 又a4,a,a,成等比数列，所以a亏=a·ay, 2+3…+2 即(a+6)2=(a1+3)·(a1+8),解得a,=-12。 所以。=a-13,所以5=-2+0》=宁-空 则n=k+1成立时，有k+D=1+分+号+…+2名 2 ( +…+2+2-了 所以增加的项数是(2+2-1)-(2-1)=2 所以，当n=12或n=13时(S,)m=-78. 9.①当n=1时，左边=12-22=-3， C组·探索创新 右边=-1×(2×1+1)=-3，等式成立 8斐波那契数列：1,1,2,3.5,8,1321,34,55,89,144， ②假设当n=k时，等式成立，即2-2+3°-42+…+(2弘- 由b,3+(-1)"b。=n得6-b=1,b-b=2,b。+b=3, 1)2-(2k)2=-k(2k+1). 则b1+b+b+b=3+2(b1+b), 当n=k+1时， 同理6，-b=4,4-b5=5.bo-b=7,b1-b=8,62+bg=9, 12-22+32-4+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-[2(k+ 得b=5+b,4=7+b,bo=12+b1,b:=15+b2, 1)]2 则b,+bg+bo+b:=39+2(b1+b2),b3+b。+b+b:=l12, =-k(2h+1)+(2k+1)2-[2(k+1)]月 则S2=b1+b2+…+b2=54+4(b1+b)=86, =-2k2-5h-3 则b1+b2=8. =-(k+1)(2k+3) =-(k+1)[2(k+1)+1] 练案[11] 即当n=k+1时，等式也成立 A组·基础自测 由①2可知，对任意neN”,等式成立 1.B由数学归纳法的证明步骤可知.假设n=k(≥2)为偶数10.由已知得2b,=,+a4,a=b,6.+,a,=2,b=4, 时命题为真， 由此可得1=6，b=9,a1=12,b1=16,a4=20, 则还需要用归纳假设再证n=,+2, b=25 不是n=k+1,因为n是偶数，k+1是奇数 猜想a.=n(n+1),b,=(n+1)2. 故选B. 用数学归纳法证明如下： 2.Bn=1时.2=2,2×1+1=3.2°>2n+1不成立： ①当n=1时，可得结论成立 n=2时，22=4,2×2+1=5,2>2n+1不成立 ②假设当n=k(k≥1，kEN)时，结论成立， n=3时，2=8,2×3+1=7,2>2n+1成立，m的第一个取 即a,=k(k+1),b=(k+1)2. 值%=3 那么当n=k+1时， 3.A由“n=k时论断成立→n=k+】时论断也成立"的过程中 a4+:=2b-a1=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)·(k+2). 必须运用假设 =k+1)户(k+2)=(k+2)月 4D由题意得当n=1时，八1)=1：当n=2时八2)=2：当n= b=b4 (k+1)2 3时J3)=3:当n=4时/(4)=5：当n=5时f(5)=8, .当n=k+1时，结论也成立. 骑里m:2-2o≥3 由①②可知，a.=n(n+1).b。=(n+I)对一切正整数n都 成立 5.C由题意将k替换为k+1,据此可得 B组·素养提升 1 1.C增加一个顶点，就增加n+1-3条经过该点的对角线，另 (k+)+7+(k+1)+2+(k+1)+3+…+2(k+1) 外原来的一边也变成了对角线，故n+1)=fn)+1+n+1-3 1 =+2++3++4++2k+ =f八n)+n-1.故选C 2Bn=1时，左边=(-1)21=1，右边=子+(-12· k+2+k+3*k+4+…+苏*2水++2k+可 (付+)=1，左边=右边，命题成立：假设n=k,k≥1，k后乙 =k+行+k+2+k+3+k+4+…+2亦+2k+1+20k+1可 1 时，命题成立，即1-2+3-4+5-6+…+(-0k=行 一k+1 +(-)(片+) +行++2+k+3++4+…+苏+2h+行2(k+ 则n=k+1时，左边=1-2+3-4+5-6+…+(-1)1·6 =5+2k+12(k+1可 +(-1)2·(k+1) 故选C. -号+(-)(+)+(-1)(* 62n n4=1,4=3=64=10=l,5=,= 4 =+(-1)【-(仔++k+】 冬5=号“，可归纳出8杂 2n =号+(-1)3·（仔+生）=右边，命题也成立： 7.