4.3.1 第2课时等比数列的性质及应用(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

# # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 第２课时　 等比数列的性质及应用 !"#$%&'( 课程标准 １．掌握等比数列的性质． ２．能利用等比数列的性质解决相关问题． ３．体会等比数列与指数函数的关系． 学法解读 １．掌握等比数列的性质，并能够应用该知识进行灵活运算．（逻辑推理、数学运算） ２．熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用．（逻辑推理、数学运算） )*+,%-.+ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　等比数列与指数函数的关系 　 　 等比数列｛ａｎ｝的通项公式 ａｎ ＝ ａ１ｑ ｎ －１　 ，还可以整理为ａｎ ＝ 　 　 　 　 　 　 ，当ｑ ＞０且ｑ≠１ 时，等比数列｛ａｎ｝的第ｎ项ａｎ是 指数函数ｆ（ｘ）＝ ａ１ｑ·ｑ ｘ（ｘ∈Ｒ）当 ｘ ＝ ｎ时的函数值，即ａｎ ＝ ｆ（ｎ） （如图所示）．因此等比数列｛ａｎ｝的图象是函数 ｆ（ｘ）＝ ａ１ｑ·ｑ ｘ（ｘ∈Ｒ）图象上的一群孤立的点． 　 　 想一想：通项公式为ａｎ ＝ ｋｑｎ（ｋｑ≠０）的数 列｛ａｎ｝是等比数列吗？ 提示：ａｎ ＋１ ＝ ｋ·ｑｎ ＋１，所以ａｎ ＋１ａｎ ＝ ｋｑｎ ＋１ ｋｑｎ ＝ ｑ（ｑ ≠０），所以数列｛ａｎ｝为等比数列，公比为ｑ，首 项为ｋｑ． 事实上，数列｛ａｎ｝是等比数列的充要条件 是ａｎ ＝ ｋｑｎ（ｋｑ≠０）． 练一练： (已知２，３ )２ (， ５， ３ )１６ 是等比数列 ｛ａｎ｝图象上的两点，则ａｎ ＝ 　 　 　 　 　 　 ． 等比数列的单调性 　 　 已知等比数列｛ａｎ｝的首项为ａ１，公比为 ｑ，则 （１）当ａ１ ＞ ０， ｑ{ ＞ １ 或　 　 　 　 时，等比数列 ｛ａｎ｝为递增数列； （２）当ａ１ ＞ ０， ０ ＜ ｑ{ ＜ １或　 　 　 　 　 　 时，等比数 列｛ａｎ｝为递减数列； （３）当ｑ ＝ １时，等比数列｛ａｎ｝为常数列　 （这个常数列中各项均不等于０）； （４）当ｑ ＜ ０时，等比数列｛ａｎ｝为摆动数列 （它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号， 但是奇数项与偶数项异号）． 等比数列的性质 　 　 １．等比数列的项之间的关系 　 　 （１）两项关系 通项公式的推广： ａｎ ＝ ａｍ·ｑｎ －ｍ　 （ｍ，ｎ∈Ｎ）． （２）多项关系 项的运算性质 若ｍ ＋ ｎ ＝ ｐ ＋ ｑ（ｍ，ｎ，ｐ，ｑ∈Ｎ）， 则ａｍ·ａｎ ＝ ａｐ·ａｑ　 ． 特别地，若ｍ ＋ ｎ ＝ ２ｐ（ｍ，ｎ，ｐ∈Ｎ）， 则ａｍ·ａｎ ＝ ａ２ｐ　 ． ２．