4.3.1 第1课时等比数列的概念(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

# # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # ４． ３　 等比数列 ４． ３． １　 等比数列的概念 第１课时　 等比数列的概念 !"#$%&'( 课程标准 １．借助教材实例理解等比数列、等比中项的概念． ２．借助教材掌握等比数列的通项公式． ３．会求等比数列的通项公式，并能利用等比数列的通项公式解决相关的问题． 学法解读 １．能够通过实际问题理解等比数列的定义，掌握等比中项的概念，熟练掌握等比数列的判定 方法．（数学抽象、逻辑推理） ２．掌握等比数列的通项公式及其应用，能用递推公式求通项公式．（逻辑推理、数学运算） )*+,%-.+ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　等比数列的定义 　 　 一般地，如果一个数列从第２项　 起，每一 项与它的前一项的比都等于同一个常数　 ，那 么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比 数列的公比　 ，公比通常用字母ｑ　 表示（显然 ｑ≠０）． 定义还可以叙述为：在数列｛ａｎ｝中，若ａｎ ＋１ａｎ ＝ ｑ（ｑ为常数且ｑ≠０），则｛ａｎ｝是等比数列． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 练一练：已知等差数列｛ａｎ｝的公差ｄ≠０，它 的第１、５、１７项顺次成等比数列，则这个等比数 列的公比是 （Ａ ） Ａ． ３ Ｂ． １２ Ｃ． ２ Ｄ． ４ 等比中项 　 　 如果在ａ与ｂ中间插入一个数Ｇ，使ａ，Ｇ，ｂ 成等比数列　 ，那么Ｇ叫做ａ与ｂ的等比中项． 由等比中项的定义可知：Ｇａ ＝ ｂ ＧＧ ２ ＝ ａｂ Ｇ ＝ 　 　 　 　 ． 反之，若Ｇ２ ＝ ａｂ（ａｂ≠０），则Ｇａ ＝ ｂ Ｇ，即ａ， Ｇ，ｂ　 成等比数列． 综上，ａ，Ｇ，ｂ成等比数列Ｇ２ ＝ ａｂ（ａｂ≠ ０）． 想一想：“ａ，Ｇ，ｂ成等比数列”与“Ｇ２ ＝ ａｂ” 等价吗？ 提示：“ａ，Ｇ，ｂ成等比数列”与“Ｇ２ ＝ ａｂ”是 不等价的．前者可以推出后者，但后者不能推出 前者．如Ｇ ＝ ａ ＝ ０，ｂ ＝ １，满足Ｇ２ ＝ ａｂ，而０，０，１ 不成等比数列．因此“ａ，Ｇ，ｂ成等比数列”是“Ｇ２ ＝ ａｂ”的充分不必要条件． 练一练：在等比数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ １４，ｑ ＝ ２， 则ａ２与ａ４的等比中项是 （Ｄ ） Ａ． － １ Ｂ． １ Ｃ． ２ Ｄ．                                ± １ ! # ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 等比数列的通项公式 　 　 设等比数列｛ａｎ｝的首项为ａ１，公比为ｑ，则 这个等比数列的通项公式是ａｎ ＝ ａ１ｑｎ －１　 （ａ１，ｑ ≠０）． 