3.2 第1课时等比数列的前n项和(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

练案［９］ 第一章　 数列 § ３　 ［３． ２　 第１课时　 等比数列的前ｎ项和］ Ａ组·基础自测 一、选择题 １．已知等比数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ ２，Ｓ３ ＝ ６，则公比ｑ 等于 （Ｃ ） Ａ． － ２ Ｂ． １ Ｃ． － ２或１ Ｄ． － １或－ ２ ２．记Ｓｎ为等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和．若Ｓ２ ＝ ４， Ｓ４ ＝ ６，则Ｓ６ ＝ （Ａ ） Ａ． ７ Ｂ． ８ Ｃ． ９ Ｄ． １０ ３．已知等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ ２ｎ ＋１ ＋ ２ｍ （ｍ∈Ｒ），则２ｍａ２ ＋ ａ４ ＝ （Ａ ） Ａ． － １１０ Ｂ． １ １０ Ｃ． － １ ２０ Ｄ． １ ２０ ４．“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”最先 出自《易经》，太极是可以无限二分的，“分阴 分阳，迭用柔刚”，经过三次二分形成八卦，六 次二分形成六十四卦．设经过ｎ次二分形成 ａｎ卦，则ａ３ ＋ ａ４ ＋ ａ５ ＋ ａ６ ＝ （Ａ ） Ａ． １２０ Ｂ． １２２ Ｃ． １２４ Ｄ． １２８ ５．（多选）已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，下列 说法正确的是 （Ｂ ） Ａ．若Ｓｎ ＝（ｎ ＋ １）２，则｛ａｎ｝是等差数列 Ｂ．若Ｓｎ ＝ ２ｎ － １，则｛ａｎ｝是等比数列 Ｃ．若｛ａｎ｝是等差数列，则Ｓ２ｎ －１ ＝（２ｎ － １）ａｎ Ｄ．若｛ａｎ｝是等比数列，则Ｓｎ，Ｓ２ｎ － Ｓｎ，Ｓ３ ｎ － Ｓ２ｎ 成等比数列 二、填空题 ６．设Ｓｎ 为等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和，且Ｓｎ ＝ ３ｎ ＋１ － Ａ，则Ａ ＝ ３　 　 　 　 ． ７．设Ｓｎ为公比ｑ≠１的等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项 和，且３ａ１，２ａ２，ａ３ 成等差数列，则ｑ ＝ ３　 　 ， Ｓ４ Ｓ２ ＝ １０　 　 　 ． ８．已知等比数列｛ａｎ｝共有２ｎ项，其和为－ ２４０， 且奇数项的和比偶数项的和大８０，则公比ｑ ＝ ２　 　 　 　 ． 三、解答题 ９．设等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ． （１）若公比ｑ ＝ ２，ａｎ ＝ ９６，Ｓｎ ＝ １８９，求ｎ； （２）若Ｓ３Ｓ２ ＝ ３２，求公比ｑ． １０．