5 数学归纳法(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

练案［１２］ 第一章　 数列 § ５　 数学归纳法 Ａ组·基础自测 一、选择题 １．用数学归纳法证明“１ ＋ ａ ＋ ａ２ ＋…＋ ａ２ｎ ＋１ ＝ １ － ａ２ｎ ＋２ １ － ａ （ａ≠１）”．在验证ｎ ＝ １时，左端计算 所得项为 （Ｃ ） Ａ． １ ＋ ａ Ｂ． １ ＋ ａ ＋ ａ２ Ｃ． １ ＋ ａ ＋ ａ２ ＋ ａ３ Ｄ． １ ＋ ａ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＋ ａ４ ２．已知ｎ为正偶数，用数学归纳法证明１ － １２ ＋ １ ３ － １ ４ ＋…＋ １ ｎ － １ － １ ｎ ＝ ２ １ ｎ( ＋ ２ ＋ １ｎ ＋ ４ ＋… ＋ １２ )ｎ 时，若已假设ｎ ＝ ｋ（ｋ≥２）为偶数时命题 为真，则还需要用归纳假设再证ｎ ＝ 　 　 　 　 时等式成立． （Ｂ ） Ａ． ｎ ＝ ｋ ＋ １ Ｂ． ｎ ＝ ｋ ＋ ２ Ｃ． ｎ ＝ ２ｋ ＋ ２ Ｄ． ｎ ＝ ２（ｋ ＋ ２） ３．用数学归纳法证明ｎ ＋（ｎ ＋ １）＋（ｎ ＋ ２）＋… ＋（３ｎ － ２）＝（２ｎ － １）２（ｎ∈Ｎ ＋）时，若记ｆ（ｎ） ＝ ｎ ＋（ｎ ＋ １）＋（ｎ ＋ ２）＋…＋（３ｎ － ２），则 ｆ（ｋ ＋ １）－ ｆ（ｋ）等于 （Ｃ ） Ａ． ３ｋ － １ Ｂ． ３ｋ ＋ １ Ｃ． ８ｋ Ｄ． ９ｋ ４．用数学归纳法证明不等式１ｎ ＋ １ ＋ １ ｎ ＋ ２ ＋…＋ １ ｎ ＋ ｎ ＞ １３ ２４（ｎ≥２，ｎ∈Ｎ ＋）的过程中，由ｎ ＝ ｋ 递推到ｎ ＝ ｋ ＋ １时，不等式左边增加了 （Ｄ ） Ａ． １２（ｋ ＋ １） Ｂ． １ ２ｋ ＋ １ ＋ １ ２ｋ ＋ ２ Ｃ． １２ｋ ＋ １ － １ ｋ ＋ １ Ｄ． １ ２ｋ ＋ １ － １ ２ｋ ＋ ２ ５．（多选）对于不等式ｎ２ ＋槡 ｎ≤ｎ ＋ １（ｎ∈Ｎ）， 某同学运用数学归纳法的证明过程如下： ①当ｎ ＝ １时， １２槡＋ １≤１ ＋ １，不等式成立． ②假设当ｎ ＝ ｋ（ｋ≥１，ｋ∈Ｎ）时，不等式成立， 即ｋ２ ＋槡ｋ ≤ ｋ ＋ １，则当ｎ ＝ ｋ ＋ １ 时， （ｋ ＋１）２ ＋（ｋ ＋１槡 ） ＝ ｋ２ ＋３ｋ槡 ＋２ ＜ ｋ２ ＋３ｋ ＋２ ＋（ｋ ＋２槡 ）＝ （ｋ ＋２）槡 ２ ＝（ｋ ＋１）＋１， 所以当ｎ ＝ ｋ ＋ １时，不等式成立．上述证法 （Ｂ ） Ａ．过程全部正确 Ｂ． ｎ ＝ １时证明正确 Ｃ．过程全部不正确 Ｄ．从ｎ ＝ ｋ到ｎ ＝ ｋ ＋ １的推理不正确 二、填空题 ６．用数学归纳法证明１ ２２ ＋ １ ３２ ＋…＋ １（ｎ ＋ １）２ ＞ １ ２ － １ｎ ＋ ２．假设ｎ ＝ ｋ时，不等式成立，则当ｎ ＝ ｋ ＋ １时，应推证的目标不等式是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． ７．在数学归纳法的递推性证明中，由假设ｎ ＝ ｋ 时成立推导ｎ ＝ ｋ ＋ １时成立时，ｆ（ｎ）＝ １ ＋ １２ ＋ １３ ＋…＋ １ ２ｎ － １ 增加的项数是２ｋ 　 　 ． ８．