想一想：关于等比数列通项公式的推导，除 了教材方法外还有哪些方法？ 提示：方法一（迭代法）　 根据等比数列的 定义，得ａｎ ＝ ａｎ －１ ｑ ＝ （ａｎ －２ ｑ）ｑ ＝ ａｎ －２ ｑ２ ＝ （ａｎ －３ｑ）ｑ２ ＝ ａｎ －３ ｑ３ ＝…＝ ａ２ｑｎ －２ ＝（ａ１ｑ）ｑｎ －２ ＝ ａ１ｑ ｎ －１（ｎ≥２）；当ｎ ＝ １时，上面等式也成立．故 当ｎ∈Ｎ时，ａｎ ＝ ａ１ｑｎ －１ ． 方法二（累乘法）　 根据等比数列的定义， 得ａ２ａ１ ＝ ｑ， ａ３ ａ２ ＝ ｑ，ａ４ａ３ ＝ ｑ，…， ａｎ ａｎ －１ ＝ ｑ，以上各式两 边分别相乘，得ａｎａ１ ＝ ｑ ｎ －１，即ａｎ ＝ ａ１ｑｎ －１（ｎ≥２）； 当ｎ ＝ １时，上面等式也成立．故当ｎ∈Ｎ时，ａｎ ＝ ａ１ｑ ｎ －１ ． 　 　 练一练：已知｛ａｎ｝是首项为２，公比为３的 等比数列，则这个数列的通项公式为 （　 ） Ａ． ａｎ ＝ ２·３ｎ ＋１ Ｂ． ａｎ ＝ ３·２ｎ ＋１ Ｃ． ａｎ ＝ ２·３ｎ －１ Ｄ． ａｎ ＝ ３·２ｎ                     －１ /012%345 题型探究 题型一 等比数列的概念 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．判断下列数列是否是等比数列，如果是， 写出它的公比． （１）１，１３， １ ６， １ ９， １ １２，…； （２）１０，１０，１０，１０，１０，…； （３）２３， ２( )３ ２ ，２( )３ ３ ，２( )３ ４ ，…； （４）１，０，１，０，１，０，…； （５）１，－ ４，１６，－ ６４，２５６，…． 　 　 ［尝试作答            ］ 　 　 ［规律方法］　 如果一个数列｛ａｎ｝的各项符 合关系式ａｎ ＋１ａｎ ＝ ｑ（非零常数）或 ａｎ ａｎ －１ ＝ ｑ（ｎ≥ ２），即该数列是等比数列．反之，该数列不是等 比数列． 对点训练? 定义函数ｆ（ｘ）＝［ｘ］，其 中［ｘ］表示不超过ｘ的最大整数，比如［π］＝ ３． 根据以上定义，当ｘ ＝槡３ ＋ １时，数列ｘ － ｆ（ｘ）， ｆ（ｘ），ｘ （Ｄ ） Ａ．是等差数列，也是等比数列 Ｂ．是等差数列，不是等比数列 Ｃ．是等比数列，不是等差数列 Ｄ．不是等差数列，也不是等比数列 题型二 等比数列的通项公式 ２．在等比数列｛ａｎ｝中，公比为ｑ． （１）若ａ１ ＝ １，ａ４ ＝ ８，求ａｎ； （２）若ａｎ ＝ ６２５，ｎ ＝ ４，ｑ ＝ ５，求ａ１； （３）若ａ２ ＋ ａ５ ＝ １８，ａ３ ＋ ａ６ ＝ ９，ａｎ ＝ １，求ｎ． 　 　 ［尝试作答                                                     ］ !#$ # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 　 　 ［规律方法］　 等比数列通项公式的求法 （１）根据已知条件，建立关于ａ１，ｑ的方程 组，求出ａ１，ｑ后再求ａｎ，这是常规方法． （２）充分利用各项之间的关系，直接求出ｑ 后，再求ａ１，最后求ａｎ，这种方法带有一定的技 巧性，能简化运算． 