专题09 计数原理、概率、统计及统计案例、随机变量及其分布列（七大题型）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（广东专用）

专题09 计数原理、概率、统计及统计案例、 随机变量及其分布列（7大题型） 一、事件与概率 1．（2024·广东佛山·一模）抛掷2枚质地均匀的骰子，在掷出的两枚骰子点数之和为6点的条件下，点数均为奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用列举法，利用古典概型计算公式，即可求解. 【详解】掷出的两枚骰子的点数之和为6点包含，共5种情况，其中点数均为奇数的有，共3种情况， 所以概率. 故选：A 2．（2025·广东茂名·一模）在一个箱子中放5个白球，3个红球，摇匀后采用不放回方式随机摸球3次，每次一个，第3次摸到红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】第次摸到红球，则分三种情况讨论：前次只有第次摸到红球，前次有两次摸到红球、其中第次一定摸到红球，前次摸到次红球，利用排列数公式及古典概型的概率计算可得. 【详解】记第次摸到红球为事件，则. 故选：A. 3．（2025·广东肇庆·二模）小王数学期末考试考了分，受到爸爸表扬的概率为，受到妈妈表扬的概率也为，假设小王受爸爸表扬和受妈妈表扬独立，则小王被表扬的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】相互独立事件的概率，采用乘法公式，正面分类复杂，求对立事件（小王不被表扬）的概率可得解. 【详解】记小王受到爸爸表扬为事件，小王受到妈妈表扬为事件，小王受到表扬为事件， 小王同学受爸爸表扬和受妈妈表扬相互独立，则. 故选：C. 4．（2024·广东韶关·一模）小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测式；若出现连续两次投篮不中，则不通过测试.已知小明每次投篮命中的概率均为，则小明通过测试的概率为 . 【答案】 【分析】根据独立事件的乘法公式和条件概率求解即可. 【详解】设第一次投篮成功为事件B，通过测试为事件A， 则， 所以， 所以， 故答案为： 5．（2024·广东佛山·一模）印度数学家卡普列加在一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，他看到路边写有3025的一块牌子被劈成了两半，一半上写着30，另一半上写着25.这时，他发现，，即将劈成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字.数学家将3025等符合上述规律的数字称之为雷劈数（或卡普列加数）.则在下列数组：92，81，52，40，21，14中随机选择两个数，其中恰有一个数是雷劈数的概率是（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】找出这6个数中的雷劈数，结合组合数公式求相应的概率. 【详解】因为，所以是雷劈数.其余的不是雷劈数. 记： “从6个数中随机选择两个数，其中恰有一个数是雷劈数”为事件， 则. 故选：C 6．（2025·广东·一模）有三个袋子，每个袋子都装有个球，球上分别标有数字.现从每个袋子里任摸一个球，用分别表示从第一，第二，第三个袋子中摸出的球上所标记的数，则事件“”的概率为 . 【答案】 【分析】归纳求出满足的情况种数，根据古典概型的概率公式求解. 【详解】由题意，从三个袋子中摸出的球上所标记的数的总的情况为种， 满足，则， 当时，对应的情况有，1种； 当时，对应的情况有，2种； 当时，对应的情况有，3种； 当时，对应的情况有，种； 所以满足的情况有种， 故所求事件的概率为. 故答案为：. 7．（2025·广东·一模）设为正整数，从集合的所有二元子集中任取两个，记为，，其中与可以相同.在平面直角坐标系中，记直线与直线的四个交点分别为，则以为顶点的四边形为正方形的概率为 .（用含的代数式表示）附参考公式： 【答案】 【分析】根据古典概型结合组合数运算应用求和计算即可. 【详解】由题知，边长为的正方形有种情况， 故 故答案为： 8．（2024·广东珠海·一模）（多选）设A，B为随机事件，且，是A，B发生的概率．，则下列说法正确的是（    ） A．若A，B互斥，则 B．若，则A，B相互独立 C．若A，B互斥，则A，B相互独立 D．与相等 【答案】ABD 【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A选项；由相互独立事件的概念可判断B选项；由互斥事件和相互独立事件的概念可判断C选项；由条件概率公式化简，可判断D选项. 【详解】对于A：若A，B互斥，根据互斥事件的概率公式，则，故A正确； 对于B：由相互独立事件的概念知，若，则事件A，B是相互独立事件，故B正确； 对于C：若A，B互斥，则A，B不一定相互独立， 例：抛掷一枚硬币的试验中，事件“正面朝上”，事件“反面朝上”， 事件与事件互斥，但，， 所以不满足相互独立事件的定义，故C错误； 对于D：， ， 所以与相等，故D正确. 