2.2 第2课时等差数列习题课(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

练案［６］ 第一章　 数列 § ２　 ［２． ２　 第２课时　 等差数列习题课］ Ａ组·基础自测 一、选择题 １．已知在等差数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＋ ａ３ ＝ １２，ａ２ ＋ ａ４ ＝ １８，则ａ３ ＋ ａ６ ＋ ａ９ ＋…＋ ａ３ ｎ ＝ （Ａ ） Ａ． ９２（ｎ ２ ＋ ｎ） Ｂ． ３２（ｎ ２ ＋ ｎ） Ｃ． ９２（ｎ ２ ＋ ２ｎ） Ｄ． ３２（ｎ ２ ＋ ２ｎ） ２．若数列｛ａｎ｝的通项公式是ａｎ ＝ ２ｎ － ６，设ｂｎ ＝ ｜ ａｎ ｜，则数列｛ｂｎ｝的前７项和为 （Ｃ ） Ａ． １４ Ｂ． ２４ Ｃ． ２６ Ｄ． ２８ ３．设Ｓｎ为等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和，若ａ１ ＝ １， 公差ｄ ＝ ２，Ｓｋ ＋２ － Ｓｋ ＝ ２４，则ｋ ＝ （Ｄ ） Ａ． ８ Ｂ． ７ Ｃ． ６ Ｄ． ５ ４．（２０２４·全国甲卷理）记Ｓｎ 为等差数列｛ａｎ｝ 的前ｎ项和，已知Ｓ５ ＝ Ｓ１０，ａ５ ＝ １，则ａ１ ＝ （　 　 ） Ａ． ７２ Ｂ． ７ ３ Ｃ． － １ ３ Ｄ． － ７ １１ ５．（多选）已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，下列 说法正确的是 （Ｃ ） Ａ．若Ｓｎ ＝ ｎ２ － １１ｎ ＋ １，则ａｎ ＝ ２ｎ － １２ Ｂ．若ａｎ ＝ －２ｎ ＋１１，则数列｛｜ａｎ ｜｝的前１０项和 为４９ Ｃ．若ａｎ ＝ － ２ｎ ＋ １１，则Ｓｎ的最大值为２５ Ｄ．若数列｛ａｎ｝为等差数列，且ａ１ ０１２ ＜ ０，ａ１ ０１２ ＋ ａ１ ０１３ ＞ ０，则当Ｓｎ ＜ ０时，ｎ的最大值为 ２ ０２３ 二、填空题 ６．已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ ２·３ｎ － ３，则 数列｛ａｎ｝的通项公式为　 　 　 　 　 ． ７．等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ．已知ａｍ －１ ＋ ａｍ ＋１ － ａ ２ ｍ ＝ ０，Ｓ２ｍ －１ ＝ ３８，则ｍ ＝ １０　 　 ． ８．已知数列｛ｂｎ｝满足ｂｎ ＝ ｎ（ｎ ＋ ２），若数列｛ｂｎ｝ 的前ｎ项和为Ｓｎ，数列１ｂ{ }ｎ 的前ｎ项和为Ｔｎ， 则Ｓ５ ＝ ８５　 　 ，Ｔ５ ＝ 　 　 　 　 ． 三、解答题 ９．已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ ｎ２ ＋ ｎ ＋ １． （１）写出数列的前５项； （２）数列｛ａｎ｝是等差数列吗？说明理由； （３）写出｛ａｎ｝的通项公式                                                               ． —０８７— １０．已知等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ满足Ｓ３ ＝ ０，Ｓ５ ＝ － ５． （１）求｛ａｎ｝的通项公式； （２）求数列 １ａ２ｎ －１ａ２ｎ{ }＋１ 的前ｎ项和． Ｂ组·能力提升 一、选择题 １．已知数列１，１１ ＋２， １ １ ＋２ ＋３，…， １ １ ＋２ ＋３ ＋…＋ ｎ， 则该数列的前ｎ项和为 （Ｃ ） Ａ． ２（ｎ － １）ｎ Ｂ． ｎ － １ ｎ Ｃ． ２ｎｎ ＋ １ Ｄ． ｎ ｎ ＋ １ ２．