对点训练? （１）（２０２４·江苏省盐城 中学高三阶段检测）等比数列｛ａｎ｝的公比为２， 则２ａ１ ＋ ａ２２ａ３ ＋ ａ４的值为 （Ｃ ） Ａ． １ Ｂ． １２ Ｃ． １４ Ｄ． １ ８ （２）已知等比数列｛ａｎ｝，若ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＝ ７， ａ１ａ２ａ３ ＝ ８，求ａｎ． 题型三 等比中项的应用 ３．（１）若三个实数ａ，ｂ，ｃ成等比数列，其中 ａ ＝ ３ －槡５，ｃ ＝ ３ ＋槡５，则ｂ ＝ （Ｃ ） Ａ． ２ Ｂ． － ２ Ｃ． ± ２ Ｄ． ４ （２）设等差数列｛ａｎ｝的公差ｄ不为０，ａ１ ＝ ９ｄ，若ａｋ是ａ１与ａ２ｋ的等比中项，则ｋ等于 （Ｂ ） Ａ． ２ Ｂ． ４ Ｃ． ６ Ｄ． ８ 　 　 ［规律方法］　 （１）当ａ，ｂ同号时，ａ，ｂ的等 比中项有两个；当ａ，ｂ异号时，ａ，ｂ没有等比 中项． （２）在一个等比数列中，从第２项起（有穷数 列末项除外），每一项都是它的前一项与后一项 的等比中项． 对点训练? （１）已知数列｛ａｎ｝中ａｎ ＝ ２ｎ，则ａ２和ａ４的等比中项为± ８　 ． （２）已知ａ是１，２的等差中项，ｂ是－ １， － １６的等比中项，则ａｂ ＝ （Ｃ ） Ａ． ６ Ｂ． － ６ Ｃ． ± ６ Ｄ． ± １２ 题型四 等比数列的判定与证明 ４．已知数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＝ １，ａｎ ＋１ ＝ ２ａｎ ＋ １， ｂｎ ＝ ａｎ ＋ １（ｎ∈Ｎ）． （１）求证：｛ｂｎ｝是等比数列； （２）求｛ａｎ｝的通项公式． 　 　 ［尝试作答         ］ 　 　 ［规律方法］　 判定数列是等比数列的常用 方法 （１）定义法：ａｎ ＋１ａｎ ＝ ｑ（常数）或 ａｎ ａｎ －１ ＝ ｑ（常 数）（ｎ≥２）｛ａｎ｝为等比数列． （２）等比中项法：ａ２ｎ ＋１ ＝ ａｎ·ａｎ ＋２（ａｎ≠０，ｎ∈ Ｎ）｛ａｎ｝为等比数列． （３）通项法：ａｎ ＝ ａ１ｑｎ －１（其中ａ１，ｑ为非零 常数，ｎ∈Ｎ）｛ａｎ｝为等比数列． 对点训练? 已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和 为Ｓｎ，Ｓｎ ＝ １３（ａｎ － １）（ｎ∈Ｎ ）． （１）求ａ１，ａ２； （２）求证：数列｛ａｎ｝是等比数列                                                                        ． ! % ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 易错警示 　 　 忽视等比中项的符号致错 ５．