已知等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，等比数 列｛ｂｎ｝的前ｎ项和为Ｔｎ，ａ１ ＝ － １，ｂ１ ＝ １，ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ２． （１）若ａ３ ＋ ｂ３ ＝ ５，求｛ｂｎ｝的通项公式； （２）若Ｔ３ ＝ ２１，求Ｓ３                                                               ． —０９４— Ｂ组·能力提升 一、选择题 １．等比数列｛ａｎ｝中，ａ１ａ２ａ３ ＝１，ａ４ ＝４，则ａ２ ＋ ａ４ ＋ ａ６ ＋…＋ ａ２ｎ ＝ （Ｂ ） Ａ． ２ｎ － １ Ｂ． ４ ｎ － １ ３ Ｃ． １ －（－ ４） ｎ ３ Ｄ． １ －（－ ２）ｎ ３ ２．设｛ａｎ｝是等比数列，Ｓｎ是｛ａｎ｝的前ｎ项和，对 任意正整数ｎ，有ａｎ ＋ ２ａｎ ＋１ ＋ ａｎ ＋２ ＝ ０，又ａ１ ＝ ２，则Ｓ１０１的值为 （Ａ ） Ａ． ２ Ｂ． ２００ Ｃ． － ２ Ｄ． ０ ３．数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ ２，ａｍ ＋ ｎ ＝ ａｍａｎ，若ａｋ ＋１ ＋ ａｋ ＋２ ＋…＋ ａｋ ＋１０ ＝ ２１５ － ２５，则ｋ ＝ （Ｃ ） Ａ． ２ Ｂ． ３ Ｃ． ４ Ｄ． ５ 二、填空题 ４．设Ｓｎ为等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和．若ａ１ ＝ １３， ａ２４ ＝ ａ６，则Ｓ５ ＝ 　 　 　 　 ． ５．一个球从２５６米的高处自由落下，每次着地 后又跳回到原来高度的一半，当它第６次着 地时，共经过的路程是７５２　 　 米． 三、解答题 ６．已知｛ａｎ｝是公差为３的等差数列，数列｛ｂｎ｝ 满足ｂ１ ＝ １，ｂ２ ＝ １３，ａｎｂｎ ＋１ ＋ ｂｎ ＋１ ＝ ｎｂｎ． （１）求｛ａｎ｝的通项公式； （２）求｛ｂｎ｝的前ｎ项和． Ｃ组·创新拓展 （多选）将数列｛２ｎ － １｝中的各项依次按第一 个括号１个数，第二个括号２个数，第三个括 号４个数，第四个括号８个数，第五个括号１６ 个数，…，进行排列，（１），（３，５），（７，９，１１， １３），（１５，１７，１９，２１，２３，２５，２７，２９），…，则以 下结论中正确的是 （Ｂ ） Ａ．第１０个括号内的第一个数为１ ０２５ Ｂ． ２ ０２３在第１０个括号内 Ｃ．前１０个括号内一共有１ ０２５个数 Ｄ．