专题05 三角函数、恒等变换与解三角形（十一大题型）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（广东专用）

专题05 三角函数、恒等变换与解三角形 （11大题型） 一、诱导公式 1．（2024·广东佛山·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 二、弦切互化 2．（2024·广东肇庆·一模）已知，，则（   ） A． B．或 C． D．或 3．（2024·广东·一模）已知直线过点且倾斜角为，若与圆相切，则 A． B． C． D． 4．（2024·广东韶关·一模）已知为方程的两个实数根，则（    ） A． B． C． D． 三、平方关系 5．（2025·广东茂名·一模）已知，则 . 6．（2025·广东·一模）若，则= ． 7．（2025·广东肇庆·二模）已知是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 四、三角函数的图象与性质 8．（2025·广东肇庆·二模）（多选）下列函数中是奇函数且是周期函数的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·广东佛山·一模）函数是（   ） A．偶函数，且最小值为－2 B．偶函数，且最大值为2 C．周期函数，且在上单调递增 D．非周期函数，且在上单调递减 10．（2025·广东佛山·一模）函数在区间上的零点个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 11．（2025·广东·一模）函数的值域为 ． 12．（2025·广东·一模）（多选）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．的最小正周期为 C．在上单调递增 D．的最小值为 13．（2024·广东珠海·一模）函数，其中，其最小正周期为，则下列说法错误的是（    ） A． B．函数图象关于点对称 C．函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为 D．若，则函数的最大值为 14．（2024·广东佛山·一模）已知函数在上单调，且，则的最大值为 ． 15．（2024·广东肇庆·一模）（多选）已知（，）在上是单调函数，对于任意的满足，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若函数（）在上单调递减，则 C．若，则的最小值为 D．若函数在上存在两个极值点，则 五、三角恒等变换 16．（2025·广东·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 六、解三角形小题综合 17．（2024·广东佛山·一模）已知的三个顶点分别为，，，且，则 ． 18．（2025·广东·一模）在中，已知，，则 . 19．（2025·广东佛山·一模）记的内角的对边分别为且，则 ． 20．（2025·广东·一模）如图，已知，，，，则（    ）    A． B． C．或 D． 七、解答题三角函数 21．（2024·广东肇庆·一模）已知向量，，，函数，且的最小正周期为. (1)若，求的值域； (2)将的图象先向下平移个单位长度，再向左平移m（）个单位长度，最后将横坐标变为原来的两倍，所得函数图象与函数的图象重合，求实数m的最小值. 八、解答题求角 22．（2024·广东佛山·一模）在中，内角，，所对的边分别为，，，且，. (1)求的面积； (2)若，求. 23．（2024·广东肇庆·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)若，求的面积； (2)求A的最大值. 九、解答题求边长 24．（2025·广东茂名·一模）已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若，且的面积为，求. 25．（2025·广东·一模）记的内角的对边分别为.已知，.外一点满足，且的角平分线交于点. (1)求； (2)证明：； (3)若，求. 26．（2025·广东·一模）在中，角的对边分别为，为边上的中线. (1)证明：； (2)若，，求的最大值. 十、解答题求周长 27．（2024·广东佛山·一模）已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，． (1)求角的大小； (2)若，求的周长． 28．（2024·广东韶关·一模）已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若，求周长的最大值. 十一、解答题求面积 29．（2025·广东·一模）已知函数, (1)求的最小正周期; (2)在中,三个角所对的边分别为,若,,,求的面积. 30．（2025·广东·一模）在中，角 所对的边分别为，已知. （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若，，且，求的面积. 31．