已知等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，Ｓｍ －１ ＝ １６，Ｓｍ ＝ ２５，ａ１ ＝ １（ｍ≥２，且ｍ∈Ｎ），则ｍ的 值是 （Ｂ ） Ａ． ４ Ｂ． ５ Ｃ． ６ Ｄ． ７ ３．数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ ３ｎ － ２ｎ２（ｎ∈Ｎ）， 则当ｎ≥２时，下列不等式成立的是（Ｃ ） Ａ． Ｓｎ ＞ ｎａ１ ＞ ｎａｎ Ｂ． Ｓｎ ＞ ｎａｎ ＞ ｎａ１ Ｃ． ｎａ１ ＞ Ｓｎ ＞ ｎａｎ Ｄ． ｎａｎ ＞ Ｓｎ ＞ ｎａ１ 二、填空题 ４．已知数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ １，ａｎ ＋１ ＝ ａｎ ＋ ｎ ＋ １，则 数列ａｎ{ }ｎ 的前ｎ项和为　 　 　 　 ． ５．若数列｛ａｎ｝的前ｎ项和是Ｓｎ ＝ ｎ２ － ４ｎ ＋ ２，则 ｜ａ１ ｜ ＋ ｜ａ２ ｜ ＋…＋ ｜ａ１０ ｜ ＝ ６６　 　 ． 三、解答题 ６．设数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＋ ３ａ２ ＋…＋（２ｎ － １）ａｎ ＝ ２ｎ． （１）求｛ａｎ｝的通项公式； （２）求数列 ａｎ ２ｎ{ }＋ １ 的前ｎ项和． Ｃ组·创新拓展 已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，ｎ ＝ １，２，３， …，从条件①，条件②和条件③中选择两个能 够确定一个数列的条件，并完成解答． （条件①：ａ５ ＝ ５；条件②：ａｎ ＋１ － ａｎ ＝ ２；条件 ③：Ｓ２ ＝ － ４．） 选择条件　 　 　 和　 　 　 ． （１）求数列｛ａｎ｝的通项公式； （２）设数列｛ｂｎ｝满足ｂｎ ＝ ｜ ａｎ ｜，求数列｛ｂｎ｝的 前ｎ项的和Ｔｎ                                                                       ． —０８８— 马+=(a+d)+(a+3动=8，解得=8， 所以2×7+76=14+21d=7,解得d=3,故4，=3m-1. la2·a4=(a1+d)·(a1+3d)=12. d=-2 2 2s=10a,+0x90-4=10×8+09x(-2) 若选③，因为4+a2=4-1,4,+a=2+2+d=2+2d-1,解 2 得d=3,故a.=3n-1. -10. (2)由已知数列a.1的第n项是数列1b.的第n+4(n-I)= 10.(1)设a,1的公差为d,由已知， 5n-4项，令5n-4=101,解得n=21, f41=-7, 故b是数列1a,|的第21项. 1S3=3a,+3d=-15. 所以d=2, C组·创新拓展 所以1a,1的通项公式为a,=2n-9. 86 9 由题意，由细到粗每段的重量成等差数列1.，设公差 (2)由(1)得3.=-7n+,Dx2=n-8n=(n-4)2- 2 为d. 16,所以当n=4时，S取得最小值-16， 则0++%=2， =己解得a设d=8 B组·能力提升 au+a4+a1=4,3a1+39d=4, 1.C方法一：设等差数列anI的公差为d,首项为a1,依题意 t0,1≤n≤7， 可得， 所以a=”g”所以a1=代8 a2+an=1+d+a1+5d=10,即a1+3d=5, 因此数列61的所有项的和为a+a,+…+as= 又aa.=(a1+3d)(a1+7d)=45,解得d=1,a1=2, 18+19+…+25_86 18 所以3=5a,+5X4xd=5x2+10=20.