已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，满足Ｓｎ ＋ １Ｓｎ ＋ ２ ＝ ａｎ（ｎ≥２），ａ１ ＝ － ２３，则Ｓｎ ＝ 　 　 　 　 ． 三、解答题 ９．求证：（ｎ ＋ １）（ｎ ＋ ２）…（ｎ ＋ ｎ）＝ ２ｎ·１·３· ５·…·（２ｎ － １）（ｎ∈Ｎ）                                                                ． —１００— １０．在数列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝中，ａ１ ＝ ２，ｂ１ ＝ ４，且ａｎ，ｂｎ， ａｎ ＋１成等差数列，ｂｎ，ａｎ ＋１，ｂｎ ＋１成等比数列 （ｎ∈Ｎ）． 求ａ２，ａ３，ａ４及ｂ２，ｂ３，ｂ４，由此猜测｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝ 的通项公式，并证明你的结论． Ｂ组·能力提升 一、选择题 １．用数学归纳法证明不等式１ ＋ １２ ＋ １ ４ ＋…＋ １ ２ｎ －１ ＞１２７６４成立时，起始值ｎ至少应取为 （Ｂ ） Ａ． ７ Ｂ． ８ Ｃ． ９ Ｄ． １０ ２．已知ｆ（ｎ）＝ １ｎ ＋ １ ｎ ＋ １ ＋ １ ｎ ＋ ２ ＋…＋ １ ｎ２ ，则 （Ｄ ） Ａ． ｆ（ｎ）中共有ｎ项，当ｎ ＝ ２时，ｆ（２）＝ １２ ＋ １ ３ Ｂ． ｆ（ｎ）中共有（ｎ ＋ １）项，当ｎ ＝ ２时，ｆ（２）＝ １ ２ ＋ １ ３ ＋ １ ４ Ｃ． ｆ（ｎ）中共有（ｎ２ － ｎ）项，当ｎ ＝ ２时，ｆ（２）＝ １ ２ ＋ １ ３ Ｄ． ｆ（ｎ）中共有（ｎ２ － ｎ ＋ １）项，当ｎ ＝ ２时， ｆ（２）＝ １２ ＋ １ ３ ＋ １ ４ ３．用数学归纳法证明１ － １２ ＋ １ ３ － １ ４ ＋…＋ １ ２ｎ － １ － １ ２ｎ ＝ １ ｎ ＋ １ ＋ １ ｎ ＋ ２ ＋…＋ １ ２ｎ（ｎ∈Ｎ ）， 则从ｋ到ｋ ＋ １时左边添加的项是 （Ｄ ） Ａ． １２ｋ ＋ １ Ｂ． １ ２ｋ ＋ ２ － １ ２ｋ ＋ ４ Ｃ． － １２ｋ ＋ ２ Ｄ． １ ２ｋ ＋ １ － １ ２ｋ ＋ ２ 二、填空题 ４．平面上有ｎ条直线，它们任何两条不平行，任 何三条不共点，设ｋ条这样的直线把平面分成 ｆ（ｋ）个区域，则ｋ ＋１条直线把平面分成的区域 数ｆ（ｋ ＋１）＝ ｆ（ｋ）＋ ｋ ＋１　 ． ５．用数学归纳法证明１ ＋ １( )３ １ ＋ １( )５ １ ＋ １( )７ · …·１ ＋ １２ｋ( )－ １ ＞ ２ｋ槡＋ １２ （ｋ ＞ １），则当ｎ ＝ ｋ ＋ １时，在ｎ ＝ ｋ时的左端应乘上　 　 　 　 　 　 　 ，这个乘上去的代数式共有因式的个数 是　 　 　 　 ． 三、解答题 ６．在数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ １，ａｎ ＋１ ＝ ２ａｎ２ ＋ ａｎ（ｎ∈Ｎ ）． （１）分别求出ａ２，ａ３，ａ４，并根据上述结果猜想 这个数列的通项公式； （２）请用数学归纳法证明（１）中的猜想． Ｃ组·创新拓展 用数学归纳法证明３４ｎ ＋２ ＋ ５２ｎ ＋１能被１４整除 的过程中，当ｎ ＝ ｋ ＋ １时，３４（ｋ ＋１）＋２ ＋ ５２（ｋ ＋１）＋１ 应变形为２５（３４ｋ ＋２ ＋ ５２ｋ ＋１）＋ ５６·３４ｋ ＋２　                                                                      ． —１０１— 所以经过n年,该市更换的公交车总数 .