等比数列的项的对称性 有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的 两项之积等于首末两项的积（                                            若有中间项则等 ! ' ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 于中间项的平方），即ａ１·ａｎ ＝ ａ２·ａｎ －１　 ＝ ａｋ·ａｎ － ｋ ＋１　 ＝ ａ２ｎ ＋ １２ （ｎ为正奇数）． ３．等比数列的运算的性质 （１）若｛ａｎ｝是公比为ｑ的等比数列，则 ①｛ｃ·ａｎ｝（ｃ是非零常数）是公比为ｑ　 的 等比数列； ②｛｜ ａｎ ｜｝是公比为｜ ｑ ｜　 的等比数列． （２）若｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝分别是公比为ｑ１，ｑ２的等 比数列，则数列｛ａｎ·ｂｎ｝是公比为ｑ１·ｑ２　 的 等比数列． 　 　 练一练：已知｛ａｎ｝是等比数列，若ａ２ ＝ ２， ａ３ａ５ ＝ １６，则ａ６ ＝ （Ｂ ） Ａ． ６ Ｂ． ８ Ｃ． ± ６ Ｄ．            ± ８ /012%345 题型探究 题型一 等比数列的单调性 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．在等比数列｛ａｎ｝中，已知ａ１ ＞ ０，８ａ２ － ａ５ ＝ ０，则数列｛ａｎ｝为 （Ａ ） Ａ．递增数列 Ｂ．递减数列 Ｃ．常数列 Ｄ．无法确定单调性 　 　 ［规律方法］　 由等比数列的通项公式可 知，公比影响数列各项的符号：一般地，ｑ ＞ ０时， 等比数列各项的符号相同；ｑ ＜ ０时，等比数列各 项的符号正负交替． 对点训练? 在等比数列｛ａｎ｝中，如果 公比为ｑ，且ｑ ＜ １，那么等比数列｛ａｎ｝是（Ｄ ） Ａ．递增数列 Ｂ．递减数列 Ｃ．常数列 Ｄ．无法确定单调性 题型二 等比数列的性质 ２．已知｛ａｎ｝为等比数列． （１）若｛ａｎ｝满足ａ２ａ４ ＝ １２，求ａ１ａ ２ ３ａ５； （２）若ａｎ ＞ ０，ａ５ａ７ ＋ ２ａ６ａ８ ＋ ａ６ａ１０ ＝ ４９，求 ａ６ ＋ ａ８； （３）若ａｎ ＞ ０，ａ５ａ６ ＝ ９，求ｌｏｇ３ａ１ ＋ ｌｏｇ３ａ２ ＋ …＋ ｌｏｇ３ａ１０的值． 　 　 ［尝试作答        ］ 　 　 ［规律方法］　 灵活应用性质，能极大地提 高我们的计算速度，当然本题也可采用基本 量法． 　 　 对点训练? （１）在等比数列｛ａｎ｝中， 已知ａ７ａ１２ ＝ ５，则ａ８ａ９ａ１０ａ１１ ＝ ２５　 　 　 ； （２）数列｛ａｎ｝为等比数列，且ａ１ａ９ ＝ ６４，ａ３ ＋ ａ７ ＝ ２０，则ａ１１ ＝ １或６４　 ； （３）若等比数列｛ａｎ｝的各项均为正数，且 ａ１０ａ１１ ＋ ａ９ａ１２ ＝ ２ｅ ５，则ｌｎ ａ１ ＋ ｌｎ ａ２ ＋…＋ ｌｎ ａ２０ ＝ ５０　 　 　 ． 