4.2.2 第2课时等差数列前n项和习题课(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

6.(1)a=a+6d,4=22+6d.d=-3.a1=25.0=28-3n （n-2)×180=nx120+mm,-D×5. (2a,=28-3,令28-3n<0,得n>9子 2 解得n=16或n=9. 当n≤9时，an>0:当n≥10时，an<0, n<13,,n=9. 故当n9时，3最大，且最大值为S,=25×9+号x9×8×3B据题意=55=0,5 (-3)=117 又4，=-5公差d=5--1=2 6-1 7(1)3a2=3a1+a3∴3d=a1+2d,解得a1=d, 设抽出的一项为a.,则a,=55-46=9. .S=3a:=3(a1+d)=6d, 由9=-5+(n-1）·2,得n=8. 叉7=6+6+6=2+9+2.9 行++ 4c由a,=+2(n-)得S=m.-2n(n-》, 5+万=6d+号=21 当n≥2时，a,=S,-S-1=nan-(n-1)a-1-4(n-1), 整理得0。-a.-1=4, 即2f-7d+3=0,解得d=3或d=宁（舍去）. 所以a.}是公差为4的等差数列，又因为a1=1, a.=a1+(n-1）·d=3n 所以a,=4n-3,从而3.+3n=n(a,+a）+3n=2+2m= 2 (2)b.为等差数列， 2n(n+1) 26,=6+6.即2.2+12 1 a013 所+a'2adn什-) 6）d=d即d-3ad+2f=0,解得a=d 所以数列+前0项和为×-子+分-+… 或a1=2d, d>1,.an>0, +0))品 又S-Tm=99,由等差数列性质知，99a如-99b0=99,即a0 故选C -b0=1, a0-250=1,即，-a0-250=0,解得a0=51或a0 5.C因为a=n+n ==√m+I-n, =-50(舍去) 所以S。=a++…+a。=(2-1)+(5-2)+…+ 当a,=2d时，0=a1+49d=51d=51,解得d=1,与d>1矛 (m+I-m)=m+I-1. 盾，无解： 令m+I-1=10,解得n=120 当4=d时，a0=a,+49d=50d=51,解得d- 6.D对n分情况讨论当n=1时，S=a1=-2.当n≥2时，a.= 50 S.-S.-4=(n2-4n+1)-[(n-1)2-4(n-1)+1]=2n-5, 综上d动 「-2，n=1, C组·探索创新 所以a,={2n-5,n≥2y ABC根据题意，等差数列a.}中，S:>0,即S,= 由通项公式得a<a2<0<a3<a<…<ao 所以la1+lal+…+1ae1=-(a4+a)+…+(a+a4+ (a+am)×12_(a,+a)×12 2 2 =6(m+a)>0. …+a0）=S0-252=102-4×10+1-2×(-3)=67. 3,n=1, 又，<0，则a6>0,A正确： 7. 12",n≥2 由log(S+1)=n+1,得S。+1=2.当n=1 已知a1=12,且a。>0,a,<0,a%+a,>0 ra%=12+3d>0. 时，a1=S=3:当n≥2时，a,=S.-S.-1=2",显然a1=3不符 则有{，=12+4d<0, 解可得-兰<d<-3,B正确： 合上式，所以数列a,的通项公式为a,= 12,n≥2. la6+=24+7d>0 8.60因为Sn=2-5n+2,所以当n≥2时，5.1=(n-1)2- 根据题意，Su=a+a)×3 5n+7,两式相减可得a.=2n-6.n≥2.当n=1时，a1=S1= 2 =13a<0. 而5，>0，故S.<0时，n的最小值为13，C正确： -2,不满足上式，故a={b26.则数列1a,从第二项 数列侣}中.由上面分析可烟d<0,所以数列。是递波的 开始成等差数列，且前2项为负数，第3项为0，其余各项为正 数，所以数列1la,I的前10项和为-a,-a2+a,+…+ae= 等差数列，当1≤n≤6时，4，>0：当n≥7时.4.<0：当1≤n≤ 4+7x(2+14=60. 12时，5，>0：当n≥13时，S<0,所以当1≤n≤6时.三>0： 2 19.10 根据等差数列的性质，可得a.-4+a.1=2am 当7≤≤2时子<0：当≥3时受>0.放数列 中的 又am-1+am1-a=0,则2aw=a, a. 解得a.=0(含去)或a.=2. 最小项不是第六项，D错误 期51-2m-》(g+=(2m-1004m-2=38, 练案[6] 2 所以m=10. A组·基础自测 10.(1)S=m+n+1,4=S=3,a2=S-S,=7-3=4,a 1Aa%=S-S=82-72=15. =S,-S3=13-7=6,a4=S4-S,=21-13=8,a=S-S= 2.Can=120+5(n-1)=5n+115, 31-21=10. 由a,<180得n<13且neN”, (2)由(1)可知，a1-a1=4-3=1,a3-a2=6-4=2. 