4.2.2 第2课时等差数列前n项和习题课(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

# # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 6789%:;< １．等差数列｛ａｎ｝中，Ｓ１０ ＝ ４Ｓ５，则ａ１ｄ ＝ （Ａ ） Ａ． １２ 　 　 　 Ｂ． ２　 　 　 Ｃ． １ ４ 　 　 　 Ｄ． ４ ２．已知｛ａｎ｝为等差数列，其前ｎ项和为Ｓｎ，若 ａ３ ＝ ６，Ｓ３ ＝ １２，则公差ｄ等于 （Ｃ ） Ａ． １ Ｂ． ５３ Ｃ． ２ Ｄ． ３ ３．设等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，若Ｓｍ －１ ＝ － ２，Ｓｍ ＝ ０，Ｓｍ ＋１ ＝ ３，则ｍ ＝ （Ｃ ） Ａ． ３ Ｂ． ４ Ｃ． ５ Ｄ． ６ ４．（２０２４·新课标Ⅱ卷）记Ｓｎ 为等差数列｛ａｎ｝ 的前ｎ项和，若ａ３ ＋ ａ４ ＝ ７，３ａ２ ＋ ａ５ ＝ ５，则Ｓ１０ ＝ 　 　 　 　 ． ５．已知等差数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ １，ａ３ ＝ － ３． （１）求数列｛ａｎ｝的通项公式； （２）若数列｛ａｎ｝的前ｋ项和Ｓｋ ＝ － ３５，求ｋ 的值． 请同学们认真完成练案［５                         ］ 第２课时　 等差数列前ｎ项和习题课 !"#$%&'( 课程标准 １．会利用数列的前ｎ项和Ｓｎ求数列的通项公式ａｎ． ２．会使用裂项法求数列的前ｎ项和． 学法解读 １．构造等差数列求和模型，解决实际问题．（数学建模、数学运算） ２．能够利用等差数列前ｎ项和的函数性质求其前ｎ项和的最值．（数学抽象、逻辑推理、数学 运算） ３．理解并应用等差数列前ｎ项和的性质．（逻辑推理、数学运算） )*+,%-.+ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　由Ｓｎ求ａｎ及裂项法求Ｓｎ 　 　 １．已知数列的前ｎ项和Ｓｎ，若ａ１ 适合ａｎ， 则通项公式ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ －１　 ，若ａ１不适合ａｎ，则 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． ２．形如　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 （ｂｎ － ａｎ ＝ ｄ，ｄ为常数）的数列适合用裂项求和，其裂项形 式为１ａｎｂｎ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． 　 　 练一练：已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ ｎ２， 若ｐ ＋ ｑ ＝ ５ ｐ，ｑ∈Ｎ( ) ，则ａｐ ＋ ａｑ ＝ （Ｂ ） Ａ． ７ Ｂ． ８ Ｃ． ９ Ｄ．            １０ !") ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # /012%345 题型探究 题型一已知数列的前ｎ项和Ｓｎ求通项ａｎ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（１）数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ ｎ２ － １，则 ａ４ ＝ （Ａ ） Ａ． ７　 　 　 　 　Ｂ． ８　 　 　 　 　Ｃ． ９　 　 　 　 　Ｄ． １７ （２）数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ － ３２ ｎ ２ ＋ ｎ － １，求数列｛ａｎ｝的通项公式； （３）已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ满足ａ１ ＝ １２，ａｎ ＋ ２Ｓｎ·Ｓｎ －１ ＝ ０（ｎ≥２，ｎ∈Ｎ ），求数列 ｛ａｎ｝的通项公式． 　 　 ［尝试作答          ］ 　 　 ［规律方法］　 １．由Ｓｎ 求通项公式ａｎ 的 步骤 第一步：令ｎ ＝ １，则ａ１ ＝ Ｓ１，求得ａ１； 第二步：令ｎ≥２，则ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ －１； 第三步：验证ａ１与ａｎ的关系： （１）若ａ１适合ａｎ，则ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ －１ ． （２）若ａ１不适合ａｎ，则 ａｎ ＝ Ｓ１，ｎ ＝ １， Ｓｎ － Ｓｎ －１，ｎ≥２{ ． ２． Ｓｎ与ａｎ的关系式的应用 Ｓｎ “和”变“项” “项”变“和幑 幐帯帯帯帯” ａｎ （１）“和”变“项”． 首先根据题目条件，得到新式（与条件相邻）， 然后作差将“和”转化为“项”之间的关系，最后求 通项公式． （２）“项”变“和”． 首先将ａｎ转化为Ｓｎ － Ｓｎ －１，得到Ｓｎ与Ｓｎ －１ 的关系式，然后求Ｓｎ． 对点训练? 定义： ｎＰ１ ＋ Ｐ２ ＋…＋ Ｐｎ （ｎ∈Ｎ）为ｎ个正数Ｐ１，Ｐ２，…，Ｐｎ 的“均倒 数”．若数列｛ａｎ｝的前ｎ项的“均倒数”为 １ ２ｎ － １，则数列｛ａｎ｝的通项公式为 （Ｃ ） Ａ． ａｎ ＝ ２ｎ － １ Ｂ． ａｎ ＝ ４ｎ － １ Ｃ． ａｎ ＝ ４ｎ － ３ Ｄ． ａｎ ＝ ４ｎ － ５ 题型二 裂项求和 ２．在数列｛ａｎ｝中，ａｎ ＝ １ｎ ＋ １ ＋ ２ ｎ ＋ １ ＋…＋ ｎ ｎ ＋ １．又ｂｎ ＝ ２ ａｎａｎ ＋１ ，求数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和． ［分析］　 首先化简｛ａｎ｝的通项公式，求出 ｂｎ后再利用裂项相消法求出数列｛ｂｎ｝的前ｎ 项和． 　 　 ［尝试作答          ］ 　 　 ［规律方法］　 裂项相消求和 （１）适用数列：形如 １ａｎｂ{ }ｎ （ｂｎ － ａｎ ＝ ｄ，ｄ为 常数）的数列可以用裂项求和． （２）裂项形式：１ａｎｂｎ ＝ １ (ｄ １ ａｎ － １ｂ )ｎ                                                                    ． !"* # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # （３）规律发现：一是通项公式特征不明显的要 对通项公式变形，如分离常数、有理化等；二是裂项 后不是相邻项相消的，要写出前两组、后两组观察 消去项、保留项． （４）特殊裂项： ① １ ４ｎ２ － １ ＝ １（２ｎ － １）（２ｎ ＋ １）＝ １ (２ １ ２ｎ － １ － １２ｎ )＋ １ ． ② ｎ槡＋ １ －槡ｎ ｎ槡＋ １槡ｎ ＝ １ 槡ｎ － １ ｎ槡＋ １ ． ③ ｎ ＋ １ ｎ２（ｎ ＋ ２）２ ＝ １ [４ １ ｎ２ － １（ｎ ＋ ２） ]２ ． ④ （２ｎ） ２ （２ｎ － １）（２ｎ ＋ １） ＝ １ ＋ １ (２ １ ２ｎ － １ － １ ２ｎ )＋ １ ． 对点训练? 已知正项数列｛ａｎ｝满足 Ｓｎ ＝ ｎ ２ ＋ ２ｎ，若ｂｎ ＝ １ａｎａｎ ＋１，则数列｛ｂｎ｝的前ｎ 项的和为 （Ｃ ） Ａ． ｎ － １６ｎ ＋ ３ Ｂ． ２ｎ － ２ ６ｎ ＋ ３ Ｃ． ｎ６ｎ ＋ ９ Ｄ． ２ｎ ６ｎ ＋ ３ 题型三 求数列｛｜ ａｎ ｜｝的前ｎ项和 ３．