专题08 直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线（十大题型）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（广东专用）

专题08 直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线 （10大题型） 一、直线间的位置关系与直线方程的应用 1．（2025·广东·一模）已知直线过点和，且在轴上的截距是，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得直线的方程，代入点的坐标，可求的值. 【详解】因为直线在轴上的截距是1，所以过点， 又直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为：，即直线方程为， 又直线过点，所以，解得． 故选：D. 2．（2025·广东茂名·一模）已知直线，直线，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C．或1 D．0 【答案】C 【分析】根据两直线平行时系数的关系求解即可. 【详解】根据两直线平行，可知，解得. 故选：C 二、直线与圆 3．（2025·广东·一模）已知直线和圆，则（    ） A．直线l恒过定点（2，0） B．存在k使得直线l与直线垂直 C．直线l与圆O相交 D．若，直线l被圆O截得的弦长为 【答案】BCD 【分析】A选项，化为点斜式可以看出直线恒过的点，B选项两直线斜率存在且垂直，斜率乘积为-1，从而存在满足题意，C选项直线过的定点在圆的内部，故可以判断C选项；当时，先求圆心到直线的距离，再根据垂径定理求弦长 【详解】直线，即，则直线恒过定点，故A错误； 当 时，直线与直线垂直，故B正确： ∵定点（-2，0）在圆O：x2+y2=9内部，∴直线l与圆O相交，故C正确： 当时，直线l化为，即x+y+2=0，圆心O到直线的距离，直线l被圆O截得的弦长为，故D正确， 故选：BCD. 4．（2025·广东茂名·一模）已知，若直线上有且只有一点满足，则 . 【答案】 【分析】设，根据求出点的轨迹方程，再根据直线与圆相切，求出参数的值. 【详解】设，由，则， 整理得，所以点在以为圆心，为半径的圆上， 因为直线上有且只有一点满足， 即直线与有且只有一个交点， 所以，解得. 故答案为： 三、离心率 5．（2025·广东·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且垂直于轴的直线交椭圆于、两点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】由已知及是等边三角形即可求得：,，利用椭圆定义列方程可得：，整理得：，问题得解． 【详解】由题可得：，又为等边三角形， 由椭圆的对称性可得：，又 计算可得：, 由椭圆定义可得： 整理得： 所以 【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，还考查了三角形中的边、角计算，还考查了椭圆的定义应用，考查方程思想及计算能力，属于中档题． 6．（2025·广东佛山·一模）直线过双曲线的左焦点，交的渐近线于两点．若，且，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】先判断出直线的斜率，由此求得直线的方程，通过联立方程求得两点的坐标，再根据比例列方程，化简求得双曲线的离心率. 【详解】双曲线的左焦点，到渐近线的距离为 所以直线与渐近线垂直，所以直线的斜率为， 直线的方程为，设， 联立，消去并化简得点横坐标为. 联立，消去并化简得点横坐标. 因为，所以. 即，， ，. ， ， ， ， ，， 又因为， 所以双曲线的离心率. 故答案为： 【点睛】方法点睛： 利用双曲线焦点到渐近线的距离与已知条件建立联系，确定直线与渐近线的位置关系，进而得到直线方程，这是解决本题的关键之一. 通过联立直线与渐近线方程求出交点坐标，再结合向量关系列出等式，最后利用双曲线的基本性质和离心率公式求解离心率，这是处理此类双曲线与直线、向量综合问题的常见方法. 7．（2024·广东韶关·一模）椭圆的左右焦点分别为，以为直径的圆与椭圆没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，可得椭圆短轴的端点在以为直径的圆外，由此求得，再利用双曲线离心率的意义求出范围. 【详解】以为直径的圆的方程为，依题意，椭圆短轴的端点在此圆外， 即，解得，则双曲线的离心率为， 由，得，所以所求离心率的取值范围. 故选：D 8．（2025·广东·一模）设椭圆的右焦点为.为上一点，的半径为，过作轴的垂线，交于两点，在的左侧.