（2025·广东肇庆·二模）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.记的内角所对的边分别是，已知__________. (1)求. (2)设为的内心（三角形三条内角平分线的交点），且满足，求的面积. 32．（2024·广东珠海·一模）在中，角，，的对边分别为，b，其中，，且． (1)求的值； (2)若的外接圆半径为5，求面积的最大值． ( 19 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角函数、恒等变换与解三角形 （11大题型） 一、诱导公式 1．（2024·广东佛山·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用三角函数同角基本关系式求得，然后利用诱导公式求解. 【详解】解：因为， 所以，， 所以， 故选：B 二、弦切互化 2．（2024·广东肇庆·一模）已知，，则（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】先由已知和余弦函数值确定，再由同角的三角函数关系化简计算即可； 【详解】因为，所以， 因为，所以， ， 所以，， 所以. 故选：A. 3．（2024·广东·一模）已知直线过点且倾斜角为，若与圆相切，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据直线与圆相切得，再根据诱导公式以及弦化切求结果. 【详解】设直线, 因为与圆相切，所以， 因此选B. 【点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度 (1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”. (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 4．（2024·广东韶关·一模）已知为方程的两个实数根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据韦达定理求出，利用三角函数和与差的正弦和余弦公式将展开，分子分母同时除以，代入即可得出答案. 【详解】因为为方程的两根， 由韦达定理，得， 则. 故选：C. 三、平方关系 5．（2025·广东茂名·一模）已知，则 . 【答案】 【分析】将条件两边平方，再利用同角三角函数的平方关系和二倍角公式化简，得，解得. 【详解】由，两边平方得， ， 所以. 故答案为： 6．（2025·广东·一模）若，则= ． 【答案】 【分析】由已知条件结合同角三角函数间的平方关系，求得，进而可得解. 【详解】联立，得，因此． 故答案为： 7．（2025·广东肇庆·二模）已知是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由联立可得. 【详解】由得， 由得， 化简得，得 故选：B. 四、三角函数的图象与性质 8．（2025·广东肇庆·二模）（多选）下列函数中是奇函数且是周期函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据函数的定义域及奇偶性的定义和周期函数的定义即可判断. 【详解】若，定义域为， 则是奇函数， 是周期函数，故A正确； 若，则，故不是奇函数，故B错误； 若，定义域为， 则， 故不是奇函数，故C错误； 若，定义域为， 则是奇函数， 是周期函数，故D正确. 故选：AD. 9．（2024·广东佛山·一模）函数是（   ） A．偶函数，且最小值为－2 B．偶函数，且最大值为2 C．周期函数，且在上单调递增 D．非周期函数，且在上单调递减 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性判定方式以及函数的最值判断A，B；根据周期性判断，结合复合函数的单调性判断C，D. 【详解】定义域为，关于原点对称， ， 所以为偶函数，又， 令，，， 当时，即，有最小值，最小值为， 当时，即时，有最大值，最大值为2，故A错误，故B正确； 因为，所以为周期函数， 因为在上单调递减，在上单调递减， 当，，令，，，在单调递减，在单调递增， 当，，令，，，在单调递减， 由复合函数的单调性知，在上先减后增，在上单调递增； 故C，D错误， 故选：B. 10．（2025·广东佛山·一模）函数在区间上的零点个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】利用二倍角公式可得或，故可求零点个数. 【详解】令，则， 故或，而， 所以或或或或， 故共有5个零点， 故选：B. 11．（2025·广东·一模）函数的值域为 ． 【答案】[,2] 【分析】先换元令t＝sinx，t∈[-1,1]，再分离常数，然后逐一求式子的范围，即可求函数的值域． 【详解】解：令t＝sinx，t∈[-1,1]， 所以原式可化为：， ∵﹣1≤t≤1，∴2≤t+3≤4， ∴，则， ∴，函数的值域为． 故答案为：． 12．（2025·广东·一模）（多选）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．