4.2.2 第1课时等差数列的前n项和公式(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

∴06=e+(75-60)d=20+15×15=24. 4 课堂检测·固双基 对点训练1：7方法一：设等差数列a,|的公差为d. 1.A在等差数列1a.中，4，+山，=2a,所以4，=4=7. 2 a=2 2.B由已知m1=(lg2)2+1g5(lg2+1)=lg2(lg2+lg5)+ 由题意，得+=3，」 。 lg5=1 1a,+7d=6, d=2 1 因为数列a,|是等差数列，设公差为d,由m+4:=5,又4，= 1.解得d=1, 故有0。=1+(n-1)×1=n,a=3, 方法二：设等差数列1a.的公差为d, 2叶·2·25…24·25=2+%*5+5=29=25 4,-4=6d=3,d=2 1 故选B. 3.4a+a5=204,a,+a0+ap=3no, 1 六00=4+2d=6+2×2=7, .3(+5）+2(a+a0+a3）=6au+60=6(a+aw) =24, 例2：(1)A:1a,|是等差数列..2a=4+aa,故03=2 .a4+0n=4. ×6-3=9. 4.90因为数列a,,1b都是等差数列，所以{a.+b.I也构成 (2)35方法一：设数列1a1,1b.的公差分别为d,4,因 了等差数列，所以(2+6)-(4，+6，)=(%，+，)-(a2+ 为a+b=(a1+2d1)+(b,+2d)=(a1+b1)+2(d1+d)=! b),所以+b=90. 7+2(d1+d2)=21, :5.AB设这四个数分别为a-3d.a-d,a+d.a+3d. 所以d+d2=7,所以a+6,=(a+b)+2(4+4)= 21+2×7=35. 则[化3d038 方法二：因为数列1a.,16,}都是等差数列. 所以数列a,+b.也构成等差数列，所以2（出+6）= 部或”. (a1+b,)+(a+6,),所以2×21=7+a5+6,所以a5+b=35. 所以这四个数依次为-2,4,10,16或16,10,4，-2. (3)D方法一：4+a4+a+aw+a,=750, 故选AB. .5n=750, 4.2.2等差数列的前n项和公式 .4=150,.42+a=2a=300. 方法二：a3+a+a5+a。+a,=750, .a1+2d+a1+3d+a1+4d+a1+5d+a1+6d=750. 第1课时 等差数列的前n项和公式 a,+4d=150,2+a=,+d+a,+7d=2(a1+4d)必备知识·探新知 =300. 对点训练2：(1)因为(a+1+a+）-(a,+a2）= 知识点：an+a。4+…+2+叫1 n(tu)ma(n-Dd 2 2 (a,1-a)+(a。3-a2）=2d,所以数列a,+4,4+a,4+ 练一练： a5,…是公差为2d的等差数列. 1.Λa+偏=。+，又1-a。+4=7. (2)8方法一：b1为等差数列， a,=7, “.可设其公差为d, 则5.-13(a,*a.13×2=13a,=13x7=91. 则4.0-_12--21=2. 2 2 10-3 7 故选A bn=b+(n-3)d=2n-8. bg=2×8-8=8 2.A由S4=45得S6=a+)×15=15a,=45=4, 2 方法二岭学0学 3,所以22-a6=(46+%)-a。=w=3.故选L 关键能力·攻重难 得么0当x5+4 例1：(1)B设等差数列1a.1的公差为d, 4+a,=a1+2d+a,+7d=2a1+9d=13 =2×5+(-2)=8. 则 例3：设四个数分别为a-3d,a-d,a+d.a+3d =7%+79=7+21=5. 则[8-o+0+a=巴 解得，=2 ld=1, 由①，得a=号代入②.得d=±子四个数为25,8，山 g=a1+7d=2+7=9,故选B. 