题型三 等比数列性质的应用 ３．设｛ａｎ｝是等比数列，公比为ｑ，则下列数 列：①｛ａｎａｎ ＋１｝；②｛ａｎ ＋ ａｎ ＋１｝；③｛ａｎ ＋１ － ａｎ｝； ④｛ａ２ｎ｝；⑤ １ａ{ }ｎ ；⑥｛ａｎ ＋ ３｝中，一定是等比数列 的有 （Ａ ） Ａ． ３个 Ｂ． ４个 Ｃ． ５个 Ｄ． ６个 　 　 ［规律方法］　 由等比数列构造新的等比数 列，一定要检验新的数列中的项是否为０． 对点训练? 设｛ａｎ｝是各项为正数的无 穷数列，Ａｉ是长、宽分别为ａｉ，ａｉ ＋１的矩形的面积 （ｉ ＝ １，２，…），则｛Ａｎ｝为等比数列的充要条件为 （Ｄ ） Ａ．｛ａｎ｝是等比数列 Ｂ． ａ１，ａ３，…，ａ２ｎ －１，…或ａ２，ａ４，…，ａ２ｎ，…是 等比数列 Ｃ． ａ１，ａ３，…，ａ２ｎ －１，…和ａ２，ａ４，…，ａ２ｎ，…均 是等比数列 Ｄ． ａ１，ａ３，…，ａ２ｎ －１，…和ａ２，ａ４，…，ａ２ｎ，…均 是等比数列，                                                        且公比相同 !#( # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 题型四 等比数列的实际应用 ４．朱载癱（１５３６—１６１１），明太祖九世孙，音 乐家、数学家、天文历算家，在他多达百万 字的著述中以《乐律全书》最为著名，在西方人 眼中他是大百科全书式的学者王子．他对文艺 的最大贡献是创建了“十二平均律”，此理论被 广泛应用在世界各国的键盘乐器上，包括钢琴， 故朱载癱被誉为“钢琴理论的鼻祖”．“十二平均 律”是指一个八度有１３个音，相邻两个音之间 的频率之比相等，且最后一个音频率是最初那 个音频率的２倍，设第二个音的频率为ｆ２，第八 个音的频率为ｆ８，则ｆ８ｆ２等于 （Ａ ） Ａ．槡２ Ｂ． ３槡２ Ｃ． ４槡２ Ｄ． ６槡２ ［分析］　 建立等比数列模型运用等比数 列的性质求解． ［规律方法］　 关于等比数列在应用问题中 的应用 首先根据题意判断是否是等比数列模型， 其次分析等比数列的首项、公比、项数，最后利 用等比数列的通项公式计算解题． 对点训练? （１）计算机的价格不断降 低，若每台计算机的价格每年降低１３，现在价格 为８ １００元的计算机３年后的价格可降低为 （Ｃ ） Ａ． ３００元　 　 Ｂ． ９００元 Ｃ． ２ ４００元　 　 Ｄ． ３ ６００元 （２）某公司为激励创新，计划逐年加大研发 资金投入．若该公司２０１６年全年投入研发资金 １３０万元，在此基础上，每年投入的研发资金比 上一年增长１２％，则该公司全年投入的研发资 金开始超过２００万元的年份是 （Ｃ ） （参考数据：ｌｇ １． １２≈０． ０５，ｌｇ １． ３≈０． １１，ｌｇ ２ ≈０．３０） Ａ． ２０１８年　 　 　 　 　 　 　Ｂ． ２０１９年 Ｃ． ２０２０年 Ｄ． ２０２１年 易错警示 　 　 忽略等比数列中的项的符号致错 ５．