5 数学归纳法(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # § ５　 数学归纳法 !"#$%&'( 学习目标 １．了解数学归纳法的原理． ２．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 核心素养 通过对数学归纳法原理的学习与应用，提升逻辑推理素养． )*+,%-.+ 数学归纳法 　 　 一般地，证明某些与正整数ｎ有关的数学 命题，可按下列步骤进行： （１）（归纳奠基）证明当ｎ取第一个值ｎ０　 （ｎ０是一个确定的正整数，如ｎ０ ＝ １或２等）时， 命题成立； （２）（归纳递推）假设当ｎ ＝ ｋ（ｋ∈Ｎ ＋，ｋ≥ ｎ０）　 　 　 　 　 时命题成立，证明当ｎ ＝ ｋ ＋ １　 时，命题也成立． 根据（１）（２）可以断定命题对从ｎ０ 开始的 所有正整数ｎ都成立． 上述证明方法叫作数学归纳法． ［提醒］　 在第二个步骤证明“当ｎ ＝ ｋ ＋ １ 时命题也成立”的过程中，必须利用归纳假设， 即必须用上“假设当ｎ ＝ ｋ时命题成立”这一 条件． 想一想： １．验证的第一个值ｎ０一定是１吗？ 　 　 ２．在第二步证明中，必须从归纳假设用综 合法证明吗？ 练一练： １．用数学归纳法证明“２ｎ ＞ ｎ２ 对于ｎ≥ｎ０ 的正整数ｎ都成立”时，第一步证明中的初始值 ｎ０应取 （Ｄ ） Ａ． ２ Ｂ． ３ Ｃ． ４ Ｄ． ５ ２．在用数学归纳法证明：１ ＋ ２ ＋ ３ ＋…＋ ２ｎ ＝ ２ｎ（１ ＋ ２ｎ）２ （ｎ∈Ｎ ）的过程中，则当ｎ ＝ ｋ ＋ １ 时，左端应在ｎ ＝ ｋ的基础上加上（２ｋ ＋ １）＋ （２ｋ ＋ ２）　 　 　 　 　                                                 ． !$( # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # /012%345 题型探究 题型一 用数学归纳法证明等式 １．用数学归纳法证明：１ × ４ ＋ ２ × ７ ＋ ３ × １０ ＋…＋ ｎ（３ｎ ＋ １）＝ ｎ（ｎ ＋ １）２，其中ｎ∈Ｎ ＋ ． 　 　 ［尝试作答         ］ 　 　 ［规律方法］　 用数学归纳法证明等式的 规则 （１）用数学归纳法证明等式要充分利用定 义，其中两个步骤缺一不可，缺第一步，则失去 了递推基础，缺第二步，则失去了递推依据． （２）证明等式时要注意等式两边的构成规 律，两边各有多少项，并注意初始值ｎ０是多少， 同时第二步由ｎ ＝ ｋ到ｎ ＝ ｋ ＋ １时要充分利用 假设，不利用ｎ ＝ ｋ时的假设去证明，就不是数 学归纳法． 对点训练? 用数学归纳法证明： １２ １ × ３ ＋ ２２ ３ × ５ ＋ …＋ ｎ２ （２ｎ － １）（２ｎ ＋ １）＝ ｎ（ｎ ＋ １） ２（２ｎ ＋ １）（ｎ∈Ｎ ）． 题型二 用数学归纳法证明不等式 ２．用数学归纳法证明：１ ＋ １ ２２ ＋ １ ３２ ＋…＋ １ ｎ２ ＜ ２ － １ｎ（ｎ≥２）． ［分析］　 按照数学归纳法的步骤证明，由 ｎ ＝ ｋ到ｎ ＝ ｋ ＋ １的推证过程可应用放缩技巧， 使问题简单化． 　 　 ［尝试作答         ］ 　 　 ［规律方法］　 用数学归纳法证明不等式和 证明恒等式注意事项大致相同，需要注意的是： （１）在应用归纳假设证明过程中，方向不明 确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的 方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明． （２）在推证“ｎ ＝ ｋ ＋ １时不等式也成立”的 过程中，常常要将表达式作适当放缩变形，以便 于应用归纳假设，变换出要证明的结论． 