等比数列｛ａｎ｝的前三项的和为１６８，ａ２ － ａ５ ＝ ４２，求ａ５，ａ７的等比中项． ［错解］　 设该等比数列的公比为ｑ，首项 为ａ１， ∵ ａ２ － ａ５ ＝ ４２，∴ ｑ≠１，由已知，得 ａ１ ＋ ａ１ｑ ＋ ａ１ｑ ２ ＝ １６８， ａ１ｑ － ａ１ｑ ４ ＝ ４２{ ， ∴ ａ１（１ ＋ ｑ ＋ ｑ２）＝ １６８，　 ① ａ１ｑ（１ － ｑ３）＝ ４２，　{ ② ∵ １ － ｑ３ ＝（１ － ｑ）（１ ＋ ｑ ＋ ｑ２），∴由②除以 ①，得ｑ（１ － ｑ）＝ １４ ． ∴ ｑ ＝ １２， ∴ ａ１ ＝ ４２ １ ２ － １( )２ ４ ＝ ９６． ∴ ａ６ ＝ ａ１ｑ ５ ＝ ９６ × １( )２ ５ ＝ ３． ∵ ａ５，ａ７ 的等比中项为ａ６，∴ ａ５，ａ７ 的等比 中项为３． ［误区警示］　 错误的原因在于认为ａ５，ａ７ 的等比中项是ａ６，忽略了同号两数的等比中项 有两个且互为相反数． 　 　 ［正解                                         ］ 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．等比数列ｘ，３ｘ ＋ ３，６ｘ ＋ ６，…的第４项等于 （Ａ ） Ａ． － ２４ Ｂ． ０ Ｃ． １２ Ｄ． ２４ ２．在等比数列｛ａｎ｝中，ａ２ ＝ １，ａ５ ＝ １２７，则ａ１ａ４ ＝ （Ｄ ） Ａ． － ３ Ｂ． ３ Ｃ． － １３ Ｄ． １ ３ ３．已知ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ，如果－ １，ａ，ｂ，ｃ，－ ９成等比 数列，那么 （Ｂ ） Ａ． ｂ ＝ ３，ａｃ ＝ ９ Ｂ． ｂ ＝ － ３，ａｃ ＝ ９ Ｃ． ｂ ＝ ３，ａｃ ＝ － ９ Ｄ． ｂ ＝ － ３，ａｃ ＝ － ９ ４．等比数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ ９８，ａｎ ＝ １ ３，公比ｑ ＝ ２ ３， 则ｎ ＝ ４　 　 　 ． ５．数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＝ － １，且ａｎ ＝ ３ａｎ －１ － ２ｎ ＋ ３ （ｎ∈Ｎ，且ｎ≥２）． （１）求ａ２，ａ３，并证明数列｛ａｎ － ｎ｝是等比 数列； （２）求数列｛ａｎ｝的通项公式． 请同学们认真完成练案［７                                  ］ !#& ４． ３　 等比数列 ４． ３． １　 等比数列的概念 第１课时　 等比数列的概念 必备知识·探新知 　 　 知识点１：第２项　 同一个常数　 公比　 ｑ 练一练： 　 　 Ａ　 数列｛ａｎ｝是公差为ｄ≠０的等差数列， 则ａｎ ＝ ａ１ ＋ ｎ( )－ １ ｄ， 则ａ５ ＝ ａ１ ＋ ４ｄ，ａ１７ ＝ ａ１ ＋ １６ｄ， 第１、５、１７项顺次成等比数列， 则ａ１ ＋ ４( )ｄ ２ ＝ ａ１ ａ１ ＋ １６( )ｄ ，解得ａ１ ＝ ２ｄ， 则这个等比数列的公比ｑ ＝ ａ５ａ１ ＝ ａ１ ＋ ４ｄ ａ１ ＝ ３ａ１ ａ１ ＝ ３， 故选Ａ． 