4.3.2 独立性检验(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教B版2019)

ｘ １ ２ ３ ４ ｚ １ ３ ４ ６ 则ｘ ＝ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４４ ＝ ２． ５，ｚ ＝ １ ＋ ３ ＋ ４ ＋ ６ ４ ＝ ３． ５， ∵ （ｘ，ｚ）满足ｚ ＝ ｂｘ － ０． ５，∴ ３． ５ ＝ ｂ × ２． ５ － ０． ５， 解得ｂ ＝ １． ６，∴ ｚ ＝ １． ６ｘ － ０． ５，∴ ｙ ＝ ｅ１． ６ｘ － ０． ５，当ｘ ＝ ５时，^ｙ ＝ ｅ１． ６ × ５ － ０． ５ ＝ ｅ １５ ２，故选Ｄ． ５． ８　 当年利润小于或等于零时应该报废该机器，当ｙ ＝ ０时，令 １０． ４７ － １． ３ｘ ＝ ０，解得ｘ≈８，故估计该台机器最为划算的使用 年限为８年． ６． ｅ４ 　 由题意，得ｌｎ（ｃｅｋｘ）＝ ０． ３ｘ ＋ ４，所以ｌｎｃ ＋ ｋｘ ＝ ０． ３ｘ ＋ ４， 所以ｌｎｃ ＝ ４，所以ｃ ＝ ｅ４ ． ７．（１）４０　 由ｙ ＝ ３８，得ｍ ＝ ４０． （２）１４　 由^ａ ＝ ｙ － ｂ^ ｘ得^ａ ＝ ５８，故^ｙ ＝ － ２ｘ ＋ ５８， 当ｘ ＝ ２２时，^ｙ ＝ １４， 故三月中旬的销售量约为１４件． ８．（１）由于ｘ ＝ ８ ＋ ８． ２ ＋ ８． ４ ＋ ８． ６ ＋ ８． ８ ＋ ９６ ＝ ８． ５， ｙ ＝ ９０ ＋ ８４ ＋ ８３ ＋ ８０ ＋ ７５ ＋ ６８６ ＝ ８０． 所以^ａ ＝ ｙ － ｂ^ ｘ ＝ ８０ ＋ ２０ × ８． ５ ＝ ２５０，从而回归直线方程为 ｙ^ ＝ － ２０ｘ ＋ ２５０． （２）设工厂获得的利润为Ｌ元，依题意得Ｌ ＝ ｘ（－２０ｘ ＋２５０）－ ４（－ ２０ｘ ＋ ２５０）＝ － ２０ｘ２ ＋ ３３０ｘ － １ ０００ ＝ － ２０（ｘ － ８． ２５）２ ＋ ３６１．２５． 当且仅当ｘ ＝８． ２５时，Ｌ取得最大值，故当单价定为８．２５元时，工 厂可获得最大利润． ９．（１）由折线图中的数据得， ｔ ＝ ４，７ ｉ ＝ １ （ｔｉ － ｔ）２ ＝ ２８， ７ ｉ ＝ １ （ｙｉ － ｙ）２ ＝ １８， ７ ｉ ＝ １ （ｔｉ － ｔ）（ｙｉ － ｙ）所以 ｒ ＝ ２１ 槡２８ × １８ ≈０． ９４． 因为ｙ与ｔ的相关系数近似为０． ９４，说明ｙ与ｔ的线性相关程 度相当大，所以可以用线性回归模型拟合ｙ与ｔ的关系． （２）因为ｙ ＝ ５４，ｂ^ ＝  ７ ｉ ＝ １ （ｔｉ － ｔ）（ｙｉ － ｙ）  ７ ｉ ＝ １ （ｔｉ － ｔ）２ ＝ ２１２８ ＝ ３ ４ ， 所以^ａ ＝ ｙ － ｂ^ ｔ ＝ ５４ － ３４ × ４ ＝ ５１， 所以ｙ关于ｔ的线性回归方程为^ｙ ＝ ｂ^ｔ ＋ ａ^ ＝ ３４ ｔ ＋ ５１，将２０２４ 年对应的ｔ ＝ ８代入上式，得^ｙ ＝ ３４ × ８ ＋ ５１ ＝ ５７， 所以预测２０２４年该企业污水净化量约为５７吨． 练案［１８］ Ａ组·素养自测 １． ＡＢ　 由事件的独立性知，Ａ选项正确；由独立性检验的意义 知，Ｂ选项正确；χ２的大小是判定事件Ａ与Ｂ是否相关的一种 方法，不是唯一依据，Ｃ选项不正确；若事件Ａ与Ｂ相关，则Ａ 发生Ｂ可能发生，也可能不发生，Ｄ选项不正确． ２． Ｄ　 事件Ａ与Ｂ相互独立，则Ａ与Ｂ，Ａ与Ｂ，Ａ与Ｂ也相互 独立． ３． Ａ　 χ２ ＝ ７２ ×（８ × １８ － １４ × ３２） ２ ２２ × ５０ × ４０ × ３２ ≈４． ７２６ ＞ ３． ８４１． ４． Ａ　 χ２≈４． ７６２ ＞ ３． ８４１，参照题中附表，可得在犯错误的概率 不超过５％的前提下，认为“是否爱好踢毽子与性别有关”．