的最小正周期为 C．在上单调递增 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】根据奇函数的定义可得选项A正确；根据可得选项B错误；根据可得选项C错误；根据二倍角公式结合可得选项D正确. 【详解】由题意得，. A.∵函数的定义域为，， ∴是奇函数，选项A正确. B.∵， ∴不是函数的周期，选项B错误. C.∵， ∴在上不是单调递增函数，选项C错误. D. ∵，， ∴， ∵， ∴的最小值为，选项D正确. 故选：AD. 13．（2024·广东珠海·一模）函数，其中，其最小正周期为，则下列说法错误的是（    ） A． B．函数图象关于点对称 C．函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为 D．若，则函数的最大值为 【答案】D 【分析】化简函数解析式，根据正弦型函数的周期公式可求判断A，验证是否为函数的对称中心判断B，结合函数图象平移变换结论判断C，结合不等式性质及正弦函数性质判断D. 【详解】. 因为，的最小正周期为， 所以，解得，故A选项正确； 所以，， 因为，所以，函数图象关于点对称，B选项正确； 将函数图象向右移个单位后可得函数的图象， 因为的图象关于轴对称， 所以,即， 又，所以的最小值为，C选项正确； 若，则， 所以，故， 所以当时，函数取最大值，最大值为，D错误. 故选：D. 14．（2024·广东佛山·一模）已知函数在上单调，且，则的最大值为 ． 【答案】/1.8 【分析】根据单调性分析可得，根据题意可得为的对称中心，若求的最大值，即的最小值，根据图像结合三角函数性质分析求解即可. 【详解】设的最小正周期为，且， 因为在上单调，则，可得， 又因为，且，可知为的对称中心， 不妨设，如图所示： 依次讨论对应为点，A，，种情况，且， 若对应为点（或点之后），则，即，不合题意； 若求的最大值，即的最小值，即与之间包含的周期最多， 若对应为点，则为的对称轴， 且，则，，满足， 且此时为最小值，所以取值的最大值为． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：对于三角函数问题的处理，常常与周期性相结合，本题根据对称性可得，并分析与之间包含的周期最多，即可得解. 15．（2024·广东肇庆·一模）（多选）已知（，）在上是单调函数，对于任意的满足，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若函数（）在上单调递减，则 C．若，则的最小值为 D．若函数在上存在两个极值点，则 【答案】BCD 【分析】根据函数的单调区间以及可知关于点对称且，可得，再由时，取得最小值可得，即A错误，由并利用整体代换可判断B正确；根据函数图象性质可得最小值应为半个周期，即C正确；利用余弦函数单调性以及极值点定义可判断D正确. 【详解】对于A选项，因为，所以， 可得的图象关于点对称， 又因为对任意，都有，所以当时，取得最小值. 因为在是单调函数，所以得，所以， 又因为函数在时取得最小值，所以由， 得，.解得，. 又，所以，故A错误； 对于B选项，易知，所以， 当时，，若函数（）在上单调递减， 则，解得，故B正确； 对于C选项，最小正周期为，当时， 则，分别为函数的最大、最小值，所以，故C正确； 对于D选项，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 要使在上存在两个极值点，要满足，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用所给信息并结合三角函数图象性质求得函数的解析式，再对其单调性、最值、极值点等进行判断即可. 五、三角恒等变换 16．（2025·广东·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角基本关系式以及两角和与差的正余弦公式和正余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】 ， 故,即,则，解得， 故选：D. 六、解三角形小题综合 17．（2024·广东佛山·一模）已知的三个顶点分别为，，，且，则 ． 【答案】5 【分析】根据得向量垂直，再转化为数量积等于零，列方程求解即可. 【详解】由，，得，， 因为，所以，则，得，解得. 故答案为：. 18．（2025·广东·一模）在中，已知，，则 . 【答案】 【分析】由两角和的正切公式结合条件切化弦可得，将条件切化弦运算得解. 【详解】，， ，即， 解得，即， 即， 所以，又， 得， 又由，可得， . 故答案为：. 19．（2025·广东佛山·一模）记的内角的对边分别为且，则 ． 【答案】 【分析】切化弦后结合正余弦定理可得，故可求. 【详解】因为， 故， 所以， 整理得到：，故， 故答案为：. 20．（2025·广东·一模）如图，已知，，，，则（    ）    A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】由正弦定理得，从而求出，再由余弦定理得，由此能求出． 【详解】，，，所以. ， ， ， ， 解得或（舍） 故选：D 七、解答题三角函数 21．