知识点２：等比数列　 ±槡ａｂ　 ａ，Ｇ，ｂ 　 　 练一练： 　 　 Ｄ　 因为ａ２ａ４ ＝ ａ１( )ｑ ａ１ｑ( )３ ＝ １２ × ２ ＝ １， 所以ａ２与ａ４的等比中项是± １， 故选Ｄ． 知识点３：ａ１ｑｎ － １ 　 　 练一练： 　 　 Ｃ　 由已知可得ａ１ ＝ ２，公比ｑ ＝ ３，则数列｛ａｎ｝的通项公式 为ａｎ ＝ ａ１·ｑｎ － １ ＝ ２·３ｎ － １ ． 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）不是等比数列． （２）是等比数列，公比为１． （３）是等比数列，公比为２３ ． （４）不是等比数列． （５）是等比数列，公比为－ ４． 对点训练１：Ｄ　 因为［槡３ ＋ １］＝ ２， 所以ｘ － ｆ（ｘ） 槡＝ ３ － １，即三个数为槡３ － １，２，槡３ ＋ １． 而槡 槡 槡３ ＋１ ＋ ３ －１ ＝２ ３≠４，（槡３ ＋１）（槡３ －１）＝２≠４，所以数列 ｘ － ｆ（ｘ），ｆ（ｘ），ｘ不是等差数列，也不是等比数列． 　 　 例２：（１）因为ａ４ ＝ ａ１ｑ３， 所以８ ＝ ｑ３，所以ｑ ＝２， 所以ａｎ ＝ ａ１ｑｎ －１ ＝２ｎ －１ ． （２）ａ１ ＝ ａｎｑｎ －１ ＝ ６２５ ５４ －１ ＝５，故ａ１ ＝５． （３）因为ａ２ ＋ ａ５ ＝ ａ１ｑ ＋ ａ１ｑ ４ ＝１８，① ａ３ ＋ ａ６ ＝ ａ１ｑ ２ ＋ ａ１ｑ ５ ＝９，{ ② 由② ÷①，得ｑ ＝ １２ ，从而ａ１ ＝３２． 又ａｎ ＝１， 所以３２ × ( )１２ ｎ －１ ＝１， 即２６ － ｎ ＝２０，故ｎ ＝６． 对点训练２：（１）Ｃ　 ２ａ１ ＋ａ２２ａ３ ＋ａ４ ＝ ２ａ１ ＋ａ１ｑ ２ａ１ｑ ２ ＋ａ１ｑ ３ ＝ ａ１（２ ＋ｑ） ａ１ｑ ２（２ ＋ｑ）＝ １ ｑ２ ＝ １４ ． （２）方法一：由等比数列的定义知ａ２ ＝ ａ１ｑ，ａ３ ＝ ａ１ｑ２，代入 已知得， ａ１ ＋ ａ１ｑ ＋ ａ１ｑ ２ ＝ ７ ａ１·ａ１ｑ·ａ１ｑ２{ ＝ ８， 即ａ１（１ ＋ ｑ ＋ ｑ ２）＝ ７ ａ３１ｑ ３{ ＝ ８ ，∴ ａ１（１ ＋ ｑ ＋ ｑ ２）＝ ７① ａ１ｑ ＝ ２{ ② ． 由②得ａ１ ＝ ２ｑ ，代入①得２ｑ ２ － ５ｑ ＋ ２ ＝ ０， ∴ ｑ ＝ ２，或ｑ ＝ １２ ．当ｑ ＝ ２时，ａ１ ＝ １，ａｎ ＝ ２ ｎ － １；当ｑ ＝ １２时， ａ１ ＝ ４，ａｎ ＝ ２３ － ｎ ． 方法二：∵ ａ１ａ３ ＝ ａ２２，∴ ａ１ａ２ａ３ ＝ ａ３２ ＝ ８，∴ ａ２ ＝ ２． 从而ａ１ ＋ ａ３ ＝ ５ ａ１ａ３{ ＝ ４ ，解之得ａ１ ＝ １，ａ３ ＝ ４，或ａ１ ＝ ４，ａ３ ＝ １，当 ａ１ ＝ １时，ｑ ＝ ２；当ａ１ ＝ ４时，ｑ ＝ １２ ．故ａｎ ＝ ２ ｎ － １，或ａｎ ＝ ２３ － ｎ ． 　 　 例３：（１）Ｃ　 三个实数ａ，ｂ，ｃ成等比数列，则ｂ２ ＝ ａｃ ＝ （ 槡３ － ５）（ 槡３ ＋ ５）＝ ９ － ５ ＝ ４，则ｂ ＝ ± ２． （２）Ｂ　 因为ａｎ ＝（ｎ ＋ ８）ｄ，又因为ａ２ｋ ＝ ａ１·ａ２ｋ， 所以［（ｋ ＋ ８）ｄ］２ ＝ ９ｄ·（２ｋ ＋ ８）ｄ， 解得ｋ ＝ － ２（舍去）或ｋ ＝ ４． 