故选：ABD. 9．（2025·广东佛山·一模）ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球．甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权．设甲，乙发出ACE球的概率均为，记“第次发球的人是甲”． (1)证明：； (2)若，，求和． 【答案】(1)证明见解析 (2), 【分析】（1）根据条件概率的意义可证明； （2）利用（1）中的结果可求，结合全概率公式可得，利用构造法可求. 【详解】（1）若第次为甲发球的条件下第次还是甲发球， 则第次甲没有发出ACE球，故此时， 若第次不是甲发球的条件下第次是甲发球， （1）乙发ACE球，则第次是甲发球； （2）乙没有发出ACE球，则有的概率第次是甲发球； 故， 故. （2） ，, 故，所以即， 所以， 故 而，故为等比数列， 故即. 二、统计及样本数字特征 10．（2025·广东·一模）统计甲、乙两支足球队在一年内比赛的结果如下：甲队平均每场比赛丢失个球，全年比赛丢失球的个数的标准差为；乙队平均每场比赛丢失个球，全年比赛丢失球的个数的方差为.据此分析： ①甲队防守技术较乙队好； ②甲队技术发挥不稳定； ③乙队几乎场场失球； ④乙队防守技术的发挥比较稳定． 其中正确判断的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平均数、标准差以及方差的意义，可得答案. 【详解】甲队平均每场比赛丢失个球，乙队平均每场比赛丢失个球，,所以甲队技术比乙队好，故正确； 甲队全年比赛丢失球的个数的标准差为，所以甲队全年比赛丢失球的个数的方差差为， 乙队全年比赛丢失球的个数的方差为，因为,所以乙队发挥比甲稳定，故正确， 因为乙队平均每场比赛丢失个球，大于1，故乙队几乎场场失球，故正确. 故选：D. 11．（2024·广东珠海·一模）甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为72分，方差为90分；乙班的平均成绩为90分，方差为60分．那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是 分，方差是 分． 【答案】 80 【分析】利用平均数的定义求出90名学生的平均成绩，根据局部方差和整体方差的公式进行求解. 【详解】甲、乙两班全部90名学生的平均成绩为分， 方差为 故答案为：80， 12．（2025·广东·一模）若样本数据的平均数为的平均数为22，则样本数据的方差为 . 【答案】20 【分析】根据给定条件，利用平均数的定义、方差的性质列式计算得解. 【详解】由样本数据的平均数为4，得的平均数为4， 由的平均数为22，得， 则的平均数为， 因此的方差为，所以的方差为. 故答案为：20 13．（2024·广东佛山·一模）现有甲、乙两组数据，甲组数据为：；乙组数据为：，若甲组数据的平均数为，标准差为，极差为，第百分位数为，则下列说法一定正确的是（   ） A．乙组数据的平均数为 B．乙组数据的极差为 C．乙组数据的第百分位数为 D．乙组数据的标准差为 【答案】ABC 【分析】根据平均数、极差、标准差的性质及百分位数的定义判断即可. 【详解】不妨设甲组数据从小到大排列为：， 则乙组数据从小到大排列为：， 因为甲组数据的平均数为，标准差为，极差为，第百分位数为， 则，又，所以， 所以乙组数据的平均数为，故A正确； 乙组数据的极差为，故B正确； 乙组数据的第百分位数为，故C正确； 乙组数据的标准差为，故D错误. 故选：ABC 三、频率分布直方图及其应用 14．（2025·广东茂名·一模）（多选）在一次数学竞赛中，将100名参赛者的成绩按区间分成5组，得到如下频率分布直方图，同一组中的数据用该组区间的中点值代表，根据图中信息，下列结论正确的是（    ） A． B．该100名学生成绩的众数约为75 C．该100名学生中成绩在的人数为48 D．该100名学生成绩的第85百分位数约为82.5 【答案】AB 【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之后为得到方程求出的值，再根据频率分布直方图一一判断即可. 【详解】依题意可得，解得，故A正确； 该100名学生成绩的众数约为，故B正确； 该100名学生中成绩在的人数为人，故C错误； 因为，， 所以第85百分位数位于，设其为，则，解得，故D错误. 故选：AB 15．（2024·广东韶关·一模）众数､平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关.根据某小区1000户居民的月均用水量数据（单位：），得到如图所示的频率分布直方图，记该组数据的众数为，中位数为，平均数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由频率分布直方图结合中位数以及众数的计算即可比较大小. 