③由题意可知.原命题成立则逆否命题成立.P(n)对n=10 时该命题不成立， 命题“1-2+3-4+5-6+…+(-1)1n= 可得P(n)对n=9不成立， 同理可推得P(n)对n=2,n=1也不成立.由题意，n=11时命 （-1)(子+2）neN,”,是真题故选B 161 3.ABC用数学归纳法证明命题1+2+3+…+n= 2(n2+D时 练案[12] 2 A组·基础自测 当n=1时，命题的左边为1，所以A不正确： !1.D由题意，可得平均变化率 n=k时，左侧=1+2+3+…+2，当n=4+1时，命题左端在 n=k的基础上增加的部分是(2+1)+(2+2)+…+(k+ +4)-_2(+4）-2=2.放选D. △r △x 1)己.所以选项D正确，C不正确，选项B不正确：故选ABC 2.C?s()=51+2r,∴该物体在运动前2秒的平均速度为 4.k+1当n=k+1时，第k+1条直线被前k条直线分成(k+1): 段，而每一段将它们所在区域一分为二，故增加了(k+1)个区域 s2)-s(0_8=9(米/秒)，故选C 2 5(+21+23小(+2)2因为分母的3A函数的自变量：由1变成1.1，所以4= 1.1-1=0.1,△y=(1.12-1)-(12-1)=021, 公差为2，所以乘上去的第一个因式是个+2+小最后一个 ÷=024=21.故选A △x0.1 是(1+2一，根据等差数列通项公式可求得共有4B 6=4)-s(6) =ko,5=）-6)=k,5= 1- t-1 (21-1)-(2+1+1=2-2-=2-'项。 2 )-(=kc,由图象知a<e<kc,选B 与-2 20,(neN'). 6()在数列a,中，4=l,a1=2+a 5.A=6+4)-s(2.1 △ -=20Mt+al, 201-2×1.2 当n=1时，4“2+2+专 .lim4s」 d=4 6.r=-2△r-4△s=[4-2(1+△t)2]-(4-2·1P) 当n=2时，42+a时2+ 2a1 22 =4-2-4△1-2（△）2-4+2 =-4△1-2（△）2， 1 =.-4:2).-4-24 2×2-2 当n=3时，4-2+m2+ 20, 1=方 7.0mL+4)- △x 所以山，=子 12 2 =im1+△x)产-21+4x)+1 4=4=5 = △r 猜测a,子 =ling Ax=0. 8.20+5△120由题物体在1=2到1=2+△1这一段时间内的 2 (2)证明：①当n=1时，4=l1+=l山 平均速度为i=2+△)-5×2=20+54，则当4-0时 △r 所以a:=1,所以n=1时，等式成立； →20，即1=2时的瞬时速度为20 ②假设当n=k时，等式成立，即a:二素十 2 9山路从4到B高度的平均变化率为。兰-8日行山 2 2 则4-2*2*+ 4 2 路从B到C高度的平均变化米为kc=Ay=0-0= 2 =70-502 2 =2+4+2(k+1)+1 k>kB∴山路从B到C比从A到B陡峭. 10.设这辆汽车在3s到(3+△：)这段时间内的位移的增量为 所以n=k+1时，等式成立 4s,则4s=3·(3+4)2+1-28=3(4)2+184, 综合①和②可知，对于任意的nN,子均成立 所以岩=34+18，所以(30+18)=18 C组·探索创新 故这辆汽车在1=3s时的瞬时速度为18m/ ABD对于A,S1=a1+a1·a,当n=1时，S=1+1= B组·素养提升 2,a+201=2,等式成立， LABD该物体在1≤1≤3时的平均速度是3)-山业。 假设n=k(keN,)时，S,1=ai,1+a44·a成立，当n=k+ 3-1 1时，S2=S+1t匠2=ai1+a1·a+ai2=ai2+a生1· 71-15=28,放A项正确： 2 (a:+al)=ai:+a2·ai,则n=k+1时，等式也成立， 故A正确.对于B,a1+a2+a+…+a,=a。