记的离心率为，点轨迹的离心率为，点轨迹的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点，应用两点间距离公式得出，再分类讨论得出离心率大小关系. 【详解】设， 故， 故带入有， 同理得， 由有， 故，，故， 故答案为：D. 9．（2025·广东韶关·一模）双曲线的左､右顶点分别为，过点的直线交该双曲线于点，设直线的斜率为，直线的斜率为，已知轴时，，则双曲线的离心率 ；若点在双曲线右支上，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】当直线轴时，表达出P，Q两点坐标，从而利用斜率之比求出，求出离心率；（2）设出直线，联立方程，得到两根之和，两根之积，表达出，由渐近线方程求出，进而求出的取值范围. 【详解】当轴时，， 所以，从而，所以； 由题意知，.设直线的方程为， 联立，整理得： 又 故 所以可知，当点在右支运动时，由渐近线方程为可知：，故. 故答案为：， 四、弦长与面积（小题） 10．（2025·广东·一模）双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线右支上，若，则 . 【答案】 【分析】根据双曲线的定义求得，再利用余弦定理求解. 【详解】因为点在双曲线右支上，且， 则，又， 在中，由余弦定理可得，， 所以. 故答案为：.    11．（2024·广东珠海·一模）已知点P在双曲线上，，分别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为45，则 ． 【答案】25 【分析】设P在双曲线右支上，由双曲线定义得到，由余弦定理和面积公式，得到，进而得到，从而求出，求出答案. 【详解】设P在双曲线右支上，则， 由余弦定理得 ， 所以， 又 所以，解得，结合， 则， ， 又， 故， 故. 故答案为：25 12．（2025·广东·一模）如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点、，若为等边三角形，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的定义，可得，，由三角形面积公式，即可求出的面积． 【详解】在双曲线中：，所以， 根据双曲线的定义，可得， 是等边三角形，即 又， ， 的面积为． 故选：C． 五、解析几何小题最值 13．（2025·广东·一模）已知抛物线的弦的中点横坐标为5，则的最大值为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】A 【分析】根据抛物线定义，可得，数形结合可得，得解. 【详解】设抛物线的焦点为，，的横坐标分别为，，则， 抛物线的准线为，则，， ， （当且仅当，，共线时取等号）如图所示， 即的最大值为12. 故选：A.    14．（2025·广东·一模）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线C相交于A，B两点，则4|AF|＋9|BF|的最小值为（    ） A．26 B．25 C．20 D．18 【答案】B 【分析】设,设出直线方程并与抛物线方程联立,再由焦半径公式,可得,再利用基本不等式可求出最小值. 【详解】由题意,,设, 设直线的方程为, 联立,即,则， 所以， ， 所以， 当且仅当，即时取等号. 所以4|AF|＋9|BF|的最小值为. 故选：B． 15．（2025·广东·一模）已知圆，过直线上的动点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】连接，，当最小时，最小，计算点到直线的距离得到答案. 【详解】如图所示：连接，则， 当最小时，最小，， 故的最小值为. 故选：C. 16．（2024·广东珠海·一模）已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得最小值. 【详解】两点，，则，直线方程为， 圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值是. 故选：D 17．（2025·广东·一模）设，求的最小值是 . 【答案】 【分析】由配方化简可得d可看作点和到直线上的点的距离之和，作关于直线对称的点，连接，计算可得所求最小值. 【详解】解： ， 即d可看作点和到直线上的点的距离之和， 作关于直线对称的点， 由题意得，解得 故， 则. 故答案为：. 六、小题轨迹 18．（2025·广东·一模）如图，，，，，弧CD是以OD为直径的圆上的一段圆弧，弧CB是以BC为直径的圆上的一段圆弧，弧BA是以OA为直径的圆上的一段圆弧，三段弧构成曲线w，则下述正确的是（    ） A．曲线w与x轴围成的图形的面积等于2π B．曲线w上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．