【详解】观察频率分布直方图，发现是属于右边“拖尾”，所以平均数大于中位数为， 由于第一个小矩形面积为， 前2个小矩形面积之和为， 所以中位数位于之间，故可得，解得， 由频率分布直方图可知众数， 故， 故选：D. 四、正态分布 16．（2025·广东·一模）（多选）某物理量的测量结果服从正态分布，则（    ） A．该正态分布对应的正态密度曲线关于直线对称 B．越大，该正态分布对应的正态密度曲线越尖陡 C．越小，在一次测量中，的取值落在内的概率越大 D．在一次测量中，的取值落在与落在的概率相等 【答案】AC 【分析】利用正态密度曲线的对称性可判断AD选项的正误；利用的大小对正态密度曲线的影响可判断BC选项的正误. 【详解】对于A选项，该正态分布对应的正态密度曲线关于直线对称，A对； 对于B选项，越大，曲线越平，B错； 对于C选项，越小，曲线越陡， 所以，越小，在一次测量中，的取值落在内的概率越大，C对； 对于D选项，因为， 由正态密度曲线的对称性可得 ，D错. 故选：AC. 17．（2024·广东韶关·一模）（多选）已知某批产品的质量指标服从正态分布，且，现从该批产品中随机取3件，用表示这3件产品的质量指标值位于区间的产品件数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据正态分布的对称性、概率公式，结合二项分布的公式，可得答案. 【详解】由正态分布的概念可知，故A正确； 由正态分布的性质得，故B错误； 则1件产品的质量指标值位于区间的概率为 所以，故C正确； ，故D错误. 故选：AC. 五、随机变量及其分布 18．（2025·广东·一模）随机变量服从二项分布，且，，则等于（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】B 【分析】根据二项分布的均值与方差公式列式计算． 【详解】由题意，解得． 故选：B． 【点睛】本题考查二项分布的均值与方差公式，属于基础题． 19．（2024·广东佛山·一模）密室逃脱是当下非常流行的解压放松游戏，现有含甲在内的7名成员参加密室逃脱游戏，其中3名资深玩家，4名新手玩家，甲为新手玩家. (1)在某个游戏环节中，需随机选择两名玩家进行对抗，若是同级的玩家对抗，双方获胜的概率均为；若是资深玩家与新手玩家对抗，新手玩家获胜的概率为，求在该游戏环节中，获胜者为甲的概率； (2)甲作为上一轮的获胜者参加新一轮游戏：如图，有两间相连的密室，设两间密室的编号分别为①和②.密室①有2个门，密室②有3个门（每个门都可以双向开），甲在每个密室随机选择1个门出去，若走出密室则挑战成功.若甲的初始位置为密室①，设其挑战成功所出的密室号为，求的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）先求出7人中随机选择2人的情况数和包含甲的情况数，分析得到6种情况中，甲和资深玩家对抗的情况有3种，和同级的玩家对抗情况有3种，分两种情况，求出甲获胜的概率，相加即可； （2）设为甲在密室①，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，为甲在密室②，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，分析得到两个方程，求出，从而得到和，得到分布列. 【详解】（1）7人中随机选择2人，共有种情况，其中含甲的情况有种， 6种情况中，甲和资深玩家对抗的情况有3种，和同级的玩家对抗情况有3种， 则甲和资深玩家对抗并获胜的概率为， 和同级的玩家对抗并获胜的概率为， 故在该游戏环节中，获胜者为甲的概率为； （2）设为甲在密室①，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率， 为甲在密室②，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率， 考虑，需考虑甲直接从号门走出密室或者进入密室②且最终从密室①走出密室， 故①， 考虑，则甲从号门进行密室①，且从密室①走出密室， 故②， 联立①②，可得， 所以，故， 故分布列如下： 1 2 20．（2025·广东·一模）人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论.为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况，数据如下： “一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况 频数 “一个” 6 “一些” 4 “一穷” 2 “一条” 2 其他 假设用频率估计概率. (1)求的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率； (2)在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数为，求的分布列和期望； (3)另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现了2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适？