故 选Ａ． ５． Ｂ　 任取１名参赛人员，抽到对主办方表示满意的男性运动员 的概率为２００５００ ＝ ２ ５ ，故①错误； χ２ ＝ ５００ ×（２００ × ３０ － ５０ × ２２０） ２ ４２０ × ８０ × ２５０ × ２５０ ≈５． ９５２ ＜ ６． ６３５，故②错误， ③正确．故选Ｂ． ６． ９９％ 　 有关　 ∵ χ２ ＝ ７． ６３，∴ χ２ ＞ ６． ６３５，因此，有９９％的把握 说，打鼾与患心脏病是有关的． ７． ０． ９９９　 χ２ ＝（５ ＋ １５ ＋ ４０ ＋ １０）（５ × １０ － ４０ × １５） ２ （５ ＋ １５）（４０ ＋ １０）（５ ＋ ４０）（１５ ＋ １０）≈１８． ８２２． ∵ １８． ８２２ ＞ １０． ８２８， ∴ ｘ与ｙ之间有关系的概率约为１ － ０． ００１ ＝ ０． ９９９． ８． ５％ 　 ∵ Ｐ（χ２≥３． ８４１）＝ ０． ０５，故判断出错的可能性为５％ ． ９．（１）根据题表中数据知，甲机床生产的产品中一级品的频率是 １５０ ２００ ＝ ０． ７５，乙机床生产的产品中一级品的频率是 １２０ ２００ ＝ ０． ６． （２）根据题表中的数据可得 Ｋ２ ＝ ４００ ×（１５０ × ８０ － １２０ × ５０） ２ ２００ × ２００ × ２７０ × １３０ ＝ ４００ ３９ ≈１０． ２５６． 因为１０． ２５６ ＞ ６． ６３５，所以有９９％的把握认为甲机床的产品 质量与乙机床的产品质量有差异． １０．（１）设样本中乙企业用户中满意的有ｘ户，结合列联表知， Ｐ ＝ ７５ ＋ ｘ１６５ ＝ ９ １１，解得ｘ ＝ ６０； 所以，填写２ × ２列联表是： 满意 不满意 合计 甲企业用户 ７５ １０ ８５ 乙企业用户 ６０ ２０ ８０ 合计 １３５ ３０ １６５ 计算Ｋ２ ＝ ｎ（ａｄ － ｂｃ） ２ （ａ ＋ ｂ）（ｃ ＋ ｄ）（ａ ＋ ｃ）（ｂ ＋ ｄ） ＝ １６５（７５ × ２０ － １０ × ６０） ２ １３５ × ３０ × ８５ × ８０ ＝ １６５ ３４ ≈４． ８５３ ＞ ３． ８４１ 所以能判断有９５％的把握认为“满意度与电信企业服务措 施有关系”． （２）设“抽到５号或１０号”为事件Ａ，先后两次抛掷一枚骰 子，出现的点数为（ｍ，ｎ），则所有的基本事件的个数有６ × ６ ＝ ３６， 事件Ａ包含的基本事件个数（ｍ ＋ ｎ ＝ ５或ｍ ＋ ｎ ＝ １０）有： （１，４），（２，３），（３，２），（４，１），（４，６），（５，５），（６，４）共有７ 个．所以所求事件的概率为Ｐ（Ａ）＝ ７３６ ． Ｂ组·素养提升 １． Ｃ　 ∵在这１０５人中随机抽取１人，成绩优秀的概率为２７ ， ∴成绩优秀的人数为１０５ × ２７ ＝ ３０，非优秀的人数为１０５ － ３０ ＝７５， ∴ ｃ ＝ ３０ － １０ ＝ ２０，ｂ ＝ ７５ － ３０ ＝ ４５， ∴ χ２ ＝ １０５ ×（１０ × ３０ － ２０ × ４５） ２ ３０ × ７５ × ５０ × ５５ ≈６． １０９ ＞ ３． ８４１． ∴若按９５％的可靠性要求，能认为成绩与班级有关系．