精品解析：江苏省连云港市新海高级中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题

2024—2025学年上学期高二期末质量检测考试 数学试题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知直线倾斜角为，且过，则在轴上的截距为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线的点斜式方程求出直线的方程即可得解. 【详解】直线的斜率为，方程为，当时，， 所以在轴上的截距为. 故选：B 2. 过椭圆的一个焦点作轴的垂线，若交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据通径长的计算公式直接求解. 【详解】由题意，线段为椭圆的通径， 所以. 故选：D 3. 设数列满足，且，则（ ） A. -2 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】判断出数列的周期为4，即可求解. 【详解】因为，， 所以，，，， 显然数列的周期为4，而，因此. 故选：A. 4. 在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何体，空间向量的线性运算的几何意义，用已知向量表示出目标向量即可求解. 【详解】 . 故选：C. 5. 已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可证直线l恒过的定点在圆内，当时直线l被圆C截得的弦长最小，结合勾股定理计算即可求解. 【详解】直线l：， 令，解得，所以直线l恒过定点， 圆C：的圆心为，半径为， 且，即P在圆内， 当时，圆心C到直线l的距离最大为， 此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为． 故选：A． 6. 已知数列满足，，若为数列的前项和，则（ ） A. 624 B. 625 C. 626 D. 650 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，按奇偶分类求和即得. 详解】数列中，，， 当，时，，即数列的奇数项构成等差数列， 其首项为1，公差为2，则， 当，时，，即数列偶数项构成等比数列， 其首项为1，公比为，则， 所以. 故选：C 7. 斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用点差法来求得正确答案. 【详解】设， 则， 两式相减并化简得， （负根舍去）. 故选：B 8. “不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”量之，然后将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（ ） A. 20cm B. cm C. cm D. 30cm 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，利用余弦定理结合基本不等式可求得这个矩形周长的最大值. 【详解】依题意圆形木板的直径为. 设截得的四边形木板为，设，，，，，，如下图所示. 由且可得， 在中，由正弦定理得，解得. 在中，由余弦定理，得， 所以，， 即，可得，当且仅当时等号成立. 在中，， 由余弦定理可得 ， 即，即，当且仅当时等号成立， 因此，这块四边形木板周长的最大值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将四边形周长问题转化为三角形边长和的范围，利用余弦定理和基本不等式求解即可. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的前项和为，，，则（ ） A. 的最小值为1 B. 的最小值为1 C. 为递减数列 D. 为递增数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等差数列及求和公式基本量运算得出及，再结合二次函数最值判断A,B,根据特殊值法判断C,作差得出数列的单调性判断D. 【详解】假设的公差为，由，所以，又，所以，， 所以，. 选项A：，故时的最小值为1，A正确； 选项B：，所以时取得最小值1，B正确； 选项C：，因为，，所以不是递减数列，C错误. 选项D：，故为递增数列，D正确； 故选：ABD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. “直线与直线互相垂直”是“”的充分不必要条件 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则r的取值范围是 D. 设b为实数，若直线与曲线恰有一个公共点，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用直线垂直求出的值，可判断选项A错误；根据直线的斜率为计算斜率的取值范围，进而推出直线倾斜角的范围，得到选项B正确；问题转化为两个圆相交问题，根据圆心距和半径的关系得到选项C正确；分析曲线为半圆，通过画图求得的范围，选项D错误. 【详解】A.由两直线垂直得，，解得或， “或”是“”的必要不充分条件，选项A错误. B.由得，，直线斜率， ∵，∴，即， ∵，∴倾斜角的取值范围是.选项B正确. C.到点距离为的点在圆上， 由题意得，，圆与圆有两个公共点，两圆相交， ∵圆心距， ∴， ∴，即的取值范围是，选项C正确. D.由 得，曲线表示圆心为原点，半径为的半圆，如图所示， 当直线过点时，， 当直线过点和点时，， 当直线与半圆相切于点时， 由圆心到直线的距离为得，解得或（舍）， 所以当直线与曲线恰有一个公共点时，或. 选项D错误. 故选：BC. 11. 已知椭圆的右焦点为，抛物线以为焦点，过的直线交抛物线于两点，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. ，直线的倾斜角为或 C. 若为抛物线上一点，则的最小值为 D. 