本册综合检测(2)(考案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

(2)由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,因此 实数解，则f(x)=有三个不同的实数根，即y 数列{bn}的前n项和为1+3+…+2n-1=n2. =f(x)的图象与直线y=k有三个交点.由(2) 18.(1)f(x)的定义域为(0，+∞). 可得函数f(x)的图象如图所示， .f'(x)<0在(0，+∞)上恒成立 即f(x)单调递减区间为(0，+∞). ra+2>0, (2)f(a+2)<f(a2)等价于a2>0,解得 ∴.实数k的取值范围为-2<k<2. la+2>a2, 21.(1)3a2=3a1+a3,.3d=a1+2d,解得a -1<a<0或0<a<2. =d, ∴.a的取值范围为(-1,0)U(0,2). ∴.S3=3a2=3(a1+d)=6d, 19.(1)证明：由题设bn+1=a2n+2=a2m+)+1=a2a+1 2.6.129 1=21=2a+1所 T3=b+b+b=d+2d+3d=d 2,又b1+1=a2+1=a1+1+1=4,所以{bn+ $,+T=6d+=2 1}是首项为4，公比为2的等比数列，所以bn+ 1=4·2”-1,所以bn=4·2-1-1=2+1-1. 即2-7d+3=0,解得d=3或d=)(舍去)， (2)S2m=a1+a2+a3+…+a2n=(a1+3+…+ ∴.an=a1+(n-1)·d=3n. a2m-1）+（a2+a4+…+a2n）=(a2+a4+…+ (2)·{bn}为等差数列， a2m-n）+(a2+4+…+a2m）=2(a2+a4+… 2b,=6,+b3,即l2=2+12 +a2n）-n=2(b1+b2+…+bn)-n=2(22+23 +2+…+21-n）-n=2×21-2"）-3n 1-2 =2m+3-3n-8. 解得a1=d或a1=2d, 20.（1)函数f(x)=ax3-bx2+2, d>1,∴.an>0, ∴.f'(x）=3ax2-2bx, 又S-T,g=99,由等差数列性质知，99a0 由题意知，当x=2时，函数f(x)有极值-2， 99b50=99,即a50-bs0=1, f'(2)=0,即 m12a-4b=0, 00-250=1,即-40-2550=0，解得 f(2)=-2,l8a-4b+2=-2, a50 解得1， a50=51或a50=-50(舍去) 1b=3, 当a,=2d时，aso=a1+49d=51d=51,解得d 故所求函数的解析式为f(x)=x3-3x2+2. =1,与d>1矛盾，无解； (2)由(1)得f'(x)=3x2-6x=3x(x-2), 当a1-d时，a0=a1+49d=50d=51,解得d 令f'(x)=0,得x=0或x=2, 51 50 当x变化时，f'(x)f(x)的变化情况如下表. (-0,0) 0 (0,2) 2 (2,+0) 综上，d= 50 '(x 0 0 22.(1)由题意知，F(x)=f(x)·g(x)=e-1· f(x)单调递增 单调递减 -2单调递增 (ax2+x+1),F'(x）=e-1·[ax2+(2a+1)x 因此，当x=0时，f(x)有极大值2，当x=2时， +2]=e*-1·(ax+1)·(x+2). f(x)有极小值-2. ①当a=0时，F'(x)=e-1·(x+2), (3)若关于x的方程f(x)-k=0有三个不同的 F(x)在(-∞，-2)上单调递减，在(-2， 2074 +∞)上单调递增， F(x)有极小值点x=-2,无极大值点. 考案（四） ②当a<0时，-1>0>-2， 1.Ba1+a5=2a3=10,.a3=5,∴.d=a4-a3= 7-5=2. F(x)在(-，-2)-a+上单调递减，2.Bf'(x)=(x-2)e,x>0.x-2e>0, .x-2>0,.x>2,∴.f(x)的递增区间为(2， 在(-2， 上单调递增， +∞). 3.BS=54,Sg-S5=30, F(x)有极小值点x=-2,有极大值点x=- e 则9(a,+a）=9a,=54 ③当a>0时， 2 当a=时，F(x)=2e.(x+2)2≥0) 解得a5=6,ag+a7+a6=3a1=30, 解得a7=10, 在R上单调递增，不存在极值点； 所以2a6=a5+a,=6+10=16, 当a>时，->-2， 解得a6=8, 所以S1 F(x)在(-，-2)(-+上单调递增， 11(a,+ai）=11a6=88. 2 4.C当x<0时f'(x)<0,所以f'(x)>0,不满 -2, 上单调递减， 足题意；当0<x<1时，f'(x)<0,所以f'(x) <0,满足题意；当1<x<2时，f'(x)>0,所以 F(x)有极大值点x=-2,极小值点x= f'(x)>0,不满足题意；当x>2时，f'(x)<0, 当0<a<时，-1<-2， 所以xf'(x)<0,满足题意， 5.B·f(x)在(0,1)上为减函数， P)科-，)(-2，+)上单调递增。 