2-1,当n=1 物体在1=4时的厥时速度是4+)-4=回(56+ △ 时，a1=a3-1=a1+a2-1=1,等式成立， 7△)=56，故B项正确： 假设n=k(keN,)时，a+2+a:+…+a,=a+2-1成立， 物体的最大位移是7×53+8=183，故C项错误： 当n=k+1时，a1+a+a+…+a+a41=+2-1+a1= ak3-1, 物体在1=5时的瞬时速度是m(5+-s5) △t =lim(70+ 则n=k+I,等式也成立，故B正确。 7△)=70，故D项正确 对于C,由题意得，a1=1,a=2,a4=3,a=5,a。=8,a,=13, :2.ABD .a1+码=3≠a4-1,a+a+a,=8≠a。-1,做C错误 根据题意，im+△)-=9.8m,则物体在1 △ 对于D,6=,4(c.-6-)=4×(-)=m(a, 1s这一时刻的瞬时速度为9.8m/s, 故选ABD. a,司)·(an+a.1）=a。2·a,,放D正确。 3.C设P点坐标为(，2x-7) 162练案［１１］ 第四章　 数列 ４． ４　 数学归纳法 Ａ组·基础自测 一、选择题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．已知ｎ为正偶数，用数学归纳法证明１ － １２ ＋ １ ３ － １ ４ ＋…＋ １ ｎ － １ － １ ｎ (＝ ２ １ ｎ ＋ ２ ＋ １ ｎ ＋ ４ ＋… ＋ １２ )ｎ 时，若已假设ｎ ＝ ｋ（ｋ≥２）为偶数时命 题为真，则还需要用归纳假设再证ｎ ＝ 　 　 　 时等式成立． （Ｂ ） Ａ． ｎ ＝ ｋ ＋ １ Ｂ． ｎ ＝ ｋ ＋ ２ Ｃ． ｎ ＝ ２ｋ ＋ ２ Ｄ． ｎ ＝ ２（ｋ ＋ ２） ２．用数学归纳法证明“２ｎ ＞ ２ｎ ＋ １，对于ｎ≥ｎ０的 正整数ｎ都成立”时，第一步证明中的起始值 ｎ０应取 （Ｂ ） Ａ． ２ Ｂ． ３ Ｃ． ５ Ｄ． ６ ３．我们运用数学归纳法证明某一个关于自然数 ｎ的命题时，在由“ｎ ＝ ｋ时论断成立ｎ ＝ ｋ ＋ １时论断也成立”的过程中 （Ａ ） Ａ．必须运用假设 Ｂ．可以部分地运用假设 Ｃ．可不用假设 Ｄ．应视情况灵活处理，Ａ，Ｂ，Ｃ均可 ４．上一个ｎ级台阶，每次上一级或上两级，设上法 的种数为ｆ（ｎ），则下列猜想正确的是 （Ｄ ） Ａ． ｆ（ｎ）＝ ｎ Ｂ． ｆ（ｎ）＝ ｆ（ｎ － １）＋ ｆ（ｎ － ２） Ｃ． ｆ（ｎ）＝ ｆ（ｎ － １）·ｆ（ｎ － ２） Ｄ． ｆ（ｎ）＝ ｎ（ｎ ＝ １，２）， ｆ（ｎ － １）＋ ｆ（ｎ － ２）（ｎ≥３{ ） ５．设Ｓｋ ＝ １ｋ ＋ １ ＋ １ ｋ ＋ ２ ＋ １ ｋ ＋ ３ ＋…＋ １ ２ｋ，则Ｓｋ ＋１ ＝ （Ｃ ） Ａ． Ｓｋ ＋ １ ２（ｋ ＋ １） Ｂ． Ｓｋ ＋ １ ２ｋ ＋ １ ＋ １ ２（ｋ ＋ １） Ｃ． Ｓｋ ＋ １ ２ｋ ＋ １ － １ ２（ｋ ＋ １） Ｄ． Ｓｋ ＋ １ ２（ｋ ＋ １）－ １ ２ｋ ＋ １ 二、填空题 ６．已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，且ａ１ ＝ １， Ｓｎ ＝ ｎ ２ａｎ（ｎ∈Ｎ），试归纳猜想出Ｓｎ 的表达 式是Ｓｎ ＝ 　 　 　 　 ． ７．一个与自然数有关的命题，若ｎ ＝ ｋ （ｋ∈Ｎ） 时命题成立可以推出ｎ ＝ ｋ ＋ １时命题也成立． 现已知ｎ ＝１０时该命题不成立，那么下列结论正 确的是：　 ③　（填上所有正确命题的序号） ①ｎ ＝ １１时，该命题一定不成立； ②ｎ ＝ １１时，该命题一定成立； ③ｎ ＝ １时，该命题一定不成立； ④至少存在一个自然数，使ｎ ＝ ｎ０ 时，该命题 成立． ８．在数学归纳法的递推性证明中，由假设ｎ ＝ ｋ 时成立推导ｎ ＝ ｋ ＋ １时成立时，ｆ（ｎ）＝ １ ＋ １２ ＋ １３ ＋…＋ １ ２ｎ － １ 增加的项数是２ｋ 　 　 　 ． 三、解答题 ９．用数学归纳法证明： １２ － ２２ ＋ ３２ － ４２ ＋ ５２ －…＋（２ｎ － １）２ －（２ｎ）２ ＝ － ｎ（２ｎ ＋ １）（ｎ∈Ｎ）． １０．在数列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝中，ａ１ ＝ ２，ｂ１ ＝ ４，且ａｎ，ｂｎ， ａｎ ＋１成等差数列，ｂｎ，ａｎ ＋１，ｂｎ ＋１成等比数列 （ｎ∈Ｎ）． 