弧CB所在圆的方程为 D．弧CB与弧BA的公切线方程为 【答案】BC 【分析】作出辅助线，分割为一个矩形和一个圆，求出面积之和即可判断A选项； 找到整点个数，判断B选项； 求出弧CB所在圆的圆心为，半径为1，写出圆的标准方程，判断C选项； 设出弧CB与弧BA的公切线方程，利用点到直线距离等于半径求出公切线方程. 【详解】如图所示，连接BC，过点C作CK⊥x轴于点K，过点B作BL⊥x轴于点L，则曲线w与x轴围成的图形的面积等于矩形的面积加上一个半径为1的圆的面积，其中，故，故A错误； 曲线w上有，，，，5个整点，故B正确； 弧CB所在圆的圆心为，半径为1，故圆的方程为，故C正确； 设弧CB与弧BA的公切线方程为，根据图象知，则，，解得，，即公切线方程为，故D不正确． 故选：BC． 19．（2024·广东珠海·一模）中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.已知在平面直角坐标系中，到两定点，距离之积为常数的点的轨迹C是双纽线.若是曲线C上一点，则下列结论正确的是（    ）    A．曲线C的图象关于原点对称 B．曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3 D．曲线C上有且仅有3个点P满足 【答案】AC 【分析】根据题意求出轨迹的方程，把代入的方程可判断；令，，得的范围可判断；由曲线的方程可得，根据可判断；由题意得，设，结合题意计算可判断. 【详解】对于选项A： 化简得到：， 将代入可得， 所以曲线. 把代入得， 所以，曲线的图象关于原点对称，故A正确； 对于选项B：令解得，即：曲线经过， 结合图象，得. 今，得， 令，得， 因此，结合图象曲线只能经过3个整点. 故B错误； 对于选项C：可得， 所以曲线上任意一点到坐标原点的距离， 即：都不超过3，故C正确； 对于选项D：点满足，则在垂直平分线上，则， 设，则， ， 故只有原点满足，故D错误. 故选：. 【点睛】方法点睛：相关点代入法求轨迹方程的方法： 一般情况下，所求点的运动，依赖于另外一个或多个点的运动，可以通过对这些点设坐标来寻找代换关系. （1）求谁设谁，设所求点的坐标为； （2）所依赖的点称之为“参数点”，设为等； （3）“参数点”满足某个（些）方程，可供代入； （4）寻找所求点与“参数点”之间的坐标关系，反解参数值； （5）代入方程，消去参数值. 七、多选题综合（多考点） 20．（2025·广东·一模）设双曲线的左、右顶点分别为为上一点，且位于第一象限，直线交轴于点，记的面积为，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】设点，利用斜率坐标公式计算判断AB；利用对称性，结合几何图形求解判断CD. 【详解】依题意，，设点，则， 直线的斜率为的斜率为， 对于A，，A错误； 对于B，直线的斜率为，则，即，B正确； 对于C，由对称性，得，由，得， 而，则， ，C正确； 对于D，由，得，则， ，，，D错误.    故选：BC 21．（2025·广东·一模）设曲线，抛物线，记抛物线的焦点为，，为分别为曲线，上的动点，为曲线的切线，则（    ） A．若与无公共点，则 B．若过点，则被截得的弦长为 C．当时， D．当时， 【答案】AD 【分析】选项A将与无公共点转化为无零点，由导数求最小值大于0即得；选项B先求切线方程为，联立，利用韦达定理和弦长公式即可求得；选项C利用导数求得的最小值小于，进而可得；选项D根据的切线方程和抛物线的切线方程为，进而可得. 【详解】选项A：联立得，设， 由题意可知无零点，， 故当时，，当时，， 故，由题意，得，故A正确； 选项B：由题意，由得， 设与曲线的切点为，则切线方程为， 因过点，故，解得， 所以的方程为，即， 与联立得， 设与的交点坐标为， 则，故，故B错误； 选项C：当时，，因在曲线上， 可设为，则， 设，， 设，则， 故在上单调递增，又，， 故，使得， 则在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为，又，故，故C错误； 选项D：当时，在处的切线方程为， 将代入得， 而曲线在处的切线方程为， 要使得两曲线上得点M，Q之间距离最小，当时，， ，则，两直线的距离为， 显然两切点为得连线与切线不垂直，故，故D正确. 故选：AD 【点睛】关键点点睛：本题选项A，C关键是把几何问题解析化，然后利用导数求最值. 八、弦长与面积（解答题第2问） 22．（2025·广东·一模）设抛物线的焦点为.已知到直线的距离为，过的直线交于两点. (1)求的方程； (2)已知点，直线交于点.若，求的面积. 