由n边形内角和定理得， ,-a2≠-a1,数列fa不是等差数列 —154 (3)当n≥2时，a.=S。-S-1, a.=m+n+1-[(n-1)2+(n-1)+1] 4,=8-51a+2a.a+a4 3 3 =2n(n≥2)，41=8=3， .整理得：(n-1)a=(n+1)a,-1, 数列a,的通项公式为a={2,m≥2 f3,n=1. 即a,-n+1 a。-tn-1 1L.(1)设a,的公差为d,则5，=a+nn,-少d 2 。-2a。-1 起时得位 ,解得a,=1,d=-1 *业 2 故数列1a,的通项公式为a,=2-m 显然对于n=1也成立， 1 (2)由(1)知 .-10(3-2n)1-2n a,的通项公式a=nn,+ 2 (2)证明：.2 从而数列{的的n项和为（片十+- 11 【aa-1a3,1J 女++…+女=2[-)+（分）+… a 1 ++22）2a 1 (-2-2 B组·素养提升 :C组·探索创新 1.B依题意a,为等差数列，且d=-3,3=9(a+a) 1 =9as 22(n+1) 因为nS。1=(n+2)S., 2 =207,.a=23,∴41=a5-2d=29.故选B 所以=”+2，则3=”+ 2Aa1-a+a,-1=0(n≥2)， S n S-4n-1 .a+d-1=. :a,1为等差数列， =+1 43 a1+a.-1=2an=a2 ×1=(n+1) a,=2或a,=0(舍). S2-1-4n=2×(2n-1)-4n=-2 当n=1时，a=1, 3D、=号+(a~号}，所以3.可看成关于a的二次函 当n≥2时，a,=3-S1=n,+D_n-D=n 2 2 综上a,=nm, 数，由二次函数的对称性及S2o=Sm,S=S2,可得 1 1 2011+2014_2005+h,解得k=2020.故选D. 2 2 所以7aa。2a+ 4n(n+3) a.=a,+n+1.0.-a-1=n, 所以数列{02 的前n项和为 4 六a=a:+(a-a）+(a-a)+…+(a。-a-) 1 =1+2+3+…+n=nm+ T=2x2*2+2x22x+…+2n2m+0 21 1 22(n+1) n 2 练案[7] 2 2 4组·基础自测 则数列{侣}为等差数列 1.C数列1a为等比数列，且4：=4,4e4=16, 4os是马a2,4的等比中项，且是同号的， 1+n+ ao3=√aon·a2e4=/4×16=8.放选C 因此，数列{侣}的前“项和为 2 -n(n+3)】 2.C当m=0时，数列是等差数列，但不是等比数列.当m≠0 2 4 时，数列既是等差数列，又是等比数列，故选C. 5.211:数列{a.}中，当整数n>1时， S1+S。-1=2(S+S)都成立， 3.A由题意，得a,=a=名×2=1 S.4-Sn=Sn-S.-1+2=01-an=2(n>1) ·当n≥2时，a.}是以2为首项，2为公差的等差数列 %=a9=8×2'=16, 56=14a,+413×2+a,=14×2+413×2+1=21. 设G是a4与a,的等比中项，则G=a4·a=16,故G=±4， 2 2 故选A. 6(1)4=1,5=4,=1=l 4.D设an=a14- ①2a,=2a9,所以数列12a.{是等比数列： 又：{倍是公差为兮的等差数列， ②a=ag2-2=a(g)-,所以数列a是等比数列： La. 32 32一=2”-，因为a,-8不是一个常数，所以数列 3 ! 2不是等比数列： 小当m≥2时，31=n+104 3 4途不是-个常数 155练案［６］ 第四章　 数列 ４． ２　 ［４． ２． ２　 第２课时　 等差数列前ｎ项和习题课］ Ａ组·基础自测 一、选择题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．设数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ ｎ２，则ａ８的值为 （Ａ ） Ａ． １５　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． １６ Ｃ． ４９ Ｄ． ６４ ２．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小 的内角为１２０°，公差为５°，那么这个多边形的 边数ｎ等于 （Ｃ ） Ａ １２ Ｂ １６ Ｃ ９ Ｄ １６或９ ３．等差数列｛ａｎ｝的首项ａ１ ＝ － ５，它的前１１项 的平均值为５，若从中抽去一项，余下的１０项 的平均值为４． ６，则抽出的是 （Ｂ ） Ａ． ａ６ Ｂ． ａ８ Ｃ． ａ９ Ｄ． ａ１０ ４．设数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，且ａ１ ＝ １，ａｎ ＝ Ｓｎ ｎ ＋ ２ ｎ( )－ １ ，则数列 １ Ｓｎ ＋ ３{ }ｎ 的前１０项和是 （Ｃ ） Ａ． ２５ Ｂ． ９ ２０ Ｃ． ５１１ Ｄ． １０ １１ ５．