本册综合检测(1)(考案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

新数学选择性必修·第二贵 材习、究、练、测四位一体 考案（三） 10.已知数列a,满足a,=1,a=23a(neN),则下列结论正确的是 位+3为等比数列 B.a,的通项公式为4，=21-3 本册综合检测（一） C.{a为递增数列 D.的前n项和T.=22-3n-4 考试时间：120分钟，满分：150分 11.下列函数中，存在极值点的是 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 A.y=x-1 B.y=2 C.y=xsin x D.y=xin x 题目要求的) 1.数列1,3,52,7，…的第n项为 ( )12.已知函数八x)+1,则下列结论正确的是 e' A.(n+1) B.(2n+1)- A.函数f代x)存在两个不同的零点 C.(2m-1)9 D.(2n-1)- B.函数八x)既存在极大值又存在极小值 2已知曲线y= -3lnx的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为 C.当-e<k<0时，方程f(x)=有且只有两个实根 A.3 B.2 C.1 D若e.+)时)-是则1的最小值为2 3.已知各项均为正数的等比数列1a.的前4项和为15，且a,=3a+4a1,则a4= 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.(2023·全国甲卷)记5，为等比数列|a,的前n项和.若8S=7S,则1a,的公比为 A.16 B.8 C.4 D.2 14.已知函数fx)的导数为f'(x),且满足(x)=-x+2f'(1)x+e,则f'(1)= 4.函数y=nx 的大致图象可能是 15.已知)=nx+(a>0),若对任意两个不相等的正实数，，都有）-)>2恒成立， 则a的取值范围为 16.已知：若函数f八x),g(x)在R上可导八x)=g(x),则f'(x)=g'(x).又已知恒等式e2“=+a,x+ a2+…+a,x+,则am=2m. a4= 5.已知f八k)=k+(k+1)+(k+2)+…+2k(k∈N°)，则 四、解答题（本大题共6小题，共0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） A.f八k+1)-f(k)=2k+2 B.fk+1)-fk)=3k+3 17.(本小题满分10分)已知{a.是各项均为正数的等比数列，a1=2,a1=2a2+16 C.f代k+1)-f八k)=4k+2 D.fk+1)-f代k)=4k+3 (1)求a.的通项公式： 6.若函数)=宁子-心2+-5无极值点，则实数。的取值范围是 (2)设b。=log4.,求数列1b,}的前n项和. A.(-1.1) B.[-1.1] C.(-,-1 D.[1,+) 7.已知关于x的不等式1+2xnx≤mx2在[1，+x)上恒成立，则m的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.4 8.已知数列1a,的通项公式为a,一号期。，取得最大值时m为 A.2 B.3 C.4 D.不存在 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符 合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分】 9.在数列a,{中，an=-n2+1山m(n∈N,),则此数列最大的项是 A.as B.do C.a D.ds 1894 190 18.(本小题满分12分)已知函数)=-1nx 21.(本小题满分12分)(2023·新高考1卷)设等差数列a,的公差为d,且d>1.令6，=”+”，记3， (1)求f八x)的单调区间： T.分别为数列{a.{,|b.}的前n项和. (2)若f八a+2)<f代a)(aeR),求a的取值范围. (1)若3a2=3a,+a,S+T=21,求a,}的通项公式： (2)若b,}为等差数列，且S-T=99,求d. (keN).设6，=a 19(本小题满分12分)已知数列a满足4=2，且4=，+(kG (1)证明：数列引b.