专题06 数列（七大题型）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（广东专用）

专题06 数列（7大题型） 一、等差数列通项公式及前n项和（小题） 1．（2024·广东佛山·一模）记为等差数列的前项和，已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东·一模）已知等差数列的前项和为，若，则 . 二、等比数列通项公式及前n项和（小题） 3．（2025·广东佛山·一模）等比数列中，，设甲：，乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·广东韶关·一模）已知数列是等比数列，若，则的前6项和为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·广东·一模）设数列，均为公比不等于1的等比数列，前n项和分别为，若，则＝（    ） A． B．1 C． D．2 三、数列中的最值问题 6．（2025·广东肇庆·二模）已知数列的前项和为，满足，则下列判断正确的是（    ） A．数列为等差数列 B． C．数列存在最大值 D．数列存在最大值 7．（2025·广东·一模）已知，则这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．（2025·广东茂名·一模）已知数列各项都为正整数，，若，则的最小值为 . 9．（2024·广东佛山·一模）记正项数列的前项积为，已知，若，则的最小值是（   ） A．999 B．1000 C．1001 D．1002 四、解答题裂项相消求和 10．（2025·广东·一模）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求. 11．（2025·广东·一模）已知等差数列满足，是关于的方程的两个根. (1)求； (2)求数列的前项和. 12．（2025·广东·一模） 已知数列为等差数列，且，． (1) 求数列的通项公式； (2) 令，求证：数列是等比数列． （3）令，求数列的前项和. 五、解答题错位相减求和 13．（2024·广东肇庆·一模）已知等比数列的各项均为正数，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的通项公式. 14．（2024·广东佛山·一模）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设， （i）当，时，求证：； （ii）求. 六、与二项式关联求和 15．（2025·广东·一模）设等差数列的前项和为，， (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足，，记的前项和为，求 七、数列解答题新定义压轴 16．（2025·广东肇庆·二模）把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为.例如：函数列可以记为.记为的导函数. (1)若.证明：为等差数列. (2)已知定义在上的函数列满足，且对任意的，都有. （i）设，证明：的充要条件是. （ii）取定正数，使数列是首项和公比均为的等比数列，证明：. 17．（2025·广东·一模）对于一个单调递增的正整数数列，若对于任意不小于2的正整数不能表示为中若干不同项之和，则称为“好数列”. (1)若数列满足，记集合，中的元素由小到大排列得到数列，列举的前五项，并判断是否为“好数列”，若是，给出证明；若不是，请说明理由； (2)已知为“好数列”，对于给定的正整数，若存在正整数，使得，则记，设为的前项和. （i）证明：； （ii）证明：对任意的正整数，有. 18．（2024·广东韶关·一模）设数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；依次类推，在和之间插入个数，使成等差数列. （i）若，求； （ii）对于（i）中的，是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，说明理由. 19．（2024·广东佛山·一模）欧几里得在《几何原本》中证明算术基本定理：任何一个大于1的自然数，可以写成有限个素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，这个乘积形式是唯一的．对于任意正整数，记为的所有正因数的个数，为的所有正因数的和． (1)若数列，，， ①写出，； ②求数列的前项和； (2)对于互不相等的素数、、，证明：，，并求的值． 