在等比数列｛ａｎ｝中，ａ３ａ４ａ６ａ７ ＝ ８１，则 ａ１ａ９的值为 （Ａ ） Ａ． ９ Ｂ． － ９ Ｃ． ± ９ Ｄ． １８ ［错解］　 ∵ ａ３ａ７ ＝ ａ４ａ６ ＝ ａ１ａ９， ∴ （ａ１ａ９）２ ＝ ８１，∴ ａ１ａ９ ＝ ± ９，故选Ｃ． ［误区警示］　 本题易忽略在等比数列中， 奇数项（或偶数项）符号相同这一条件，而得到 ａ１ａ９ ＝ ± ９． 　 　 ［正解                                                 ］ 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．已知｛ａｎ｝是等比数列，ａ２ ＝ ２，ａ５ ＝ １４，则公比 ｑ ＝ （Ｄ ） Ａ． － １２ Ｂ． － ２ Ｃ． ２ Ｄ． １ ２ ２．对任意等比数列｛ａｎ｝，下列说法一定正确的 是 （Ｄ ） Ａ． ａ１，ａ３，ａ９成等比数列 Ｂ． ａ２，ａ３，ａ６成等比数列 Ｃ． ａ２，ａ４，ａ８成等比数列 Ｄ． ａ３，ａ６，ａ９成等比数列 ３．在等比数列｛ａｎ｝中，ａｎ ＜ ａｎ ＋１，且ａ２ａ１１ ＝ ６， ａ４ ＋ ａ９ ＝ ５，则ａ６ａ１１等于 （Ｂ ） Ａ． ６　 　 　 Ｂ． ２３ 　 　 　 Ｃ． － １ ６ 　 　 　 Ｄ． ３ ２ ４．（２０２３·全国乙卷理科）已知ａ{ }ｎ 为等比数 列，ａ２ａ４ａ５ ＝ ａ３ａ６，ａ９ａ１０ ＝ － ８，则ａ７ ＝ － ２　 ． ５．已知三个数成等比数列，它们的积为２７，它们 的平方和为９１，求这三个数． 请同学们认真完成练案［８                      ］ ! ) ∴ ｑ ＝ １２ ，∴ ａ１ ＝ ４２ １ ２ － ( )１２ ４ ＝ ９６． 令Ｇ是ａ５，ａ７的等比中项，则应有Ｇ２ ＝ ａ５ａ７ ＝ ａ１ｑ４·ａ１ｑ６ ＝ ａ２１ｑ １０ ＝ ９６２ × ( )１２ １０ ＝ ９， ∴ ａ５，ａ７的等比中项是± ３． 课堂检测·固双基 １． Ａ　 由ｘ，３ｘ ＋ ３，６ｘ ＋ ６成等比数列得， （３ｘ ＋ ３）２ ＝ ｘ（６ｘ ＋ ６）， 解得ｘ１ ＝ － ３或ｘ２ ＝ － １（不合题意，舍去）， 第２项为－ ６， 第３项为－ １２，公比为－ １２－ ６ ＝ ２， 故数列的第４项为－ ２４． ２． Ｄ　 由ａ５ａ２ ＝ ｑ ３ ＝ １２７，得ｑ ＝ １ ３ ，故ａ１ａ４ ＝ ａ２ ｑ· ａ５ ｑ ＝ １ ３ ． ３． Ｂ　 由等比数列的性质可得， ｂ２ ＝（－ １）×（－ ９）＝ ａｃ，∴ ｂ２ ＝ ａｃ ＝ ９， 又ｂ与首项－ １同号， ∴ ｂ ＝ － ３． ４． ４　 由ａｎ ＝ａ１ｑｎ －１，得１３ ＝ ９ ８ × ( )２３ ｎ －１ ，即( )２３ ｎ －１ ＝ ８２７，故ｎ ＝４． ５．