故选C. 2 练案[6] 方法二：4+6=2a4=10,a4a%=45,所以%4=5，a=9, ；A组·基础自测 从面d8=1,于是4，=4-d=5-1=4, 1.A因为a,|是等差数列，41+a,=12,+a4=18, 所以S=5a,=20.故选C. 所伦2得 2a1+4d=18, 2.C因为在等差数列1口，中，=凸 则a.=3+(n-1)×3=3n, a15, 数列a,4,4,4.构成首项为凸=9，公差为9的等差数列， 15(a1+as) 所以 2 15(a,+as)15×2a 则++a+=奥+宁a-)x9=号2+m小 S,17(4,+am)17(a1+a,)17×2a :2.C当n≤3时，a。≤0，b。=la,1=-a。=6-2n,即6=4，b6= 2 2,b=0. 当n>3时，a,>0,b.=la.|=a。=2n-6,即b=2,b,=4,bs= 6,b,=8,所以6}的前7项和为4+2+0+2+4+6+8=26. 3.AC因为S。=Sa,所以，+a4+…+ag=0,所以0o=a1+ 3.DS2-S=a1+a42=2a1+2=24. 9d=0,即a1=-9d,又a,<0,所以d>0,A对，B错；当S。= 故a1=2k+1=1 ∴.k=5. m,+a少=n(-9)+"少4>0，解得>19，所以4B由S。-8=4,+a,+a,+a,+an=5a=0.则4=0， 2 2 n=20,所以C对：Sw-s,=16a,+1615d-(24+d)= 2 则等差数列a,的公羞d=气=-分故4，=4-4d= 3 14a1+119d=-7d<0,所以S6<S2,D错 4.13设这个等差数列为a,{,由题意得 -4×(-）子故选B ∫%1+a:+a=34, ① 5.CD对于A,当n=1时，a1=S=12-11×1+1=-9,当n≥ la,+aa-+a.-2=146 9 2时，a,=5.-S.-1=(n2-1ln+1)-[(n-1)2-11(n-1)+ 1]=2n-12 ①+2得3(41+a.)=180,.41+4。=60. 检验m=1时，2×1-12=-10≠a1, 六3=n（a1,a=30m=390.5n=13. 2 所以{b,22.故A错误 5.100 因为数列1，}为等差数列， 对于B,因为a。=-2n+11, 所以数列倍}为等差数列。 则6-8 设其公差为山，曲各 6-2 =4d=4,解得d=1, 所以数列{1a,的前10项和为9+7+5+3+1+1+3+5+7 +9=50,故B错误： 又因为产=41， 对于C,由a.=-2n+11可知数列{4.是等差数列，则S.= 所以三=n,即3.=n2,所以S。=100. (9-2n+1l)0=-n2+10m, 2 易知n=5时，S。的最大值为25，故C正确： 6.(1)设a.的公差为d.因为41=2，所以4。=2+(n-1)d,S 对于D,因为数列|an|为等差数列，且a1<0,a1m+a1 =m,+a"=2m+aa2》 >0, 2 (41+43)×2023 若选①，因为a,+4=43,所以2+6d+2+7d=4+13d=43, 所以S2m= 2 =2023a1on<0. 解得d=3,故a。=3n-1. 若选②，因为a.|的前7项和为77. S4=（a+a)×2024 2 -157 =(41e+41)×2024 2 20 .a。=5n-4n2 nm1-S。=m-(3n-2n2)=2n2-2n=2n(n-1)>0, 所以当S,<0时，n的最大值为2023，故D正确 S.-mn=3n-2m2-(5m-4n2)=2n2-2n>0. a-2 当n=1时，a1=S,=3,当n≥2时，a。= .a1>S。>u。 方法二：4n=5-4n,.当n=2时，S。=-2. Sn-S1=4·3- 41=2,na.=-6,.a1>S.