4.3.2 第1课时等比数列的前n项和公式(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

练案［９］ 第四章　 数列 ４． ３　 ［４． ３． ２　 第１课时　 等比数列的前ｎ项和公式］ Ａ组·基础自测 一、选择题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（２０２３·全国甲卷理科）设等比数列ａ{ }ｎ 的各 项均为正数，前ｎ项和Ｓｎ，若ａ１ ＝ １，Ｓ５ ＝ ５Ｓ３ － ４，则Ｓ４ ＝ （　 ） Ａ． １５８ Ｂ． ６５ ８ Ｃ． １５ Ｄ． ４０ ２．数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ ＝ ４ｎ ＋ ｂ（ｂ是常数， ｎ∈Ｎ），若这个数列是等比数列，则ｂ ＝ （Ａ ） Ａ． － １ Ｂ． ０ Ｃ． １ Ｄ． ４ ３．在１４与７８之间插入ｎ个数组成等比数列，若这ｎ ＋２项的总和为７７８，则此数列的项数为（Ｂ ） Ａ． ４ Ｂ． ５ Ｃ． ６ Ｄ． ７ ４．（多选题）已知等比数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ １，ｑ ＝ ２， 其前ｎ项和为Ｓｎ，则 （　 ） Ａ．数列｛ａ２ｎ｝是等比数列 Ｂ．数列１ａ{ }ｎ 是递增数列 Ｃ．数列｛ｌｏｇ２ａｎ｝是等差数列 Ｄ． Ｓｎ ＝ ２ ｎ －１ ５．某人计划２０２３年出国旅游，从２０１６年起每年 ５月１０日到银行存入ａ元定期储蓄，若年利 率为ｐ，且保持不变，并约定每年到期存款均 自动转为新一年的定期，到２０２３年５月１０日 将所有存款和利息全部取回，则可取回的钱 数（元）为 （Ｄ ） Ａ． ａ（１ ＋ ｐ）７ Ｂ． ａ（１ ＋ ｐ）８ Ｃ． ａｐ［（１ ＋ ｐ） ７ －（１ ＋ ｐ）］ Ｄ． ａｐ［（１ ＋ ｐ） ８ －（１ ＋ ｐ）］ 二、填空题 ６．设Ｓｎ 为等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和，且Ｓｎ ＝ ３ｎ ＋１ － Ａ，则Ａ ＝ ３　 　 　 ． ７．（２０２４·山东青岛高三模拟）设Ｓｎ为公比ｑ≠ １的等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和，且３ａ１，２ａ２，ａ３ 成等差数列，则ｑ ＝ ３　 　 ，Ｓ４Ｓ２ ＝ １０　 　 ． ８．等比数列的公比为２，前４项之和等于１０，则 前８项之和Ｓ８ ＝ １７０　 　 ． 三、解答题 ９．在等比数列｛ａｎ｝中，ａ２ ＋ ａ４ ＝ ６０，ａ１·ａ３ ＝ ３６， Ｓｎ ＞ ４００，求正整数ｎ的取值范围． １０．已知等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，等比数 列｛ｂｎ｝的前ｎ项和为Ｔｎ，ａ１ ＝ － １，ｂ１ ＝ １， ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ２． （１）若ａ３ ＋ ｂ３ ＝ ５，求｛ｂｎ｝的通项公式； （２）若Ｔ３ ＝ ２１，求Ｓ３                                                               ． —０９４— Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．设｛ａｎ｝是等比数列，Ｓｎ是｛ａｎ｝的前ｎ项和，对 任意正整数ｎ，有ａｎ ＋ ２ａｎ ＋１ ＋ ａｎ ＋２ ＝ ０，又ａ１ ＝ ２，则Ｓ１０１的值为 （Ａ ） Ａ． ２ Ｂ． ２００ Ｃ． － ２ Ｄ． ０ ２．已知数列｛ａｎ｝是以２为首项，１为公差的等差 数列，｛ｂｎ｝是以１为首项，２为公比的等比数 列，则ａｂ１ ＋ ａｂ２ ＋…＋ ａｂ１０ ＝ （Ａ ） Ａ． １ ０３３ Ｂ． ２ ０５７ Ｃ． １ ０３４ Ｄ． ２ ０５８ ３．如图，画一个边长为２的正三角形，再将这个 正三角形各边的中点相连得到第二个正三角 形，依此类推，一共画了５个正三角形．那么这 五个正三角形的面积之和等于 （Ｄ ） Ａ． ２槡３ Ｂ． ２１槡３１６ Ｃ． ８５槡３６４ Ｄ． ３４１槡３ ２５６ 二、填空题 ４．设Ｓｎ为等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和．若ａ１ ＝ １３， ａ２４ ＝ ａ６，则Ｓ５ ＝ 　 　 　 　 ． ５．