3.2 第2课时等比数列习题课(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

练案［１０］ 第一章　 数列 § ３　 ［３． ２　 第２课时　 等比数列习题课］ Ａ组·基础自测 一、选择题 １．数列｛（－ １）ｎｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，则Ｓ２ ０２４ ＝ （Ｂ ） Ａ． １ ０１１ Ｂ． １ ０１２ Ｃ． ２ ０２３ Ｄ． ２ ０２４ ２．如图，作一个边长为１的正方形，再将各边的 中点相连作第二个正方形，依此类推，共作了 ｎ个正方形，设这ｎ个正方形的面积之和为 Ｓｎ，则Ｓ５ ＝ （Ｂ ） Ａ． １７１６ Ｂ． ３１ １６ Ｃ． ６３ ３２ Ｄ． ３３ ３２ ３．已知等比数列｛ａｎ｝的公比是ｑ，首项ａ１ ＜ ０，前 ｎ项和为Ｓｎ，设ａ１，ａ４，ａ３ － ａ１ 成等差数列，若 Ｓｋ ＞ ３１ １６ａ１，则正整数ｋ的最大值是 （Ａ ） Ａ． ４ Ｂ． ５ Ｃ． １４ Ｄ． １５ ４．已知数列｛ａｎ｝的通项公式是ａｎ ＝ ２ ｎ － １ ２ｎ ，其前 ｎ项和Ｓｎ ＝ ３２１６４ ，则项数ｎ等于 （Ｄ ） Ａ． １３　 　 　 Ｂ． １０　 　 　 Ｃ． ９　 　 　 Ｄ． ６ ５．（多选）已知等比数列｛ａｎ｝的公比为ｑ，前ｎ 项和为Ｓｎ，且满足ａ６ ＝ ８ａ３，则下列说法正确 的是 （Ｂ ） Ａ．｛ａｎ｝为单调递增数列 Ｂ． Ｓ６ Ｓ３ ＝ ９ Ｃ． Ｓ３，Ｓ６，Ｓ９成等比数列 Ｄ． Ｓｎ ＝ ２ａｎ － ａ１ 二、填空题 ６．数列２２， ４ ２２ ，６ ２３ ，…，２ｎ ２ｎ ，…前ｎ项的和为　 　 　 ． ７．已知各项都为正数的等比数列｛ａｎ｝，若ａ８· ａ１２ ＋ ５ａ１０ ＝ １４，则ｌｏｇ２ａ１ ＋ ｌｏｇ２ａ２ ＋ ｌｏｇ２ａ３ ＋… ＋ ｌｏｇ２ａ１９ ＝ １９　 　 ． ８．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸 时经常会沿着纸的某条对称轴把纸对折．规 格为１２ ｄｍ × ２０ ｄｍ的长方形纸，对折１次可 以得到１０ ｄｍ ×１２ ｄｍ和２０ ｄｍ ×６ ｄｍ两种规 格的图形，它们的周长之和为Ｃ１ ＝ ９６ ｄｍ，对 折２次可以得到５ ｄｍ ×１２ ｄｍ，６ ｄｍ ×１０ ｄｍ， ３ ｄｍ ×２０ ｄｍ三种规格的图形，它们的周长之 和为Ｃ２ ＝ １１２ ｄｍ，以此类推，则对折５次后能 得到的所有不同规格图形的种数为６　 ；如果 对折ｎ次后，那么能得到的所有不同规格图 形的周长之和Ｃｎ ＝ 　 　 　 　 ｄｍ． 三、解答题 ９．已知｛ａｎ｝是首项为１９，公差为－ ４的等差数 列，Ｓｎ为｛ａｎ｝的前ｎ项和． （１）求数列｛ａｎ｝的通项公式及前ｎ项和Ｓｎ； （２）设｛ｂｎ － ａｎ｝是首项为１，公比为２的等比 数列，求数列｛ｂｎ｝的通项公式及前ｎ项和Ｔｎ                                                                ． —０９６— １０．（２０２３·全国甲卷）已知数列｛ａｎ｝中，ａ２ ＝ １， 设Ｓｎ为｛ａｎ｝前ｎ项和，２Ｓｎ ＝ ｎａｎ． （１）求｛ａｎ｝的通项公式； （２）求数列ａｎ ＋ １ ２{ }ｎ 的前ｎ项和Ｔｎ． Ｂ组·能力提升 一、选择题 １．已知首项为１的数列｛ａｎ｝中，ａｎ ＋１ ＝ ２ａｎ ＋ １， ｎ∈Ｎ，则ａ２ ０２３ ＝ （Ｃ ） Ａ． ２２ ０２２ － １ Ｂ． ２２ ０２２ Ｃ． ２２ ０２３ － １ Ｄ． ２２ ０２３ ２．在等比数列｛ａｎ｝中，ａ２ ＋ ａ３ ＋…＋ ａ８ ＝ ８，１ａ２ ＋ １ ａ３ ＋…＋ １ａ８ ＝ ２，则ａ５的值是 （Ａ ） Ａ． ± ２ Ｂ． ２ Ｃ． ± ３ Ｄ． ３ ３．（多选）将数列｛３ｎ － ２｝与｛２ｎ｝的公共项从小 到大排列得到数列｛ａｎ｝，则下列说法正确的 有 （Ｂ ） Ａ．数列｛ａｎ｝为等差数列 Ｂ．数列｛ａｎ｝为等比数列 Ｃ． ａｎ ＝ ４ ｎ ＋１ Ｄ．数列｛（３ｎ － ２）ａｎ｝的前ｎ项和为（ｎ － １）４ｎ ＋１ ＋ ４ 二、填空题 ４．等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ ３ｎ ＋１ ＋ ａ（ａ为 常数），ｂｎ ＝ １ａ２ｎ，则数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和为 　 　 　 　 　 ． ５．