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）利用点到直线的距离求出参数p的值，即得答案； （2）设出AB，AC的方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系式，结合，可求出点A，B，C的坐标，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知，F点到的距离为，故（舍去）或， 故的方程为. （2）由题意知直线AB的斜率必存在， 设. 联立，有，，故， 联立，有，，故， 故 由有，则， 故. 注意到轴，故的面积为. 23．（2024·广东珠海·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，点在椭圆C上，直线． (1)若直线l与椭圆C有两个公共点，求实数t的取值范围； (2)当时，记直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，P，Q为椭圆C上两动点，求四边形PAQB面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦距可得，再根据点在椭圆上可得，解出后可得椭圆的方程，联立直线方程和椭圆方程后结合判别式可求的范围； （2）由题设可得当过且与直线平行的直线与椭圆相切时面积之和最大，故求出切点坐标后可求面积和的最大值. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，则，故， 而在椭圆上，故， 故，故椭圆方程为：， 由可得， 故即即. （2）当时，直线，故，    由题设可得为位于直线的两侧，不妨设在直线上方，在直线的下方， 当过的直线与直线平行且与椭圆相切时， 到直线的距离最大及的面积最大， 当过的直线与直线平行且与椭圆相切时， 到直线的距离最大及的面积最大， 由（1）可得相切时即， 当时，切点的横坐标为，切点坐标为，在直线上方， 此时到的距离为， 当时，切点的横坐标为，切点坐标为，在直线下方； 此时到的距离为， 又 故四边形PAQB面积的最大值为8. 24．（2025·广东茂名·一模）在平面直角坐标系中，椭圆的长轴长为4，离心率为，直线交于两点. (1)求的方程； (2)若直线过的右焦点，当面积最大时，求； (3)若直线不过原点，为线段的中点，直线与交于两点，已知四点共圆，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）列出的方程，代入计算，即可得到椭圆标准方程； （2）根据题意，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理列出式子，再由弦长公式以及三角形的面积公式代入计算，结合基本不等式即可得到结果； （3）根据题意，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，即可得到的坐标，再由四点共圆可得，代入计算，即可证明. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以，故椭圆的方程为. （2）由（1）可知，由题可设直线的方程为，， 联立，消去可得， 则恒成立， 则， 所以 ， 当且仅当时等号成立，所以直线垂直于轴时，的面积取最大值， 此时，. （3）    若直线的斜率为，为上下顶点，且， 若四点共圆，则不成立， 所以由题可设直线的方程为，， 则，联立，可得， 当， 即时，， 所以中点的坐标为，所以， 故直线， 由四点共圆，则， 由， 联立，可得，即， 所以， 所以，可得， 所以， 又直线不过原点，所以，所以， ， 即. 25．（2025·广东·一模）线段的长为3，端点分别在轴和轴上运动，点满足，记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)曲线与轴的左右两个交点分别为为上异于的动点.过点分别作直线，直线，其中与曲线交于两点，交直线于点，点满足. ①求点的轨迹方程； ②的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①，②存在最小值，最小值为3. 【分析】（1）设点，，，根据及计算即可； （2）①由题意，可设，则，利用点差法得①，②，由①②得， 运算得解；②设直线的斜率分别为，可得，由，利用基本不等式求最值. 【详解】（1）设点，，，由，则， 由，可得，即，代入， 可得， 所以曲线的方程为. （2）①因为，所以， 不妨设，则， 设，，， 则①，②， 由，得，则， 即， 由，得， 则，即， 又①②得， ，即得，且， 所以点的轨迹方程为. ②设，则， 设直线的斜率分别为，则， 联立，得， 联立，得， 设直线与轴交于点，直线与轴交于点， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的面积存在最小值，最小值为3. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的第一小问解决的关键是利用点差法得到①，②，由①②得，再由和的坐标关系代入运算得解. 26．（2025·广东佛山·一模）已知的顶点在轴上，，，且边的中点在轴上，设的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若正三角形的三个顶点都在上，且直线的倾斜角为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，求得点的坐标，根据列方程，化简求得的方程； （2）设出直线的方程并与的方程联立，化简写出根与系数关系，利用弦长公式求得的表达式，根据是正三角形 【详解】（1）设，， 因为是的中点且在轴上，根据中点坐标公式， 若为，则，所以，即， 已知，且， 根据两点间距离公式，，， 因为，所以， 两边平方可得， 展开式子：， 化简得，所以曲线的方程为. （2）设，，直线的方程为， 由消去得，即， 由韦达定理得，，， 则，， 根据弦长公式（这里）， 所以， 因为是正三角形，设中点为，则，即， 直线与直线垂直，直线斜率为，则直线斜率为， 点在曲线上，设，则， 又因为， 根据两点间距离公式，， 由，可得， 由可得，即， ，则， ， ，， 由，，， 两式相减得， ，解得或， 当时，， 当时，(舍去)， 所以.    【点睛】方法点睛： 求轨迹方程时，常通过设动点坐标，结合已知条件找到动点坐标满足的等式关系，再进行化简,本题利用中点坐标关系确定点坐标，通过距离相等建立等式，是求轨迹方程的典型方法. 对于直线与曲线相交的问题，联立直线与曲线方程，利用韦达定理得到交点坐标之间的关系，进而解决弦长等问题。在涉及三角形形状相关问题时，要充分利用三角形的性质，如正三角形三边相等、三线合一等，建立等式求解. 九、斜率与直线方程（解答题第2问） 27．（2025·广东·一模）在①，②过，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题；已知椭圆：的右焦点为. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线交椭圆于，两点，若（为坐标原点）的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分别选择①②③，根据椭圆的几何性质，求得的值，即可求解； （2）由题意可以设直线的方程为，联立方程组，求得，，所以，，结合的面积列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：选①条件，由椭圆：的右焦点为， 可得，因为离心率，所以， 所以，所以椭圆的方程为. 选②条件，由椭圆：的右焦点为， 可得，过，则，∴， 所以椭圆的方程为. 选③条件，由椭圆：的右焦点为， 可得，， 又由，则，， 所以椭圆的方程为. （2）解：由题意可以设直线的方程为， 由，得， 可得， 设，，所以，， 所以的面积 ， 因为的面积为，所以，解得， 所以直线的方程为或. 28．（2024·广东韶关·一模）已知抛物线的焦点为，其准线与轴相交于点.动点满足直线的斜率之积为，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与轴相交于点，与相交于两点，若.求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，根据斜率公式代入上式，进行化简即可得曲线方程； （2）方法一、二，设出直线的方程为，与曲线方程联立，由韦达定理可得，结合向量关系求解；方法三，由题，的中点即的中点，由点差法可得弦中点坐标与弦所在直线的斜率的关系，列式运算得解. 【详解】（1）设点，由题意知. 直线的斜率分别， 所以， 化简得 点的轨迹方程为. （2）方法一，设， 由题意知直线的方程为，所以， 联立方程组，消去整理得， ，， 由得，， 故有，即， 解得. 方法二：设，由题意知直线的方程为，所以， 联立方程组，消去整理得. ，， 由得，， 故有，即， 解得. 方法三：设，由题意知直线的方程为，所以. 因为，所以线段的中点为， ，又因为，所以点也是的中点， 联立方程组， ①-②得，即， 所以， 又因为，所以， 解得. 29．（2025·广东·一模）已知椭圆，与x轴不重合的直线l经过左焦点，且与椭圆G相交于两点，弦的中点为M，直线与椭圆G相交于两点． (1)若直线l的斜率为1，求直线的斜率； (2)是否存在直线l，使得成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，直线方程为：或. 【分析】（1）利用点差法计算即可； （2）设直线，与坐标，根据弦长公式及中点坐标公式求与M坐标，再表示直线方程，根据对称性求C、D坐标，根据弦长公式计算解方程即可. 