对点训练３：（１）± ８　 ∵ ａｎ ＝ ２ｎ， ∴ ａ２ ＝ ２ ２ ＝ ４，ａ４ ＝ ２４ ＝ １６， 设ａ２和ａ４的等比中项为ａ， 则ａ２ ＝ ４ × １６ ＝ ６４， 解得ａ ＝ ± ８． （２）Ｃ　 依题意知２ａ ＝ １ ＋ ２，ｂ２ ＝（－ １）×（－ １６），解得ａ ＝ ３ ２ ，ｂ ＝ ± ４，∴ ａｂ ＝ ± ６． 　 　 例４：（１）证明：∵ ａｎ ＋１ ＝２ａｎ ＋１，∴ ａｎ ＋１ ＋１ ＝ ２（ａｎ ＋１），即ｂｎ ＋１ ＝２ｂｎ， ∵ ｂ１ ＝ ａ１ ＋１ ＝２≠０． ∴ ｂｎ≠０，∴ ｂｎ ＋１ｂｎ ＝２，∴｛ｂｎ｝是等比数列． （２）由（１）知｛ｂｎ｝是首项ｂ１ ＝ ２，公比为２的等比数列， ∴ ｂｎ ＝ ２ × ２ ｎ － １ ＝ ２ｎ，即ａｎ ＋ １ ＝ ２ｎ，∴ ａｎ ＝ ２ｎ － １． 对点训练４：（１）由Ｓ１ ＝ １３ （ａ１ － １）， 得ａ１ ＝ １３ （ａ１ － １）， 所以ａ１ ＝ － １２ ， 又Ｓ２ ＝ １３ （ａ２ － １）， 即ａ１ ＋ ａ２ ＝ １３ （ａ２ － １），得ａ２ ＝ １ ４ ． （２）当ｎ≥２时，ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １ ＝ １３ （ａｎ － １）－ １ ３ （ａｎ － １ － １）， 得ａｎａｎ － １ ＝ － １ ２ ，又ａ１ ＝ － １ ２ ， 所以｛ａｎ｝是首项为－ １２ ，公比为－ １ ２的等比数列． 　 　 例５：设该等比数列的公比为ｑ，首项为ａ１， ∵ ａ２ － ａ５ ＝ ４２，∴ ｑ≠１， 由已知，得ａ１ ＋ ａ１ｑ ＋ ａ１ｑ ２ ＝ １６８， ａ１ｑ － ａ１ｑ ４ ＝ ４２{ ， ， ∴ ａ１（１ ＋ ｑ ＋ ｑ２）＝ １６８，　 ① ａ１ｑ（１ － ｑ３）＝ ４２，　{ ② ∵ １ －ｑ３ ＝（１ －ｑ）（１ ＋ｑ ＋ｑ２），∴由② ① 得ｑ（１ －ｑ）＝ １４                                                                       ， —１２５— ∴ ｑ ＝ １２ ，∴ ａ１ ＝ ４２ １ ２ － ( )１２ ４ ＝ ９６． 令Ｇ是ａ５，ａ７的等比中项，则应有Ｇ２ ＝ ａ５ａ７ ＝ ａ１ｑ４·ａ１ｑ６ ＝ ａ２１ｑ １０ ＝ ９６２ × ( )１２ １０ ＝ ９， ∴ ａ５，ａ７的等比中项是± ３． 课堂检测·固双基 １． Ａ　 由ｘ，３ｘ ＋ ３，６ｘ ＋ ６成等比数列得， （３ｘ ＋ ３）２ ＝ ｘ（６ｘ ＋ ６）， 解得ｘ１ ＝ － ３或ｘ２ ＝ － １（不合题意，舍去）， 第２项为－ ６， 第３项为－ １２，公比为－ １２－ ６ ＝ ２， 故数列的第４项为－ ２４． ２． Ｄ　 由ａ５ａ２ ＝ ｑ ３ ＝ １２７，得ｑ ＝ １ ３ ，故ａ１ａ４ ＝ ａ２ ｑ· ａ５ ｑ ＝ １ ３ ． ３． Ｂ　 由等比数列的性质可得， ｂ２ ＝（－ １）×（－ ９）＝ ａｃ，∴ ｂ２ ＝ ａｃ ＝ ９， 又ｂ与首项－ １同号， ∴ ｂ ＝ － ３． ４． ４　 由ａｎ ＝ａ１ｑｎ －１，得１３ ＝ ９ ８ × ( )２３ ｎ －１ ，即( )２３ ｎ －１ ＝ ８２７，故ｎ ＝４． ５．