故 选Ｃ                                                                      ． —１７１— ２． Ｃ　 设男生可能有ｘ人，依题意可得列联表如下： 喜欢抖音 不喜欢抖音总计 男生 ４５ ｘ １ ５ ｘ ｘ 女生 ３５ ｘ ２ ５ ｘ ｘ 总计 ７５ ｘ ３ ５ ｘ ２ｘ 若有９５％的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则χ２≥ ３． ８４１，由χ２ ＝ ２ｘ ４５ ｘ· ２ ５ ｘ － ３ ５ ｘ· １ ５( )ｘ ２ ｘ·ｘ·７５ ｘ· ３ ５ ｘ ＝ ２ｘ２１≥３． ８４１，解得 ｘ≥４０． ３３０ ５，又由题意知，ｘ是５的整数倍， ∴ ６０满足题意．故选Ｃ． ３． ＣＤ　 根据公式，得 χ２ ＝ ６５ ×［ａ（３０ ＋ ａ）－（１５ － ａ）（２０ － ａ）］ ２ ２０ × ４５ × １５ × ５０ ＝ １３ ×（１３ａ － ６０） ２ ２０ × ４５ × ３ × ２ ＞ ３． ８４１，根据ａ ＞ ５且１５ － ａ ＞ ５， ａ∈Ｚ，求得当ａ ＝ ８或９时满足题意． ４． ＡＢＣ　 对于选项Ａ，因为夜晚下雨的天数一共有２５ ＋ ２５ ＝ ５０ （天），所以夜晚下雨的概率约为５０１００ ＝ １ ２ ，故Ａ正确．对于选 项Ｂ，未出现“日落云里走”夜晚下雨的有２５天，未出现“日落 云里走”的一共有２５ ＋ ４５ ＝ ７０（天），所以在未出现“日落云里 走”的条件下，夜晚下雨的概率约为２５７０ ＝ ５ １４，故Ｂ正确．对于 选项Ｃ，因为χ２≈１９． ０５ ＞ １０． ８２８，所以有９９． ９％的把握认为 “日落云里走”是否出现与当晚是否下雨有关，故Ｃ正确，Ｄ错 误，故选ＡＢＣ． ５．（１）３０　 １００　 ｍ ＝ ４５ － １５ ＝ ３０，ｎ ＝ ５０ ＋ ５０ ＝ １００． （２）有９９％的把握说“教学方式与成绩有关系”　 由表中的数 据得χ２ ＝ １００ ×（３５ × ３０ － １５ × ２０） ２ ５０ × ５０ × ５５ × ４５ ≈９． ０９１． 因为９． ０９１ ＞ ６． ６３５，所以有９９％的把握说“教学方式与成绩 有关系”． ６．（１）７２％，６４％ 　 甲厂抽查的产品中有３６０件优质品，从而甲 厂生产的零件的优质品率估计为３６０５００ × １００％ ＝ ７２％； 乙厂抽查的产品中有３２０件优质品，从而乙厂生产的零件的 优质品率估计为３２０５００ × １００％ ＝ ６４％ ． （２）９９％ 　 甲厂 乙厂 总计 优质品 ３６０ ３２０ ６８０ 非优质品 １４０ １８０ ３２０ 总计 ５００ ５００ １ ０００ χ２ ＝ １ ０００ ×（３６０ × １８０ － ３２０ × １４０） ２ ５００ × ５００ × ６８０ × ３２０ ≈７． ３５ ＞ ６． ６３５． 所以有９９％的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差 异”． ７．无关　 ６７ 　 χ ２ ＝ ３０ ×（１０ × ８ － ６ × ６） ２ １６ × １４ × １６ × １４ ≈１． １５７ ５ ＜ ２． ７０６．因此 认为喜爱滑雪与性别无关． 喜爱滑雪的人数ξ的可能取值为０，１，２，则 Ｐ（ξ ＝ ０）＝ Ｃ ０ ６Ｃ ２ ８ Ｃ２１４ ＝ ２８９１ ＝ ４ １３，Ｐ（ξ ＝ １）＝ Ｃ１６Ｃ １ ８ Ｃ２１４ ＝ ４８９１， Ｐ（ξ ＝ ２）＝ Ｃ ２ ６Ｃ ０ ８ Ｃ２１４ ＝ １５９１ ． 所以喜爱滑雪的人数ξ的分布列为 ξ ０ １ ２ Ｐ ４１３ ４８ ９１ １５ ９１ 所以喜爱滑雪的人数ξ的均值为Ｅ（ξ）＝ ０ × ４１３ ＋ １ × ４８ ９１ ＋ ２ × １５ ９１ ＝ ６ ７ ． ８．