对称轴x=分≥1， 在(--2上单调递减， .a≥2. g'(x)=2x-4=2x2-a F()有极大值点x=一石极小值点x=-2 g(x)在(1,2)上为增函数， (2)fx)-fx2)<g(x)-g(x2)等价于f(x) .g'(x)≥0在(1,2)上恒成立， -g(x1)<f(x2)-g(x2), .2x2-a≥0在(1,2)上恒成立， 所以函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[1,2]上 ∴.a≤2x2在(1,2)上恒成立， 单调递增！ ∴.a≤2，综上可知，a=2. h(x)=e-l-a2-x-1,.h'(x)=e-l- 6.A设圆柱的底面半径为r,高为h,体积为V, 2ax-1≥0在[1,2]上恒成立， 则4r+2h=l, 则2 ,xe[1,2], min h2=m=号2-20< 令a(x)=e1-1 xxe[1,2], 则V'=lmr-6πr2, 则p(x)=e1·t-el+l=(x-1)e1+1小 令V'=0,得r=0或r= 6, 0,故p(x)在[1,2]上单调递增，∴.p(x)mm= 而r>0,.r= 是其唯一的极值点 6 p(1)=0,∴.a≤0，故实数a的取值范围是 (-0,0]. 当1=6时，V取得最大值，最大值为 P2084 7.C方法一：设等比数列{an}的公比为q,首项为 a1,若q=1,则S6=6a1=3×2a1=3S2,与题意不 符，所以q≠1； 由S=-5,S=21S,可得，1-）=-5， 1-9 41=g2）-21×011=9） 1-9 1-9 ①， 由①可得，1+g2+g=21,解得：g2=4, 所以S=,(1-9）=a(1-g 1-q-1-9 2×(1+g4)= -5×(1+16)=-85.故选C. 方法二：设等比数列{an}的公比为q, 因为S4=-5,S6=21S2,所以q≠-1，否则S4 =0, 从而，S2,S4-S2,S。-S4,S-S6成等比数列， 所以有，(-5-S2)2=S2(21S2+5),解得：S2= -1或8= 当S2=-1时，S2,S4-S2,S6-S4,S%-S6, 即为-1，-4，-16，S8+21, 易知，Sg+21=-64,即S8=-85; 当S-时，=a+,+a,+a,=(a+a)(1 +9)=(1+g2)S2>0, 与S4=-5矛盾，舍去.故选C. 8.B令F(x）=,则F"(x)='（),由 ex e 于f(x)<f'(x), 所以F'(x)>0,故函数F(x)在R上单调递增， 所以F(2023)>F(2022), 故2023)>f2022) e2023 e20222, 即ef(2022)<f(2023). 9.ABC等比数列的公比为q,因为a1+a4=18,a2 +a3=12且公比9为整数，所以a1+a,9=18, a19+a19=12,所以a1=2,9=2,故A正确；Sn= 2(1-2）=21-2,所以S。=510,故C正确；所 1-2 以Sn+2=2+,故数列{Sn+2}是等比数列，故 B正确；而lgan=lg2”=lg2,故数列{lgan}是 公差为lg2的等差数列，故D错误 P20 10.AC因为f(-x)=2(e+e)=f(x),则 f(x)为偶函数，A正确，B错误；又因为f'(x)= (e-。)在R上单测递增，且旷'(0)=0，则 当x>0时f'(x)>0,当x<0时f'(x)<0,因 此f(x)的单调递减区间为(-∞，0)，单调递增 区间为(0，+∞)，所以C正确；则f(x)≥f(0) =a,即f(x)的最小值为a,D错误， 11.BCD S,是数列{an}的前n项和，且a1=-1, +1=SS则S1-S,=S,S1,整理得 -1（常数）.所以数列得)是以-1 为首项，-1为公差的等差数列故C正确：所 以时=1-(a-1)=-n,故8：人所以 当n≥2时，a.=S。-S-1= 1，-（首项不符 n-1 n r-1,n=1, 合通项)，故an={11 In-1 n ,n≥2，neN*故B 正确，A错误；所以！+↓+ +++ 1=-(1+2 S100 +3+…+100)=-5050,故D正确. 12.BD当a=0时，f(x)=xe,f'(x)=(x+1)e, 易知函数f(x)在(-∞，-1)上单调递减，在 (-1,+∞)上单调递增，所以f(x)mim=f(-1) =-1,故选项A不正确：当a=1时，f(x)= xe+x,f'(x)=(x+1)e+1,f'(0)=2,所以 函数f(x)在(0,0)处的切线方程为y=2x,故选 项B正确：f'(x)=(x+1)e+a,若函数f(x) 在区间[0，+∞)上单调递增，则f'(x)≥0在 [0,+∞)上恒成立，所以a≥-（x+1)e,令 g(x)=-(x+1)e,x≥0，则g'(x)=-(x+2) e<0,所以函数g(x)在[0，+∞)上单调递减， 所以a≥g(x)max=g(0)=-1,故选项C错误； 当x=0时，a∈R恒成立；当x∈(0,1]时，f(x) ≤x2恒成立等价于xe+ax≤x2恒成立，即e +a≤x,即a≤x-e恒成立，设h(x)=x-e,0 <x≤1，则h'(x)=1-e<0在(0,1]上恒成 立，所以h(x)在(0,1]上单调递减，所以a≤ +∞)上单调递增，且g(1)=3,函数的图象如 h(x)min=h(1)=1-e,故选项D正确. 