将正偶数集合｛２，４，６，８，…，２ｎ，…｝中的数从 小到大按第ｎ组有２ｎ个数进行分组如下： 第一组 ｛２，４｝　 第二组 ｛６，８，１０，１２｝　 第三组 ｛１４，１６，１８，２０，２２，２４，２６，２８｝　 … … 则２ ０１８位于第９　 　 　 组． 三、解答题 ６．已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ １ ＋ λａｎ．其中 λ≠０． （１）证明：｛ａｎ｝是等比数列，并求其通项公式； （２）若Ｓ５ ＝ ３１３２，求λ． Ｃ组·探索创新 　 已知数列｛ａｎ｝是公差ｄ≠０的等差数列，｛ｂｎ｝ 是公比ｑ≠１的等比数列．若ａ１ ＝ ｂ１ ＝ １，ａ２ ＝ ｂ２，ａ６ ＝ ｂ３ ． （１）求ｄ和ｑ； （２）是否存在常数ａ，ｂ使对于一切ｎ∈Ｎ，都 有ａｎ ＝ ｌｏｇａｂｎ ＋ ｂ成立？若存在，求出ａ，ｂ的 值；若不存在，请说明理由                                                                      ． —０９５— (1)当n≥2时，因为2”a1+2-a2+…+2a,=a。1(neN”) 数列是递减数列，数列1ga,是等差数列 (i), la. 所以2”-a1+22a+…+2a-1=(n-1)a, 1-2" 所以2°a1+2"-2+…+2a-1=2(n-1)a(i), S=二2=2-1故选AC 5.D设所有存款和利息的总和为S元，由题意知第一年存入的 (i)-(i)得2a,=a,1-2(n-1)a,即°=2(n≥2). a元到2023年本息和为a(1+P)元，以此类推，2022年存入 的a元到2023年本总和为a(1+p)元.所以S=a(1+p)）7+ 当a=1时，24=会=2适合上式 a(1+p)°+a(1+p)3++a(1+p） 所以数列{a,是首项为1，公比为2的等比数列， =a[(1+p)+(1+p)+(1+p)+…+(1+p)] 所以a.=ag-I=2-l(neN”) =a.+p+p1=[(0+p-(1+p)小.故 I-(1+p) P (2)同方案一的(2). 选D C组·探索创新 6.35为等比数列|a,}的前n项和，且S.=31-A,∴a= ABD①若g<0,则a2=a,<0,码e=ag2>0,此时 ·马e<0,不合题意： S,=32-A=9-A,41=S-S1=(33-A)-(9-A)=18,m= S3-S2=(34-A)-(33-A)=54 ②诺g≥1，对任意的neN.,4,=81g>0,且有”2一=9≥1， a,a,a3成等比数列.a=a4 a. 可得a.1≥4 182=(9-A)×54,解得A=3. 可得m≥≥，>1，此时>0，与题于不作，不合；0设等比数列的道项公式，：4因为a 故答案为3. 2a2,a3成等差数列，所以2×2a2=3a1+a3,即4a1q=3a1+ 题意： ③由上可知0<g<1,对任意的neN,a。=ag->0,且有 a.又因为等比数列中a1≠0，则4g=3+g2,解得g=1或q a(1-g） 8出=q<1,可得a<a。, =3.又因为91，所以=3.所以之 此时，数列{a,为单调递减数列，则心>a,由m- 1-4 +g°=1+32=10. 0可得0<a21<1<a2m 对于A选项，由上可知，A选项错误：对于B选项，由于数列8.170、“（仪-心）：8=2=16， .(Sg-10):10=16. a|为正项递减数列，所以0<am<a1<1,则a2融· .S=170. a2m-1<0,B选项错误： 对于C选项，由上可知，正项数列1a,前2020项都大于1，而： 9.由a1a3=a=36,得42=±6. 从第2021项起都小于1，所以T2是数列T.|中的最大值， 再由a2+a4=60,得44=54或a4=66. 因为与a同号，所以a2=6,a4=54 C选项正确： 对于D选项，S一S脚=4m>0, 再由(=%=9，得q=±3. S:<S,m,D选项错误，故选ABD 练案[9] 当g=3时，4=9=2 4组·基础自测 此时，3.=23二D>40.即3>401. 3-1 1.C由题知1+9+g+g2+9=5(1+9+g2)-4. 所以n≥6. 即g+9°=4g+4g,即g3+g-4g-4=0,即(9-2)(9+1） 当g=-3时，41=-2. (g+2)=0 此时，s=-2)-3)-山>400 由题知g>0,所以g=2. -3-1 所以S,=1+2+4+8=15 即(-3)·>801.所以n≥8(n∈N且n为偶数). 故选C 综上：当a1=2,9=3时，n是大于等于6的正整数， 2A显然数列1a,的公比不等于1，所以S·(9- 当41=-2,9=-3时，n是不小于8的偶数. g-1 =10.设a的公差为d,b.