（2024·广东肇庆·一模）已知向量，，，函数，且的最小正周期为. (1)若，求的值域； (2)将的图象先向下平移个单位长度，再向左平移m（）个单位长度，最后将横坐标变为原来的两倍，所得函数图象与函数的图象重合，求实数m的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量数量积公式和三角恒等变换得到，根据最小正周期得到，得到函数解析式，利用整体法求出值域； （2）利用伸缩和平移变换得到，结合，得到方程，求出，，当时，实数m取得最小值. 【详解】（1） ， 因为最小正周期为，所以，解得， 所以， 因为，所以， 则， 所以， 所以当时，的值域为. （2）向下平移个单位长度得， 向左平移m（）个单位长度得， 横坐标变为原来的2倍得. 因为， 所以要使得与的图象重合， 则，，解得， 当时，实数m取得最小值. 八、解答题求角 22．（2024·广东佛山·一模）在中，内角，，所对的边分别为，，，且，. (1)求的面积； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理得到，从而得到，再由面积公式计算可得； （2）由余弦定理得到，从而得到，再由正弦定理将边化角，即可求出，从而得解. 【详解】（1）因为，， 由正弦定理可得，所以， 所以； （2）因为，又，， 所以，所以，则， 由正弦定理可得，又， 所以，显然，所以，则， 又，所以. 23．（2024·广东肇庆·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)若，求的面积； (2)求A的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知，，利用余弦定理化简得，结合，可求的面积； （2）解法一：已知，，利用正弦定理得，由，利用基本不等式求的最大值，可得A的最大值. 解法二：过点A作交BC于点H，，，设，则，，得，利用基本不等式求的最大值，可得A的最大值. 【详解】（1）由余弦定理，得， 所以. （2）解法一：因为，，所以， 由正弦定理，可得， 则，因为，所以，C是钝角，所以B是锐角， 所以 . 当且仅当时等号成立，此时，，. 又因为A为锐角，正切函数在上是增函数，所以，故A的最大值为. 解法二： 因为，则，所以C为钝角， 如图，过点A作交BC于点H， 则， ， 设，则，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 又因为角A为锐角，正切函数在上是增函数， 所以，故的最大值为. 九、解答题求边长 24．（2025·广东茂名·一模）已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若，且的面积为，求. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得； （2）利用余弦定理及面积公式得到方程组，解得即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 又，所以，所以，因为，所以； （2）因为，且的面积为， 所以且， 即，解得或. 25．（2025·广东·一模）记的内角的对边分别为.已知，.外一点满足，且的角平分线交于点. (1)求； (2)证明：； (3)若，求. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或. 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，根据和角公式及同角的三角函数关系式即可求得； （2）运用反证法，假设不垂直于，过点作，垂足为，利用三角函数定义和三角形角平分线定理推得重合即得； （3）设，分别在和中，利用余弦定理求得，推得，或，在中利用余弦定理即可求出长. 【详解】（1）由正弦定理有， 则， 因， 代入化简得：， 因为，故，又， 即得，则. 故，解得. （2） 如图，假设不垂直于，过点作，垂足为. 由（1）可得，则， 由角平分线定理有，故重合，即. （3） 由（2）知，设. 在中，由余弦定理有， 同理，故，解得. 注意到，故，且. 故或（如图1，图2），由余弦定理有 ， 当时，，解得； 当时，，解得. 故或. 26．（2025·广东·一模）在中，角的对边分别为，为边上的中线. (1)证明：； (2)若，，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）方法一：对两边平方，再由余弦定理可得答案；方法二： 在和中，由余弦定理可得答案； （2）在中，由余弦定理得，结合（1）再利用基本不等式可得答案. 【详解】（1）方法一：为边上中线，， ， 在中，由余弦定理得：， ， ， . 方法二：为边上中线， 在中，， 在和中，由余弦定理得： ， 即， ， 即； （2），，由余弦定理可得， 故，即， 当且仅当时，即时等号成立， 所以， 所以取得最小值为. 十、解答题求周长 27．