+1|为等比数列，并求出b。|的通项公式： (2)求数列|a.」的前2n项和S。, 22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=e-(其中e是自然对数的底数)，g(x)=ar2+x+I(aeR) (1)函数F(x)=八x)·(x)是否存在极值点？若存在，请求出极值点：若不存在，请说明理由： (2)当1≤x,<≤2时，均有f八x,）-f(x2）<g(x)-g(,)成立，求实数a的取值范围. 20.(本小题满分12分)若函数八x)=x3-b2+2,当x=2时，函数f八x)有极值-2. (1)求函数八x)的解析式： (2)求函数f(x)的极值： (3)若关于x的方程八x)-k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围. 191 192成立， 所以要证f代)>2na+,即证+ha+1+ d-x>2ha+,即i证d-号-na>0, 令g(a)=a2--lna(a>0),则 g'(a)=2a-1-2a2-1 a 令g'(a)<0,则0<a<)号； √2 令g'(a)>0,则a>2: 所以ga)在o,习上单润递减，在停+上 单调递增， 所以go==--h ln√2>0，则g(a)>0恒成立， 所以当a>0时，(x)>2ha+恒成立，证毕 考案（三） 1.D因为数列1,3,52,73，…底数为1,3,5,7…， 通项为2n-1,指数为0,1,2,3…通项为n-1,所 以数列1,3,52,73，…的第n项为(2n-1)"-1 2.A设切点坐标为(06)，且0>0，y=x-3 ·。-3=2,解得=3. xo 3.C设公比为q,由题意得 ra(1+9+g+g3)=15, la9=a1(3g+4), 解得 a1=1, g=2.六a=a92=4 4.D当x=e时，y=1,即函数过点(e,1),排除A; 因为y=古女所以y=>0且 1,当x>1时，函数单调递减；当0<x<1时，函 数单调递减，排除B,C. 5.Bf(k)=k+(k+1)+(k+2)+·+2k(k∈ N*),则f(k+1)-f(k)=(k+1)+(k+2)+(k +3)+…+(2k-1)+2+(2k+1)+2(k+1) P20 -[k+(k+1)+(k+2)+…+2k]=3k+3. 6.B因为f)=了-a+x-5, 所以f'(x)=x2-2ax+1, 因为函数x)=字-a2+x-5无极值点， 所以(-2a)2-4≤0，解得-1≤a≤1， 故实数a的取值范围是[-1,1]. 2A依题意，1+2nx≤m⊙m三2n+,子， 令g(x)=2nx1 + 故g'(x)=2(x-xnx-1) x3 令h(x)=x-xlnx-1,则h'(x)=-lnx, 故当x∈[1，+o)时，h'(x)=-lnx≤0， h(x)在[1，+o∞)上单调递减， 所以h(x)≤h(1)=0,所以g'(x)≤0， 故g()-2h+1,+x)上单调递减。 x 故m≥[g(x)]mx=g(1)=1,故m的最小值 为1. 8B依题意4=方=84=1，a构造 1 8 函数)（≥4）， f(e)=32.3-:3ln3=2(3-xn3 (3)2 3 因为x≥4，n3>1,xln3>4, 所以f'(x)<0在[4，+∞)上恒成立， 所以f(x)在区间[4，+∞)上单调递减， 所以当n≥4时，{an}是单调递减数列， 所以a.的最大值为a3=1. 所以a.取得最大值时n为3. 9ABa=-+n=-a-+. :n∈N,,.当n=5或n=6时，am取最大 值30. 10.ABD本题考查由递推公式判断数列的通项公 式及前n项和因为，1=2+30=2+3，所以 an+l an an +3=2位+3又+3=40.所以 /1 An+l a 54 日+3}是以4为首项，2为公比的等比数列. 故A正确：+3=4×2”-，所以，=2-3 1 a 10x 故B正确；由选项B可知{an}为递减数列，故C 错误：的前n项和T,=(2-3)+(2-3) 8.-2 若q=1,则由8S6=7S3得8·6a1=7· a +…+(2+1-3)=2×(2+22+…+2"）-3n 3a1,则a1=0,不合题意.所以g≠1. =2×2×(1-2）-3n=2+:-3n-4,故D 当g≠1时，因为8S。=7S3, 1-2 正确. 