对点训练? 用数学归纳法证明：１ ＋ １ 槡２ ＋ １ 槡３ ＋…＋ １ 槡ｎ ＜ ２槡ｎ（ｎ∈Ｎ）                                                                    ． !$) ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 题型三 用数学归纳法证明整除问题 ３．证明：ｎ３ ＋ ５ｎ（ｎ∈Ｎ ＋）能够被６整除． 　 　 ［尝试作答          ］ 　 　 ［规律方法］　 用数学归纳法证明整除问题 的方法及关键 用数学归纳法证明整除问题时，首先从要 证的式子中拼凑出使假设成立的式子，然后证 明剩余的式子也能被某式（数）整除．其中的关 键是“凑项”，可采用增项、减项、拆项和因式分 解等方法，从而利用归纳假设使问题得到解决． 对点训练? 证明：当ｎ∈Ｎ ＋时，ｆ（ｎ）＝ ３２ｎ ＋２ － ８ｎ － ９能被６４整除． 题型四 数学归纳法在数列中的应用 ４．已知数列｛ａｎ｝是正数组成的数列，其前ｎ 项和为Ｓｎ，对于一切ｎ∈Ｎ均有ａｎ与２的等差 中项等于Ｓｎ与２的等比中项． （１）计算ａ１，ａ２，ａ３，并由此猜想数列｛ａｎ｝的 通项公式； （２）用数学归纳法证明（１）中你的猜想． ［分析］　 （１）由题意Ｓｎ ＝（ａｎ ＋ ２） ２ ８ ，令ｎ ＝ １，因为Ｓ１ ＝ ａ１，可求出ａ１的值，再反复代入，分 别求出ａ２，ａ３，总结出规律写出通项公式； （２）根据（１）中的猜想，利用归纳法进行证 明，假设当ｎ ＝ ｋ时成立，然后利用已知条件验 证ｎ ＝ ｋ ＋ １时也成立，从而求证． 　 　 ［尝试作答       ］ 　 　 ［规律方法］　 用数学归纳法求数列通项公 式的一般步骤： （１）由已知条件求出数列的前几项； （２）依据求出的前几项猜想数列的通项； （３）用数学归纳法证明上面的猜想是正 确的． 对点训练? 已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和 Ｓｎ ＝ １ － ｎａｎ（ｎ∈Ｎ）． （１）计算ａ１，ａ２，ａ３，ａ４； （２）猜想ａｎ 的表达式，并用数学归纳法证 明你的结论                                                                        ． !$* # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 易错警示 　 　 未用归纳假设而致误 ５．用数学归纳法证明：２ ＋ ２２ ＋…＋ ２ｎ －１ ＝ ２（２ｎ －１ － １）（ｎ ＞ ２，ｎ∈Ｎ）． ［错解］　 ①当ｎ ＝ ３时，左边＝ ２ ＋ ２２ ＝ ６， 右边＝ ２（２２ － １）＝ ６，等式成立． ②假设ｎ ＝ ｋ时，结论成立，即２ ＋ ２２ ＋…＋ ２ｋ －１ ＝ ２（２ｋ －１ － １），那么由等比数列的前ｎ项和 公式，得２ ＋ ２２ ＋…＋ ２ｋ －１ ＋ ２ｋ ＝ ２（１ － ２ ｋ） １ － ２ ＝ ２（２ｋ － １）． 所以当ｎ ＝ ｋ ＋ １时，等式也成立． 由①②可知，等式对任意ｎ ＞ ２，ｎ∈Ｎ都 成立． ［误区警示］　 错解中的第二步没用到归纳 假设，直接使用了等比数列的求和公式．由于未用 归纳假设，造成使用数学归纳法失误． 　 　 ［正解                                          ］ 6789%:;< １．