（2024·广东佛山·一模）已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，． (1)求角的大小； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据面积公式，正切公式，以及两角和的余弦公式求，并求，即可求解； （2）根据正弦定理，以及（1）的结果，求得，再结合余弦定理，即可求解. 【详解】（1）由题意知：，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 因为，所以； （2）由正弦定理得：， 由（1）知：，所以， 由余弦定理得： 即，所以， 所以的周长为． 28．（2024·广东韶关·一模）已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1) (2)最大值为6 【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式，可得，再根据三角形的内角和公式和诱导公式，可得，进而得角. （2）法一：利用余弦定理，结合基本不等式可求三角形周长的取值范围. 法二：利用正弦定理，表示出，再利用三角函数的恒等变换，可得三角形的周长为，再根据角的取值范围，可求周长的最大值. 法三：数形结合，把问题转化成圆的弦长中，直径最大，再根据直角三角形的边角关系求圆的直径. 【详解】（1）由b及正弦定理得 所以 因为 化简得 因为，所以，所以 所以. （2）法一：由余弦定理 有 因为 所以 即，所以，当且仅当时等号成立. 所以的周长. 即周长的最大值为6. 法二：由正弦定理，即 的周长 因为，所以 所以 因为，所以当时取得最大值为6 法三：（几何法）：如图1所示，延长到点，使得 使得， 要使的周长最大，则需满足长度最大 将问题转化为已知一边，一对角，求另一边的长度的最大值 由图2可得.当为该圆直径时，最大. 即 所以.    十一、解答题求面积 29．（2025·广东·一模）已知函数, (1)求的最小正周期; (2)在中,三个角所对的边分别为,若,,,求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)运用辅助角公式进行化简为的形式,进而求出最小正周期即可; (2)先由,求得,再由用正弦定理,再将代入展开化简即可得,故为等边三角形,再由,即可求面积. 【详解】（1）解:由题知 , 的最小正周期; （2）由于在中,三个角所对的边分别为,, , , , , , 在中由正弦定理得, , 又有 , , , ,, 中的内角,且, , , 的面积. 30．（2025·广东·一模）在中，角 所对的边分别为，已知. （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若，，且，求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（Ⅰ）先由正弦定理将边转化为角，利用求出角 ； （Ⅱ）利用三角形内角和将角转化为，再利用诱导公式和两角和与差的正弦公式展开表达式，由于，所以时，需先利用余弦定理求出 边长，再利用三角形面积公式求解. 【详解】（Ⅰ）由正弦定理，得， 因为，解得，又，∴． （Ⅱ）由，得， 整理，得． 因为，，则，故. 由余弦定理，得，解得． ． 所以，的面积为． 31．（2025·广东肇庆·二模）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.记的内角所对的边分别是，已知__________. (1)求. (2)设为的内心（三角形三条内角平分线的交点），且满足，求的面积. 【答案】(1) (2). 【分析】小问1：若选条件①，应用正弦定理，对等式左侧采用角化边即可统一元素，结合余弦定理可得解；若选择条件②，等式右侧据正弦定理边化角，交叉相乘做恒等变换可得解； 小问2：由面积公式，需求两边乘积和夹角，由三角形的内角和定理和内心的性质，可求出夹角，应用余弦定理求两边的乘积即可. 【详解】（1）选择条件①：. 由正弦定理得， 所以. 由余弦定理，得. 因为，所以. 选择条件②：因为，所以，即. 由正弦定理得，即. 因为，所以，所以. 因为，所以，所以.因为，所以. （2）连接， 因为点是内心，所以. 因为，所以， 所以，所以. 由余弦定理得，即，解得， 所以. 32．（2024·广东珠海·一模）在中，角，，的对边分别为，b，其中，，且． (1)求的值； (2)若的外接圆半径为5，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)32 【分析】（1）由已知结合正弦定理可得，根据可变形为，由，即可求解； （2）由正弦定理可得，根据余弦定理结合基本不等式可得，根据面积公式即可求解面积的最大值. 【详解】（1）由题意得，， 由正弦定理可知，， 在中，因为，， 所以， 即， 因为，所以， 所以，又， 所以； （2）由正弦定理， 因为，，所以，， 由，得， 由基本不等式可知， ， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 所以面积的最大值为. ( 19 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$