所以8.1-g)=7.0(1-9） 1-9 1-9 1.BCD对于A,求导得y=1+>0,函数在 即8·(1-g)=7·(1-g3),即8·(1+g)(1 -9)=7·(1-g),即8·(1+g)=7, (-∞，0)和(0，+0)上单调递增，所以函数无 极值点； 解得g一分 对于B,x=0是函数的极小值点； 14.3-ef'(x)=-3x2+2f'(1)+e, 对于C,求导得y'=sinx+xcos x,当x∈ .f'(1)=-3+2f'(1)+e, (-受0时，y<0,当xe0,）时>0，x=0 ∴.f'(1)=3-e. 15.[1,+0)对任意两个不相等的正实数x1,x2, 时，y'=0,所以x=0是函数的极小值点； 对于D,求导得=1+n,当x∈(0，)时， 都有）-）>2恒成立，则当x>0时. X1-x2 y<0,当xe(，+时y>0,当=时， f"(x)≥2恒成立f'(x)=朵+x≥2在(0， +o）上恒成立，则a≥(2x-x2)max=1. y=0,所以x=二是函数的极小值点.综上，存 e 16.1 20 11 令x=0,则a=e°=1， 在极值点的函数是BCD. 2.ABCf(x)=0→x2+x-1=0,解得x= 因为e2=a0+a1x+a2x2+…+anx”+…, -1±5，所以A正确： 所以(e2）′=2e2x=a1+2a2x+…+nanx”-1+ 2 (n+1)an+1x+…, f'(x)=--x-2=-(x+1)(x-22 e 对比x项的系数可得a,=n+1)a4 2 当f'(x)>0时，-1<x<2; 所以1=2 当f'(x)<0时，x<-1或x>2. an n+1' 故(-∞，-1)，(2，+∞)上函数的单调递减区 所以8=， 2 间，(-1,2)是函数的单调递增区间，所以 f(-1)是函数的极小值， f(2)是函数的极大值，所以B正确. 所以微2x1+分+…+》 当x→+0时，y→0，根据B可知，函数的最小 =20 值是f(-1)=-e,再根据单调性可知，当-e 1 17.（1)设{an}的公比为g,由题设得2g2=4g+16, <k<0时，方程∫(x)=k有且只有两个实根， 所以C正确； 即g2-2g-8=0. 由图象可知，的最大值是2，所以不正确， 解得q=-2(舍去)或q=4. 因此an}的通项公式为an=2×4"-1=22n-1. P2064 (2)由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,因此 实数解，则f代x)=k有三个不同的实数根，即y 数列{bn}的前n项和为1+3+…+2n-1=n2. =(x)的图象与直线y=k有三个交点.由(2) 18.(1)f(x)的定义域为(0，+∞). 可得函数f(x)的图象如图所示， ∴.f'(x)<0在(0，+∞)上恒成立 即f(x)单调递减区间为(0，+∞. ra+2>0. (2)f(a+2)<f(a2)等价于{a2>0, 解得 ∴.实数k的取值范围为-2<k<2. la+2>a2, 21.（1).3a2=3a1+a3,∴.3d=a1+2d,解得a1 -1<a<0或0<a<2, =d, ∴.a的取值范围为(-1,0)U(0,2) ∴.S3=3a2=3(a1+d)=6d, 19.(1)证明：由题设bn+1=a2n+2=a(2m+)+1=a2m+l 2,6,129 +1-21-或+1断号 T;=b+b2+b=d+id+3d=d 2,又b1+1=a2+1=a1+1+1=4,所以{bn+ 3+7=6d+号=21， 1}是首项为4，公比为2的等比数列，所以bn+ 1=4·2-1,所以bn=4·2-1-1=2+1-1. 即2d-7d+3=0,解得d=3或d=(舍去)， (2)S2n=41+a2+a3+…+a2m=(a1+a3+…+ .am=a1+(n-1)·d=3n. a2m-1）+(a2+a4+…+a2m）=(a2+a4+…+ (2)·{bn}为等差数列， a2n-n)+(a2+a4+…+a2n）=2(a2+a4+… 26,=6,+b,即2=2+12 +a2n）-n=2(b1+b2+…+bn）-n=2(22+2 a2 a1 a3 +2+…+21-n）-n=2x21-2）-3n 6d=1,即a-3a,d+2t=0, 1-2 =2m+3-3n-8. 解得a1=d或a1=2d, 20.