用数学归纳法证明“凸ｎ边形的内角和等于（ｎ －２）·π”时，归纳奠基中ｎ０的取值应为 （Ｃ ） Ａ． １ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ． ４ ２．一个关于自然数ｎ的命题，如果证得当ｎ ＝ １ 时命题成立，并在假设当ｎ ＝ ｋ（ｋ≥１且ｋ∈ Ｎ）时命题成立的基础上，证明了当ｎ ＝ ｋ ＋ ２ 时命题成立，那么综合上述，对于 （Ｂ ） Ａ．一切正整数命题成立 Ｂ．一切正奇数命题成立 Ｃ．一切正偶数命题成立 Ｄ．以上都不对 ３．用数学归纳法证明“ １ｎ ＋ １ ＋ １ ｎ ＋ ２ ＋…＋ １ ２ｎ ＞ １１ ３４”时，由ｋ到ｋ ＋ １，不等式左边的变化是 （Ｃ ） Ａ．增加 １２（ｋ ＋ １）一项 Ｂ．增加１２ｋ ＋ １和 １ ２ｋ ＋ ２两项 Ｃ．增加１２ｋ ＋ １和 １ ２ｋ ＋ ２两项，同时减少 １ ｋ ＋ １ 一项 Ｄ．以上结论都不正确 ４．已知ｆ（ｎ）＝ １ ＋ １２ ＋ １ ３ ＋…＋ １ ｎ（ｎ∈Ｎ ），计 算得ｆ（２）＝ ３２，ｆ（４）＞ ２，ｆ（８）＞ ５ ２，ｆ（１６）＞ ３， ｆ（３２）＞ ７２，由此推测，当ｎ ＞ ２时，有　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１２                                ］ !%! 对点训练2：出生时的a元到18岁本利和为a(1+r)“元：1课堂检测·固双基 岁生日时的4元到18岁本利和为a(1+r)”元，…，17岁生日1.C按复利计息，第5年末的本利和是0000(1+3.60%)’= 时的a元到18岁本利和为(1+r)元，由此可知存款到18岁时 10000×1.036,故选G. 取回的钱的总数为 2.D设原有总产值为a,年平均增长率为r, a(1+r)n+a(1+r)”+…+a(1+r)=“[(1+r)9-(1 则a(1+p)2=a(1+r), 解得r=(1+p)2-1. +r)](元) 3.A记2018年为第一年，第n年退耕a,万亩，则数列{a.为 即能取回的钱的总数是？[(1+)-(1+r)]元 等比数列，且a,=a,公比？=1+10%，则问题转化为求数列 例3：设每年还款x元，则第1次偿还的x元，在贷款全部付 1a,1的前8项和，所以数列14，的前8项和为1-g2。 1-g 清时的价值为x(1+6%)”:第2次偿还的x元，在贷款全部付 清时的价值为x(1+6%)*:…:第19次偿还的x元，在贷款 a(1-l.12=10a(1.-1 1-1.1 全部付清时的价值为x(1+6%),第20次偿还的x元，在贷款全 所以到2025年一共退耕10a(1.1*-1)万亩 部付清时的价值为x元，于是还款的本利和为 4.78ar 由题意知，小王存款到期利息为12ar+11m+10ar+ x(1+6%)9+x(1+6%)路+…+x(1+6%）+￥= +2ar+am-12(2+1Dr=78am 微2测 §5数学归纳法 又银行贷款20年的本利和为10(1+6%)0=3.2071× 必备知识·探新知 10°元， 所以22071 知识点 0.06=3.2071×10. (1)nm(2)n=k(k∈N.,k≥礼)n=k+1 想一想： 解得=0.06×3271x1087185(元. 2.2071 L.不一定，如证明“凸n边形对角线的条数n) 答：每年需还款87185元 n(n-3时，第一步应验证n=3是否成立. 2 对点训练3：方法一：设每年还x万元， 2.不是，在归纳递推中，可以应用综合法，分析法、反证法 第n年年底欠款为a。