20．（2025·广东佛山·一模）将项数列重新排序为的操作称为一次“洗牌”，即排序后的新数列以为首项，将排在之后，将排在之后．对于数列，将“洗牌”后得到的新数列中数字的位置定义为．例如，当时，数列经过一次“洗牌”后变为，此时，，，，，． (1)写出数列经过3次“洗牌”后得到的新数列； (2)对于满足的任意整数，求经过一次“洗牌”后的解析式； (3)当（其中）时，数列经过若干次“洗牌”后能否还原为？如果能，请说明至少需要多少次“洗牌”；如果不能，请说明理由． 21．（2025·广东茂名·一模）已知数列，满足：为等比数列，，且. (1)求； (2)求集合中所有元素的和； (3)若集合中存在个不同元素，使得，则称为类集合.试判断是否为类集合.若是，求出所有的值；若不是，说明理由. 22．（2025·广东·一模）已知A为有限个实数构成的非空集合，设，，记集合和其元素个数分别为，.设.例如当时，，，，所以. (1)若，求的值； (2)设A是由3个正实数组成的集合且，；，证明：为定值； (3)若是一个各项互不相同的无穷递增正整数列，对任意，设，.已知，，且对任意，，求数列的通项公式. 23．（2024·广东珠海·一模）对于数列，若存在常数，，使得对任意的正整数，恒有成立，则称数列是从第项起的周期为的周期数列．当时，称数列为纯周期数列；当时，称数列为混周期数列．记为不超过的最大整数，设各项均为正整数的数列满足：. (1)若对任意正整数都有，请写出三个满足条件的的值； (2)若数列是纯周期数列，请写出满足条件的的表达式，并说明理由； (3)证明：不论为何值，总存在使得． ( 19 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 数列（7大题型） 一、等差数列通项公式及前n项和（小题） 1．（2024·广东佛山·一模）记为等差数列的前项和，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列，且，求得，再利用等差数列通项公式和前n项和公式求解. 【详解】解：设等差数列的公差为d，且， 所以， 解得， 所以，， 故选：A 2．（2025·广东·一模）已知等差数列的前项和为，若，则 . 【答案】44 【分析】利用通项公式，进行基本量代换求出，再利用前n项和公式和性质求出. 【详解】设公差为，有，可得， 有，. 故答案为：44 【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换． 二、等比数列通项公式及前n项和（小题） 3．（2025·广东佛山·一模）等比数列中，，设甲：，乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据等比中项可判断两者之间的条件关系. 【详解】因为为等比数列，故为等比数列，且三者同号， 若，则由可得，故甲是乙的充分条件； 若，则由及可得，故甲是乙的必要条件； 故甲是乙的充要条件， 故选：C. 4．（2024·广东韶关·一模）已知数列是等比数列，若，则的前6项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出等比数列的公比，再利用等比数列前n项和公式计算即得. 【详解】设数列的公比为，依题意，，解得， 所以. 故选：A 5．（2025·广东·一模）设数列，均为公比不等于1的等比数列，前n项和分别为，若，则＝（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据给定等式，可得，再求出数列，的公比即可计算作答. 【详解】由得，，设{}的公比为，{}的公比为， 当时，，即， 当时，，即， 联立两式解得，此时，， 则，，所以. 故选：C 三、数列中的最值问题 6．（2025·广东肇庆·二模）已知数列的前项和为，满足，则下列判断正确的是（    ） A．数列为等差数列 B． C．数列存在最大值 D．数列存在最大值 【答案】D 【分析】利用，可求通项公式判断AB；由可知单调性判断CD. 【详解】由可知，当时，， 因为，所以， 故数列是从第二项开始的等差数列，故A错误. 将的通项公式可得，故B错误. 由知，数列为递增数列，不存在最大值，故C错误. 由知，数列为递减数列，故存在最大值，故D正确. 故选：D. 7．（2025·广东·一模）已知，则这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】分离常数，得到当，时，，且随着的变大，变大，当，时，，且随着的变大，变大，从而得到答案. 