（１）∵ ａ１ ＝ － １，ａｎ ＝ ３ａｎ － １ － ２ｎ ＋ ３， ∴ ａ２ ＝ ３ａ１ － ２ × ２ ＋ ３ ＝ － ４，∴ ａ３ ＝ ３ａ２ － ２ × ３ ＋ ３ ＝ － １５． ａｎ ＋１ －（ｎ ＋１） ａｎ －ｎ ＝ ３ａｎ －２（ｎ ＋１）＋３ －（ｎ ＋１） ａｎ －ｎ ＝ ３ａｎ － ３ｎ ａｎ － ｎ ＝ ３（ｎ ＝ １，２，３，…）． 又ａ１ － １ ＝ － ２，∴ ｛ａｎ － ｎ｝是以－ ２为首项，以３为公比的等 比数列． （２）由（１）知ａｎ － ｎ ＝ － ２·３ｎ － １，故ａｎ ＝ ｎ － ２·３ｎ － １ ． 第２课时　 等比数列的性质及应用 必备知识·探新知 　 　 知识点１：ａ１ｑｎ － １ 　 ａ１ｑ·ｑ ｎ 练一练： 　 　 ３ ２ｎ － １ 　 设ａｎ ＝ ａ·ｂｎ（ａｂ≠０），则ａ２ ＝ ａｂ２ ＝ ３２ ，ａ５ ＝ ａｂ ５ ＝ ３ １６，解得ａ ＝ ６，ｂ ＝ １ ２ ，∴ ａｎ ＝ ６ × ( )１２ ｎ ＝ ３ ２ｎ － １ ． 知识点２：（１） ａ１ ＜ ０， ０ ＜ ｑ{ ＜ １　 （２） ａ１ ＜ ０，ｑ{ ＞ １ 　 （３）常数列　 　 　 知识点３：１．（１）ｑｎ － ｍ 　 （２）ａｐ·ａｑ 　 ａ２ｐ ２． ａｎ － １ 　 ａｎ － ｋ ＋ １ ３．（１）①ｑ　 ② ｜ ｑ ｜ 　 （２）ｑ１·ｑ２ 　 　 练一练： 　 　 Ｂ　 由等比数列的性质若ｍ ＋ ｎ ＝ ｐ ＋ ｑ，则ａｍａｎ ＝ ａｐａｑ， 可得ａ２ａ６ ＝ ａ３ａ５ ＝ １６，代入计算得ａ６ ＝ ８． 故选Ｂ． 关键能力·攻重难 　 　 例１：Ａ　 由８ａ２ － ａ５ ＝ ０，可知ａ５ａ２ ＝ ｑ ３ ＝ ８， 解得ｑ ＝ ２． 又ａ１ ＞ ０，所以数列｛ａｎ｝为递增数列． 对点训练１：Ｄ　 如等比数列｛（－ １）ｎ｝的公比为－ １，为摆动 数列，不具有单调性；等比数列( )１２{ } ｎ 的公比为１２ ，是递减数 列；等比数列－ ( )１２{ } ｎ 的公比为１２ ，是递增数列． 　 　 例２：（１）在等比数列｛ａｎ｝中，∵ ａ２ａ４ ＝ １２ ， ∴ ａ２３ ＝ ａ１ａ５ ＝ ａ２ａ４ ＝ １ ２ ， ∴ ａ１ａ ２ ３ａ５ ＝ １ ４ ． （２）由等比中项的性质，得ａ２６ ＋ ２ａ６ａ８ ＋ ａ２８ ＝ ４９， 即（ａ６ ＋ ａ８）２ ＝ ４９， ∵ ａｎ ＞ ０，∴ ａ６ ＋ ａ８ ＝ ７． （３）由等比数列的性质知ａ５ａ６ ＝ ａ１ａ１０ ＝ ａ２ａ９ ＝ ａ３ａ８ ＝ ａ４ａ７ ＝ ９， ∴ ｌｏｇ３ａ１ ＋ ｌｏｇ３ａ２ ＋…＋ ｌｏｇ３ａ１０ ＝ ｌｏｇ３（ａ１ａ２…ａ１０） ＝ ｌｏｇ３［（ａ１ａ１０）（ａ２ａ９）（ａ３ａ８）（ａ４ａ７）（ａ５ａ６）］ ＝ ｌｏｇ３９ ５ ＝ １０． 对点训练２：（１）２５　 方法一：∵ ａ７ａ１２ ＝ ａ８ａ１１ ＝ ａ９ａ１０ ＝ ５， ∴ ａ８ａ９ａ１０ａ１１ ＝ ５ ２ ＝ ２５． 