,则 放缩法等各种证明方法， 2018年底：1=50(1+4%）-x, 练一练： 2019年底：a1=4,(1+4%)-x 1.D显然当n=1时，2>12.而当n=2时，22=22，A错 =50(1+4%)2-(1+4%)·x-x, 误；当n=3时，2<32，B错误；当n=4时，2=4，C错误；当n =5时，2>52，符合要求，D正确. 2027年底：41o=4,(1+4%）-x 2.(2k+1)+(2k+2)假设当n=素时，1+2+3+…+2h =50×(1+4%)0-(1+4%)”·x-…-(1+4%）·x-x =50×(1+4%)0-1-(1+4%)0 2k1+22,当n=k+1时，左边=1+2+3+…+2+2张+1 2 1-(1+4%)…x=0 +2k+2,显然是在n=k的基础上加上(2k+1)+(2k+2). 解得x=50x1+4%)1-（1+4%)】=6.1n. 关键能力·攻重难 1-(1+4%)阿 例1：证明：①当n=1时，左边=1×4=4，右边=1×2=4， 即每年至少要还6.17万元 左边=右边，等式成立， 方法二：50万元10年产生本息和与每年存人x万元的本息 ②假设当n=(keN.)时等式成立，即1×4+2×7+3× 和相等， 10+…+k(3k+1)=k(h+1)2, 故有购房款50万元10年的本息和：50(1+4%)"， 那么当n=k+1时， 每年存人x万元的本息和：x·(1+4%)”+x(1+4%) 1×4+2×7+3×10+…+k(3张+1)+(k+1)[3(k+1)+1] +…+x=-(1+4%)0 1-(1+4%)·x =k(k+1)2+(台+1)[3(k+1)+1] =(k+1)(2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2 从面有0 即当n=+1时等式也成立. 根据①和②可知等式对任何n∈N,都成立 解得x6.17.即每年至少要还6.17万元 例4：Cs=0(21n-2-5, 对点训练1：证明：①当=1时，左边=女一分，右边： 8=”021(a-l)-(a-l2-5到 2×3了，左边=右边，等式成立 1×21 22 =”0(-2+23n-27). ②假设当n=(keN“)时等式成立，即有+气+ 2 (k+1) a.=8-1=0(2n-2-5)-”0(-2+23m +(2k-1)(2k+1)2(2k+1) 则当n=k+1时. 27) 1222 2 (k+1)2 =0(-2+15a-9). 1×3+3×5+…+(2k-1)(2h+1)+(2k+1)(2h+3) k(k+1) (k+1)2 (k+1)(+2)】 由0(-2+15n-9)>1.5 2(2k+1)(2h+1)(2k+3) 2(2k+3) 即当n=+1时等式成立 解得6<n<9,故选C 由①②可得，对于任意的neN”等式都成立. -137 例2：0当0=2时1+宁子<2-子-弓命题成立 15 即a=51-a即4，=之 11 1 ②假设n=水时命题成立，即1+京+京+…+ <2-k 由S,=1-nm,分别求得a:=64=2a=20 1 当n=k+1时，1+ +家+…+++ 故4=7124=62x3 2-+4<2-+2-+ 1 1 11 11 =2- 4=23×44204x5 中命题成立 (2)猜想：4，=m(n+1可 由①②知原不等式在m≥2时均成立 证明如下：①当m=1时，猜想显然成立 对点调练2：①当n=1时，左边=1.右边=2.