（结论不要求证明） 【答案】(1)16； (2)分布列见解析； (3)“一个”在前更合适 【分析】（1）根据表中数据即可求得a的值；根据古典概型的概率公示可求得甲类题材中“一”出现的概率； （2）确定，根据二项分布的概率计算即可求得答案； （3）计算样本语料库A，中“一个”和“一格”出现的概率，比较大小，可得结论. 【详解】（1）由题意可得； 故甲类题材中“一”出现的概率为； （2）由题意在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，搭配“一个”出现的概率为， 则，则,, , 故X的分布列为： X 0 1 2 P 则. （3）由题意知样本语料库中“一格”出现的概率为， 甲类题材中“一个”出现的概率为， 由于，故输入拼音“yige”时，“一个”在前面更合适. 21．（2025·广东肇庆·二模）购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一､其最吸引人的地方是因为盒子上没有标注物品具体信息，买家只有打开才会知道自己买到了什么.某商店推出种款式不同的盲盒，购买规则及概率如下：每次购买一个，且买到任意一种款式的盲盒是等可能的.小刘特别喜欢种款式中的一种. (1)若种款式的盲盒各有一个. （i）求小刘第二次才抽到特别喜欢的款式的概率. （ii）设小刘抽到特别喜欢的款式所需次数为，求的数学期望. (2)若每种款式的盲盒数量足够多，每次盲盒被买后老板都会补充被买走的款式.商店为了满足客户的需求，引进了保底机制：在抽取前指定一个款式，若前次未抽出指定款式，则第次必定抽出指定款式.设为小刘抽到某指定款式所需的次数，求的数学期望（参考数据：，结果保留整数）. 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）（i）根据条件，利用全概率公式，即可求解；（ii）由题知的可能取值为，利用古典概率公式求出相应取值对应的概率，即可求出分布列，再利用期望的计算公式，即可求解； （2）根据条件，求出的分布列，进而求出，再利用错位相减法，即可求解. 【详解】（1）（i）设小刘第次抽到特别喜欢的款式为事件. 则小刘第二次才抽到特别喜欢的款式的概率为. （也可以用） （ii）的可能取值为， 则， 所以的分布列为 1 2 19 20 则. （2）记的可能取值为. 因为前9次（包含第9次）没有保底， 则，其中， ， 所以的分布列为 1 2 9 10 则. 记， 则， 两式相减，得， 所以. 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于第（2）问，求得后，利用错位相减法求解. 六、排列组合与二项式定理 22．（2024·广东佛山·一模）现有甲、乙、丙等7位同学，各自写了一封信，然后都投到同一个邮箱里.若甲、乙、丙3位同学分别从邮箱里随机抽取一封信，则这3位同学抽到的都不是自己写的信的不同取法种数是 （用数字作答）. 【答案】 【分析】设甲、乙、丙位同学的信件分别为、、，对、、取到的个数分四种情况讨论，按照分类、分步计数原理计算可得. 【详解】设甲、乙、丙位同学的信件分别为、、， 若、、都没有取到，则有种不同的取法； 若、、取到一个，则有种不同的取法； 若、、取到两个，则有种不同的取法； 若、、取到三个，则有种不同的取法； 综上可得一共有种不同的取法. 故答案为： 23．（2025·广东·一模）（多选）已知在的展开式中，设前项的系数分别为，，，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．展开式的中间项为 C．展开式中有项有理项 D．展开式中系数最大项为第项和第项 【答案】BD 【分析】写出展开式的通项，依题意可求得，进而利用其通项公式对各个选项逐一分析可得答案． 【详解】展开式的通项为其中且， 由于前项的系数为，，，且， ，整理可得， 解得或（舍去），故A错误； 所以展开式的通项为其中且 则展开式的中间项为，故B正确； 令，且，所以或或， 则当，，时为有理项，共项，故C错误； 由，解得， 故展开式中系数最大项为第项和第项，故D正确． 故选：BD． 七、统计案例 24．（2025·广东佛山·一模）（多选）有一组成对样本数据，，，，设，，由这组数据得到新成对样本数据，下面就这两组数据分别先计算样本相关系数，再根据最小二乘法计算经验回归直线，最后计算出残差平方和，则（    ） 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．相关系数． A．两组数据的相关系数相同 B．两组数据的残差平方和相同 C．两条经验回归直线的斜率相同 D．两条经验回归直线的截距相同 【答案】ABC 【分析】利用公式求相关系数，通过对公式的理解，可以作出判断. 