将２ × ２列表中的数据代入公式计算，得 χ２ ＝ １００ ×（６０ × １０ － ２０ × １０） ２ ７０ × ３０ × ８０ × ２０ ＝ １００ ２１ ≈４． ７６２． 由于４． ７６２ ＞ ３． ８４１，所以９５％的把握认为南方学生和北方学 生在选用甜品的饮食习惯方面有差异． （２）从５名数学系学生中任取３人的一切可能结果所组成的 基本事件空间Ω ＝ ｛（ａ１，ａ２，ｂ１），（ａ１，ａ２，ｂ２），（ａ１，ａ２，ｂ３）， （ａ１，ｂ１，ｂ２），（ａ１，ｂ１，ｂ３），（ａ１，ｂ２，ｂ３），（ａ２，ｂ１，ｂ２），（ａ２，ｂ１， ｂ３），（ａ２，ｂ２，ｂ３），（ｂ１，ｂ２，ｂ３）｝，其中ａｉ表示喜欢甜品的学生，ｉ ＝ １，２，ｂｊ表示不喜欢甜品的学生，ｊ ＝ １，２，３． 基本事件空间Ω由１０个基本事件组成，且这些基本事件的出 现是等可能的． 用Ａ表示“３人中至多有１人喜欢甜品”这一事件，则Ａ ＝ ｛（ａ１，ｂ１，ｂ２），（ａ１，ｂ１，ｂ３），（ａ１，ｂ２，ｂ３），（ａ２，ｂ１，ｂ２），（ａ２，ｂ１， ｂ３），（ａ２，ｂ２，ｂ３），（ｂ１，ｂ２，ｂ３）｝． 事件Ａ由７个基本事件组成，因而Ｐ（Ａ）＝ ７１０ ． ９．（１）记Ｂ表示事件“旧养殖法的箱产量低于５０ ｋｇ”，Ｃ表示事 件“新养殖法的箱产量不低于５０ ｋｇ”， 由Ｐ（Ａ）＝ Ｐ（ＢＣ）＝ Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ｃ）， 旧养殖法的箱产量低于５０ ｋｇ的频率为（０． ０１２ ＋ ０． ０１４ ＋ ０． ０２４ ＋ ０． ０３４ ＋ ０． ０４０）× ５ ＝ ０． ６２， 故Ｐ（Ｂ）的估计值为０． ６２， 新养殖法的箱产量不低于５０ ｋｇ的频率为（０． ０６８ ＋ ０． ０４６ ＋ ０． ０１０ ＋ ０． ００８）× ５ ＝ ０． ６６， 故Ｐ（Ｃ）的估计值为０． ６６， 则事件Ａ的概率估计值为Ｐ（Ａ）＝ Ｐ（Ｂ）·Ｐ（Ｃ）＝ ０． ６２ × ０． ６６ ＝ ０． ４０９ ２， ∴ Ａ发生的概率为０． ４０９ ２． （２）根据箱产量的频率分布直方图得到列联表： 箱产量 ＜ ５０ ｋｇ 箱产量 ≥５０ ｋｇ 总计 旧养殖法 ６２ ３８ １００ 新养殖法 ３４ ６６ １００ 总计 ９６ １０４ ２００ 则χ２ ＝ ２００ ×（６２ × ６６ － ３８ × ３４） ２ １００ × １００ × ９６ × １０４ ≈１５． ７０５， 由１５． ７０５ ＞ ６． ６３５． 故有９９％的把握认为箱产量与养殖方法有关                                                                      ． —１７２— 练案［１８］ 第四章　 概率与统计 ４． ３　 ［４． ３． ２　 独立性检验］ Ａ组·素养自测 一、选择题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（多选）下列说法正确的是 （　 ） Ａ．事件Ａ与Ｂ独立，即两个事件互不影响 Ｂ．事件Ａ与Ｂ关系越密切，则χ２就越大 Ｃ． χ２的大小是判定事件Ａ与Ｂ是否相关的唯 一根据 Ｄ．若判定两事件Ａ与Ｂ相关，则Ａ发生Ｂ一 定发生 ２．事件Ａ，Ｂ是相互独立的，下列四个式子： ①Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）；②Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）； ③Ｐ（Ａ Ｂ）＝ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）；④Ｐ（Ａ　Ｂ）＝ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）． 