第１０个括号内的数字之和Ｓ∈（２１９，２２０                                                                       ） —０９５— ３． Ｄ　 由题意可知１是方程之一根，若１是方程ｘ２ － ５ｘ ＋ ｍ ＝ ０ 的根则ｍ ＝ ４，另一根为４，设ｘ３，ｘ４ 是方程ｘ２ － １０ｘ ＋ ｎ ＝ ０的 根，则ｘ３ ＋ ｘ４ ＝ １０，这四个数的排列顺序只能为１，ｘ３，４，ｘ４，公 比为２，ｘ３ ＝ ２，ｘ４ ＝ ８，ｎ ＝ １６，ｍｎ ＝ １ ４ ；若１是方程ｘ ２ － １０ｘ ＋ ｎ ＝ ０的根，另一根为９，则ｎ ＝ ９，设ｘ２ － ５ｘ ＋ ｍ ＝ ０之两根为ｘ１， ｘ２则ｘ１ ＋ ｘ２ ＝ ５，无论什么顺序均不合题意． ４． ４　 ∵ ａｍ － １ａｍ ＋ １ － ２ａｍ ＝ ０， 由等比数列的性质可得，ａ２ｍ － ２ａｍ ＝ ０， ∵ ａｍ≠０，∴ ａｍ ＝ ２． ∵ Ｔ２ｍ － １ ＝ ａ１ａ２·…·ａ２ｍ － １ ＝（ａ１ａ２ｍ － １）·（ａ２ａ２ｍ － ２）·…·ａｍ ＝ ａ２ｍ － ２ｍ ａｍ ＝ ａ ２ｍ － １ ｍ ＝ ２ ２ｍ － １ ＝ １２８， ∴ ２ｍ － １ ＝ ７，∴ ｍ ＝ ４． ５． ４　 ∵ ａ２·ａ４ ＝ ４ ＝ ａ２３，且ａ３ ＞ ０，∴ ａ３ ＝ ２． 又ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＝ ２ｑ２ ＋ ２ ｑ ＋ ２ ＝ １４， ∴ １ｑ ＝ － ３（舍去）或 １ ｑ ＝ ２，即ｑ ＝ １ ２ ，ａ１ ＝ ８． 又ａｎ ＝ ａ１ｑｎ － １ ＝ ８ × ( )１２ ｎ － １ ＝ ( )１２ ｎ － ４ ， ∴ ａｎ·ａｎ ＋ １·ａｎ ＋ ２ ＝ ( )１２ ３ｎ － ９ ＞ １９ ，即２ ３ｎ － ９ ＜ ９， ∴ ｎ的最大值为４． ６．（１）因为ａ１ａ３ ＋ ２ａ２ａ４ ＋ ａ３ａ５ ＝ ２５，由等比数列的基本性质得 ａ２２ ＋ ２ａ２ａ４ ＋ ａ ２ ４ ＝ ２５，所以（ａ２ ＋ ａ４）２ ＝ ２５，因为ａ３ ＝ ２，ｑ∈（０， １），则对任意的ｎ∈Ｎ ＋得ａｎ ＞ ０所以ａ２ ＋ ａ４ ＝ ５， 由已知 ａ３ ＝ ａ１ｑ ２ ＝ ２ ａ２ ＋ ａ４ ＝ ａ１ｑ（１ ＋ ｑ２）＝ ５ ０ ＜ ｑ { ＜ １ ，解得 ａ１ ＝ ８ ｑ ＝{ １２ ， 因此ａｎ ＝ ａ１ｑｎ － １ ＝ ８ × ( )１２ ｎ － １ ＝ ２４ － ｎ ． （２）ｂｎ ＝ ｌｏｇ２ａｎ ＝ ｌｏｇ２２４ － ｎ ＝ ４ － ｎ，则ｂｎ ＋ １ － ｂｎ ＝［４ －（ｎ ＋ １）］ －（４ － ｎ）＝ － １， 数列｛ｂｎ｝为等差数列，得 Ｓｎ ＝ ｎ（ｂ１ ＋ ｂｎ） ２ ＝ ｎ（３ ＋ ４ － ｎ） ２ ＝ ７ｎ － ｎ２ ２ ， 所以Ｓｎｎ ＝ ７ｎ － ｎ２ ２ ｎ ＝ ７ － ｎ ２ ， 则Ｓｎ ＋ １ｎ ＋ １ － Ｓｎ ｎ ＝ ７ －（ｎ ＋ １） ２ － ７ － ｎ ２ ＝ － １ ２ ， 所以Ｓｎ{ }ｎ 为等差数列，Ｓ１１ ＋ Ｓ２２ ＋…＋ Ｓｎｎ ＝ ｎ Ｓ１ １ ＋ Ｓｎ( )ｎ ２ ＝ ｎ ３ ＋ ７ － ｎ( )２ ２ ＝ １３ｎ － ｎ２ ４ ＝ － １ ４ ｎ － １３( )２ ２ ＋ １６９１６ ．