已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ ３３ｎ － ｎ２ ． （１）求证：｛ａｎ｝是等差数列； （２）问｛ａｎ｝的前多少项和最大； （３）设ｂｎ ＝ ｜ ａｎ ｜，求数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和 Ｓ′ｎ ． 　 　 ［尝试作答         ］ 　 　 ［规律方法］　 等差数列的各项取绝对值后 组成数列｛｜ ａｎ ｜｝．若原等差数列｛ａｎ｝中既有正 项，也有负项，则｛｜ ａｎ ｜｝不再是等差数列，求和 关键是找到数列｛ａｎ｝的正负项分界点处的ｎ 值，再分段求和． 对点训练? 在等差数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ － ６０，ａ１７ ＝ － １２，求数列｛｜ ａｎ ｜｝的前ｎ项和． 题型四 应用问题 ４．用分期付款的方式购买一件家用电器， 价格为１ １５０元，购买当天先付１５０元，以后每 月这一天都交付５０元，并加付欠款的利息，月 利率为１％，若交付１５０元后的第一个月算分期 付款的第一个月，问分期付款的第十个月应交 付多少钱？全部货款付清后，买这件家电实际 花了多少钱？ 　 　 ［尝试作答           ］ 　 　 ［规律方法］　 一个实际问题可建立等差数 列的模型的必要条件是：是离散型的变量问题， 且变量的相邻两个值的差是一个常数                                                                        ． ! ! ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 对点训练?在我国古代，９ 是数字之极，代表尊贵之意，所以中 国古代皇家建筑中包含许多与９相 关的设计．例如，北京天坛圜丘的地 面由扇环形的石板铺成（如右图），最高一层的 中心是一块天心石，围绕它的第一圈有９块石 板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多９块，共 有９圈．请问： 　 　 （１）第９圈共有多少块石板？ （２）这９圈一共有多少块石板？ 易错警示 　 　 裂项求和要找准相加相消的规律 ５．求数列 １ｎ（ｎ ＋ ２{ }）的前ｎ项和． ［错解］　 ∵ １ｎ（ｎ ＋ ２）＝ １ (２ １ ｎ － １ ｎ )＋ ２ ， ∴数列 １ｎ（ｎ ＋ ２{ }）的前ｎ项和Ｓｎ ＝ １ (２ １ － １ ３ ＋ １ ２ － １ ４ ＋ １ ３ － １ ５ ＋…＋ １ ｎ － １ ｎ )＋ ２ ＝ １ (２ １ ＋ １ ２ ＋ １ ｎ － １ ｎ )＋ ２ ＝ ３ ４ ＋ １ ｎ（ｎ ＋ ２）． ［误区警示］　 错误的原因在于裂项相消 时，没有搞清剩余哪些项． 　 　 ［正解      ］ 　 　 ［点评］　 运用裂项相消法求和时，要弄清 消去的项是与它后面的哪一项相加消去的，找 出规律，然后确定首尾各剩余哪些项，切勿出现 添项或漏项、错项的错误                                           ． 6789%:;< １．数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ ｎ２ ＋ ｎ ＋ １，则ａ８ ＋ ａ９ ＋ ａ１０ ＋ ａ１１ ＋ ａ１２的值为 （Ａ ） Ａ． １００　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． ９９ Ｃ． １２０ Ｄ． １３０ ２．在小于１００的自然数中，所有被７除余２的数 之和为 （Ｂ ） Ａ． ７６５ Ｂ． ６６５ Ｃ． ７６３ Ｄ． ６６３ ３．等差数列｛ａｎ｝中，公差ｄ≠０，ａ１≠ｄ，若前２０ 项的和Ｓ２０ ＝ １０Ｍ，则Ｍ的值为 （Ｄ ） Ａ． ａ３ ＋ ａ５ Ｂ． ａ２ ＋ ２ａ１０ Ｃ． ａ２０ ＋ ｄ Ｄ． ａ１２ ＋ ａ９ ４．