-5. 7.-25()-140-1)。 5的等比数列. a。-500-(a-500)x()-360 () (2)因为256()-1.400n (n-1)a(a>o)是关于^ 2 即=300()500 的单调递增函数,因此F.是关于a的单调递增函数,所以满 足a的最小值应该是F,=1000即25$()'-1]4+400× 令=3200可行()_4. 7+76=1000. #-1)_ .n-1=- # 所以a的最小值为147 B组·能力提升 1.B 纸的厚度相同,且各层同心圆直径成等差数列,则(=rd。 .n10.故选D. +n.+. n=60 x4+12=480×3.14=1507.2(m) 练案[12] 2 A组·基础自测 ~15m.故选B. 1.C 由a'知,当n=1时,等式的左边是1+a+a^}+a. 2.B 2024年1月1日,2023年1月1日,....2019年1月1日2.B 由数学归纳法的证明步骤可知,假设n三i(2)为偶数 存入钱的本息分别为a(1+r),a(1+r),..,a(1+r),求和 可得(17)1-(1)“]--[(1+r)”-(1+1)]. 时命题为真. 则还需要用归纳假设再证n=k+2. 1-(14r) 不是n=k41,因为n是偶数,h+1是奇数, 3.C 不妨设2022年1月份甲、乙两工厂的产值均为a,甲工厂: 故选B. 以后每个月比前一个月增加的产值为d(d>0).乙工厂以后 3.C 因为/f(k)=k+(k+1)+(k+2)+.+(3k-2)(k+1) 每个月比前一个月产值增加的百分比为g(a>0),则由题意 =(k+1)+(k+2)+.+(3-2)+(3-1)+3k+(3k+ 得a+10d=a(1+g)".易知甲、乙两工厂2022年6月份的产 $).则f(k+1)-f(k)=3-1+3+3+1-k=8 值分别为a+5d.a(1+q)=a· 11 +10ad<a+5d,所以2022年6月甲工厂的产值大于乙 11 当=+1时,左端2+3++1+2+1+ , 工厂的产值. ② ②-①2+1-22 为x.则ax90%x(1+x)=a. 5.BD 易知当a=1时,该同学的证法正确.从n=:到n=k+1 的推理过程中,该同学没有使用归纳假设,不符合数学归纳法 5.a(1+b)a(1+b)2021年产生的垃圾量为a吨,下一年 的证题要求,故推理不正确 的垃圾量在2021年的垃圾量的基础之上增长了ab吨,所以 下一年的垃圾量为a(1+b)吨;2026年是从2021年起再过5{6.1 观察不 年,所以2026年的垃圾量是a(1+b)吨. 6.(1)由题意得/fn)=14.4+(0.2+0.4+0.6+...40.2n)+ 0.9n=14.4.0. 2n(n+1) 0. 9n=0 1n*+n+14.4. 1)) 1 2 (2)设该车的年平均费用为S万元,则有 !7.2 当n-&时成立, 1=3.4. 3.4. ·.这种新能源汽车使用12年报废最合算,年平均费用的最小 值是3.4万元 所以增加的项数是(2*+2-1)-(2-1)-2 C组·创新拓展 18+1 D 设经过a年之后,该果园的资金为a.