由ｎ∈Ｎ ＋，可 得ｎ ＝ ６或７时，Ｓ１１ ＋ Ｓ２ ２ ＋…＋ Ｓｎ ｎ取得最大值． Ｃ组·创新拓展 ＡＢＣ　 由于等比数列｛ａｎ｝的各项均为正数，且ａ６ ＋ ａ７ ＞ ａ６ａ７ ＋ １，所以（ａ６ － １）（ａ７ － １）＜ ０，所以ａ６，ａ７ 中，一个大于１，另 一个小于１，又ａ１ ＞ １，所以ａ６ ＞ １，ａ７ ＜ １，所以０ ＜ ｑ ＜ １，因为 ａ６ａ７ ＞ １，所以Ｔ１２ ＝（ａ６ａ７）６ ＞ １，Ｔ１３ ＝ ａ１３７ ＜ １． 练案［９］ Ａ组·基础自测 １． Ｃ　 由已知，Ｓ３ ＝ ａ１（１ ＋ ｑ ＋ ｑ２）＝ ２（１ ＋ ｑ ＋ ｑ２）＝ ６， 即ｑ２ ＋ ｑ － ２ ＝ ０，解得ｑ ＝ － ２或１． ２． Ａ　 根据题意得ｑ≠ － １，由等比数列的性质可得，Ｓ２，Ｓ４ － Ｓ２， Ｓ６ － Ｓ４成等比数列， 所以（Ｓ４ － Ｓ２）２ ＝ Ｓ２（Ｓ６ － Ｓ４），解得Ｓ６ ＝ ７． ３． Ａ　 当ｎ ＝ １时，ａ１ ＝ ２２ ＋ ２ｍ（ｍ∈Ｒ）， 当ｎ≥２时，ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １ ＝ ２ｎ ＋ １ ＋ ２ｍ －（２ｎ ＋ ２ｍ）＝ ２ｎ， 因为数列｛ａｎ｝为等比数列， 所以ａ１ ＝ ２２ ＋ ２ｍ ＝ ２，得ｍ ＝ － １， 所以２ｍａ２ ＋ ａ４ ＝ － ２ ２２ ＋ ２４ ＝ － １１０ ． ４． Ａ　 由已知｛ａｎ｝是首项为２，公比为２的等比数列，则ａ３ ＋ ａ４ ＋ ａ５ ＋ ａ６ ＝ ８ ＋ １６ ＋ ３２ ＋ ６４ ＝ １２０． ５． ＢＣ　 当Ｓｎ ＝（ｎ ＋ １）２ 时，ａ１ ＝ Ｓ１ ＝ ４；ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １ ＝（ｎ ＋ １）２ － ｎ２ ＝ ２ｎ ＋ １（ｎ≥２），ａ１ ＝ ４不满足上式，所以数列｛ａｎ｝不是 等差数列，选项Ａ错误；当Ｓｎ ＝ ２ｎ － １时，ａ１ ＝ Ｓ１ ＝ １，ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １ ＝ ２ ｎ － １ －（２ｎ － １ － １）＝ ２ｎ － １，且ａ１ ＝ １满足上式，所以此时 数列｛ａｎ｝是等比数列，选项Ｂ正确；根据等差数列的性质可 知：Ｓ２ｎ － １ ＝ ２ｎ － １２ （ａ１ ＋ ａ２ｎ － １）＝ ２ｎ － １ ２ ·（２ａｎ）＝（２ｎ － １）ａｎ； 所以选项Ｃ正确；当ａｎ ＝（－ １）ｎ时，｛ａｎ｝是等比数列，而Ｓ２ ＝ － １ ＋ １ ＝ ０，Ｓ４ － Ｓ２ ＝ ０，Ｓ６ － Ｓ４ ＝ ０，不能构成等比数列，选项Ｄ 错误． ６． ３　 ∵ Ｓｎ为等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和，且Ｓｎ ＝ ３ｎ ＋ １ － Ａ，∴ ａ１ ＝ Ｓ１ ＝ ３ ２ － Ａ ＝ ９ － Ａ，ａ２ ＝ Ｓ２ － Ｓ１ ＝（３３ － Ａ）－（９ － Ａ）＝ １８，ａ３ ＝ Ｓ３ － Ｓ２ ＝（３４ － Ａ）－（３３ － Ａ）＝ ５４． ∵ ａ１，ａ２，ａ３成等比数列，∴ ａ２２ ＝ ａ１ａ３， ∴ １８２ ＝（９ － Ａ）× ５４，解得Ａ ＝ ３． 