图所示， 5 14.2x-y-2=0y'=2xnx++1 当x=1时，切线斜率k=2, 54-3-2-1012343 ∴.切线方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0. 2 -3 15.48384方法一：设前3项的公差为d,后7项 ·函数f(x)有三个不同的零点，∴.3<a≤4. 公比为q>0, 17.(1)选择条件① 则g==192 -4,=12=16,且9>0，可得g=2, 由题意，设等差数列{an}的公差为d, 则a4+a7=a2+a,=20; 则a=1+2d=0,即1+2d=3,可得d=-1, 将a,=20-a2代入a2a=51, 整理，得a2-20a2+51=0, 空1：可得a3=3,a1=a3q=48, 解得a2=3,或a2=17,当a2=3时，a=17, 空2：a1+2+…+ag=1+2+3+3×2++3 ×2=3+31-21=384: 当a2=17时，0，=3， 1-2 因为an+1>a,所以a2=3,ag=17, 方法二：空1：因为{an},3≤n≤7为等比数列， 所以d=,4=173=2, 7 7 则a=a5a,=12×192=482, 所以a1=a2-2=3-2=1, 且an>0,所以a7=48; 所以an=1+2(n-1)=2n-1,n∈N 又因为a5=a3a,则a3= 5二3 选择条件② 由题意，设等差数列{an}的公差为d, 空2：设后7项公比为g>0,则g=2=4,解得g 则 5a1 5×4d=25a1, 2 3(a1+a3) =2,可得a1+a2+a3= 2 =6,a3+a4+ a1+d=3, a-a9_3-192×2 2a1-d=0 a1=1, as +a6 a7 as ao= 化简整理，得 1-9 1-2 la1+d=3 0得d=2, 381,所以a1+a2+…+a=6+381-a3=384. 所以an=1+2(n-1)=2n-1,n∈N*. 16.(3,4]将函数f(x)有三个不同的零点转化为 选择条件③ r2+2,x≤0 由题意，当n=1时，a1=S1=12=1, 函数y=a与g(x)= x3+2、。有三个不同 ,x>01 当n≥2时，an=Sn-Sm-1=n2-(n-1)2=2n 1,因为当n=1时，a1=1也满足上式， 的交点， 所以an=2n-l,neN. 当x≤0时，y=2+2的图象易得，当x>0时，函 数g(x)=+2,令g(x）=22=0,x=1, (2)由(1)，可得6，=1 a,4=(2n-1)(2n+1） +2 11 ∴.g(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1， -2n-i2n* P210 则7.=6+6+…+6=2·(1-3+2 即实数a的取值范围为[3，+x 20.()当n=1时本 =1-1 S, 因为S,=a1=1,所以√S2=2. 5 当n≥2时，因为1 S1S2 S2S3 √SnSn+l 18.(1)fx)=x2+aa2+bx+a2, =1- VS. ∴.f'(x）=3x2+2ax+b. 1 1 1 所以 =1 f1)=1+a+b+a2=4,f'(1)=3+2a+b S,S,√S2S =0, 1 一化，内2家郑裕合知在 则 1 1-S-√S SSn+√S.√S+n √SnSn+l (2)当a>0时，由(1)得f(x)=x3+3x2-9x+ 所以√Sn+1-√Sn=1,n≥2， 9,.f'(x）=3x2+6x-9, 又√S2-√S,=1, ∴f-2)=31,f'(-2)=-9, 所以√Sn+1-√S,=1,n∈N", “.所求的切线方程为y-31=-9(x+2), 所以{√S}是以1为首项，1为公差的等差数 即9x+y-13=0. 列，故√Sn=n,即Sn=n2, 19.(1)当a=2时，f(x)=(-x2+2x)e,f'(x)= 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n (-x2+2)e. 1,又a1=1也满足上式， 令f'(x)>0,即(-x2+2)e>0,注意到e>0, 所以an=2n-1. 所以-x2+2>0,解得-V2<x<√2 (2)由(1)可知，Tn=1×3+3×32+…+(2n 所以，函数f(x)的单调递增区间为(-√2,2). -1)×3”,…①， 同理可得，函数fx)的单调递减区间为(-∞， 则3Tn=1×32+3×33+…+(2n-1)×3m+1, -√2)和(2，+∞). …②， (2)因为函数f(x)在(-1,1)上单调递增， ①-②得-2T=3+2×32+2×33+…+2×3" 所以f'(x)≥0在(-1,1)上恒成立. -(2n-1)×3"+1 又f'(x)=[-x2+(a-2)x+a]e, 32-3”+1 =3+2×313-(2m-1)×3 所以[-x2+(a-2)x+a]e≥0，注意到e>0, =-6-(2n-2)×3m1, 因此-x2+(a-2)x+a≥0在(-1,1)上恒成 故Tn=(n-1)×3"+1+3. 