或1.8,5,2 (2)CS2=a1+42=2m1+d=4①D S=4a1+6d-20② 对点训练3：设这三个数为a+d,a,a-d(d>0) 则/3a=12. 由①2解得a,=宁d=3故选C (a+)·4·(a-d)=48 得子 (315由6，+1=2.%+91=5得4= 2 27 所以这三个数是6,4,2 d=分所以5=15a,+5144=15 2 例4：B 对点训练1：(1)①由等差数列的前n项和公式， -121 得8a,+28d=48. 方法二：根据等差数列前n项和的性质可知S,S。-S,S 1241+66d=168, -S6,S-S,仍成等差数列，设S=k,则S。=3k.S。-S=2k, 解方程组，得-8， So -S6=3k.Sp -So=4k, ld=4. 六S,=S。+3k=6k,S2=S+4k=10k, ②：a1+mn=a+as=40 S17a,*an）-20×17=340 2 (3)A因为S,为等差数列.|的前项和，所以数列 (2)13a1+41+4,=34, ① a。+a。-4+a-2=146, ② 倍}是等差数列设数列倍}的公差为.则由品-品 .①+②，得(a1+a.）+(a2+a。）+(a3+a,-2）=180. 又a1+4n=42+a,-1=仙+4n-2, =2,得2=2，解得=1，所以品-子+2=4+ .3(a1+an）=180,则a1+a.=60. 2022d'=-2021+2022=1,所以S2m=2023. 3.=aa,+a）-600-30m=390. 例3：(1)8由等差数列的性质，得a,+a,+a=3n,>0,a 2 2 >0. .n=13 又因为出，+o<0,所以aw+4<0,所以，<0，所以S> 例2：(1)BS.-S-4=a.+a-1+a-1+-3=80, S,S>8,即数列1a}的前8项和最大 S4=a1+a3+03+a1=40. ra1+2d=8. 两式相加得4(a1+a.）=120,a1+a。=30, (2)①设公差为d.由题意得 由3=na,+2=210n=14 a,4=6 2 r4+2d=8, ac已暖号会-字器 .解得{=2.=-2m+14. (3)方法一：因为S0,Sm-Sm,S0-Sm,,Sm-S0,Sw ②由①得S=n12+)4-2m=-+13n Sm成等差数列，设公差为d,前10项的和为：10×100+10x9 2 2 =10.所以d=-22. -(-+ 所以前1项的和S。=11×10+ⅡX104=1×100+ 2 当n取与号最接近的整数，即6或7时，8有最大值，最大 x10×(-22)=-110, 值为S=S,=-7+13×7=42. 2 对点训练3：(1)B方法一：因为d<0,1I=1a。1,所以 方法二：设等差数列1a.的公差为d, 则子a-+a,所以数列倍}收等差数列 %+a=0,则4，=0，所以4，+5d=0,所以S.=m+an2业d 2 n -5a+0ag4 2 所8-8高 由neN知，当n=5或n=6时，S最大 方法二：因为d<0,1a1=1a1,所以a+a,=0 10100Sm10 所以a1+:=a,+a,=0,所以 即10010.11010 100-10=10 1(a+n2=0. S= 2 所以So=-110. 方法三：设等差数列a.的公差为d S0=a1+a2+…+00+au+ap+…+a10=(41++… +ae)+[(a,+10d)+(a:+10d)+…+(a1m+10d)]=So+ Sm+100×10, 又Sm-10Sm 100×994-100×94=10-10×100,即 易知S,对应的二次函数的图象开口向下（如图所示），利用 2 2 二次函数图象的对称性及n∈N知，当n=5或n=6时，S,取得 100d=-22,所以Sm=-110. 最大值。 对点训练2：(1)210在等差数列中，S.,S2-S.S.-S 方法三：因为d<0,la1=a,1 成等差数列 所以a,+a,=0. .30,70,S-100成等差数列. 