左边<右边， ②假设当n=(eN)时，猜想成立， 不等式成立 1 1 即a=k(k+1) ②假设当n=(≥1且keN”)时，不等式成立，即1+ 当n=k+1时，S,1=1-(k+1)a41, 即S+a1=1-(k+1)a4 k 则当n=k+1时， 又5=1-产本所以车+a1=1-(k+)a 1+1 1 <2+-1 k+ 从而4t=(k+1)(k+2) =2K+1+1(历2+(+D:+1 1 F(k+1)[(k+1)+1丁 k+1 k+1 即n=k+1时，猜想也成立.由①②可知，猜想成立 25+=2+ 例5：①当n=3时，左边=2+22=6，右边=2(2-1)=6 √k+1 等式成立： 所以当m=k+1时，不等式成立. ②假设n=k时，结论成立，即2+22+…+2- 由①2▣知，原不等式对任意n∈N·都成立. =2(2-1-1) 例3：证明：①当n=1时，n3+5n=6,显然能够被6整除，命 那么n=k+1时.2+22+…+21+2=2(2-1-1)+2= 题成立 2·2-2=2(2-1）=2[24+》-1-1]. ②假设当n=k时，命题成立，即n3+5n=2+5k能够被6 所以当n=数+1时.等式也成立 整除， 由①②可知，等式对任意n>2,neN”都成立： 当n=k+1时，n2+5n=(k+1)+5(k+1)=《+3M+3k课堂检测·固双基 +1+5k+5=(+5k)+3k(k+1)+6 1.C根据凸n边形至少有3条边，知n≥3，故的值应为3 由假设知：3+5k能够被6整除， 2.B本题证明了当n=1,3,5,7,…时，命题成立，即命题对一 而(k+1)为偶数，故3k(k+1)能够被6整除， 切正奇数成立： 故(k+1)3+5(+1)=(23+5k)+3k(k+1)+6能够被6 整除， 3.C当n=k时，左边二中+十2*…+k中k 即当n=k+I时，命题成立， 1 由①②可知.命题对一切正整数成立， 当n=+1时，左边=2中3叶 即n+5n(n∈N,)能够被6整除 对点训练3：证明：①当n=1时(1)=3-8-9=64能被 《(+1)+(k-)(k+1)+k+(k+1)+(+故不等式 64整除. 左边的变化是增加十和水十2西项，同时诚少 1 ②假设当n=k(k≥1，keN,)时()=32-8张-9能被 +1一项 64整除，则当n=k+1时k+1)=32t2-8(k+1)-9=9 ×3242-8k-17=9×(32-84-9)+64k+64. 42")>"+2 2 自变量的取值依次为2,4=22,8=2.16=2 故f八k+1)也能被64整除. 32=2,…,故为2”.右边分母全为2，分子依次为3.45,6,7， 综合①②，知当neN,时，代n)=32-8n-9能被64整除 例4：1)由”V2区得a2 “,故右边为2即2)3042 2 8一，由S可求得a, 章末整合提升 =2,a=6,a=10,由此猜想a.1的通项公式a。=4n-2,要点专项突破 n∈N” 例1：(1)3”-2根据题意，知数列a,满足4，+1=3a,+4, (2)①当n=1时，41=2，等式成立： ②假设当n=(长eN”)时，等式成立，即a,=4k-2, 变形可得01+2=30，+6=3(a+2),即+2 日n+2=3,又 六01=54-8=0-1+22a+2 a1=1,则a1+2=3,故a.+2引是首项为3，公比为3的等比数 8 8 列，则有4。+2=3×3-1=3”，故4n=3”-2 (a++a)(a4+1-a-4)=0. r3,n=1, 又1+a≠0，.a1-a4-4=0, (2)a= .a41=a+4=4k-2+4=4(k+1)-2, 2是≥2令8=+2%，+24，++2a, 3 六当n=k+1时，等式也成立 则S。=9-6n,当n=1时，41=S,=3:当n≥2时，2-1·a 由①2可知，a.=4n-2对任何neN“都成立. 对点训练4：(1)依题设可得，当n=1时，S,=a, =5-81=-6,所以4，=-， 22 -138