方法二：由已知得ａ１ｑ６·ａ１ｑ１１ ＝ ａ２１ｑ１７ ＝ ５， ∴ ａ８ａ９ａ１０ａ１１ ＝ ａ１ｑ ７·ａ１ｑ８·ａ１ｑ９·ａ１ｑ１０ ＝ ａ４１·ｑ３４ ＝（ａ２１· ｑ１７）２ ＝ ２５． （２）１或６４　 ∵ ａ１ａ９ ＝ ａ３ａ７ ＝ ６４，∴ ａ３，ａ７ 是方程ｘ２ － ２０ｘ ＋ ６４ ＝ ０的两根． 解得ａ３ ＝ ４， ａ７{ ＝ １６或 ａ３ ＝ １６， ａ７ ＝ ４{ ． ①若ａ３ ＝ ４，ａ７ ＝ １６，则由ａ７ ＝ ａ３ｑ４得，ｑ４ ＝ ４， ∴ ａ１１ ＝ ａ７ｑ ４ ＝ １６ × ４ ＝ ６４． ②若ａ７ ＝ ４，ａ３ ＝ １６，则由ａ７ ＝ ａ３ｑ４得，ｑ４ ＝ １４ ， ∴ ａ１１ ＝ ａ７ｑ ４ ＝ ４ × １４ ＝ １．故ａ１１ ＝ ６４，或ａ１１ ＝ １． （３）５０　 由ａ１０ａ１１ ＋ ａ９ａ１２ ＝ ２ｅ５，可得ａ１０ａ１１ ＝ ｅ５ ． 令Ｓ ＝ ｌｎ ａ１ ＋ ｌｎ ａ２ ＋…＋ ｌｎ ａ２０，则２Ｓ ＝（ｌｎ ａ１ ＋ ｌｎ ａ２０）＋ （ｌｎ ａ２ ＋ ｌｎ ａ１９）＋…＋（ｌｎ ａ２０ ＋ ｌｎ ａ１）＝ ２０ｌｎ（ａ１ａ２０）＝ ２０ｌｎ（ａ１０ ａ１１）＝ ２０ｌｎ ｅ５ ＝ １００， 所以Ｓ ＝ ５０． 　 　 例３：Ａ　 ①｛ａｎａｎ ＋ １｝是首项为ａ１ａ２，公比为ｑ２的等比数列． ②当ｑ≠ － １时，｛ａｎ ＋ ａｎ ＋ １｝是等比数列，但当ｑ ＝ － １时， ｛ａｎ ＋ ａｎ ＋ １｝不是等比数列； ③当ｑ≠１时，｛ａｎ ＋ １ － ａｎ｝是等比数列，但当ｑ ＝ １时，｛ａｎ ＋ １ － ａｎ｝不是等比数列； ④根据性质３知｛ａ２ｎ｝是首项为ａ２１，公比为ｑ２的等比数列； ⑤根据性质３知１ａ{ }ｎ 是首项为１ａ１，公比为 １ ｑ的等比数列； ⑥仅当ｑ ＝ １且ａｎ≠ － ３时，｛ａｎ ＋ ３｝是常数列，是等比数 列，但当ｑ≠１或ｑ ＝ １， ａｎ{ ＝ － ３时，｛ａｎ ＋ ３｝不是等比数列． 对点训练３：Ｄ　 ∵ Ａｉ ＝ ａｉａｉ ＋ １，若｛Ａｎ｝为等比数列，则Ａｎ ＋ １Ａｎ ＝ ａｎ ＋ １ａｎ ＋ ２ ａｎａｎ ＋ １ ＝ ａｎ ＋ ２ ａｎ 为常数，即Ａ２Ａ１ ＝ ａ３ ａ１ ，Ａ３Ａ２ ＝ ａ４ ａ２ ，…， ∴ ａ１，ａ３，ａ５，…，ａ２ｎ － １，…和ａ２，ａ４，…，ａ２ｎ，…成等比数列，且 公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相 等，设为ｑ，则Ａｎ ＋ １Ａｎ ＝ ａｎ ＋ ２ ａｎ ＝ ｑ，从而｛Ａｎ｝为等比数列． 　 　 例４：Ａ　 依题意１３个音的频率成等比数列，记为｛ａｎ｝，                                                                       设 —１２６— 公比为ｑ，则ａ１３ ＝ ａ１ｑ１２， 且ａ１３ ＝ ２ａ１，所以ｑ ＝ ２ １ １２， 所以ｆ８ｆ２ ＝ ｑ ６ ＝（２ １１２）６ 槡＝ ２． 