而1+，=2a6,所以6=0 ∴.2×70=30+(S。-100),S。=210. 所以S,=S6: (2)品方法一：设数列a,的公差为4，由等差数列的前 故S,S均为S,的最大值 项和公式，相略品宁 (2)14或15方法一：由5：=，得1a,+山x10a= 2 18u,+1817,即4=-14d>0,所以4<0. 放a4,=2d且d≠0， 2 晓会测品 解不等式组.=，+(n-1)d≥0， 【an+1=a,+d≤0. -122 即-4+(-d0,得14≤n≤15. -14d+nd≤0， 第2课时等差数列前n项和习题课 又n∈N,故当n=14或n=15时，Sn最大 必备知识·探新知 方法二：由S:=Sw,可得a,=-14d, S,n=1, 所以8=m+a0号-g 知识点：l.S-844={5.-5n≥2 2 由4，>0知d<0,结合二次函数图象的对称性及∈N”,可 2}动) 得当n=14或n=15时，Sn最大 练一练： 方法三：由S,=Sw知，a2+ag+a4+a5+aw+an+aw= B当n=1时，a1=S,=12=1: 0,即7as=0,所以as=0. 当n≥2时，a.=S.-S-1=n2-(m-1)=2n-1. 又a1>0,所以d<0.故当n=14或n=15时.S最大， a,=1也满足a,=2m-1,故对任意的neN”,a。=2n-1, 方法四：由S:=S,S。对应的二次函数图象的对称性及对 因此，。+a,=2(p+g)-2=2×5-2=8. 称输a"生8空可知，当a=4或a=15时最大 故选B 2 关键能力·攻重难 例4：a1=5=6, 例1：(1)Aa4=S4-S=42-1-32+1=7. n≥2时，=S。-S-1=(2+3n+2)-[(n-1)2+ 3(n-1)+2]=2m+2, （2a=1时4=8=-子1-1=-是 a=6不满足上式 当n≥2时，%，=S.-S-1 「6(n=1), .0。= 12n+2(n≥2)， -+a-【-a-炉+a-0-刂 显然41-1=6-6=0，，-=2,1a,不是等差数列 课堂检测·固双基 =-3+，因为=一不适合.=-3+ L.A由等差数列的前n项和公式可知 sw=10a,+094.=5+344, 所以a,= 2 因为Sm=4S, -3n+2a≥2》 所以10a,+1091=45a,+5 (3)因为a.+25.·S.-1=0, 2 所以a。=-2S.·S。- 化简得宁 当a=1时，4=分 所以选A. 当n≥2，neN*时，an=Sn-S.- 4+2d=6, 所以S。-S,-1=-25S。-① 2.C由题意得 1 3a,+2×3×2l=12, 因为a=子，所以S50, ①式的两边同除以S5。得： 解得，，=2， ld=2. S-S =-2,即-、=2 3.Can=Sn-Sm-4=2,an1=S.1-Sn=3,公差d=a1-a =3-2=1.由5.=m(4,+0）=0,得a,=-a,=-2 所以数列侣}是首项为2.公差为2的等差数列。 2 a.=-2+(m-1)·1=2,解得m=5. 所以时=2+2(m-)=2n,嗶：8=六 4.95因为数列a。为等差数列，则由题意得 6=g解得3则s=a产 ∫a1+2d+a,+3d-7 则a,=-2,.1=-2nn-1)n≥2). 因为a=不满足a,=2ad-可m≥2)，所以数列的 09=0x(-4+45x3=95 2,n=1, 5.(1)设等差数列1a,的公差为d, 通项公式为4，= 1 则a,=a,+(n-1)d, 2n(n-万n≥2. 由于41=1,1=-3， 对点训练1：C因为 1 又4=a,+2d, ,+4+…+a.2n- 所以d=-2, 所以++…+=2n-1. 因此4，=3-2n (2)由a,=3-2n,得3=1+3-2D,n=2n-m. 所以4，+2+…+a。=(2n-1)n, 2 即41+a2+…+a。