【详解】由于新成对样本数据， 其平均数分别为， 同理， 这样根据公式， 用样本数据减去平均数得与新成对数据， 用样本数据减去平均数得与新成对数据， 即它们每一个对应数据的差值都是一样的， 这就说明两条经验回归直线的斜率相同，两组数据的相关系数相同， 故A、C正确； 由于回归直线经过样本数据的样本点为，而新数据的样本点为， 即样本数据的回归直线方程为，而新数据的回归直线方程为， 故两条经验回归直线的截距不相同，故D错误； 由于样本数据回归直线和新数据回归直线是平行关系，所以实际值与估计值的差的平方和应该是相同的，即两组数据的残差平方和相同，故B正确； 故选：ABC. 25．（2024·广东佛山·一模）某机构为了解市民对交通的满意度，随机抽取了100位市民进行调查，结果如下：回答“满意”的人数占总人数的一半，在回答“满意”的人中，“上班族”的人数是“非上班族”人数的；在回答“不满意”的人中，“非上班族”占． (1)请根据以上数据填写下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为市民对于交通的满意度与是否上班存在关联？ 满意 不满意 合计 上班族 非上班族 合计 (2)该机构欲再从全市随机选取市民，进一步征求改善交通现状的建议．规定：抽样的次数不超过6次，若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到6次时，抽样结束．以调查数据中的满意度估计全市市民的满意度，求抽样次数的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 【答案】(1)填表见解析；认为市民对交通的满意度与是否上班有关 (2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）首先根据条件填写列联表，再计算，比较小概率值，即可得到结论； （2）由条件可知，，根据随机变量的意义，写出概率，并列出分布列和数学期望. 【详解】（1）由题意可知， 满意 不满意 合计 上班族 15 40 55 非上班族 35 10 45 合计 50 50 100 假设：市民对交通的满意度与是否上班独立， 因为， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为市民对交通的满意度与是否上班有关，此推断犯错误的概率不大于0.001． （2）的可能取值为1，2，3，4，5，6． 由（1）可知市民的满意度和不满意度均为，所以，，， ，， 所以的分布列为： 1 2 3 4 5 6 所以． 26．（2025·广东·一模）近年来骑行成为热门的户外运动方式之一.某同学近来5次骑行期间的身体运动参数评分与骑行距离（单位：公里）的数据统计如下表： 身体运动参数评分 2 4 6 8 10 骑行距离（公里） 38 37 32 33 30 (1)根据上表的样本数据，计算样本相关系数（结果保留两位小数），并推断身体运动参数评分和骑行距离的相关程度； (2)根据这些成对数据，建立骑行距离关于身体运动参数的线性经验回归方程.并估计当身体运动参数评分为11分时，该同学的骑行距离. 参考数据和参考公式： ①； ②对于一组数据（），样本相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 【答案】(1)，身体运动参数评分和骑行距离的相关程度很强 (2)，29公里 【分析】（1）根据表中的数据先求出，然后分别求出，和，再代入公式可求出相关系数，再根据其值进行判断； （2）利用公式求出，从而可求出关于身体运动参数的线性经验回归方程，将代入可求出该同学的骑行距离. 【详解】（1）由表中的数据可得，， 所以 ， ， ， 所以， 因为接近于1，所以身体运动参数评分和骑行距离的相关程度很强； （2）由（1）可知， 所以， 所以， 当时，， 所以当身体运动参数评分为11分时，该同学的骑行距离约为29公里. ( 19 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 计数原理、概率、统计及统计案例、 随机变量及其分布列（7大题型） 一、事件与概率 1．（2024·广东佛山·一模）抛掷2枚质地均匀的骰子，在掷出的两枚骰子点数之和为6点的条件下，点数均为奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东茂名·一模）在一个箱子中放5个白球，3个红球，摇匀后采用不放回方式随机摸球3次，每次一个，第3次摸到红球的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广东肇庆·二模）小王数学期末考试考了分，受到爸爸表扬的概率为，受到妈妈表扬的概率也为，假设小王受爸爸表扬和受妈妈表扬独立，则小王被表扬的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东韶关·一模）小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测式；若出现连续两次投篮不中，则不通过测试.已知小明每次投篮命中的概率均为，则小明通过测试的概率为 . 5．