已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，Ｓｎ ＝ ｋｎ２ ＋ ｂｎ（ｋ≠０），ａｎ ＝ ３ｎ ＋ ２ｋ，则ｂ ＝ 　 　 　 　 ． ５．已知数列｛ｌｏｇ２（ａｎ － １）｝（ｎ∈Ｎ）为等差数 列，且ａ１ ＝ ３，ａ３ ＝ ９，求数列｛ａｎ｝的通项公式． 请同学们认真完成练案［６                          ］ !#" [-14d+(n-1)>0. 得14<n515. 即 第2课时 1-14d+ndc0. 等差数列前n项和习题课 又neN .故当n=14或n=15时,$.最大 必备知识·探新知 方法二:由S =S,可得a.=-14d. 知识点:1.S.-S.: [S.,n=1. 所以S. n(n )(-2) 1s.-s.n2. #)7() 由a>0知d<0.结合二次函数图象的对称性及a=N,可 得当n=14或a=15时,S.最大. 练一练: 方法三:由S=S知,a+a+a+a.+a+a+a= B 当n=1时,a-$-1-1; 0.即7a.=0,所以a.=0. 当 2时,a.=$.-$.=r-(n-1)=2-}l. 又a>0,所以d<0.故当n=14或n=15时,$.最大 a =1也满足a.=2n-1,故对任意的neN,a.=2n-1. 方法四:由S.=S..S.对应的二次函数图象的对称性及对 因此,.+a.=2(+q)-2=2x5-2=8 故选B. 关键能力·攻重难 例4:a.=S.=6. 例1:(1Aa-$ -$$=4-1-3}+1-7. n2时,a.=$.-$. =(n+3n+2)-[(n-1)+ 3(n-1)+2]=2n+2. .a.=6不满足上式. 当n2时,a.=S.-S.1 [6(n=1). a.三 12n+2(n2). --3n+,因为a--不适合a.--3n. 5 显然a-.=6-6=0,a-.=2la.不是等差数列 3 课堂检测·固双基 1.A 由等差数列的前n项和公式可知 S。=l0a+ 所以a.= 2 因为S。=4S, (3)因为a.+2s.·S..=0. 2 所以a.=-25..S.1. #化简得- 所以选A. 当n2,neN'时,a.=S.-S.. 所以S-$=-25$①. [a:+2d=6. 因为a.所以5.5.-20. 2.C 由题意得 过13×3x2d-12. ①式的两边同除以s.S得: 解得{=2. ld-2. 5.5. 3.C .=S-$=2,a=$-S=3.公差d=a- 所以数列[-]是首项为2,公差为2的等差数列, 2n' 1 .a.=-2+(m-1)·1=2,解得m=5 4. 95 因为数列a. 为等差数列,则由题意得 ra.+2d+a.+3d=7 [=-4 l-3 ,则S。=10+ 13(a d)+a44d-5.解得 因为a-不满足a.=- 10x9=10x(-4)+45x3=95. 2n(n-1) -1. 2 5.(1)设等差数列a.的公差为d. 通项公式为a.={ 1 则a.=a.+(n-1)d. 2n(n-1)=2 由于a.=1,a.=-3. 对点调练1:C 因为n 又a=a.+2d. a+a..+a.2n-1' 所以d=-2. 所以&..-2n-1. 因此a.=3-2n. n (2)由a.=3-2n,得s.-1t(3-2n).n=2n-^, 所以a.+a.+...+a.=(2n-1)n. 2 即a.+a+.+a.:=(2n-3)(n-1)(n=2). 所以8.-2k-k2=-35. 当n2时 即-2k-35=0. a.=(2n-1)n-(2n-3)(n-1)=4n-3 解得h=7或k=-5. 又因为a=1.满足上式. 又因为h=N*,所以h-7. 所以a.=4n-3. -123- 故选C. -[-3(n 20) n(n+1) s.= 例4:购买时付了150元,欠款1000元,每月付50元,分20 a..” i次付完,设每月付款的金额顺次组成数列a. ,则 a.=50+1000x0.01=60(元). 