其中正确的有 （Ｄ ） Ａ． １个 Ｂ． ２个 Ｃ． ３个 Ｄ． ４个 ３．某防疫站对屠宰场及肉食零售点的猪肉检查 沙门氏菌带菌情况，结果如表： 带菌数不带菌数总计 屠宰场 ８ ３２ ４０ 零售点 １４ １８ ３２ 总计 ２２ ５０ ７２ 利用独立性检验估计屠宰场带菌与零售点猪 肉带菌 （Ａ ） Ａ．有９５％的把握有关 Ｂ．无关 Ｃ．有９９％的把握有关 Ｄ．无法判断 ４．通过随机询问１００名性别不同的大学生是否 爱好踢毽子，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 １０ ４０ ５０ 不爱好 ２０ ３０ ５０ 总计 ３０ ７０ １００ 附表： Ｐ（χ２≥ｋ） ０． １ ０． ０５ ０． ０１ ｋ ２． ７０６ ３． ８４１ ６． ６３５ 随机变量χ２ ＝ ｎ（ａｄ － ｂｃ） ２ （ａ ＋ ｂ）（ｃ ＋ ｄ）（ａ ＋ ｃ）（ｂ ＋ ｄ）， 经计算χ２≈４． ７６２，参照附表，下列结论正确 的是 （Ａ ） Ａ．在犯错误的概率不超过５％的前提下，认为 “是否爱好踢毽子与性别有关” Ｂ．在犯错误的概率不超过５％的前提下，认为 “是否爱好踢毽子与性别无关” Ｃ．有９９％以上的把握认为“是否爱好踢毽子与 性别有关” Ｄ．有９９％以上的把握认为“是否爱好踢毽子 与性别无关” ５． ２０１９年１０月１８日至２７日，第七届世界军人 运动会在湖北武汉举办，中国代表团共获得 １３３金６４银４２铜，共２３９枚奖牌．为了调查各 国参赛人员对主办方的满意程度，研究人员 随机抽取了５００名参赛运动员进行调查，所得 数据如下表所示，现有如下说法：①在参与调 查的５００名运动员中任取１人，抽到对主办方 表示满意的男性运动员的概率为１２；②在犯错 误的概率不超过１％的前提下可以认为“是否 对主办方表示满意与运动员的性别有关”； ③没有９９． ９％的把握认为“是否对主办方表 示满意与运动员的性别有关”． 男性运动员女性运动员 对主办方表示满意 ２００ ２２０ 对主办方表示不满意 ５０ ３０ 则正确说法的个数为 （Ｂ ）                                                                Ａ． ０ Ｂ． １ Ｃ． ２ Ｄ． ３ —１２０— 二、填空题 ６．（一题两空）在一项打鼾与患心脏病的调查 中，共调查了１ ６７１人，经过计算χ２ ＝ ７． ６３．根 据这一数据分析，有　 　 　 ％　 的把握说，打 鼾与患心脏病是　 　 　 　 的． （“有关”或“无 关”） ７．若两个分类变量ｘ和ｙ的列联表为： 　 　 ｙ ｘ　 　 ｙ１ ｙ２ ｘ１ ５ １５ ｘ２ ４０ １０ 则ｘ与ｙ之间有关系的概率约为　 　 　 　 ． ８．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选 该课程的一些学生情况，具体数据如下表： 非统计专业统计专业 男 １３ １０ 女 ７ ２０ 为了判断主修统计专业是否与性别有关系， 根据表中数据， 得到 χ２ ＝ ５０ ×（１３ × ２０ － １０ × ７）２ ２３ × ２７ × ２０ × ３０ ≈４． ８４４ ＞ ３． ８４１，所以 断定主修统计专业与性别有关系，那么这种 判断出错的可能性约是　 　 　 　 ． 三、解答题 ９．