【详解】， 当，时，，，且随着的变大，变大， 当，时，，，且随着的变大，变大， 故这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是，. 故选：C 8．（2025·广东茂名·一模）已知数列各项都为正整数，，若，则的最小值为 . 【答案】21 【分析】利用已知等式得到每一项减前一项与每一项减后一项同时为1或可求； 【详解】因为数列各项都为正整数，且， 故或， 故或， 所以或， 当时，因为各项都为正整数， 所以的最小值为，此时， 当时，因为，故或， 故最小值为； 当时，因为，故或， 故最小值为； 所以的最小值为. 故答案为：21. 9．（2024·广东佛山·一模）记正项数列的前项积为，已知，若，则的最小值是（   ） A．999 B．1000 C．1001 D．1002 【答案】C 【分析】由数列的前项积满足，可求得是等差数列，并求得的通项， 进而得到的通项，再由，即可求得正整数的最小值. 【详解】∵为正项数列的前项积， ， ∴当时，， 时，，又， ∴，即， ∴是首项为3，公差为2的等差数列，且. 由，得 若，则，∴ 所以，正整数的最小值为1001. 故选：C. 四、解答题裂项相消求和 10．（2025·广东·一模）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用公式，即可求数列的通项公式； （2）根据（1）的结果可知，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）因为， 所以当时，， 两式相减得：，即， 所以， 且符合， 所以的通项公式为. （2）由（1）可知， 所以， 所以 . 11．（2025·广东·一模）已知等差数列满足，是关于的方程的两个根. (1)求； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据韦达定理可得，利用等差数列通项公式列式计算； （2）由（1）求得通项，代入运算可得，利用裂项求和得解. 【详解】（1）根据题意，由韦达定理可得， 因为数列是等差数列，设公差为， 所以，即， 则，解得， . （2）由（1），则， ， ， . 12．（2025·广东·一模） 已知数列为等差数列，且，． (1) 求数列的通项公式； (2) 令，求证：数列是等比数列． （3）令，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2)见解析 ；（3） 【详解】试题分析：(1)∵数列为等差数列,设公差为, …………………… 1分 由,得, , ∴， …………………… 3分 . …………………… 4分 (2)∵ , …………………… 5分 ∴ ， …………………… 6分 ∴数列是首项为9，公比为9的等比数列 . …………………… 8分 （3）∵ ，， ∴ ………………… 10分 ∴ … ……… 12分 考点：等差数列的性质；等比数列的性质和定义；数列前n项和的求法． 点评：裂项法是求前n项和常用的方法之一．常见的裂项有：，，，，， 五、解答题错位相减求和 13．（2024·广东肇庆·一模）已知等比数列的各项均为正数，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列定义可求得，可得其通项公式； （2）利用错位相减法以及等比数列前项和公式计算可得. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由题意得， 解得（舍去）， 所以. 即数列的通项公式为. （2）由（1）知①， 所以②. ①－②得 所以. 14．（2024·广东佛山·一模）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设， （i）当，时，求证：； （ii）求. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据数列的前项和，可构造数列的递推公式，再构造等比数列，可求数列的通项公式. （2）先利用等差数列的前项和公式求，因为，再利用错位相减法求和. 【详解】（1）当时，. 当时，，， 两式相减得：. 所以是以为首项，以2为公比的等比数列， 所以. 当时，上式也成立. 所以数列的通项公式为： （2）由题意：， （i）当，时，，， . 因为， 因为，所以， 所以：. （ii）因为，所以. ， 所以 设， 则 两式相减得：， 所以. 即. 