的公比为g, 品9-品=4+6，所以6=-山 a 则an=-1+(n-1)·d,b.=9- 由a+b=2得d+g=3.① 3.B设该等比数列的公比为g.由题意，可知g≠1， (1)由a,+6=5得2d+g=6.② 7 联立D和2都8（金去一日士 因此6，的通项公式为b。=2-1, 解得9=一2 (2)由b1=1,T3=21得g+g-20=0. 解得g=-5或g=4 设此数列的项数为m,令了=14×(-)，解得m=5故 当g=-5时，由①得d=8,则S,=21. 当9=4时，由①得d=-1,则S3=-6 该数列共有5项 iB组·素养提升 4.AC等比数列|a,1中，a1=1,9=2,所以a,=2”,Sn=2”-1.A设公比为9，a.+2a,1+a2=0,.a1+2a+=0, 于是a=2×4女=（分】 ,lo吗a,=n-1,故数列 a1+2mq+a1g2=0g2+2g+1=0,六g=-1,又a1=2, a是等比数列， : 43m=4-g）20--)1-2 1-g 1+1 158- 2A6,是以1为首项，2为公比的等比数列，6=2-， :a,|是以2为首项，1为公差的等差数列， +06）=2+2+…+25_2x(1,22=62. 1-2 六a,=n+1.,=a2-1=2-+1. 3.D 2 六0+ae+…+o=(1+2+2+…+2)+10=-29 由题意可设a=3+6+9+…+3n=(3n+3n 1-2 10=1024-1+10=1033 号（什中）则数列。的前0项的和5。=兮+与中6 故选A 3D此五个正三角形的边长。，形成等比数列：2,1，子子 寸++品）=子×-)器做选D 官这五个写角形的面现之和冬×+宁安4A中质数ym受的网期724路二个用期显 4×1-】 3415故选D 2 256 次为0，-10,1. 1一4 ∴.可分四组求和： 4 3 由a=a得(ag)2=ag, a1+as+…+a2o3=0, 4+a+…+44=-2-6-…-204=504x(-2-20l4 整理得g=1=3, 2 a -504×1008. 1 ..S=- ×(1-3.12四 .a3+a+…+a2a5=0 1-3一=3 a4+ag+…+a20a=4+8+…+2016 59前m组共有2+4+8+…+2.2×(2-山=2-2个 _504×(4+20161=504×1010. 2 2-1 .S26=0-504×1008+0+504×1010=504×(1010 数.由4.=2n=2018得n=1009,∴2018为第1009个偶数. 1008)=1008.故选A. 2”=512.20=1024. 前8组其有510个数.前9组共有102个数，因此2018位5.B0,+a4=宁4=2， 于第9组 1 -号n为奇数。 6(1)由题意得a=5=1+Aa,故A≠1，-入40. .0。= 2,n为偶数 由S.=1+Aa,S,t=1+Aa,1得a1=Aa1-Aa, 即a+i(A-1)=Aa, 六=1×(-）+10x2=子 由a1≠0，A≠0且A≠1得a。≠0. :6.15a1+2+…+a0=-1+4-7+10+…+(-1)0×(3× 所以三A 10-2)=(-1+4)+(-7+10)+…+[(-1)°×(3×9-2) a.A- +(-1)×(3×10-2)]=3×5=15. 因此a是首项为亡入公比为亡一的等比数列， ① 1A 于是=1一入1 2 4.6 2n 2+1 ② 2)1)得又=1-（川 ①-②得 由s影得1-（登（产动 解得入=-1. 2n 2+ C组·探索创新 (1)42=1+d=b2=q,① a6=1+5d=43=97,② 成4器 由①②解得d=3,9=4 i8.2022 2x 2(1-x)-2(2x-1) 由f(x)+f1-x)=2x-+21-)-台= 2x-1 (2)假设存在常数a,b满足题意， =2. 由a.=1+(n-1)d=3n-2, b。=g-1=4-及a,=ogb,+b知 令50+2+…+8) (3-log4)n+(og4-b-2)=0. 3-bg4=0, neN{ig.4-b-2=0 解得a-年，b=1. 则s=+径82)+…+ 两式相加得：25=2022×2， 所以存在常数a=海，6=1满足等式 .S=2022 练案[10] 9.(1)因为a,4=8a1, 所以a1as=8a1,所以a=8, A组·基础自测 又a,36,2a。成等差数列，所以a4+2a6=72,所以a。=32,g 1.AS2m=(-1+2)+(-3+4)+…+(-2019+2020)+ (-2021+2022)=1011. =44=4,9>0, 2BSm=(a1+am)+(a+a)+(a+as)+(a4+a)+(a: 所以9=2，所以8n=8·2-4=2- 159