立，也就是a=+1-中在(-1,1) x+1 21.(1)当a=1时，则f(x)=e-x-1f'(x)=e 上恒成立. -1, 可得f(1)=e-2,f'(1)=e-1, +则y'=1+ 设y=x+1-1 x+1)2>0, 即切点坐标为(1，e-2),切线斜率k=e-1, 即y=+1-中在(-1,1)单搁递增， 所以切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1), 即(e-1)x-y-1=0. 则y<11号放a2 (2)因为f(x)的定义域为R,且f'(x)=e-a, 若a≤0，则f'(x)≥0对任意x∈R恒成立， P211 可知f(x)在R上单调递增，无极值，不合题意； 若a>0,令f'(x)>0,解得x>lna; (n+n(n+1)=1-(n+21+, 令f'(x)<0,解得x<lna; 由(2)知x=e(0,1小，则月)=(+2 可知f(x)在(-o,na)内单调递减，在(lna, +∞)内单调递增， n1+）>1, 则fx)有极小值f(lna)=a-alna-a3,无极 所以h(n+l)-h(n)<0,故h(n)在neN*上 大值， 递减，故h(n)≤h(1)=1; 由题意可得：f(lna)=a-alna-a3<0,即a2 +lna-1>0, 下证a(a)-+nn+n> 5 构建g(a)=a2+lna-1,a>0, 令(x）=lnx-（+5)售且x>0,则 则g(a)=2a+>0, 4x+2 a p'(x)=（x-1)P(1-t) 可知g(a)在(0，+∞)内单调递增，且g(1) x(2x+1)21 =0, 当0<x<1时p'(x)>0,p(x)递增，当x>1时 不等式a2+lna-1>0等价于g(a)>g(1),解 ! p'(x)<0,p(x)递减， 得a>1,所以a的取值范围为(1，+∞). 所以p(x)≤p(1)=0,故在x∈(0，+∞)上 2.(1)x)=n(x+1D+n(5+）,则f'(x)= 2 n≤x+5):-少恒成立， 4x+2 1 1ln(x+1) x(x+1)+2(x+1)-x2 则a(m)-h(n+1)=(a+21+-1≤ 所以/2兮生， 21 放x=2处的切线斜率为 23+ 4n(3n+2)< (2)证明：要证x>0时/八x)=(任+2血(x+ 1)>1, 所以h(2)-h3)<1-2》A(3)-h4)< 即证ln(x+1)> 2x x+2, 2》am-)-a()<n1动) 令s)=nx+1)年且>0.则 累加得：a(2)-()<-》而h(2)=2 g'(x)=1-4 x+1(x+2)2(x+1)(x+2)>0, h2,则-m)<1-)-2+n2 所以g(x)在(0，+∞)上递增，则g(x)>g(0) =0,即ln(x+1)>2x 所以A(1)-h(m)<2h2-1+1-< x+21 所以x>0时fx)>1. 1 n2-1+7右放4(>君： (3)证明：设h(n)=ln(a)-u+hn+n, 综上名<h()≤1，即8<lh(nl)-(u+: n∈N", lnn+n≤l. 则(a+1)-h(a)=1+(a+nn- P2124新 数学选择性必修·第二册S) 材 习、究、练、测四位一体 考案（四) 本册综合检测（二） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的) 1.等差数列{an}中，a1+a=10,a4=7,则数列{an}的公差为 数 A.1 B.2 C.3 D.4 2.函数f(x)=(x-3)e的单调递增区间是 A.（-∞，-2) B.(2,+∞) C.(1,4) D.(0,3) 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S,=54,Sg-S=30,则S1= 兴 A.77 B.88 C.99 D.110 4.已知定义在R上的函数f(x)的图象如图所示，则f'(x)<0的解集为 A.(-0,0)U(1,2) B.（1,2) 翼 C.(0,1)U(2,+0) D.(0,1) 5.已知函数f(x)=x2-ax+3在(0,1)上为减函数，函数g(x)=x2-alnx在(1,2)上 为增函数，则a= A.1 B.2 C.0 D.2 6.如果圆柱轴截面的周长1为定值，则体积的最大值为 ☒ A() 3 3 7.(2023·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4=-5,。=21S2,则S。= A.120 B.85 C.-85 D.-120 郑 8.