【点睛】关键点点睛：（1）当时，数列是首项为，公差为的等差数列，项数为：. （2）当数列是“等差等比”形式时，其前项和用“错位相减法”求和. 六、与二项式关联求和 15．（2025·广东·一模）设等差数列的前项和为，， (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足，，记的前项和为，求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，解得，，从而得数列的通项公式； （2）根据题意有，可得，故可得， 利用二项式系数和可得结论. 【详解】（1）由题意得： 解得：，， （2）由题意得： ， 由于 所以 七、数列解答题新定义压轴 16．（2025·广东肇庆·二模）把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为.例如：函数列可以记为.记为的导函数. (1)若.证明：为等差数列. (2)已知定义在上的函数列满足，且对任意的，都有. （i）设，证明：的充要条件是. （ii）取定正数，使数列是首项和公比均为的等比数列，证明：. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）求导得，利用等差数列的定义判断即可； （2）令，求导可得在上单调递增，可得当时，，（i）再证明充分性与必要性即可. （ii）由题意可得，只需证，构造函数，求导利用单调性可得，求解即可. 【详解】（1）由题知，所以， 记，因为， 所以为等差数列，即是首项为，公差为的等差数列. （2）令，则. 所以在上单调递增，所以当时，， 则当时，. （i）充分性：当时，由题知显然成立. 必要性：若，则由时，，得， 则，所以. 因为，所以. 所以的充要条件是. （ii）由题知，且，则， 两边取自然对数得，则需. 考虑函数， 当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以. 因为在上单调递减，所以， 所以， 则，即. 【点睛】关键点点睛：第二问2小问通过转化即证，从而转化为恒成立问题，构造函数，求得最大值即可. 17．（2025·广东·一模）对于一个单调递增的正整数数列，若对于任意不小于2的正整数不能表示为中若干不同项之和，则称为“好数列”. (1)若数列满足，记集合，中的元素由小到大排列得到数列，列举的前五项，并判断是否为“好数列”，若是，给出证明；若不是，请说明理由； (2)已知为“好数列”，对于给定的正整数，若存在正整数，使得，则记，设为的前项和. （i）证明：； （ii）证明：对任意的正整数，有. 【答案】(1)，不是，理由见解析 (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）应用数列新定义计算求解； （2）（i）应用反证法计算结合数列新定义证明即可；（ii）应用等差数列求和及累加法计算证明即得. 【详解】（1）. 因为，故不是“好数列”. （2）（i）列出以下数表： 假设存在使得，不妨设，则. 故，且，这与为好数列矛盾，故不存在使得. 故. （ii）由 ， 且，由（2）知， 故 整理有，又因为，所以， 由有. 当时，. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是累加法计算求和及结合第二问结论，等差数列求和公式计算证明. 18．（2024·广东韶关·一模）设数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；依次类推，在和之间插入个数，使成等差数列. （i）若，求； （ii）对于（i）中的，是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在，和 【分析】（1）利用与的关系，可求得. （2）利用错位相减法，得到， 然后得到， 然后利用单调性进行放缩讨论，可证明题设成立. 【详解】（1）当时，得； 当时，， 两式相减得， 所以是以1为首项，为公比的等比数列. 所以. （2）① 设， 所以， 上面两式相减得， 所以 所以， 所以. ② 因为都是递减数列； 所以； 则， 令，即恒成立， 所以数列单调递增， 当时，； 则 所以； 当时，； 则， 所以，，成立，解得，存在； 当时，； 当时，；不满足题意，故不存在： 综上所述，当正整数对取和时，成立. 【点睛】关键点睛：由，结合单调递减； 得到：，进而结合的单调性，通过，， 讨论求解即可. 19．