的最小值为9 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，先得到和抛物线方程，由焦半径公式得到；B选项，设直线，联立，得到两根之和，两根之积，根据，得到直线斜率为；C选项，根据焦半径公式转化为，数形结合得到最小值，得到C错误；D选项，在B选项基础上得到，由基本不等式得到. 【详解】A选项，由题意得，故抛物线方程为， 由抛物线定义得，A正确； B选项，由于直线的斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不合要求，舍去， 设直线，联立，得， 设，由于，则 由韦达定理得， 故，解得， 故直线的斜率为，倾斜角不为或，B错误； C选项，由题意得，准线方程为，过点作垂直于直线于点， 由抛物线定义得，故， 要想求得最小值，则过点作垂直于直线于点， 故的最小值为，最小值为，C错误； D选项，由题意得，由于，故， ， 因为，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为9，D正确. 故选：AD 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两条平行直线与间的距离是__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据平行关系求得a的值，再利用平行线间的距离公式求解即可. 【详解】因为直线与平行，故． 可得符合题意， 由平行线距离公式可得所求为． 故答案为：1 13. 如图，若正方体的棱长为，点是正方体的底面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则三棱锥体积的最大值为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，设出点坐标，求出平面的法向量，利用向量法求点到平面的最大距离，然后可解. 【详解】 以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 如图所示：易知，则， 设平面的一个法向量为，可得， 令，可得，即； 可设，则， 所以到平面的距离为，易知当时，距离最大值为； 又在中，易知，， 所以边上的高， 所以，为定值； 所以到平面的距离最大时，三棱锥体积的最大为：. 故答案为： 14. 已知双曲线：的右焦点为，焦距为，点的坐标为．若在双曲线的右支上存在点，使得，且，则双曲线的离心率取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设的左焦点为，由已知作图，可得，根据圆周角定理得，再由三角形外角可得，即得，结合双曲线定义和勾股定理，即可化简得到，进而求出离心率的范围. 【详解】因为， 所以是以为圆心，为半径的圆与双曲线的交点， 设的左焦点为，则， ，， 又，，则． 在双曲线的右支上，，， 又在中，， ，即，解得， 又，． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是等差数列，是正项等比数列，且，，， （1）求数列，的通项公式： （2）记 （i）求数列的前2n项和； （ii）记，求数列的前n项和 【答案】（1）， （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式，解方程求得公差和公比，进而得到所求； （2）（i）利用并项求和法，结合等差数列的求和公式计算即可； （ii）由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，可得所求． 【小问1详解】 由题意，是等差数列，设公差为d， 是正项等比数列，设公比为q，， 由，，，， 可得，， 解得， 则，. 【小问2详解】 （i）由（1）可得，， 则， 则数列的前2n项和； （ii）， 则数列的前n项和 16. 如图，四棱锥的底面是边长为2菱形，，，分别是，的中点. （1）求证；平面； （2）若，，，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）利用中位线的性质构造线线平行，再利用线面平行的判定证明即可； （2）根据线面垂直的判定先证明平面，再建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面夹角即可. 【小问1详解】 取的中点为，连接，. 点，分别是，的中点， 是的中位线，即，， 在菱形中，，. ，，即四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，平面. 【小问2详解】 连接，， ，，，平面，平面， 平面， 又平面，， ， 又，则，所以. 即直线，，两两垂直. 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，，. 设平面的法向量为，平面的法向量为， 由得取. 由得取. 设平面与平面所成角为，则 ， 即平面与平面所成角的余弦值为. 17. 在平面直角坐标系中，已知圆及圆内一点，Q是圆O上的动点.以为圆心，为半径的圆，与圆相交于两点， （1）若圆与圆恒有公共点，求的取值范围； （2）证明：点到直线的距离为定值，并求出此定值. 【答案】（1） （2）证明见解析，定值 【解析】 【分析】（1）首先确定圆的半径的范围，再利用圆与圆恒有公共点，得，列不等式求解的取值范围； （2）利用圆与圆的相交，求相交直线的方程，再利用点到直线的距离公式求解即可证明. 【小问1详解】 解：因为，，所以圆的半径， 又圆与圆恒有公共点，且圆心之间的距离为， 所以对任意恒成立， 所以，所以取值范围为； 【小问2详解】 证明：设，圆的半径， 则圆方程为， 整理得，又圆， 两圆方程相减，整理得相交直线的方程为， 所以到直线的距离, 因为在圆O上，所以，所以到直线的距离， 即点到直线的距离为定值． 18. 如图，在三棱锥中，侧面为等腰三角形，，为的中点，为的中点，，，点在上． （1）若，证明，平面平面． （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）已知条件得，进而得，进而得，进而得平面，进而可得； （2）由已知条件，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系进而求平面和平面的一个法向量，结合空间向量的夹角公式得. 