故答案为３． ７． ３　 １０　 设等比数列｛ａｎ｝的通项公式ａｎ ＝ ａ１ｑｎ － １ ．因为３ａ１， ２ａ２，ａ３成等差数列，所以２ × ２ａ２ ＝ ３ａ１ ＋ ａ３，即４ａ１ｑ ＝ ３ａ１ ＋ ａ１ｑ ２ ．又因为等比数列中ａ１≠０，则４ｑ ＝ ３ ＋ ｑ２，解得ｑ ＝ １或ｑ ＝ ３．又因为ｑ≠１，所以ｑ ＝ ３．所以Ｓ４Ｓ２ ＝ ａ１（１ － ｑ４） １ － ｑ ａ１（１ － ｑ２） １ － ｑ ＝ １ － ｑ ４ １ － ｑ２ ＝ １ ＋ ｑ２ ＝ １ ＋ ３２ ＝ １０． ８． ２　 设奇数项的和为Ｓ奇，偶数项的和为Ｓ偶， 由题意得 Ｓ奇＋ Ｓ偶＝ － ２４０ Ｓ奇－ Ｓ偶＝ ８０ ｑ ＝ Ｓ偶 Ｓ { 奇 ， 解得ｑ ＝ ２． ９．（１）由题意得， ａｎ ＝ ａ１·２ｎ － １ ＝ ９６， Ｓｎ ＝ ａ１（１ － ２ｎ） １ － ２ ＝ ａ１（２ ｎ － １）＝ １８９{ ， 解得ｎ ＝ ６． （２）由题意得Ｓ３Ｓ２ ＝ ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ａ１ ＋ ａ２ ＝ ａ１（１ ＋ ｑ ＋ ｑ２） ａ１（１ ＋ ｑ） ＝ ３ ２ ， 又ａ１≠０，解得ｑ ＝ １或ｑ ＝ － １２ ． １０．设｛ａｎ｝的公差为ｄ，｛ｂｎ｝的公比为ｑ， 则ａｎ ＝ － １ ＋（ｎ － １）·ｄ，ｂｎ ＝ ｑｎ － １ ． 由ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ２得ｄ ＋ ｑ ＝ ３．① （１）由ａ３ ＋ ｂ３ ＝ ５得２ｄ ＋ ｑ２ ＝ ６．② 联立①和②解得ｄ ＝ ３，ｑ{ ＝ ０ （舍去）， ｄ ＝ １，ｑ ＝ ２{ ． 因此｛ｂｎ｝的通项公式为ｂｎ ＝ ２ｎ － １ ． （２）由ｂ１ ＝ １，Ｔ３ ＝ ２１得ｑ２ ＋ ｑ － ２０ ＝ ０． 解得ｑ ＝ － ５或ｑ ＝ ４                                                                      ． —１６１— 当ｑ ＝ － ５时，由①得ｄ ＝ ８，则Ｓ３ ＝ ２１． 当ｑ ＝ ４时，由①得ｄ ＝ － １，则Ｓ３ ＝ － ６． Ｂ组·能力提升 １． Ｂ　 ∵ ａ１ａ２ａ３ ＝ １，∴ ａ３２ ＝ １，∴ ａ２ ＝ １，又∵ ａ４ ＝ ４，∴ ｑ２ ＝ ４． ∴ ａ２ ＋ ａ４ ＋ ａ６ ＋…＋ ａ２ｎ ＝ ａ２（１ － ｑ ２ｎ） １ － ｑ２ ＝ １ － ４ ｎ １ － ４ ＝ ４ｎ － １ ３ ． ２． Ａ　 设公比为ｑ，∵ ａｎ ＋ ２ａｎ ＋ １ ＋ ａｎ ＋ ２ ＝ ０，∴ ａ１ ＋ ２ａ２ ＋ ａ３ ＝ ０， ∴ ａ１ ＋ ２ａ１ｑ ＋ ａ１ｑ ２ ＝ ０，∴ ｑ２ ＋ ２ｑ ＋ １ ＝ ０，∴ ｑ ＝ － １， 又∵ ａ１ ＝ ２， ∴ Ｓ１０１ ＝ ａ１（１ － ｑ１０１） １ － ｑ ＝ ２［１ －（－ １）１０１］ １ ＋ １ ＝ ２． ３． Ｃ　 因为ａｍ ＋ ｎ ＝ ａｍ·ａｎ，ａ１ ＝ ２， 令ｍ ＝ １，可得ａｎ ＋ １ ＝ ａｎａ１ ＝ ２ａｎ， 所以数列｛ａｎ｝是首项为２，公比为２的等比数列， 则ａｎ ＝ ２·２ｎ － １ ＝ ２ｎ， 所以ａｋ ＋ １ ＋ ａｋ ＋ ２ ＋…＋ ａｋ ＋ １０ ＝ ａｋ ＋ １·（１ － ２ １０） １ － ２ ＝ ２ ｋ ＋ １·（１ － ２１０） １ － ２ ＝ ２ ｋ ＋ １（２１０ － １）＝ ２５（２１０ － １）， 所以２ｋ ＋ １ ＝ ２５，则ｋ ＋ １ ＝ ５，解得ｋ ＝ ４． ４． １２１３ 　 由ａ ２ ４ ＝ ａ６得（ａ１ｑ３）２ ＝ ａ１ｑ５，整理得ｑ ＝ １ａ１ ＝ ３． ∴ Ｓ５ ＝ １ ３ ×（１ － ３ ５） １ － ３ ＝ １２１ ３ ． ５． ７５２　 设小球每次着地后跳回的高度构成数列｛ａｎ｝，则数列 ｛ａｎ｝为等比数列， ａ１ ＝ １２８，ｑ ＝ １２ ，Ｓ５ ＝ １２８ × １ － ( )１２[ ] ５ １ － １２ ＝ ２４８， 共经过的路程为２５６ ＋ ２Ｓ５ ＝ ７５２（米）． ６．（１）由已知，ａ１ｂ２ ＋ ｂ２ ＝ ｂ１，ｂ１ ＝ １，ｂ２ ＝ １３ ， 得ａ１ ＝ ２． 所以数列｛ａｎ｝是首项为２，公差为３的等差数列． 通项公式为ａｎ ＝ ３ｎ － １． （２）由（１）和ａｎｂｎ ＋ １ ＋ ｂｎ ＋ １ ＝ ｎｂｎ，得ｂｎ ＋ １ ＝ ｂｎ３ ，因此数列｛ｂｎ｝ 是首项为１，公比为１３的等比数列．记｛ｂｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ， 则Ｓｎ ＝ １ － ( )１３ ｎ １ － １３ ＝ ３２ － １ ２ × ３ｎ － １ ． Ｃ组·创新拓展 ＢＤ　 由题意可得，第ｎ个括号内有２ｎ － １个数，由题意得，前９ 个括号内共有１ ＋ ２ ＋ ２２ ＋…＋ ２８ ＝ １ － ２ ９ １ － ２ ＝ ２ ９ － １ ＝ ５１１个数， 所以第１０个括号内的第一个数为数列｛２ｎ － １｝的第５１２项， 所以第１０个括号内的第一个数为２ × ５１２ － １ ＝ １ ０２３，所以Ａ 错误；前１０个括号内共有１ ＋ ２ ＋ ２２ ＋…＋ ２９ ＝ １ － ２ １０ １ － ２ ＝ ２ １０ － １ ＝ １ ０２３个数，所以Ｃ错误；令２ｎ － １ ＝ ２ ０２３，得ｎ ＝ １ ０１２，所 以２ ０２３为数列｛２ｎ － １｝的第１ ０１２项，由Ａ，Ｃ选项的分析可 得２ ０２３在第１０个括号内，所以Ｂ正确；因为第１０个括号内 的第一个数为２ × ５１２ － １ ＝ １ ０２３，最后一个数为２ × １ ０２３ － １ ＝２ ０４５，所以第１０个括号内的数字之和为Ｓ ＝２ ９（１ ０２３ ＋２ ０４５） ２ ＝２９ ×１ ５３４∈（２１９，２２０），所以Ｄ正确． 