>m 当a1时不满足上式故a=:3-022 4.(n+3) 4 d..=d+n+l, 7.10根据等差数列的性质，可得0a-1+am1=2aa .an-0。-1=n, 又aa-t+amt-a=0,则2an=a, .0。=a1+(a2-a1)+(4-）+…+(a。-an-1） 解得a.=0(舍去)或a。=2 =1+2+3+…+n=n(n+12 则52m1= (2m-1)(a,+an-2=(2m-1)a.4m-2=38, 2 2 n 2 所以m=10. 885 2由已知S=1×3+2×4+3x5+4×6+5x7=85, n+I n 2 2 1 1111 则数列侣}为等差数列 因此，数列片的前n项和为之 n(n+3) 4 9.(1)S.=n2+n+1,.a1=S,=3,a1=S-S,=7-3=4,4 5.66 =S3-S2=13-7=6,a4=S4-S3=21-13=8.45=5-S= 因为S=n2-4n+2,当n=1时，a=S,=1-4+2=-1: 31-21=10. 当n≥2时，a。=S。-S.1=n2-4n+2-[(n-1)2-4(n-1) (2)由(1)可知，4-41=4-3=1,4-42=6-4=2， +2]=2n-5,所以<0,4>0，a4>0,. a,-a≠a-a1,数列an不是等差数列。 故lm1+la21+…+lao1=Sm+2(1a,1+1a21)=102-4× (3)当n≥2时，a.=S。-S。-1, 10+2+2(1+1)=66. a.=n2+n+1-[(n-1)2+(n-1)+1] 6.(1)因为41+32+…+(2n-1)an=2n, 故当n≥2时， =2n(n≥2)，41=S,=3, a1+3g1+…+(2n-3)a,-1=2(n-1), 数列1a的通项公式为a。= 3,n=1, 两式相减得(2n-1)a。=2, 12n.n≥2. 10.(1)设a的公差为d.则S.=m,+n",山 所以a,22≥2 2 又由题设可得a,=2,满足上式， 由已知可得 3a+3d=0, 2 l5a,+10d=-5, 解得a,=1.d=-1 所以a,的通项公式为a,=2n- 故数列a,1的通项公式为a.=2-m (2)由(1)知L 1 a-1a(3-2n0-2n (2记a+的前项和为。 由(1)知， 2 2n+1(2n+1)(2n-1 从而数列{的前项和为（-+片-号 =2n-12n+1 1 1 1 +…+2n-32n-1-2n 2n B组·能力提升 =2m+T 1c因为1+2+3+…+2=2(合h) C组·创新拓展 (1)选①②，由a1-a。=2可知数列引a.1是公差d=2的等 差数列，由a5=5得a,=-3,故0n=-3+2(m-1)=2n-5: 所以该数列的前n项和为2(1-)+2（行-） 选2③，由a.1-a,=2可知数列a,是公差d=2的等差数 列，由S2=-4可知41+42=-4，所以41=-3,0。=-3+ 2兮)*…+)0 2(n-1)=2n-5:选①3，无法确定数列. (2)因为a。=2n-5,所以6.=1a,1=12n-51= 2.B设等差数列1的公差为d,因为S-1=16,S.=25,41= 1(m≥2，且m∈N), 5-2n,1≤n≤2，其中neN,: 2n-5.n≥3， 所以a=-S.-1=25-16=9=1+(m-1)d,m+m（m-山4= 当1≤m≤2，n∈N,时，T=-n2+4n: 2 当n≥3，neN,时，数列b}是从第3项开始，公差d=2的等 25,联立解得m=5,d=2 差数列， 3.C方法一：由a,= S,(n=1). S。-S4-,(t≥2)， T.=4++2n-)n-2=2-4n+8 2 解得a,=5-4n ∴a1=5-4×1=1,.na1=n 所u元-{eN -158