【详解】（1） 设，则， 由A、B在椭圆上有， 作差得：， 易知，， 即， 所以直线的斜率为； （2）假设存在直线满足题意，不妨设其方程为，设， 由，则， 所以， 且， 则，易得， 由椭圆对称性可设，则， 由， 所以 ， 易知， 则， 即存在直线或满足题意. 十、证明（解答题第2问） 30．（2025·广东肇庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右、上、下顶点分别为.设为上并且位于第一象限的两点，满足. (1)若交轴于，且，求椭圆的离心率. (2)设（1）的条件下，为的中点，直线交于点（其中在轴上方）.证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先应用平行得出角的值，再结合计算得出离心率； （2）先设点，结合得出，最后由点在椭圆上计算得证. 【详解】（1）因为，所以. 所以，则， 则，解得， 则. （2）由（1）知，. 设点，因为，所以存在，使，则. 因为是的中点，所以. 又因为三点共线，所以存在，使. 令，则， 则由点在椭圆上得， 整理得， . 因为点在椭圆上，所以，整理得. 所以. 【点睛】关键点点睛：证明的关键点是应用点在椭圆上得出计算化简求值. ( 19 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线 （10大题型） 一、直线间的位置关系与直线方程的应用 1．（2025·广东·一模）已知直线过点和，且在轴上的截距是，则实数等于（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东茂名·一模）已知直线，直线，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C．或1 D．0 二、直线与圆 3．（2025·广东·一模）已知直线和圆，则（    ） A．直线l恒过定点（2，0） B．存在k使得直线l与直线垂直 C．直线l与圆O相交 D．若，直线l被圆O截得的弦长为 4．（2025·广东茂名·一模）已知，若直线上有且只有一点满足，则 . 三、离心率 5．（2025·广东·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且垂直于轴的直线交椭圆于、两点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为 . 6．（2025·广东佛山·一模）直线过双曲线的左焦点，交的渐近线于两点．若，且，则的离心率为 ． 7．（2024·广东韶关·一模）椭圆的左右焦点分别为，以为直径的圆与椭圆没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·广东·一模）设椭圆的右焦点为.为上一点，的半径为，过作轴的垂线，交于两点，在的左侧.记的离心率为，点轨迹的离心率为，点轨迹的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025·广东韶关·一模）双曲线的左､右顶点分别为，过点的直线交该双曲线于点，设直线的斜率为，直线的斜率为，已知轴时，，则双曲线的离心率 ；若点在双曲线右支上，则的取值范围是 . 四、弦长与面积（小题） 10．（2025·广东·一模）双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线右支上，若，则 . 11．（2024·广东珠海·一模）已知点P在双曲线上，，分别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为45，则 ． 12．（2025·广东·一模）如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点、，若为等边三角形，则的面积为（    ） A． B． C． D． 五、解析几何小题最值 13．（2025·广东·一模）已知抛物线的弦的中点横坐标为5，则的最大值为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 14．（2025·广东·一模）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线C相交于A，B两点，则4|AF|＋9|BF|的最小值为（    ） A．26 B．25 C．20 D．18 15．（2025·广东·一模）已知圆，过直线上的动点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 16．（2024·广东珠海·一模）已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 17．（2025·广东·一模）设，求的最小值是 . 