（2024·广东佛山·一模）印度数学家卡普列加在一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，他看到路边写有3025的一块牌子被劈成了两半，一半上写着30，另一半上写着25.这时，他发现，，即将劈成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字.数学家将3025等符合上述规律的数字称之为雷劈数（或卡普列加数）.则在下列数组：92，81，52，40，21，14中随机选择两个数，其中恰有一个数是雷劈数的概率是（   ） A． B． C． D．0 6．（2025·广东·一模）有三个袋子，每个袋子都装有个球，球上分别标有数字.现从每个袋子里任摸一个球，用分别表示从第一，第二，第三个袋子中摸出的球上所标记的数，则事件“”的概率为 . 7．（2025·广东·一模）设为正整数，从集合的所有二元子集中任取两个，记为，，其中与可以相同.在平面直角坐标系中，记直线与直线的四个交点分别为，则以为顶点的四边形为正方形的概率为 .（用含的代数式表示）附参考公式： 8．（2024·广东珠海·一模）（多选）设A，B为随机事件，且，是A，B发生的概率．，则下列说法正确的是（    ） A．若A，B互斥，则 B．若，则A，B相互独立 C．若A，B互斥，则A，B相互独立 D．与相等 9．（2025·广东佛山·一模）ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球．甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权．设甲，乙发出ACE球的概率均为，记“第次发球的人是甲”． (1)证明：； (2)若，，求和． 二、统计及样本数字特征 10．（2025·广东·一模）统计甲、乙两支足球队在一年内比赛的结果如下：甲队平均每场比赛丢失个球，全年比赛丢失球的个数的标准差为；乙队平均每场比赛丢失个球，全年比赛丢失球的个数的方差为.据此分析： ①甲队防守技术较乙队好； ②甲队技术发挥不稳定； ③乙队几乎场场失球； ④乙队防守技术的发挥比较稳定． 其中正确判断的个数是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·广东珠海·一模）甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为72分，方差为90分；乙班的平均成绩为90分，方差为60分．那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是 分，方差是 分． 12．（2025·广东·一模）若样本数据的平均数为的平均数为22，则样本数据的方差为 . 13．（2024·广东佛山·一模）现有甲、乙两组数据，甲组数据为：；乙组数据为：，若甲组数据的平均数为，标准差为，极差为，第百分位数为，则下列说法一定正确的是（   ） A．乙组数据的平均数为 B．乙组数据的极差为 C．乙组数据的第百分位数为 D．乙组数据的标准差为 三、频率分布直方图及其应用 14．（2025·广东茂名·一模）（多选）在一次数学竞赛中，将100名参赛者的成绩按区间分成5组，得到如下频率分布直方图，同一组中的数据用该组区间的中点值代表，根据图中信息，下列结论正确的是（    ） A． B．该100名学生成绩的众数约为75 C．该100名学生中成绩在的人数为48 D．该100名学生成绩的第85百分位数约为82.5 15．（2024·广东韶关·一模）众数､平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关.根据某小区1000户居民的月均用水量数据（单位：），得到如图所示的频率分布直方图，记该组数据的众数为，中位数为，平均数为，则（    ） A． B． C． D． 四、正态分布 16．（2025·广东·一模）（多选）某物理量的测量结果服从正态分布，则（    ） A．该正态分布对应的正态密度曲线关于直线对称 B．越大，该正态分布对应的正态密度曲线越尖陡 C．越小，在一次测量中，的取值落在内的概率越大 D．在一次测量中，的取值落在与落在的概率相等 17．（2024·广东韶关·一模）（多选）已知某批产品的质量指标服从正态分布，且，现从该批产品中随机取3件，用表示这3件产品的质量指标值位于区间的产品件数，则（    ） A． B． C． D． 五、随机变量及其分布 18．（2025·广东·一模）随机变量服从二项分布，且，，则等于（    ） A． B． C．1 D．0 19．（2024·广东佛山·一模）密室逃脱是当下非常流行的解压放松游戏，现有含甲在内的7名成员参加密室逃脱游戏，其中3名资深玩家，4名新手玩家，甲为新手玩家. (1)在某个游戏环节中，需随机选择两名玩家进行对抗，若是同级的玩家对抗，双方获胜的概率均为；若是资深玩家与新手玩家对抗，新手玩家获胜的概率为，求在该游戏环节中，获胜者为甲的概率； (2)甲作为上一轮的获胜者参加新一轮游戏：如图，有两间相连的密室，设两间密室的编号分别为①和②.密室①有2个门，密室②有3个门（每个门都可以双向开），甲在每个密室随机选择1个门出去，若走出密室则挑战成功.