-1=(2n-3)(n-1)(n≥2)， 所以8=2k-2=-35, 当n≥2时 即k2-2k-35=0, a.=(2n-1)n-(2n-3)(n-1)=4n-3. 解得k=7或k=-5, 又因为，=1，满足上式， 又因为k∈N·,所以k=7. 所以a=4n-3. -123! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．在等差数列｛ａｎ｝中，若ａ１ ＋ ａ７ ＝ １４，则ａ４ ＝ （　 ） Ａ． ７ Ｂ． ８ Ｃ． １４ Ｄ． １６ ２．已知等差数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＝ （ｌｇ ２）２ ＋ ｌｇ ５ ( )ｌｇ ２ ＋ １ ，ａ３ ＋ ａ２ ＝ ５，则２ａ１·２ａ２·２ａ３·２ａ４ ·２ａ５的值为 （Ｂ ） Ａ． １ ０２４ Ｂ． ２１５ Ｃ． ２５６ Ｄ． ２８ ３．等差数列｛ａｎ｝中，３（ａ３ ＋ ａ５）＋ ２（ａ７ ＋ ａ１０ ＋ ａ１３）＝ ２４，则ａ４ ＋ ａ１０ ＝ ４　 　 　 ． ４．数列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝都是等差数列，且ａ１ ＝ １５， ｂ１ ＝ ３５，ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ７０，则ａ３ ＋ ｂ３ ＝ ９０　 　 　 ． ５．（多选题）已知四个数成等差数列，它们的和 为２８，中间两项的积为４０，则这四个数依次 为 （　 ） Ａ． － ２，４，１０，１６ Ｂ． １６，１０，４，－ ２ Ｃ． ２，５，８，１１ Ｄ． １１，８，５，２ 请同学们认真完成练案［４                 ］ ４． ２． ２　 等差数列的前ｎ项和公式 第１课时　 等差数列的前ｎ项和公式 !"#$%&'( 课程标准 １．借助教材实例了解等差数列前ｎ项和公式的推导过程． ２．借助教材掌握ａ１，ａｎ，ｄ，ｎ，Ｓｎ的关系． ３．掌握等差数列的前ｎ项和公式、性质及其应用． 学法解读 １．了解等差数列前ｎ项和公式的推导过程．（逻辑推理、数学运算） ２．掌握等差数列前ｎ项和的公式及其应用．（逻辑推理、数学运算） )*+,%-.+ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　等差数列的前ｎ项和公式的 推导（倒序相加法） 　 　 设Ｓｎ 是等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和，ｄ为 ｛ａｎ｝的公差， Ｓｎ ＝ ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＋…＋ ａｎ． 倒序得Ｓｎ ＝ ａｎ ＋ ａｎ －１ ＋…＋ ａ２ ＋ ａ１　 ， 两式相加得２Ｓｎ ＝（ａ１ ＋ ａｎ）＋（ａ２ ＋ ａｎ －１） ＋…＋（ａｎ ＋ ａ１）． 由等差数列的性质得ａ１ ＋ ａｎ ＝ ａ２ ＋ ａｎ －１ ＝ ａ３ ＋ ａｎ －２ ＝…＝ ａｎ ＋ ａ１， 所以有Ｓｎ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 ①． 又ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ，代入①式，得Ｓｎ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 ②． 想一想：等差数列前ｎ项和公式的内涵是 什么？ 　 　 提示：Ｓｎ ＝ ｎ（ａ１ ＋ ａｎ）２ 反映了等差数列的前 ｎ项和与它的首项、末项之间的关系；Ｓｎ ＝ ｎａ１ ＋ ｎ（ｎ － １） ２ ｄ反映了等差数列的前ｎ项和与它的首 项、公差之间的关系，而且是关于ｎ的“二次函 数”．