（１）∵ ａ１ ＝ － １，ａｎ ＝ ３ａｎ － １ － ２ｎ ＋ ３， ∴ ａ２ ＝ ３ａ１ － ２ × ２ ＋ ３ ＝ － ４，∴ ａ３ ＝ ３ａ２ － ２ × ３ ＋ ３ ＝ － １５． ａｎ ＋１ －（ｎ ＋１） ａｎ －ｎ ＝ ３ａｎ －２（ｎ ＋１）＋３ －（ｎ ＋１） ａｎ －ｎ ＝ ３ａｎ － ３ｎ ａｎ － ｎ ＝ ３（ｎ ＝ １，２，３，…）． 又ａ１ － １ ＝ － ２，∴ ｛ａｎ － ｎ｝是以－ ２为首项，以３为公比的等 比数列． （２）由（１）知ａｎ － ｎ ＝ － ２·３ｎ － １，故ａｎ ＝ ｎ － ２·３ｎ － １ ． 第２课时　 等比数列的性质及应用 必备知识·探新知 　 　 知识点１：ａ１ｑｎ － １ 　 ａ１ｑ·ｑ ｎ 练一练： 　 　 ３ ２ｎ － １ 　 设ａｎ ＝ ａ·ｂｎ（ａｂ≠０），则ａ２ ＝ ａｂ２ ＝ ３２ ，ａ５ ＝ ａｂ ５ ＝ ３ １６，解得ａ ＝ ６，ｂ ＝ １ ２ ，∴ ａｎ ＝ ６ × ( )１２ ｎ ＝ ３ ２ｎ － １ ． 知识点２：（１） ａ１ ＜ ０， ０ ＜ ｑ{ ＜ １　 （２） ａ１ ＜ ０，ｑ{ ＞ １ 　 （３）常数列　 　 　 知识点３：１．（１）ｑｎ － ｍ 　 （２）ａｐ·ａｑ 　 ａ２ｐ ２． ａｎ － １ 　 ａｎ － ｋ ＋ １ ３．（１）①ｑ　 ② ｜ ｑ ｜ 　 （２）ｑ１·ｑ２ 　 　 练一练： 　 　 Ｂ　 由等比数列的性质若ｍ ＋ ｎ ＝ ｐ ＋ ｑ，则ａｍａｎ ＝ ａｐａｑ， 可得ａ２ａ６ ＝ ａ３ａ５ ＝ １６，代入计算得ａ６ ＝ ８． 故选Ｂ． 关键能力·攻重难 　 　 例１：Ａ　 由８ａ２ － ａ５ ＝ ０，可知ａ５ａ２ ＝ ｑ ３ ＝ ８， 解得ｑ ＝ ２． 又ａ１ ＞ ０，所以数列｛ａｎ｝为递增数列． 对点训练１：Ｄ　 如等比数列｛（－ １）ｎ｝的公比为－ １，为摆动 数列，不具有单调性；等比数列( )１２{ } ｎ 的公比为１２ ，是递减数 列；等比数列－ ( )１２{ } ｎ 的公比为１２ ，是递增数列． 　 　 例２：（１）在等比数列｛ａｎ｝中，∵ ａ２ａ４ ＝ １２ ， ∴ ａ２３ ＝ ａ１ａ５ ＝ ａ２ａ４ ＝ １ ２ ， ∴ ａ１ａ ２ ３ａ５ ＝ １ ４ ． （２）由等比中项的性质，得ａ２６ ＋ ２ａ６ａ８ ＋ ａ２８ ＝ ４９， 即（ａ６ ＋ ａ８）２ ＝ ４９， ∵ ａｎ ＞ ０，∴ ａ６ ＋ ａ８ ＝ ７． （３）由等比数列的性质知ａ５ａ６ ＝ ａ１ａ１０ ＝ ａ２ａ９ ＝ ａ３ａ８ ＝ ａ４ａ７ ＝ ９， ∴ ｌｏｇ３ａ１ ＋ ｌｏｇ３ａ２ ＋…＋ ｌｏｇ３ａ１０ ＝ ｌｏｇ３（ａ１ａ２…ａ１０） ＝ ｌｏｇ３［（ａ１ａ１０）（ａ２ａ９）（ａ３ａ８）（ａ４ａ７）（ａ５ａ６）］ ＝ ｌｏｇ３９ ５ ＝ １０． 