已知f(x)为定义在R上的可导函数，f'(x)为其导函数，且f(x)<f'(x)恒成立，其中e是自然对数的 底数，则 A.f(2022)<ef(2023) B.ef(2022)<f(2023) C.ef(2022)=f(2023)） D.ef(2022)>f(2023)） 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符 铭 合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分) 9.在公比g为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1+a4=18,a2+a3=12,则下列说 法正确的是 ( A.q=2 B.数列{Sn+2}是等比数列 C.S8=510 等 D.数列{lgan}是公差为2的等差数列 10.某湖边设有如图所示的护栏，柱与柱之间是一条均匀悬链.数学中把这种两端固定 的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称 为悬链线.如果建立适当的平面直角坐标系，那么悬链线可以表示为函数f(x)= 分(e产+e),其中a>0,则下列关于悬链线函数x)的性质判断正确的是（ D193 A.f(x)为偶函数 B.f(x)为奇函数 C.f(x)的单调递减区间为(-∞，0) D.f(x)的最大值是a 11.设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=-1,an+1=SnSn+1,则 r-1,n=1, 1 A.an= 20- B.an={11 In-1 n ,n≥2，neN C数列得}为等差数列 m=-5050 11,1 D+,+…+ 12.已知函数f(x)=xe+ax.则下列说法正确的是 A.当a=0时，f(x)min=0 B.当a=1时，直线y=2x与函数f(x)的图象相切 C.若函数f(x)在区间[0，+∞)上单调递增，则a≥0 D.若在区间[0,1]上，f(x)≤x2恒成立，则a≤1-e 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 18女5+5女8+3++47 1 1 14.曲线y=(x2+1)nx在(1,0)处的切线方程为 15.(2023·北京卷)我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测 量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{αn},该数列 的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1=1,a=12,a,=192,则a,=;数列{an}所有 项的和为 16.若函数f(x)= r2+2-a,x≤0 x2-ax+2,x>0 有三个不同的零点，则实数a的取值范围是 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分10分)在“①a+1>a,a2a,=51,a4+a,=20;②S=25a1,a2=3;③S。=n2”三个条件中 任选一个，补充到下面问题中，并解答. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且 ,nEN*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若b,=1,求数列{b,的前n项和T anan+1 注：如果选择多个条件分别解答.按第一个解答计分 P194 18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值4. (1)求实数a,b的值； (2)当a>0时，求曲线y=f(x)在点(-2，f(-2))处的切线方程. 19.(本小题满分12分)已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)e. (1)当a=2时，求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递增，求实数a的取值范围. 20.(本小题满分12分)数列a,}的前n项和为S,已知a,=1,+1 ’√S,S,√S,S,√SnSn+1 1-1 Sa+t (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{3”·an}的前n项和Tn 1954 21.(本小题满分12分)(2024·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=e-ax-a3. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围. 落 22(本小题满分12分)(223·天津卷)已刻知函数)=(：+号引(x+1). (1)求曲线y=f(x)在x=2处切线的斜率； (2)当x>0时，证明：f(x)>1; (3)证明名<h(a)-(a+2nn+n≤1. P1964