（2024·广东佛山·一模）欧几里得在《几何原本》中证明算术基本定理：任何一个大于1的自然数，可以写成有限个素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，这个乘积形式是唯一的．对于任意正整数，记为的所有正因数的个数，为的所有正因数的和． (1)若数列，，， ①写出，； ②求数列的前项和； (2)对于互不相等的素数、、，证明：，，并求的值． 【答案】(1)① ，；②； (2)证明见解析， 【分析】（1）①因为的正因数有1，3，9，所以，； ②的正因数有，由等比数列求和公式得到，裂项相消得到，求和得到答案； （2）分别计算出，，，，，，得到，；因为，故，，，结合，得到，，，所以． 【详解】（1）①因为的正因数有1，3，9， 所以，； ②由题意可知：的正因数有， 则，， 可得， 所以． （2）为素数， 的正因数组成的集合为，，； 的正因数组成的集合为，，； 的正因数组成的集合为，，； 的正因数组成的集合为， 则， ， 所以，． 因为，所以，，， 由（2）知，， 则，，， 所以． 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 20．（2025·广东佛山·一模）将项数列重新排序为的操作称为一次“洗牌”，即排序后的新数列以为首项，将排在之后，将排在之后．对于数列，将“洗牌”后得到的新数列中数字的位置定义为．例如，当时，数列经过一次“洗牌”后变为，此时，，，，，． (1)写出数列经过3次“洗牌”后得到的新数列； (2)对于满足的任意整数，求经过一次“洗牌”后的解析式； (3)当（其中）时，数列经过若干次“洗牌”后能否还原为？如果能，请说明至少需要多少次“洗牌”；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)至少需要次＂洗牌＂． 【分析】（1）直接写出三次洗牌后的数列； （2）分和讨论即可； （3）通过特殊情况猜想至少通过次＂洗牌＂，再利用数学归纳法证明即可. 【详解】（1）数列经过一次＂洗牌＂变为， 再经过一次＂洗牌＂变为，第三次＂洗牌＂后变为． （2）依题意，当时，； 当时，． 因此， （3）先观察简单的情形． 当时，数列经过1次＂洗牌＂变为（＂倒序＂）， 再经过1次＂洗牌＂就还原为； 当时，数列经过2次＂洗牌＂变为（＂倒序＂），再经过2次＂洗牌＂就还原为； 当时，由（1）知数列经过3次＂洗牌＂变为（＂倒序＂）， 再经过3次＂洗牌＂就还原为． 由此，我们猜想数列经过次＂洗牌＂后就能还原为．下面证明这个猜想. 令，其中是任意正整数， 则为次＂洗牌＂后数字的位置. 由第（2）问可知， 且 因此， 注意到总是的非负整数倍． 下面用数学归纳法证明对任意正整数总是的非负整数倍． （i）当时，结论已成立； （ii）假设时，， 其中为非负整数，则， 即即当时结论仍成立． 综合（i），（ii）知对任意正整数总是的非负整数倍． 当时，能被整除． 特别地，能被整除． 又能被整除，故能被整除． 而故，其中只有能被整除， 故，即任意数字经次＂洗牌＂后位置不变，证毕． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用数学归纳法来证明对任意正整数总是的非负整数倍． 21．（2025·广东茂名·一模）已知数列，满足：为等比数列，，且. (1)求； (2)求集合中所有元素的和； (3)若集合中存在个不同元素，使得，则称为类集合.试判断是否为类集合.若是，求出所有的值；若不是，说明理由. 【答案】(1)； (2) (3)答案见解析 【分析】（1）利用已知条件求出、，结合数列为等比数列即可求，结合已知条件利用赋值作差求出，得到数列为等差数列，即可求出； （2）根据已知条件，确定集合中元素的情况，分成集合、集合两种情况，分析判断除去两集合中的重复元素，分组求和减去重复元素的和即可求解； （3）按照类集合的定义，分、、三种情况分别判断即可. 【详解】（1）根据题意可得：，因为，代入上式解得， 又因为，因为，，，解得， 因为为等比数列，所以的公比为， 所以， 所以， 即：， 当时，， 两式相减得：， 化简得：，整理得：， 所以是公差为的等差数列，所以. （2）因为， 整理得： 记集合的全体元素的和为， 集合，为首项为，公比的等比数列， 所有元素的和为， 集合，为首项为，公差为的等差数列， ，所有元素的和为， 集合的所有元素的和为，则有， 对于数列， 当时， 是数列中的项， 当时，，不是数列中的项， 所以，其中 所以， 即（其中表示不超过实数的最大整数）， 因为为首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以. （3）， 当，时， 是的整数倍， 故一定不是数列中的项，即， 当时， 不是数列中的项， 即， 当时， 是数列中的项， 即， 综上，是类集合，. 