求ａ２，ａ３，ａ４及ｂ２，ｂ３，ｂ４，由此猜测｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝ 的通项公式，并证明你的结论                                                                ． —０９８— Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．若凸ｎ边形有ｆ（ｎ）条对角线，则凸ｎ ＋ １边形 的对角线的条数ｆ（ｎ ＋ １）＝ （Ｃ ） Ａ． ｆ（ｎ）＋ ｎ ＋ １ Ｂ． ｆ（ｎ）＋ ｎ Ｃ． ｆ（ｎ）＋ ｎ － １ Ｄ． ｆ（ｎ）＋ ｎ － ２ ２．现有命题“１ －２ ＋３ －４ ＋５ －６ ＋…＋（－１）ｎ ＋１ｎ ＝ １４ ＋（－１） ｎ (＋１ １４ ＋ ｎ )２ ，ｎ∈Ｎ ＋”，不知真假． 请你用数学归纳法去探究，此命题的真假情 况为 （Ｂ ） Ａ．不能用数学归纳法去判断真假 Ｂ．一定为真命题 Ｃ．加上条件ｎ≤９后才是真命题，否则为假 Ｄ．存在一个很大常数ｍ，当ｎ ＞ ｍ时，命题 为假 ３．（多选题）用数学归纳法证明命题１ ＋ ２ ＋ ３ ＋ …＋ ｎ２ ＝ ｎ ２（ｎ２ ＋ １） ２ 时，下列说法错误的是 （　 ） Ａ．当ｎ ＝ １时，命题的左边为１ ＋ １ Ｂ．当ｎ ＝ ｋ ＋ １时，命题的左边为１ ＋ ２ ＋ ３ ＋… ＋ ｋ２ ＋（ｋ ＋ １）２ Ｃ．当ｎ ＝ ｋ ＋ １时，命题左端在ｎ ＝ ｋ的基础上 增加的部分有（ｋ ＋ １）２ －（ｋ２ ＋ １）项 Ｄ．当ｎ ＝ ｋ ＋ １时，命题左端在ｎ ＝ ｋ的基础上 增加的部分是（ｋ２ ＋ １）＋（ｋ２ ＋ ２）＋…＋（ｋ ＋ １）２ 二、填空题 ４．平面上有ｎ条直线，它们任何两条不平行，任 何三条不共点，设ｋ条这样的直线把平面分成 ｆ（ｋ）个区域，则ｋ ＋１条直线把平面分成的区域 数ｆ（ｋ ＋１）＝ ｆ（ｋ）＋ ｋ ＋１　 ． ５． (用数学归纳法证明１ ＋ １ ) (３ １ ＋ １ )５ (·１ ＋ １ )７ (…１ ＋ １ ２ｋ )－ １ ＞ ２ｋ槡＋ １ ２ （ｋ ＞ １），则当ｎ ＝ ｋ ＋ １ 时，在ｎ ＝ ｋ 时的左端应乘上 　 　 　 　 　 　 ，这个乘上去的代数式共有因 式的个数是２ｋ －１　 ． 三、解答题 ６．在数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ １，ａｎ ＋１ ＝ ２ａｎ２ ＋ ａｎ（ｎ∈Ｎ ）． （１）分别求出ａ２，ａ３，ａ４，并根据上述结果猜想 这个数列的通项公式； （２）请用数学归纳法证明（１）中的猜想． Ｃ组·探索创新 　 （多选题）意大利数学家列昂纳多·斐波那契 是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧 洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐 波那契数列｛ａｎ｝满足：ａ１ ＝ １，ａ２ ＝ １，ａｎ ＝ ａｎ －１ ＋ ａｎ －２（ｎ≥３，ｎ∈Ｎ ＋）．若将数列的每一项按 照如图所示的方法放进格子里，每一小格子 的边长为１，记前ｎ项所占的格子的面积之和 为Ｓｎ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成 的扇形面积为ｃｎ，则下列结论正确的是 （　 ） Ａ． Ｓｎ ＋１ ＝ ａ ２ ｎ ＋１ ＋ ａｎ ＋１·ａｎ Ｂ． ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＋…＋ ａｎ ＝ ａｎ ＋２ － １ Ｃ． ａ１ ＋ ａ３ ＋ ａ５ ＋…＋ ａ２ｎ －１ ＝ ａ２ｎ － １ Ｄ． ４（ｃｎ － ｃｎ －１）＝ πａｎ －２·ａｎ                                                                      ＋１ —０９９—