六、小题轨迹 18．（2025·广东·一模）如图，，，，，弧CD是以OD为直径的圆上的一段圆弧，弧CB是以BC为直径的圆上的一段圆弧，弧BA是以OA为直径的圆上的一段圆弧，三段弧构成曲线w，则下述正确的是（    ） A．曲线w与x轴围成的图形的面积等于2π B．曲线w上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．弧CB所在圆的方程为 D．弧CB与弧BA的公切线方程为 19．（2024·广东珠海·一模）中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.已知在平面直角坐标系中，到两定点，距离之积为常数的点的轨迹C是双纽线.若是曲线C上一点，则下列结论正确的是（    ）    A．曲线C的图象关于原点对称 B．曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3 D．曲线C上有且仅有3个点P满足 七、多选题综合（多考点） 20．（2025·广东·一模）设双曲线的左、右顶点分别为为上一点，且位于第一象限，直线交轴于点，记的面积为，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 21．（2025·广东·一模）设曲线，抛物线，记抛物线的焦点为，，为分别为曲线，上的动点，为曲线的切线，则（    ） A．若与无公共点，则 B．若过点，则被截得的弦长为 C．当时， D．当时， 八、弦长与面积（解答题第2问） 22．（2025·广东·一模）设抛物线的焦点为.已知到直线的距离为，过的直线交于两点. (1)求的方程； (2)已知点，直线交于点.若，求的面积. 23．（2024·广东珠海·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，点在椭圆C上，直线． (1)若直线l与椭圆C有两个公共点，求实数t的取值范围； (2)当时，记直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，P，Q为椭圆C上两动点，求四边形PAQB面积的最大值． 24．（2025·广东茂名·一模）在平面直角坐标系中，椭圆的长轴长为4，离心率为，直线交于两点. (1)求的方程； (2)若直线过的右焦点，当面积最大时，求； (3)若直线不过原点，为线段的中点，直线与交于两点，已知四点共圆，证明：. 25．（2025·广东·一模）线段的长为3，端点分别在轴和轴上运动，点满足，记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)曲线与轴的左右两个交点分别为为上异于的动点.过点分别作直线，直线，其中与曲线交于两点，交直线于点，点满足. ①求点的轨迹方程； ②的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由. 26．（2025·广东佛山·一模）已知的顶点在轴上，，，且边的中点在轴上，设的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若正三角形的三个顶点都在上，且直线的倾斜角为，求． 九、斜率与直线方程（解答题第2问） 27．（2025·广东·一模）在①，②过，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题；已知椭圆：的右焦点为. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线交椭圆于，两点，若（为坐标原点）的面积为，求直线的方程. 28．（2024·广东韶关·一模）已知抛物线的焦点为，其准线与轴相交于点.动点满足直线的斜率之积为，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与轴相交于点，与相交于两点，若.求的值. 29．（2025·广东·一模）已知椭圆，与x轴不重合的直线l经过左焦点，且与椭圆G相交于两点，弦的中点为M，直线与椭圆G相交于两点． (1)若直线l的斜率为1，求直线的斜率； (2)是否存在直线l，使得成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 十、证明（解答题第2问） 30．（2025·广东肇庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右、上、下顶点分别为.设为上并且位于第一象限的两点，满足. (1)若交轴于，且，求椭圆的离心率. (2)设（1）的条件下，为的中点，直线交于点（其中在轴上方）.证明：. ( 19 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$