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分 为一级品和二级品，为了比较两台机床产品 的质量，分别用两台机床各生产了２００件产 品，产品的质量情况统计如下表： 一级品 二级品 合计 甲机床 １５０ ５０ ２００ 乙机床 １２０ ８０ ２００ 合计 ２７０ １３０ ４００ （１）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频 率分别是多少？ （２）能否有９９％的把握认为甲机床的产品质 量与乙机床的产品质量有差异？ 附：Ｋ２ ＝ ｎ（ａｄ － ｂｃ） ２ （ａ ＋ ｂ）（ｃ ＋ ｄ）（ａ ＋ ｃ）（ｂ ＋ ｄ）， Ｐ（Ｋ２≥ｋ） ０． ０５０ ０． ０１０ ０． ００１ ｋ ３． ８４１ ６． ６３５ １０． ８２８ １０． ２０２０年３月，工业和信息化部信息通信发展 司发布《工业和信息化部关于推动５Ｇ加快 发展的通知》，鼓励基础电信企业通过套餐 升级优惠、信用购机等举措，促进５Ｇ终端消 费，加快用户向５Ｇ迁移．为了落实通知要 求，掌握用户升级迁移情况及电信企业服务 措施，某市调研部门随机选取了甲、乙两个 电信企业的用户共１６５户作为样本进行满意 度调查，并针对企业服务措施设置了达标分 数线，按照不低于８０分的定为满意，低于８０ 分的为不满意，调研人员制作了如图所示的 ２ × ２列联表． 满意不满意合计 甲企业用户 ７５ 乙企业用户 ２０                                                                      合计 —１２１— 已知从样本的１６５户中随机抽取１户为满意 的概率是９１１． （１）请将２ × ２列联表补充完整，并判断能否 有９５％的把握认为“满意度与电信企业服务 措施有关系”？ （２）为了进一步了解用户对电信企业服务措 施不满意的具体情况，调研人员在样本中的 甲企业用户中按照下面的方法抽取一户进 行详细调查了解：把甲企业用户中不满意的 户主按２，３，４，５，…进行编号，再先后两次抛 掷一枚质地均匀的骰子，出现点数之和为被 抽取户主的编号，且规定点数之和为１２时抽 取的编号为２．试求抽到５号或１０号的 概率． 下面临界值表仅供参考： Ｐ（Ｋ２≥ｋ０） ０． １５ ０． １０ ０． ０５ ０． ０２５ ０． ０１０ ０． ００５ ０． ００１ ｋ０ ２． ０７２ ２． ７０６ ３． ８４１ ５． ０２４ ６． ６３５ ７． ８７９ １０． ８２８ （参考公式：Ｋ２ ＝ ｎ（ａｄ － ｂｃ） ２ （ａ ＋ ｂ）（ｃ ＋ ｄ）（ａ ＋ ｃ）（ｂ ＋ ｄ）， 其中ｎ ＝ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＋ ｄ） Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等 于８５分为优秀，８５分以下为非优秀统计成 绩，得到如下列联表： 优秀非优秀总计 甲班 １０ ｂ 乙班 ｃ ３０ 总计 １０５ 已知在这１０５人中随机抽取１人，成绩优秀的概 率为２７，χ ２≈６．１０９．则下列说法正确的是（Ｃ ） 附： Ｐ（χ２≥ｋ） ０． ０５０ ０． ０１０ ０． ００１ ｋ ３． ８４１ ６． ６３５ １０． ８２８ Ａ．列联表中ｃ的值为３０，ｂ的值为３５ Ｂ．列联表中ｃ的值为１５，ｂ的值为５０ Ｃ．根据列联表中的数据，若按９５％的可靠性 要求，能认为成绩与班级有关系 Ｄ．根据列联表中的数据，若按９５％的可靠性 要求，不能认为成绩与班级有关系 ２．