已知数列｛ａｎ｝的各项均为正数，其前ｎ项和 Ｓｎ满足ａｎ·Ｓｎ ＝ ９（ｎ ＝ １，２，…）．给出下列四 个结论： ①｛ａｎ｝的第２项小于３； ②｛ａｎ｝为等比数列； ③｛ａｎ｝为递减数列； ④｛ａｎ｝中存在小于１１００的项． 其中所有正确结论的序号是①③④　 ． 三、解答题 ６．（２０２４·全国甲卷理）记Ｓｎ为数列｛ａｎ｝的前ｎ 项和，已知４Ｓｎ ＝ ３ａｎ ＋ ４． （１）求｛ａｎ｝的通项公式； （２）设ｂｎ ＝（－ １）ｎ －１ ｎａｎ，求数列｛ｂｎ｝的前ｎ 项和Ｔｎ． Ｃ组·创新拓展 （多选）提丢斯·波得定律是关于太阳系中行 星轨道的一个简单的几何学规则，它是在 １７６６年由德国的一位中学老师提丢斯发现 的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一 条定律，即数列｛ａｎ｝：０． ４，０． ７，１，１． ６，２． ８， ５． ２，１０，１９． ６，…，表示的是太阳系第ｎ颗行星 与太阳的平均距离（以天文单位Ａ． Ｕ．为单位）． 现将数列｛ａｎ｝的各项乘１０后再减４，得到数列 ｛ｂｎ｝，可以发现数列｛ｂｎ｝从第３项起，每项是前 一项的２倍，则下列说法正确的是 （Ｃ ） Ａ．数列｛ｂｎ｝的通项公式为ｂｎ ＝ ３ × ２ｎ －２ Ｂ．数列｛ａｎ｝的第２ ０２４项为０． ３ × ２２ ０２３ ＋ ０． ４ Ｃ．数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ ０． ４ｎ ＋ ０． ３ × ２ｎ －１ － ０． ３ Ｄ．数列｛ｎｂｎ｝的前ｎ项和Ｔｎ ＝ ３（ｎ － １）·２ｎ                                                                      －１ —０９７— 当=-5时,由①得d-8.则S.=21. 练案[10] 当 =4时,由①得d=-1.则$.=-6. A组·基础自测 B组·能力提升 1.B$=(-1+2)+(-3+4)++(-2021+202 )+ 1. Ba;=1=1=1,又a=4.=4. (-2023+2024)=1012. -(1-”)1-44-1 .+++..+a.= “=1-4=3 2.B. 依题意,从第2个正方形开始,以后每个正方形边长都是 1-- 2.A 设公比为q'a.+2a.+a=0a+2a+a=0. $+2a+=0”+2+1=0=-1 又:.=2. 方形开始,每个正方形面积都是前一个正方形面积的一, .5-(1-)2[1-1-1)1-2 因此,将各正方形面积依次排成一列可得等比数列a ,其首 1-7 1+1 #行### 3.C 因为a...=a.a.,.=2. 令m=1.可得a=a.a.=2a.. 所以数列a.是首项为2,公比为2的等比数列。 所以s-二 1-# 则a.=2·2”-=2*, 所以._. ..-..(1-2 3.A 由题意得,2a.“a.+a.-a, 1-2 2-.1.(1-2)-2(2“1)-2(2“-1). 1-2 “1()3 所以2*1-2,则+1-5.解得k=4. 因为= 4121 1- 由a-a。得(a):-a',整理得--3. 3ac0,解得k<5. 2 1x(1-35) 又因为keN.,所以k=4 -2--1- ..二 1-3 4.D.= 2 5.752 设小球每次着地后跳回的高度构成数列a. .则数列 $(-)(1-)+(1-)(-) a.为等比数列. 128x1-()1 -#) a128-,-12 -248 1- (1-). _) 共经过的路程为256+2S.=752(米). - 6.(1)由已知,ab。tb,=b,b=1,b:=3. -1 得a.=2. 所以数列a. 是首项为2,公差为3的等差数列 5. BD由a=8.,可得=8a.,则y=2. 通项公式为a.-3n-1. 1~26 是首项为1,公比为-的等比数列.记b.的前n项和为S。 $.x$,即(1-2)=(1-2)(1-2),不成立,显然$,$ S。不成等比数列,故C错误;由a。是公比为g的等比数列 则$=- _ C组·创新拓展 D正确. ① #4 所以第10个括号内的第一个数为数列2n-1的第512项. 