（1)函数f(x)=ax3-bx2+2, .d>1,∴.am>0, ∴.f'(x）=3ax2-2bx, 又S9-Tg=99,由等差数列性质知，99a0- 由题意知，当x=2时，函数f(x)有极值-2， 99b50=99,即a50-bs0=1, 2)=0,即2a-46=0, ÷4-2550=1,即心。-a0-2550=0,解得 f(2)=-2,18a-46+2=-2, aso a50=51或a50=-50(舍去) 等得化： 当a1=2d时，ao=a1+49d=51d=51,解得d 故所求函数的解析式为f(x)=x3-3x2+2. =1,与d>1矛盾，无解： (2)由(1)得f'(x)=3x2-6x=3x(x-2), 当a,=d时，aso=a1+49d=50d=51,解得d 令f'(x)=0,得x=0或x=2, 当x变化时，f'(x)f(x)的变化情况如下表. 50 (-∞，0) 0 (0,2) (2,+0) 综上，d 50 '(x) 0 0 × 22.(1)由题意知，F(x)=f(x)·g(x)=e-1· f(x)单调递增 单调递减 -2 单调递增 (ax2+x+1）,F'(x)=e-1·[ax2+(2a+1)x 因此，当x=0时，f(x)有极大值2，当x=2时， +2]=e-1·(ax+1)·(x+2). f(x)有极小值-2 ①当a=0时，F'(x)=e-1·(x+2), (3)若关于x的方程f(x)-=0有三个不同的 F(x)在(-∞，-2)上单调递减，在(-2， P207 +∞)上单调递增， F(x)有极小值点x=-2,无极大值点. 考案（四） ②当a<0时，-1>0>-2， 1.B∵a1+a5=2a3=10,.a3=5,.d=a4-a3= ! 7-5=2. ()在(-，-2)(-合+ 上单调递减，2.Bf'(x)=(x-2)e,令f'(x)>0,(x-2)e>0, ! ∴.x-2>0,.x>2,∴.f(x)的递增区间为(2， 在(-2，- 上单调递增， +0). 3.BS=54,S8-S=30, F(x)有极小值点x=-2,有极大值点x=- 则9(a,+a）=9a,=54, ③当a>0时， 2 当a=时，F'()=3et(x+2)≥0 解得a5=6,ag+a1+a6=3a7=30, 解得a7=10, 在R上单调递增，不存在极值点； 所以2a6=a5+a7=6+10=16, 当a>2时，->-2， 解得a6=8, 所以S1 11(a1+an）=11a6=88. P(x)在(-0，-2)-+上单调递增， 2 4.C当x<0时f'(x)<0,所以f'(x)>0,不满 在(-2- 上单调递减， 足题意；当0<x<1时，f'(x)<0,所以f'(x) <0,满足题意；当1<x<2时，f'(x)>0,所以 F(x)有极大值点x=-2,极小值点x=- xf'(x)>0,不满足题意；当x>2时，∫'(x)<0, 当0<a<时，-<-2. 所以xf'(x)<0,满足题意。 5.B·f(x)在(0,1)上为减函数， P()在-，日(-2，+)上单调递增， 对称轴=受≥1， 在-1-2上单调递减。 .a≥2. g'(x)=2x-a=2x2-a F)有极大值点x=一。极小值点=-2 g(x)在(1,2)上为增函数， (2)f(x,)-f(x2)<g(x)-g(x)等价于f(x) .g'(x)≥0在(1,2)上恒成立， -g(x1)<f八x2)-g(x2), 2x2-a≥0在(1,2)上恒成立， 所以函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[1,2]上 ∴.a≤2x2在(1,2)上恒成立， 单调递增， ∴.a≤2，综上可知，a=2. h(x)=e-1-ax2-x-1,.h'(x)=e-1- 6.A设圆柱的底面半径为r,高为h,体积为V, 2ax-1≥0在[1,2]上恒成立， 则4r+2h=l, 则21 ,x∈[1,2]， min h-2,==r-2m0<r< 令40e12 则V'=lmr-6mr2, 则p(x=e·-。+1=-1)·e+1 令V=0,得r=0或r= 6 0,故p(x)在[1,2]上单调递增，∴.p(x)mim= 而r>0,.r= 是其唯一的极值点， p(1)=0,∴.a≤0，故实数a的取值范围是 (-0,0]. 当=6时，V取得最大值，最大值为 P2084