对点训练４：（１）Ｃ　 一年后的价格为：８ １００ × １ －( )１３ ＝ ５ ４００； 两年后的价格为：５ ４００ × １ －( )１３ ＝ ３ ６００； 三年后的价格为：３ ６００ × １ －( )１３ ＝ ２ ４００． （２）Ｃ　 由已知可得１３０ ×（１ ＋ １２％）ｎ － １≥２００， 即１． １２ｎ － １≥２００１３０， ∴ （ｎ －１）ｌｇ １．１２≥ｌｇ ２００１３０， ∴ ｎ －１≥ｌｇ ２ － ｌｇ １．３ｌｇ １．１２ ≈３．８． ∴ ｎ≥５．故选Ｃ． 例５：Ａ　 因为｛ａｎ｝为等比数列，所以ａ３ａ７ ＝ ａ４ａ６ ＝ ａ１ａ９ ． 所以（ａ１ａ９）２ ＝ ８１，即ａ１ａ９ ＝ ± ９． 因为在等比数列｛ａｎ｝中，奇数项（或偶数项）的符号相同， 所以ａ１，ａ９同号，所以ａ１ａ９ ＝ ９，答案为Ａ． 课堂检测·固双基 １． Ｄ　 由题意可得ｑ３ ＝ ａ５ａ２ ＝ １ ８ ， 故可得ｑ ＝ １２ ． 故选Ｄ． ２． Ｄ　 记｛ａｎ｝的首项为ａ１，公比为ｑ（ｑ≠０），则ａ２３ ＝ ａ２１ｑ４，ａ１ａ９ ＝ ａ２１ｑ ８，ａ２·ａ６ ＝ ａ２１ｑ６，当ｑ≠ ± １时，Ａ，Ｂ均不正确；ａ２４ ＝ ａ２１ｑ６， ａ２·ａ８ ＝ ａ２１ｑ８，当ｑ≠ ± １时，Ｃ不正确；ａ２６ ＝ ａ２１ｑ１０，ａ３·ａ９ ＝ ａ２１ｑ １０，故Ｄ正确． ３． Ｂ　 ∵ ａ２ａ１１ ＝ ａ４ａ９，∴ ａ４ａ９ ＝ ６， 又ａ４ ＋ ａ９ ＝ ５，且ａｎ ＜ ａｎ ＋ １，∴ ａ４ ＝ ２，ａ９ ＝ ３， 又ａ６ａ１１ ＝ ａ４ ａ９ ＝ ２３ ，故选Ｂ． ４． － ２　 设ａ{ }ｎ 的公比为ｑ（ｑ≠０），则ａ２ａ４ａ５ ＝ ａ３ａ６ ＝ ａ２ｑ·ａ５ｑ， 显然ａｎ≠０， 则ａ４ ＝ ｑ２，即ａ１ｑ３ ＝ ｑ２，则ａ１ｑ ＝ １，因为ａ９ａ１０ ＝ － ８，则ａ１ｑ８· ａ１ｑ ９ ＝ － ８， 则ｑ１５ ＝（ｑ５）３ ＝ － ８ ＝（－ ２）３，则ｑ３ ＝ － ２，则ａ７ ＝ ａ１ｑ·ｑ５ ＝ ｑ５ ＝ － ２． ５．方法一：设三个数依次为ａ，ａｑ，ａｑ２， 由题意得ａ·ａｑ·ａｑ ２ ＝ ２７， ａ２ ＋ ａ２ｑ２ ＋ ａ２ｑ４ ＝ ９１{ ， ∴ （ａｑ）３ ＝ ２７， ａ２（１ ＋ ｑ２ ＋ ｑ４）＝ ９１{ ，即ａｑ ＝ ３，ａ２（１ ＋ ｑ２ ＋ ｑ４）＝ ９１{ ， ∴ ｑ ２ １ ＋ ｑ２ ＋ ｑ４ ＝ ９９１， ∴ ９ｑ４ － ８２ｑ２ ＋ ９ ＝ ０，解得ｑ２ ＝ ９或ｑ２ ＝ １９ ， ∴ ｑ ＝ ± ３或ｑ ＝ ± １３ ， 若ｑ ＝ ３，则ａ ＝ １；若ｑ ＝ － ３，则ａ ＝ － １； 若ｑ ＝ １３ ，则ａ ＝ ９；若ｑ ＝ － １ ３ ，则ａ ＝ － ９． 故这三个数为：１，３，９或－ １，３，－ ９或９，３，１或－ ９，３，－ １． 方法二：设这三个数分别为ａｑ ，ａ，ａｑ． 