练案［１０］ Ａ组·基础自测 １． Ｂ　 Ｓ２ ０２４ ＝（－ １ ＋ ２）＋（－ ３ ＋ ４）＋…＋（－ ２ ０２１ ＋ ２ ０２２）＋ （－ ２ ０２３ ＋ ２ ０２４）＝ １ ０１２． ２． Ｂ　 依题意，从第２个正方形开始，以后每个正方形边长都是 前一个正方形边长的槡２２ ，而所有正方形都相似，则从第２个正 方形开始，每个正方形面积都是前一个正方形面积的１２ ， 因此，将各正方形面积依次排成一列可得等比数列｛ａｎ｝，其首 项ａ１ ＝ １，公比ｑ ＝ １２ ， 所以Ｓ５ ＝ １ － ( )１２ ５ １ － １２ ＝ ３１１６ ． ３． Ａ　 由题意得，２ａ４ ＝ ａ１ ＋ ａ３ － ａ１， 所以ｑ ＝ ａ４ａ３ ＝ １ ２ ． 因为Ｓｋ ＝ ａ１ １ － ( )１２[ ] ｋ １ － １２ ＞ ３１１６ａ１，ａ１ ＜ ０，解得ｋ ＜ ５， 又因为ｋ∈Ｎ ＋，所以ｋｍａｘ ＝ ４． ４． Ｄ　 ∵ ａｎ ＝ ２ｎ － １ ２ｎ ＝ １ － １ ２ｎ ， ∴ Ｓｎ ＝ １ －( )１２ ＋ １ －( )１４ ＋ １ －( )１８ ＋…＋ １ － １２( )ｎ ＝ ｎ － １２ ＋ １ ４ ＋ １ ８ ＋…＋ １ ２( )ｎ ＝ ｎ － １ ２ １ － １ ２( )ｎ １ － １２ ＝ ｎ － １ ＋ １ ２ｎ ， 令ｎ － １ ＋ １ ２ｎ ＝ ３２１６４ ＝ ５ ＋ １ ６４，∴ ｎ ＝ ６． ５． ＢＤ　 由ａ６ ＝ ８ａ３，可得ｑ３ａ３ ＝ ８ａ３，则ｑ ＝ ２， 当首项ａ１ ＜ ０时，可得｛ａｎ｝为单调递减数列，故Ａ错误；由Ｓ６Ｓ３ ＝ １ － ２ ６ １ － ２３ ＝ ９，故Ｂ正确；假设Ｓ３，Ｓ６，Ｓ９ 成等比数列，可得Ｓ２６ ＝ Ｓ９ × Ｓ３，即（１ － ２６）２ ＝（１ － ２３）（１ － ２９），不成立，显然Ｓ３，Ｓ６， Ｓ９不成等比数列，故Ｃ错误；由｛ａｎ｝是公比为ｑ的等比数列， 可得Ｓｎ ＝ ａ１ － ａｎｑ１ － ｑ ＝ ２ａｎ － ａ１ ２ － １ ＝ ２ａｎ － ａ１，所以Ｓｎ ＝ ２ａｎ － ａ１，故 Ｄ正确． ６． ４ － ｎ ＋ ２ ２ｎ － １ 　 设Ｓｎ ＝ ２２ ＋ ４ ２２ ＋ ６ ２３ ＋…＋ ２ｎ ２ｎ ① １ ２ Ｓｎ ＝ ２ ２２ ＋ ４ ２３ ＋ ６ ２４ ＋…＋ ２ｎ ２ｎ ＋ １ ② ① －②得 １ －( )１２ Ｓｎ ＝ ２２ ＋ ２２２ ＋ ２２３ ＋ ２２４ ＋…＋ ２２ｎ － ２ｎ２ｎ ＋ １ ＝ ２ － １２ｎ － １ － ２ｎ ２ｎ ＋ １ ． ∴ Ｓｎ ＝ ４ － ｎ ＋ ２ ２ｎ － １ ． ７． １９　 ∵各项都为正数的等比数列｛ａｎ｝，ａ８·ａ１２ ＋ ５ａ１０ ＝ １４， ∴ ａ２１０ ＋ ５ａ１０ － １４ ＝ ０， ａ１０ ＞ ０{ ， 解得ａ１０ ＝ ２                                                                      ， —１６２—