因此数列(b的前n项和为s.=8(1-)+ =50+(1000-50)0.01=(60-0.5)(元). =50+(1000-50t2)0.01=(60-0.5$2)(元). 8(-)+8()-8(11-)-8 依此类推,得a。=60-0.5x9=55.5(元). a.=60-0.5(n-1)(1<n 20). 对点训练2:C S.=+2n.当n=1时,a.=$=3 5.付款数la.组成等差数列,公差d=-0.5.全部货款付 当n>2时,a.=S.-S.,=(n+2n)-[(n-1)+2(n-1)] 清后的付款总数为 -2n+1.当n=1时,也满足, 2.数列la.的通项公式为a.=2n+1. 2))(). =(2a.+19d)x10+150 =(2x60-19x0.5)x10+150 =1255(元). b.+b.+b.4...+b. 所以第十个月应交付55.5元,买这件家电实际花了 ·古[((字)·()() 11255元 -(3-2)--。 对点训练4:(1)设从第1圈到第9圈的石板数构成的数列 为a. .由题意可知a. 是等差数列,其中a.=9.d=9.n=9. 故选C. 由等差数列的通项公式,得第9圈有石板a.=a.+(9-1)· 例3:(1)证明:当n>2时,a.=S.-S.-.=34-2n. d=9+(9-1)x9=81(块). 又当$=1时,=$=32-34-2x1,满足a.=34-2n.$ .9×(9-1)=9x99×8x9=405(块). (2)由等差数列前n项和公式,得前9圈一共有石板S。= 故a. 的通项为a.=34-2n. 9.+ 2。 2 所以a. -a.-34-2(n+1)-(34-2n)=-2. 例5.1 )-寸(-). 故数列a.l是以32为首项,-2为公差的等差数列 (2)令a.=0.得34-2n>0,所以n17 #数和,(1# 故数列a. 的前17项均大于或等于零 又a=0.故数列a.的前16项或前17项的和最大 {1-)-)-(1)) 11 (3)由(2)知,当n<l7时,a.>0;当n>18时,a.<0. 过)1() 所以当a<17时,5=b+b.+..+b 2n43 =la.I4la.I+...+la.! =a.+a:.+a.=S.=33n-n2 课堂检测·固双基 当n>18时, 1.A a+a+a。+a+a=S-$. S=la.I+la!+...+laI+lasI+..+la.1 =1$ -+12+1-7-7-1=100 2.B 设这些数构成的数列为a。 ,易知该数列为等差数列 =a+a:+...+a-(a.+as..+a.) a=2=72+n-1)x7<100.n<15.$=14 + =$-($-$)=2$-S=n-33n+544 故S= [33n-n(n17). 1-33n+544(n=18). 2 a..故选D. -12-(-60)-3. 4. 方法一:令n=1.可得$ =k+b=a.=3+2,化简可得 16 '..=a+(n-1)d=-60+(n-1) x3=3n-6 =b-3; 由a.<0.得3n-63<0.即n<21. 当2时,S=k(n-1) +b(n-1) 3.数列a.的前20项是负数,第21项及以后的项都为非 与原条件相减可得a.=2kn-k+b. 负数. 上可得-# 与a.的表达式对比可得2k=3,b-k=2k 设S.,S.分别表示数列a和1a1的前n项之和,当n -60n n-1)×3]-,23; 20时,s.=-S.=- 方法二:令n=2.可得$.=4k+2b=a+a.=9+4 化简可得- 当n 20时,$.=-$+(S.-S)=S.-2$ --60n+n(n-1)x3-2x( (-60x20+20x193) 5.设等差数列|log.(a.-1)的公差为d 2 2 由a.=3.a:=9. 得log(9-1)=log(3-1)+2d,则d=1. 所以log(a.-1)=1+(n-1)x1=n. 1.数列la.1的前:项和 即a.=2+1. -124-