对点训练２：（１）２５　 方法一：∵ ａ７ａ１２ ＝ ａ８ａ１１ ＝ ａ９ａ１０ ＝ ５， ∴ ａ８ａ９ａ１０ａ１１ ＝ ５ ２ ＝ ２５． 方法二：由已知得ａ１ｑ６·ａ１ｑ１１ ＝ ａ２１ｑ１７ ＝ ５， ∴ ａ８ａ９ａ１０ａ１１ ＝ ａ１ｑ ７·ａ１ｑ８·ａ１ｑ９·ａ１ｑ１０ ＝ ａ４１·ｑ３４ ＝（ａ２１· ｑ１７）２ ＝ ２５． （２）１或６４　 ∵ ａ１ａ９ ＝ ａ３ａ７ ＝ ６４，∴ ａ３，ａ７ 是方程ｘ２ － ２０ｘ ＋ ６４ ＝ ０的两根． 解得ａ３ ＝ ４， ａ７{ ＝ １６或 ａ３ ＝ １６， ａ７ ＝ ４{ ． ①若ａ３ ＝ ４，ａ７ ＝ １６，则由ａ７ ＝ ａ３ｑ４得，ｑ４ ＝ ４， ∴ ａ１１ ＝ ａ７ｑ ４ ＝ １６ × ４ ＝ ６４． ②若ａ７ ＝ ４，ａ３ ＝ １６，则由ａ７ ＝ ａ３ｑ４得，ｑ４ ＝ １４ ， ∴ ａ１１ ＝ ａ７ｑ ４ ＝ ４ × １４ ＝ １．故ａ１１ ＝ ６４，或ａ１１ ＝ １． （３）５０　 由ａ１０ａ１１ ＋ ａ９ａ１２ ＝ ２ｅ５，可得ａ１０ａ１１ ＝ ｅ５ ． 令Ｓ ＝ ｌｎ ａ１ ＋ ｌｎ ａ２ ＋…＋ ｌｎ ａ２０，则２Ｓ ＝（ｌｎ ａ１ ＋ ｌｎ ａ２０）＋ （ｌｎ ａ２ ＋ ｌｎ ａ１９）＋…＋（ｌｎ ａ２０ ＋ ｌｎ ａ１）＝ ２０ｌｎ（ａ１ａ２０）＝ ２０ｌｎ（ａ１０ ａ１１）＝ ２０ｌｎ ｅ５ ＝ １００， 所以Ｓ ＝ ５０． 　 　 例３：Ａ　 ①｛ａｎａｎ ＋ １｝是首项为ａ１ａ２，公比为ｑ２的等比数列． ②当ｑ≠ － １时，｛ａｎ ＋ ａｎ ＋ １｝是等比数列，但当ｑ ＝ － １时， ｛ａｎ ＋ ａｎ ＋ １｝不是等比数列； ③当ｑ≠１时，｛ａｎ ＋ １ － ａｎ｝是等比数列，但当ｑ ＝ １时，｛ａｎ ＋ １ － ａｎ｝不是等比数列； ④根据性质３知｛ａ２ｎ｝是首项为ａ２１，公比为ｑ２的等比数列； ⑤根据性质３知１ａ{ }ｎ 是首项为１ａ１，公比为 １ ｑ的等比数列； ⑥仅当ｑ ＝ １且ａｎ≠ － ３时，｛ａｎ ＋ ３｝是常数列，是等比数 列，但当ｑ≠１或ｑ ＝ １， ａｎ{ ＝ － ３时，｛ａｎ ＋ ３｝不是等比数列． 对点训练３：Ｄ　 ∵ Ａｉ ＝ ａｉａｉ ＋ １，若｛Ａｎ｝为等比数列，则Ａｎ ＋ １Ａｎ ＝ ａｎ ＋ １ａｎ ＋ ２ ａｎａｎ ＋ １ ＝ ａｎ ＋ ２ ａｎ 为常数，即Ａ２Ａ１ ＝ ａ３ ａ１ ，Ａ３Ａ２ ＝ ａ４ ａ２ ，…， ∴ ａ１，ａ３，ａ５，…，ａ２ｎ － １，…和ａ２，ａ４，…，ａ２ｎ，…成等比数列，且 公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相 等，设为ｑ，则Ａｎ ＋ １Ａｎ ＝ ａｎ ＋ ２ ａｎ ＝ ｑ，从而｛Ａｎ｝为等比数列． 　 　 例４：Ａ　 依题意１３个音的频率成等比数列，记为｛ａｎ｝，                                                                       设 —１２６—