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生是 否喜欢抖音和性别有关”作了一次调查，其中 被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢抖音 的人数占男生人数的４５，女生中喜欢抖音的人 数占女生人数３５，若有９５％的把握认为是否 喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生的 人数可能为 （Ｃ ） 附： Ｐ（χ２≥ｋ） ０． ０５０ ０． ０１０ ０． ００１ ｋ ３． ８４１ ６． ６３５ １０． ８２８ Ａ． ２０ Ｂ． ４０ Ｃ． ６０ Ｄ． ３０ ３．（多选）有两个分类变量Ｘ，Ｙ，                                                                      其列联表如下 —１２２— 所示， Ｙ１ Ｙ２ Ｘ１ ａ ２０ － ａ Ｘ２ １５ － ａ ３０ ＋ ａ 其中ａ，１５ － ａ均为大于５的整数，若在犯错误 的概率不超过０． ０５的前提下认为Ｘ，Ｙ有关， 则ａ的值为 （　 ） Ａ． ６ Ｂ． ７ Ｃ． ８ Ｄ． ９ ４．（多选）千百年来，我国劳动人民在生产实践 中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的 变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并 将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上 雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波 同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观 察了Ａ地区的１００天日落和夜晚天气的情况， 得到如下２ × ２列联表： 　 　 　 　 　 　 夜晚天气 日落云里走　 　 　 　 下雨未下雨 出现 ２５ ５ 未出现 ２５ ４５ 并计算得到χ２ ＝ １９． ０５，下列小波对Ａ地区天 气判断正确的是 （　 ） 附： Ｐ（χ２≥ｋ） ０． １ ０． ０５ ０． ０１ ０． ００１ ｋ ２． ７０６ ３． ８４１ ６． ６３５ １０． ８２８ Ａ．夜晚下雨的概率约为１２ Ｂ．在未出现“日落云里走”的条件下，夜晚下 雨的概率约为５１４ Ｃ．有９９． ９９％的把握认为“日落云里走“是否 出现与当晚是否下雨有关 Ｄ．出现“日落云里走”，有９９． ９％的把握认为 夜晚会下雨 二、填空题 ５．某校在两个班进行教学方式对比试验，两个 月后进行了一次检测，实验班与对照班成绩 统计如表所示（单位：人）： ８０及８０分以上８０分以下总计 实验班 ３５ １５ ５０ 对照班 ２０ ｍ ５０ 总计 ５５ ４５ ｎ （１）ｍ ＝ 　 　 　 　 ，ｎ ＝ 　 　 　 　 ； （２）根据表中数据得到的结论是有９９％的把 握说“教学方式与成绩有关系”　 ． ６．