【小问1详解】 证明：因为侧面为等腰三角形，，为的中点， 所以,又，所以． 若，则为的中点, 连接，因为，所以， 因为为的中点，，所以，所以， 连接，所以．又，平面， 所以平面，即平面， 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 因为，所以． 又为的中点，为的中点，， 所以． 在中，， 则． 在中，由余弦定理， 故，则， 则有．结合（1）知． 又因为平面， 所以平面． 故以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则，即， 设平面的法向量为， 则，令，则，即， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 19. 在平面直角坐标系中，两点，，点满足． （1）求点的轨迹的方程； （2）若直线：，，点，求满足条件的所有点构成的图形的面积； （3）过点作直线交曲线于，两点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由两点间距离公式计算可得； （2）结合辅助角公式将直线变形，再结合圆的面积公式求解； （3）设直线方程为，联立曲线得到韦达定理，由弦长公式求出，再由点到直线的距离公式求出，表示出三角形面积，然后设，结合基本不等式求出结果即可； 【小问1详解】 设，由可得， 化简可得， 所以点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 由题意可得有解， 因为， 所以点的集合为，即，即以为圆心，4为半径的圆， 所以面积为 【小问3详解】 设直线方程为， 联立消去并整理可得， ， 设， 则， 由弦长公式可得， 又到直线的距离， 所以， 令，则， 所以，当且仅当即时取等号， 所以面积的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是利用辅助角公式将问题变形为；第三问再求解面积时，设，利用基本不等式求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年上学期高二期末质量检测考试 数学试题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知直线倾斜角为，且过，则在轴上截距为（ ） A. B. C. 1 D. 2. 过椭圆的一个焦点作轴的垂线，若交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 3. 设数列满足，且，则（ ） A. -2 B. C. D. 3 4. 在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，，若为数列前项和，则（ ） A. 624 B. 625 C. 626 D. 650 7. 斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则（ ） A. B. C. D. 8. “不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”量之，然后将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（ ） A. 20cm B. cm C. cm D. 30cm 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的前项和为，，，则（ ） A. 的最小值为1 B. 的最小值为1 C. 递减数列 D. 为递增数列 10. 下列说法正确的是（ ） A. “直线与直线互相垂直”是“”的充分不必要条件 B. 直线倾斜角的取值范围是 C. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则r的取值范围是 D. 设b为实数，若直线与曲线恰有一个公共点，则 11. 已知椭圆的右焦点为，抛物线以为焦点，过的直线交抛物线于两点，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. ，直线的倾斜角为或 C. 若为抛物线上一点，则的最小值为 D. 的最小值为9 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两条平行直线与间的距离是__________． 13. 如图，若正方体的棱长为，点是正方体的底面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则三棱锥体积的最大值为_______. 14. 已知双曲线：的右焦点为，焦距为，点的坐标为．若在双曲线的右支上存在点，使得，且，则双曲线的离心率取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是等差数列，是正项等比数列，且，，， （1）求数列，的通项公式： （2）记 （i）求数列的前2n项和； （ii）记，求数列的前n项和 16. 如图，四棱锥的底面是边长为2菱形，，，分别是，的中点. （1）求证；平面； （2）若，，，求平面与平面所成角的余弦值. 17. 在平面直角坐标系中，已知圆及圆内一点，Q是圆O上动点.以为圆心，为半径的圆，与圆相交于两点， （1）若圆与圆恒有公共点，求的取值范围； （2）证明：点到直线的距离为定值，并求出此定值. 18. 如图，在三棱锥中，侧面为等腰三角形，，为的中点，为的中点，，，点在上． （1）若，证明，平面平面． （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 19. 在平面直角坐标系中，两点，，点满足． （1）求点的轨迹的方程； （2）若直线：，，点，求满足条件的所有点构成的图形的面积； （3）过点作直线交曲线于，两点，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$