由题意，得 ａ ｑ·ａ·ａｑ ＝２７， ａ２ ｑ２ ＋ ａ２ ＋ ａ２ｑ２ ＝９１{ ， ∴ ａ ＝３， ａ (２ １ｑ２ ＋１ ＋ ｑ )２ ＝９１{ ， ∴ ９ｑ４ － ８２ｑ２ ＋ ９ ＝ ０， 即得ｑ２ ＝ １９或ｑ ２ ＝ ９． ∴ ｑ ＝ ± ３或ｑ ＝ ± １３ ， 故这三个数为：１，３，９或－ １，３，－ ９或９，３，１或－ ９，３，－ １． ４． ３． ２　 等比数列的前ｎ项和公式 第１课时　 等比数列的前ｎ项和公式 必备知识·探新知 　 　 知识点１：ｎａ１ 　 ａ１（１ － ｑ ｎ） １ － ｑ 　 ａ１ － ａｎｑ １ － ｑ 练一练： 　 　 Ｂ　 由题意知Ｓｎ ＝ ａ１ １ － ｑ( ) ｎ １ － ｑ ＝ １ － ２ｎ １ － ２ ＝ ３１，得ｎ ＝ ５， 故选Ｂ． 知识点２：ａ１１ － ｑ 　 　 练一练： 　 　 － ３ 　 ∵点（ｎ，Ｓｎ）在函数ｙ ＝ ３ｘ ＋ １ ＋ ｍ的图象上，∴ Ｓｎ ＝ ３ｎ ＋ １ ＋ ｍ ＝ ３ × ３ｎ ＋ ｍ．又Ｓｎ ＝ － Ａｑｎ ＋ Ａ，比较可知ｍ ＝ － ３． 知识点３：Ｄ　 因为等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ 满足Ｓ５ ＝ １０，Ｓ１０ ＝ ４０， 所以Ｓ５，Ｓ１０ － Ｓ５，Ｓ１５ － Ｓ１０，Ｓ２０ － Ｓ１５依然成等比数列， 则Ｓ５ （Ｓ１５ － Ｓ１０） ＝ （Ｓ１０ － Ｓ５）２，即１０ （Ｓ１５ － ４０） ＝ （４０ － １０）２，解得Ｓ１５ ＝ １３０， 则Ｓ５（Ｓ２０ － Ｓ１５）＝（Ｓ１０ － Ｓ５）（Ｓ１５ － Ｓ１０），即１０（Ｓ２０ － １３０）＝ ３０ × ９０，解得Ｓ２０ ＝ ４００， 故选Ｄ． 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）显然ｑ≠１，∴由Ｓｎ ＝ ８ － １４ ｑ １ － ｑ ＝ ６３ ４ ，得ｑ ＝ １ ２ ． 　 　 又ａｎ ＝ ａ１ｑｎ － １，即８ × ( )１２ ｎ － １ ＝ １４ ，∴ ｎ ＝ ６． （２）方法一：由Ｓ６≠２Ｓ３知ｑ≠１． 由题意得 ａ１（１ － ｑ３） １ － ｑ ＝ ７ ２ ，① ａ１（１ － ｑ６） １ － ｑ ＝ ６３ ２ ，{ ② ② ÷①，得１ ＋ ｑ３ ＝ ９，∴ ｑ３ ＝ ８，即ｑ ＝ ２． 将ｑ ＝ ２代入①得ａ１ ＝ １２ ， ∴ ａｎ ＝ ａ１ｑ ｎ － １ ＝ １２ × ２ ｎ － １ ＝ ２ｎ － ２，Ｓｎ ＝ ａ１（１ － ｑ ｎ） １ － ｑ ＝ ２ｎ － １ － １２ ． 方法二：由Ｓ３ ＝ ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３，Ｓ６ ＝ Ｓ３ ＋ ａ４ ＋ ａ５ ＋ ａ６ ＝ Ｓ３                                                                      ＋ —１２７—