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内 径尺寸（单位：ｍｍ）的值落在［２９． ９４，３０． ０６） 的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中 各抽出了５００件，量其内径尺寸，得结果如表： 甲厂： 分组 ［２９． ８６， ２９． ９０） ［２９． ９０， ２９． ９４） ［２９． ９４， ２９． ９８） ［２９． ９８， ３０． ０２） ［３０． ０２， ３０． ０６） ［３０． ０６， ３０． １０） ［３０． １０， ３０． １４） 频数 １２ ６３ ８６ １８２ ９２ ６１ ４ 乙厂： 分组 ［２９． ８６， ２９． ９０） ［２９． ９０， ２９． ９４） ［２９． ９４， ２９． ９８） ［２９． ９８， ３０． ０２） ［３０． ０２， ３０． ０６） ［３０． ０６， ３０． １０） ［３０． １０， ３０． １４） 频数 ２９ ７１ ８５ １５９ ７６ ６２ １８ （１）两个分厂生产的零件的优质品率分别 为　 　 　 　 ； （２）有　 　 　 　 的把握认为“两个分厂生产的 零件的质量有差异”． ７． ２０２４年２月第十四届全国冬运会在呼伦贝尔 举行，为了搞好接待工作，组委会招募了１６名 男志愿者和１４名女志愿者．调查发现，男、女 志愿者分别有１０人和６人喜爱滑雪，其余不 喜爱．得到２ × ２列联表如下． 喜爱滑雪 不喜爱滑雪总计 男 １０ ６ １６ 女 ６ ８ １４ 总计 １６ １４ ３０ 则喜爱滑雪与性别　 　 　 　 （填“有关”或“无 关”）． 若从女志愿者中抽取２人参加接待工作，其中喜 爱滑雪的人数为ξ，则ξ的均值为　 　 　 　                                                                       ． —１２３— 三、解答题 ８．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在 全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结 果如下表所示： 喜欢甜品不喜欢甜品合计 南方学生 ６０ ２０ ８０ 北方学生 １０ １０ ２０ 合计 ７０ ３０ １００ （１）根据表中数据，问是否有９５％的把握认为 南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯 方面有差异； （２）已知在被调查的北方学生中有５名数学 系的学生，其中２名喜欢甜品，现在从这５名 学生中随机抽取３人，求至多有１人喜欢甜品 的概率． 附：χ２ ＝ ｎ（ａｄ － ｂｃ） ２ （ａ ＋ ｂ）（ａ ＋ ｃ）（ｂ ＋ ｄ）（ｃ ＋ ｄ）， Ｐ（χ２≥ｋ） ０． １００ ０． ０５０ ０． ０１０ ｋ ２． ７０６ ３． ８４１ ６． ６３５ ９．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖 方法的产量对比，收获时各随机抽取了１００个 网箱，测量各箱水产品的产量（单位：ｋｇ），其 频率分布直方图如图： （１）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记Ａ 表示事件“旧养殖法的箱产量低于５０ ｋｇ，新 养殖法的箱产量不低于５０ ｋｇ”，估计Ａ的 概率； （２）填写下面列联表，并根据列联表判断是否 有９９％的把握认为箱产量与养殖方法有关． 箱产量＜ ５０ ｋｇ 箱产量≥５０ ｋｇ 旧养殖法 新养殖法 附： Ｐ（χ２≥ｋ） ０． ０５０ ０． ０１０ ０． ００１ ｋ ３． ８４１ ６． ６３５ １０． ８２８ χ２ ＝ ｎ（ａｄ － ｂｃ） ２ （ａ ＋ ｂ）（ｃ ＋ ｄ）（ａ ＋ ｃ）（ｂ ＋ ｄ）                                                                     ． —１２４—