数列｛ａｎ｝的通项公式是ａｎ ＝ １槡ｎ ＋ ｎ槡＋ １ ，若 前ｎ项和为１０，则项数为 （Ｃ ） Ａ． １１ Ｂ． ９９ Ｃ． １２０ Ｄ． １２１ ６．已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ ｎ２ － ４ｎ ＋ １，则 ｜ ａ１ ｜ ＋ ｜ ａ２ ｜ ＋…＋ ｜ ａ１０ ｜的值为 （Ｄ ） Ａ． ６１　 　 　 Ｂ． ６２ Ｃ． ６５　 　 　 Ｄ． ６７ 二、填空题 ７．已知Ｓｎ为数列｛ａｎ｝的前ｎ项和，且ｌｏｇ２（Ｓｎ ＋ １）＝ ｎ ＋ １，则数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 ． ８．已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ ｎ２ － ５ｎ ＋ ２，则 数列｛｜ ａｎ ｜｝的前１０项和为６０　 　 　 ． ９．（２０２４·复旦附中高一检测）等差数列｛ａｎ｝的 前ｎ项和为Ｓｎ．已知ａｍ －１ ＋ ａｍ ＋１ － ａ２ｍ ＝ ０， Ｓ２ｍ －１ ＝ ３８，则ｍ ＝ １０　 　 　 ． 三、解答题 １０．已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ ｎ２ ＋ ｎ ＋ １． （１）写出数列的前５项； （２）数列｛ａｎ｝是等差数列吗？说明理由； （３）写出｛ａｎ｝的通项公式． １１．已知等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ满足Ｓ３ ＝ ０，Ｓ５ ＝ － ５． （１）求｛ａｎ｝的通项公式； （２）求数列 １ａ２ｎ －１ａ２ｎ{ }＋１ 的前ｎ项和                                                                ． —０８８— Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数 学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和 数学知识起到了很大的作用．在这部著作中， 许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿 问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若 问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又 零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”这 首歌诀的大意是：“一位老公公有九个儿子， 九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差 三岁，并且儿子们的年龄之和为２０７岁，请问 大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推 算．”在这个问题中，记这位公公的第ｎ个儿 子的年龄为ａｎ，则ａ３ ＝ （Ｂ ） Ａ． １７ Ｂ． ２９ Ｃ． ２３ Ｄ． ３５ ２．在各项均不为零的等差数列｛ａｎ｝中，若 ａｎ ＋１ － ａ ２ ｎ ＋ ａｎ －１ ＝ ０（ｎ≥２），则Ｓ２ｎ －１ － ４ｎ等于 （Ａ ） Ａ． － ２　 　 　 Ｂ． ０　 　 　 Ｃ． １　 　 　 Ｄ． ２ ３．在各项不全为零的等差数列｛ａｎ｝中，Ｓｎ 是其 前ｎ项和，且Ｓ２ ０１１ ＝ Ｓ２ ０１４，Ｓｋ ＝ Ｓ２ ００５，则正整数 ｋ的值为 （Ｄ ） Ａ． ２ ０１７ Ｂ． ２ ０１８ Ｃ． ２ ０１９ Ｄ． ２ ０２０ 二、填空题 ４．（２０２４·宁大附中高三模拟）已知数列｛ａｎ｝ 中，ａ１ ＝ １，ａｎ ＋１ ＝ ａｎ ＋ ｎ ＋ １，则数列ａｎ{ }ｎ 的前ｎ 项和为　 　 　 　 　 ． ５．已知数列｛ａｎ｝中ａ１ ＝ １，ａ２ ＝ ２，当整数ｎ ＞ １ 时，Ｓｎ ＋１ ＋ Ｓｎ －１ ＝ ２（Ｓｎ ＋ Ｓ１）都成立，则Ｓ１５ ＝ ２１１　 ． 三、解答题 ６．（２０２２·全国新高考Ⅰ卷）记Ｓｎ 为数列｛ａｎ｝ 的前ｎ项和，已知ａ１ ＝ １，Ｓｎａ{ }ｎ 是公差为１３的等 差数列． （１）求｛ａｎ｝的通项公式； （２）证明：１ａ１ ＋ １ ａ２ ＋…＋ １ａｎ ＜ ２． Ｃ组·探索创新 　 已知数列｛ａｎ｝的首项为１，前ｎ项和为Ｓｎ，且 ｎＳｎ ＋１ ＝ ｎ( )＋ ２ Ｓｎ，则数列 ａｎ ＋２２ｎ ＋１ａｎａｎ{ }＋１ 的前ｎ 项和Ｔｎ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　                                                                      ． —０８９—