两者从不同的角度反映了等差数列的性质                  ． !"& # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　练一练： １．设Ｓｎ 为等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和，且 ａ４ － ａ６ ＋ ａ９ ＝ ７，则Ｓ１３ ＝ （Ａ ） Ａ． ９１ Ｂ． ８１ Ｃ． １１０ Ｄ． １３０ ２．已知等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，若 Ｓ１５ ＝ ４５，则２ａ１２ － ａ１６ ＝ （Ａ ） Ａ． ３ Ｂ． ４ Ｃ． ５ Ｄ．       ６ /012%345 题型探究 题型一有关等差数列前ｎ项和公式的计算 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（１）等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，且ａ３ ＋ ａ８ ＝ １３，Ｓ７ ＝ ３５，则ａ８ ＝ （Ｂ ） Ａ． ８ Ｂ． ９ Ｃ． １０ Ｄ． １１ （２）记等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，若 Ｓ２ ＝ ４，Ｓ４ ＝ ２０，则该数列的公差ｄ为 （Ｃ ） Ａ． ７ Ｂ． ６ Ｃ． ３ Ｄ． ２ （３）（２０２４·徐州高二检测）已知等差数列 ｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，且Ｓ６ ＝ ２，Ｓ９ ＝ ５，则Ｓ１５ ＝ １５　 　 　 ． 　 　 ［规律方法］　 等差数列前ｎ项和公式的运 算方法与技巧 类型 “知三求二型” 基本量 ａ１，ｄ，ｎ，ａｎ，Ｓｎ 方法 运用等差数列的通项公式和前ｎ项和公式建立方程（组），通过解方程（组）求出未知量 思想 方程的思想 注意 ①利用等差数列的性质简化计算； ②注意已知与未知条件的联系； ③有时运用整体代换的思想． 　 　 对点训练? （１）在等差数列｛ａｎ｝中， 前ｎ项和为Ｓｎ． ①已知Ｓ８ ＝ ４８，Ｓ１２ ＝ １６８，求首项ａ１ 和公 差ｄ； ②已知ａ３ ＋ ａ１５ ＝ ４０，求Ｓ１７ ． 　 　 （２）若一个等差数列前３项的和为３４，最后 ３项的和为１４６，且所有项的和为３９０，则这个数 列有１３　 项． 题型二 等差数列前ｎ项和的性质 ２．（１）已知等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ， Ｓ４ ＝ ４０，Ｓｎ ＝ ２１０，Ｓｎ －４ ＝ １３０，则ｎ ＝ （Ｂ ） Ａ． １２ 　 Ｂ． １４ Ｃ． １６ Ｄ． １８ （２）（２０２４·河南信阳高一联考）两个等差 数列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝，若ａ１ ＋ ａ２ ＋…＋ ａｎｂ１ ＋ ｂ２ ＋…＋ ｂｎ ＝ ７ｎ ＋ ２ ｎ ＋ ３ ，则 ａ７ ｂ７ ＝ （Ｃ ） Ａ． ５１１４ 　 Ｂ． ５１ ８ Ｃ． ９３ １６ Ｄ． ９３ １２ （３）已知等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，且 Ｓ１０ ＝ １００，Ｓ１００ ＝ １０，试求Ｓ１１０ ． 　 　 ［尝试作答        ］ 　 　 ［规律方法］　 等差数列前ｎ项和的性质 （１）等差数列｛ａｎ｝中，Ｓｎ，Ｓ２ｎ － Ｓｎ，Ｓ３ｎ － Ｓ２ｎ 也构成等差数列． （２）若｛ａｎ｝与｛ｂｎ｝均为等差数列，且前ｎ项 和分别为Ｓｎ与Ｓ′ｎ，则ａｎｂｎ ＝ Ｓ２ｎ －１ Ｓ′２ｎ －１ ． （３）若等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，则数 列Ｓｎ{ }ｎ 是等差数列，且首项为ａ１，公差为ｄ２                                                             ． !"' ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # （４）项的个数的“奇偶”性质． ｛ａｎ｝为等差数列，公差为ｄ． ①若共有２ｎ项，则Ｓ２ｎ ＝ ｎ（ａｎ ＋ ａｎ ＋１）； Ｓ偶－ Ｓ奇＝ ｎｄ；Ｓ偶Ｓ奇＝ ａｎ ＋１ ａｎ ； ②若共有２ｎ ＋ １ 项，则Ｓ２ｎ ＋１ ＝ （２ｎ ＋ １）ａｎ ＋１； Ｓ偶－ Ｓ奇＝ － ａｎ ＋１；Ｓ偶Ｓ奇＝ ｎ ｎ ＋ １． （５）等差数列｛ａｎ｝中，若Ｓｎ ＝ ｍ，Ｓｍ ＝ ｎ（ｍ ≠ｎ），则Ｓｍ ＋ ｎ ＝ －（ｍ ＋ ｎ）． （６）等差数列｛ａｎ｝中，若Ｓｎ ＝ Ｓｍ（ｍ≠ｎ），则 Ｓｍ ＋ ｎ ＝０． 对点训练? （１）等差数列｛ａｎ｝的前ｍ 项和为３０，前２ｍ项和为１００，则数列｛ａｎ｝的前 ３ｍ项的和Ｓ３ｍ ＝ ２１０　 　 　 ． （２）设Ｓｎ是等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和．若 Ｓ３ Ｓ６ ＝ １３，则 Ｓ６ Ｓ１２ ＝ 　 　 　 　 ． （３）设Ｓｎ 为等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和， ａ１ ＝ － ２ ０２１，Ｓ２ ００７２ ００７ － Ｓ２ ００５ ２ ００５ ＝ ２，则Ｓ２ ０２３ ＝ （Ａ ） Ａ． ２ ０２３ Ｂ． － ２ ０２３ Ｃ． ２ ０２２ Ｄ． － ２ ０２２ 题型三 等差数列前ｎ项和的最值 ３．（１）若等差数列｛ａｎ｝满足ａ７ ＋ ａ８ ＋ ａ９ ＞０，ａ７ ＋ ａ１０ ＜０，则当ｎ ＝ ８　 　 　 时，｛ａｎ｝的前ｎ项 和最大； （２）记Ｓｎ为等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和，已 知ａ３ ＝ ８，Ｓ４ ＝ ３６． ①求｛ａｎ｝的通项公式； ②当ｎ为何值时，Ｓｎ 有最大值？并求其最 大值． ［分析］　 求Ｓｎ的最大值，可以利用数列的 通项公式求解，也可以利用前ｎ项和的函数特 性求解． 　 　 ［尝试作答      ］ 　 　 ［规律方法］　 等差数列前ｎ项和最值的两 种求法 （１）转折项法 ①当ａ１ ＞ ０，ｄ ＜ ０时，由不等式组ａｎ≥０，ａｎ ＋１≤０{ ， 可求得Ｓｎ取最大值时的ｎ值． ②当ａ１ ＜ ０，ｄ ＞ ０时，由不等式组ａｎ≤０，ａｎ ＋１≥０{ ， 可求得Ｓｎ取最小值时的ｎ值． （２）利用二次函数求Ｓｎ的最值 知道公差不为０的等差数列的前ｎ项和Ｓｎ 可以表示成Ｓｎ ＝ ａｎ２ ＋ ｂｎ（ａ≠０）的形式，我们可 将其变形为Ｓｎ ＝ ａ ｎ ＋ ｂ２( )ａ ２ － ｂ ２ ４ａ． ①若ａ ＞０，则当ｎ ＋ ｂ２( )ａ ２ 最小时，Ｓｎ有最小值； ②若ａ ＜０，则当ｎ ＋ ｂ２( )ａ ２ 最小时，Ｓｎ有最大值． 对点训练? （１）在等差数列｛ａｎ｝中， 若｜ ａ３ ｜ ＝ ｜ ａ９ ｜，公差ｄ ＜ ０，则前ｎ项和Ｓｎ取得最 大值时正整数ｎ ＝ （Ｂ ） Ａ． ４或５ Ｂ． ５或６ Ｃ． ６或７ Ｄ． ７或８ （２）在等差数列｛ａｎ｝中，若ａ１ ＞ ０，Ｓ１１ ＝ Ｓ１８， 则数列｛ａｎ｝的前１４或１５　 项的和最大． 易错警示 　 　 由和求项注意验证首项 ４．