若甲的初始位置为密室①，设其挑战成功所出的密室号为，求的分布列. 20．（2025·广东·一模）人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论.为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况，数据如下： “一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况 频数 “一个” 6 “一些” 4 “一穷” 2 “一条” 2 其他 假设用频率估计概率. (1)求的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率； (2)在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数为，求的分布列和期望； (3)另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现了2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适？（结论不要求证明） 21．（2025·广东肇庆·二模）购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一､其最吸引人的地方是因为盒子上没有标注物品具体信息，买家只有打开才会知道自己买到了什么.某商店推出种款式不同的盲盒，购买规则及概率如下：每次购买一个，且买到任意一种款式的盲盒是等可能的.小刘特别喜欢种款式中的一种. (1)若种款式的盲盒各有一个. （i）求小刘第二次才抽到特别喜欢的款式的概率. （ii）设小刘抽到特别喜欢的款式所需次数为，求的数学期望. (2)若每种款式的盲盒数量足够多，每次盲盒被买后老板都会补充被买走的款式.商店为了满足客户的需求，引进了保底机制：在抽取前指定一个款式，若前次未抽出指定款式，则第次必定抽出指定款式.设为小刘抽到某指定款式所需的次数，求的数学期望（参考数据：，结果保留整数）. 六、排列组合与二项式定理 22．（2024·广东佛山·一模）现有甲、乙、丙等7位同学，各自写了一封信，然后都投到同一个邮箱里.若甲、乙、丙3位同学分别从邮箱里随机抽取一封信，则这3位同学抽到的都不是自己写的信的不同取法种数是 （用数字作答）. 23．（2025·广东·一模）（多选）已知在的展开式中，设前项的系数分别为，，，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．展开式的中间项为 C．展开式中有项有理项 D．展开式中系数最大项为第项和第项 七、统计案例 24．（2025·广东佛山·一模）（多选）有一组成对样本数据，，，，设，，由这组数据得到新成对样本数据，下面就这两组数据分别先计算样本相关系数，再根据最小二乘法计算经验回归直线，最后计算出残差平方和，则（    ） 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．相关系数． A．两组数据的相关系数相同 B．两组数据的残差平方和相同 C．两条经验回归直线的斜率相同 D．两条经验回归直线的截距相同 25．（2024·广东佛山·一模）某机构为了解市民对交通的满意度，随机抽取了100位市民进行调查，结果如下：回答“满意”的人数占总人数的一半，在回答“满意”的人中，“上班族”的人数是“非上班族”人数的；在回答“不满意”的人中，“非上班族”占． (1)请根据以上数据填写下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为市民对于交通的满意度与是否上班存在关联？ 满意 不满意 合计 上班族 非上班族 合计 (2)该机构欲再从全市随机选取市民，进一步征求改善交通现状的建议．规定：抽样的次数不超过6次，若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到6次时，抽样结束．以调查数据中的满意度估计全市市民的满意度，求抽样次数的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 26．（2025·广东·一模）近年来骑行成为热门的户外运动方式之一.某同学近来5次骑行期间的身体运动参数评分与骑行距离（单位：公里）的数据统计如下表： 身体运动参数评分 2 4 6 8 10 骑行距离（公里） 38 37 32 33 30 (1)根据上表的样本数据，计算样本相关系数（结果保留两位小数），并推断身体运动参数评分和骑行距离的相关程度； (2)根据这些成对数据，建立骑行距离关于身体运动参数的线性经验回归方程.并估计当身体运动参数评分为11分时，该同学的骑行距离. 参考数据和参考公式： ①； ②对于一组数据（），样本相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 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