所以第10个括号内的第一个数为2x512-1=1023,所以A ①-②得 (1)-号--2--2- 错误;前10个括号内共有1+2+2^120-1-2- 1-2=210-1 =1023个数,所以C错误;令2n-1=2023.得n=1012,所 以2023为数列2n-1的第1012项,由A.C选项的分析可 得2023在第10个括号内,所以B正确;因为第10个括号内 的第一个数为2x512-1=1023,最后-个数为2x1023-1 [+5a.-14=0. .解得a。=2. =2x1534=(2*2”).所以D正确 -162- .log-a.+log.a.+log:d,..+log 所以+1 =2,a.1=(a+)2”=2” =logCa.'a·a....·a) =log,al=log, 2’"=19 所以a=2-1,所以a=2-1. 设沿着长方形纸长边折叠k(0<k<5且keN) 2.A若该等比数列a.的公比为1,a.+a.+...+a=7a=8. a.=7: 次,则要沿着长方形纸片短边折叠(5-k)次. 故折叠5次后共出现的规格情况为[20×()] . dmx 所以该等比数列的公比不为1,设为?.题 (a(1-) [12x()1 1- =8. Idm.k=0.1.2.3.4.5 {[1() 两式作商得(1-).(g-1) 1- -2. -1 1、1 7 =4 同理,对折n次共有(n+1)种规格,C.=2x(12+6+20+10) =96$C =2t(12+6+3+20+10+5)=112..C=2t3. BD 数列3n-2中的项为 即aq=4.a-4,所以a=+2.故选A. 1.4.7.10.13.16.19,22,25.28,31,34,37,40,43.46.49,52. ()】128- 55.58.61,64.67..1. 数列2”1中的项为2.4.8.16.32,64.128,.., 9.(1)因为a.=19.公差d=-4. 所以数列4 是首项为4,公比为4的等比数列,所以a n(+a)-2n =4: 所以a.=a:+(n-1)d-23-4n.S.= 2. 所以(3n-2)a.=(3n-2)·4”,记数列|(3n-2)a.的前n 项和为T., t2ln. 则T.=1×4+4x4+...+(3n-5)·4+(3n-2)·4 (2)因为b.-a.是首项为1,公比为2的等比数列,所以b. 47.=1x4+4×4+..+(3n-5)·4+(3n-2).4* -a.=2-1. 又因为a.=23-4n.故6.-2-4n+23. 两式相减:-3T.=4+3(4+4+..+4)-(3n-2)·4 -4+3×4(1-4-)-(3n-2)·41 所以T.=2+19+2+15+.+2+(-4n+23)=(2+2+ 1-4 -4+4-16-(3n-2)·4..1 10.(1)因为25.=na.. =-(3n-3).41-12. 所以7.=4+(n-1).4.1. 当n=I时,2a=a,即a=0; 过选(1-) 当n=3时,2(1+a.)=3a.,即a.=2. .S.为等比数列a.的前n项和. 当n>3时,2$.=(n-1)a.-.所以2($.-$)=na.-(n -1)a.=2a.. 且8.-3(3) .当n2时,a.-s.-S.-(3*-3)-(3”-3)-2x3” ①. 又:a.=S.=6符合①式..a.=2x3. 当n=1.2,3时都满足上式,所以a.=n-1(neN*). (2)为-所以7,1×()2()3x× -() 2 ###()-#(1#)# ()(). ..1b.的前n项和为T.= 1- #7.-1x()+2x()t(n-1)x()”+n ()” 5.①③④ 令n=1.得a=9.又因为各项为正数,得a.=3. 令n=2,得a.(3+a)=9.又因为各项为正数,得a:= 3(5-D)3.所以①正确. 两式相减得,7,()(2)()()-n 一))_() 2 1- 得s- 9.9 -1-(1)(). #_ 即7.=2-(2+n)().eN. B组·能力提升 1.C 由a..=2a.+1.得a..1+1-2(a.+1). 数,a。=常数,即从第2项起,a。为同一常数,但是a。*a,所 以②错误. -163- 所以共铺了瓦片$=20x21+20x10x1=610(块). 项的等差数列,求前20项的和. =$.. 项为正数,所以a...<a.,③正确 ~. 3.C 设2020年吸储量为a 2022年吸储量为a(1+8%). 