已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ ｎ２ ＋ ３ｎ ＋ ２，判断｛ａｎ｝是否为等差数列． ［错解］　 ∵ ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ －１ ＝（ｎ２ ＋ ３ｎ ＋ ２）－ ［（ｎ － １）２ ＋ ３（ｎ － １）＋ ２］＝ ２ｎ ＋ ２． ａｎ ＋１ － ａｎ ＝［２（ｎ ＋ １）＋ ２］－（２ｎ ＋ ２）＝ ２ （常数）， ∴数列｛ａｎ｝是等差数列． ［误区警示］　 ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ －１是在ｎ≥２的条 件下得到的，ａ１是否满足需另外计算验证． 　 　 ［正解                                                                             ］ !"( # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 6789%:;< １．等差数列｛ａｎ｝中，Ｓ１０ ＝ ４Ｓ５，则ａ１ｄ ＝ （Ａ ） Ａ． １２ 　 　 　 Ｂ． ２　 　 　 Ｃ． １ ４ 　 　 　 Ｄ． ４ ２．已知｛ａｎ｝为等差数列，其前ｎ项和为Ｓｎ，若 ａ３ ＝ ６，Ｓ３ ＝ １２，则公差ｄ等于 （Ｃ ） Ａ． １ Ｂ． ５３ Ｃ． ２ Ｄ． ３ ３．设等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，若Ｓｍ －１ ＝ － ２，Ｓｍ ＝ ０，Ｓｍ ＋１ ＝ ３，则ｍ ＝ （Ｃ ） Ａ． ３ Ｂ． ４ Ｃ． ５ Ｄ． ６ ４．（２０２４·新课标Ⅱ卷）记Ｓｎ 为等差数列｛ａｎ｝ 的前ｎ项和，若ａ３ ＋ ａ４ ＝ ７，３ａ２ ＋ ａ５ ＝ ５，则Ｓ１０ ＝ 　 　 　 　 ． ５．已知等差数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ １，ａ３ ＝ － ３． （１）求数列｛ａｎ｝的通项公式； （２）若数列｛ａｎ｝的前ｋ项和Ｓｋ ＝ － ３５，求ｋ 的值． 请同学们认真完成练案［５                         ］ 第２课时　 等差数列前ｎ项和习题课 !"#$%&'( 课程标准 １．会利用数列的前ｎ项和Ｓｎ求数列的通项公式ａｎ． ２．会使用裂项法求数列的前ｎ项和． 学法解读 １．构造等差数列求和模型，解决实际问题．（数学建模、数学运算） ２．能够利用等差数列前ｎ项和的函数性质求其前ｎ项和的最值．（数学抽象、逻辑推理、数学 运算） ３．理解并应用等差数列前ｎ项和的性质．（逻辑推理、数学运算） )*+,%-.+ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　由Ｓｎ求ａｎ及裂项法求Ｓｎ 　 　 １．已知数列的前ｎ项和Ｓｎ，若ａ１ 适合ａｎ， 则通项公式ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ －１　 ，若ａ１不适合ａｎ，则 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． ２．形如　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 （ｂｎ － ａｎ ＝ ｄ，ｄ为常数）的数列适合用裂项求和，其裂项形 式为１ａｎｂｎ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． 　 　 练一练：已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ ｎ２， 若ｐ ＋ ｑ ＝ ５ ｐ，ｑ∈Ｎ( ) ，则ａｐ ＋ ａｑ ＝ （Ｂ ） Ａ． ７ Ｂ． ８ Ｃ． ９ Ｄ．            １０ !")