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于理解类集合的定义，按照定义的条件去判断求证即可. 22．（2025·广东·一模）已知A为有限个实数构成的非空集合，设，，记集合和其元素个数分别为，.设.例如当时，，，，所以. (1)若，求的值； (2)设A是由3个正实数组成的集合且，；，证明：为定值； (3)若是一个各项互不相同的无穷递增正整数列，对任意，设，.已知，，且对任意，，求数列的通项公式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题中的定义，列举出，即可； （2）先列举，，，中可能元素，根据集合的互异性判断元素个数差即可； （3）类比（1）（2）当数列由到，为保证成立，则必有其成等差数列，故猜想，可用数学归纳法给予证明. 【详解】（1）当时，，， ，所以； （2）设，其中， 则， ， 因， ， 因， 所以，，，， 又 ， ，， 所以， 因，，， ， ， 因，，，， 所以，，，， ，，， 所以 所以为定值； （3）， 若， 则， , 故， ， 此时，不符合题意， 故， 猜想，下面给予证明， 当时，显然成立， 假设当，时，都有成立，即， 此时，， 故，， ，符合题意， ， 则， ， 若， 的元素个数小于 的元素个数， 则有， 不符合题意，故， 综上，对于任意的，都有， 故数列的通项公式. 【点睛】关键点点睛：本题的核心是利用集合的新定义，列举集合中元素，注意集合的互异性，进而得到集合的元素个数. 23．（2024·广东珠海·一模）对于数列，若存在常数，，使得对任意的正整数，恒有成立，则称数列是从第项起的周期为的周期数列．当时，称数列为纯周期数列；当时，称数列为混周期数列．记为不超过的最大整数，设各项均为正整数的数列满足：. (1)若对任意正整数都有，请写出三个满足条件的的值； (2)若数列是纯周期数列，请写出满足条件的的表达式，并说明理由； (3)证明：不论为何值，总存在使得． 【答案】(1),, (2)，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）分别取，，，，，根据已知条件逐一验证即可求解； （2）分别取，，，，，，，根据已知条件逐一验证得出猜想，并验证猜想； （3）根据（2）的分析，时，满足题意；再证明，当时，也存在使得即可. 【详解】（1）因为对任意整数都有， 所以取，则，不符合题意； 取，，， 此时，数列为常数列； 取，，，不符合题意； 取，，，， 此时，数列的通项公式为； 取，，， ， 此时，数列的通项公式为； 所以满足条件的三个的值为,,； （2）取，，， 此时数列为常数列，为纯周期数列； 取，则，， 此时数列的通项公式为，为混周期数列； 取，，， 此时，数列为常数列，为纯周期数列； 取，，，， 此时数列的通项公式为，为混周期数列； 取，，，， 此时，数列的通项公式为，为混周期数列； 取，，， ， 此时，数列的通项公式为，为混周期数列； 取， ， ， 此时，数列为常数列，为纯周期数列； 根据上述计算得出猜想， 当时，数列为常数列也是纯周期数列， 下面进行验证： 当时，， ，， 此时数列为常数列，也是纯周期数列； （3）首先，根据（2）的分析，发现当时，数列为常数列， 也是纯周期数列，满足题意； 接下来证明，当时，也存在使得； 因为， 所以只需要证明数列中始终存在值为1的项即可， 当时，显然存在值为1的项， 当时，有或， 若为偶数，则， 若为奇数时， 则， ， 所以， 所以无论为奇数还是偶数，均有； 特别的，当为奇数时，且， 类似的，可得：无论为奇数还是偶数，均有； 特别的，当为奇数时，且； 所以无论无论为奇数还是偶数，均有； 若，则恒为奇数且， 于是，假设数列的且， 所以，恒为奇数且， 由于中仅有有限个正整数，故数列从某项起恒为常数； 设为第一个值为的项， 而， 故， 这与“是第一个值为的项”相矛盾， 所以，数列除第一项外，还存在不属于区间的项， 假设这些不属于区间的项全部属于区间，那么也会出现类似的矛盾， 所以，数列除第一项外，存在不属于区间和的项， 以此类推，数列一定存在小于值为的正整数的项，即存在值为的项， 得证. 【点睛】方法点睛：考查分段定义周期数列的相关知识，方法是给赋值，逐一根据已知题意进行验证. 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