则2021年吸储量为a(1+8%), 1005 9000010090 2023年吸储量为a(1+8%). .2023年底比2020年增加(1.08*-1)x100% 4.CD 设原杂质数为1. 正确. 由题意,得每次过滤杂质数成等比数列 6.(1)当n=1时,4$ =4a;=3a:+4,解得a.=4 且a.=1,公比v=1-20%. 当n2时,4$.=3a.-1+4.所以4$.-4$=4a.=3a- 3a..即a.=-3a.-1. 故a..1=(1-20%)”. 由题意可知(1-20%)*<5%. 而a.=4z0,故a.z0.故-3. 即0.8<0.05 两边取对数,得nlg0.8<lg0.05. .数列la. 是以4为首项,-3为公比的等比数列,所以a。= 4.(-3)*. 因为lg0.8co,所以nlg0.05 (2)b.=(-1)*1.n·4.(-3)*1-4n·3”-. lg0.8' 即5-2-1-lg2-21g2-1 所以 .=b+b+b+.+b.=4·3+8·3+12·3+. + lg8-1=3lg2-1= 3lg2-1 4n.3~1. -0300-1~13.41. 故3=4·3+8·3 12·3+..+4·3$ 3x0.3010-1 所以-27 =4+4·3+4·3+.+4·3-4n·3. 故取n=14.15. -4+4.3(1-3)-4n·3”-4+2·3·(3-1)-4n·3”. !5.BC由题意,可知甲、乙、丙、丁分配的奖金构成等比数列. 1-3 设此等比数列为a。,且公比为9. =(2-4n)·3-2.7 =(2n-1)·3”+1. 设甲、乙、丙、丁按照的“衰分比”的值为x.则x=1-q C组·创新拓展 依题意,a.+a+a+a.=59 040,a.+a.=32 800,则a+a CD a.各项乘10再减4得到数列b.:0,3.6.12,24,48. +-0.8,所以“衰分比” 96.192.....所以该数列从第2项起构成公比为2的等比 数列, 的值x=1-08=0.2 =20\ .因为+= + q=a ($1+ 所以b.= r0.n=1. 所以A错误; 13x2n>2. b.+410.4.n=1. 从而。10-10.3x2+0.42. 所以a.=-20 000x0. 8}=12800$$ 所以丙所获得的分红为12800元 所以aco=0.3x2^*→}+0.4.所以B错误; 16.45 设计算机病毒每次复制后的大小组成等比数列a,且 当n=1时,S.=a.=0.4; a.=2x2-4.q=2,则a.=4·2-. 当n>2时, 令4·2*-1=64×2*,得n=15.即复制15次,共用45s S.=a+a+..+a.=0.4+0.3x(2+2+...+2)+0.4 7.40 设这n台收割机工作的时间(单位:小时)依次为a, (n-1)=0.4n+0.3x1-2* 1-2=0.4n+0.3x2-1-0.3. ....a.,依题意,a.是一个等差数列,且 [a=5a.,① 当n=1时.S=0.4也符合上式,所以s.-0.4n+0.3x21 la:+a+..+a.=24n.② -0.3,所以C正确; r0,n=1. 因为nh.= 所以当n=1时,7=b=0. 2 13nx2*,2. 将①③联立,解得a.=40.故用这种方法收割完这片土地上的 当n>2时,7.=b.+2b.+3.+...+nb.=0+3(2x2+3x2 小麦需要40小时. +4x24..nx2-). 8.6 设每天植树的棵数组成的数列为a。. 27.=3(2x2+3x2+4x2+.+nx2*). 由题意可知它是等比数列,且首项为2.公比为2,所以由题意 所以-7.=0+3(2+2+2.+2-2-x2*-) 可得2(1-2”)=100.即2”=51.而2{=32.2*=64.neN.所 1-2 以n>6. -3(1-n)x2”-. 9.(1)a.,b.分别为第n年投人的电力型公交车、混合动力型公 所以r.-3(n-1)x2. 交车的数量, 又当n=1时,7.也满足上式,所以T.-3(n-1)x2*,所以 依题意知,数列la.是首项为128,公比为1+50%-的等 D正确. 练案[11] 比数列;数列b。是首项为400,公差为a的等差数列,所以数 1281-()1 A组·基础自测 列a.的前n项和S。=一 -256[()-1 1.C 设现在的成本为x元,则x(1-%)=a,故x= 1-} 数列/b.的前n项和7.=-400n+n(n-1). 2.C 由题意每层所铺瓦片数构成一个以1为公差、以21为首 -164-