万元,由题意知a.= 1,因 800x(1+20%)-100=860,a.:=a.x(1+20%)-100= _.10. 所以5-25 2(-) .可知a.-500;0.:数列a.-500l为首项为360,公比为 -165- 2+(-) 4.k+1当n=k+1时,第k+1条直线被前^条直线分成(k+ 1)段,而每一段将它们所在区域一分为二,故增加了k+1个 区域. 证明: 5.(1)(1)(1)2 当n=1时,S.=- 因为分母的公差为2.所以乘上去的第一个因式是 假设当n=k时成立,即s-左+1 (1)最后一个是(1),根据等差数列通项公 -k+2 当a=k+1时,S=-2+5= 1 1 h+2 式可求得共有(2-1)-(21)1-2-21-2-项. +3 2 6.(1)在数列la.中,a=1,a.-2 2a(neN'). 当n=k+1时,猜想也成立。 综上所述,s.=-n41 n+2 9.(1)当n=1时,等式左边=2.右边=2,故等式成立 (2)假设当n=k(keN',k1)时等式成立, 即(k+1)(k+2)·....(k+k) =2.1·3.5....(2-1). 那么当n=k+1时, 左边=(k+1+1)(k+1+2)(+1+k+1) =(k+2)(k+3)..(k+k)(2k+1)(2k+2) =2·1·3·5....(2-1)(2k+1)·2 =2**.1·3·5....(2-1)(2+1) 所以a---2- -2*1.1·3·5....[2(+1)-1]. 猜测。。 这就是说当a=k+1时等式也成立. 由(1)(2)可知,对所有neN等式成立 10. 由已知得2b.=a.+a..i,a..=b.b.,a.=2,b=4, 由此可得a.=6.b=9.a.=12.b.=16.a.=20. b.=25. 所以a.=1.所以n=1时,等式成立; ②假设当a-k时,等式成立,即a- 猜想a.=n(n+1).b.=(n+1). 2 用数学归纳法证明如下: ①当n-1时,可得结论成立 则 1_2 2+1 2a_ ②假设当n=k(h>1.h=N* )时,结论成立; 即a.=k(k+1),b=(k+1) 那么当a=k+1时; -(1)+1' 2 a =2b -a=2(k+l)}-k(k+1)=(k+1)·(k+2) #. -.1)(+2)#}(k+2). 所以n=k41时,等式成立 (+1) 当n=k+1时,结论也成立. 由①②可知,a.=n(n+1).b.=(n+1)对一切正整数n都C组·创新拓展 成立。 25(3.*+5-.1)+56·3+2 当n-k+1时,3(.11.+ B组·能力提升 52(.1181·3*+25·5--25(3*+5)+56 1-() 1.B14.1-, .3{2 1-2 练案[13] 17.面1).B. A组·基础自测 1.D 由题意,可得平均变化率 (x。+△)-)(xo)2(xo+4x)-2xo-2. 2.D 由f(n)可知,f(n)中共有(n-n+1)项,且n=2时f(2) △x △c -故选D. 故选D. 2.B 由已知得:m"-1-(1-1)-3. n-1 .m-10.m+1=3.:.m=2. 2 Ar (A)*+8+4(4+A)-+8-16+4 #1 -3△t A -166-