专题03 指对幂函数与函数的基本性质（十二大题型）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（广东专用）

专题03 指对幂函数与函数的基本性质（12大题型） 一、指数对数的基本计算 1．（2024·广东肇庆·一模）（   ） A．4 B． C． D．2 2．（2025·广东茂名·一模）已知函数，则（    ） A． B．3 C． D． 3．（2024·广东韶关·一模）已知，则 . 二、大小比较 4．（2025·广东·一模）下列三个数：，，，大小顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 三、函数的单调性 5．（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·广东韶关·一模）已知函数在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·广东肇庆·一模）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 四、函数值域 8．（2025·广东肇庆·二模）已知函数，则的最小值是 . 9．（2025·广东茂名·一模）集合，，那么“”是“”的（    ）． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2024·广东佛山·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 五、函数的奇偶性 11．（2024·广东湛江·一模）若函数为奇函数，则 12．（2024·广东佛山·一模）已知是奇函数，则（    ） A． B．0 C． D．4 六、单调性奇偶性综合 13．（2024·广东肇庆·一模）已知定义在上的函数，其中是奇函数且在上单调递减，的解集为（   ） A． B． C． D． 14．（2025·广东·一模）设函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 七、函数周期性 15．（2025·广东肇庆·二模）下列函数中是奇函数且是周期函数的是（    ） A． B． C． D． 八、函数对称性 16．（2025·广东·一模）若函数关于直线对称，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 九、函数零点问题 17．（2024·广东湛江·一模）函数零点的个数为（   ） A． B． C． D． 18．（2024·广东珠海·一模）已知函数在R上没有零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（2025·广东佛山·一模）函数在区间上的零点个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 十、图象交点与方程的根 20．（2025·广东·一模）已知函数，，若关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围是 ． 十一、函数模型及应用 21．（2025·广东茂名·一模）常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 十二、多选题综合 22．（2025·广东·一模）已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，，．下列说法正确的是（    ） A．3是函数的一个周期 B．函数的图象关于直线对称 C．函数是偶函数 D． 23．（2025·广东·一模）已知定义域为的函数满足不恒为零，且，，.则下列结论正确的是（    ） A． B．的图象关于点对称 C．是偶函数 D．在上有个零点 24．（2025·广东·一模）已知是自然对数的底数，，函数的图象经过原点，且无限接近直线又不与该直线相交，则（   ） A． B．的值域为 C．在区间上单调递减 D． 25．（2025·广东·一模）设为定义在上的奇函数，当时，为常数），则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在上是单调减函数 D．函数仅有一个零点 26．（2025·广东·一模）若函数同时具有性质：①对于任意的，，②为偶函数，则函数可能为（    ） A． B． C． D． 27．（2025·广东·一模）已知函数的定义域为，其中为给定的常数，且不为常函数，则（    ） A． B．当时，为奇函数 C．或1是存在的充要条件 D．当时，没有最值 28．（2025·广东茂名·一模）已知函数，则（    ） A．当时，是增函数 B．当时，的值域为 C．当时，曲线关于点对称 D．当时，，则 29．（2025·广东佛山·一模）已知定义域为的函数满足，且，为的导函数，则（    ） A．为偶函数 B．为周期函数 C． D． ( 19 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 指对幂函数与函数的基本性质（12大题型） 一、指数对数的基本计算 1．（2024·广东肇庆·一模）（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用对数运算法则得到答案. 【详解】. 故选：D 2．（2025·广东茂名·一模）已知函数，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】因为，所以，， 所以. 故选：C 3．（2024·广东韶关·一模）已知，则 . 【答案】4 【分析】根据题意结合对数的运算性质可得到，解出，即可求得答案；另解：可利用对数的运算性质结合基本不等式求解. 【详解】由，整理得， 得，解得，所以. 另解：由题知，则， 利用基本不等式可得， 当且仅当时取等号，解得. 故答案为：4 二、大小比较 4．（2025·广东·一模）下列三个数：，，，大小顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数、对数的知识确定正确答案. 【详解】， ，，所以， 所以， ， 所以. 故选：C 三、函数的单调性 5．（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】由，可得或， 即函数的定义域为， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递增， . 故选：D. 6．（2024·广东韶关·一模）已知函数在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由表达式可知当时，是单调减函数，故在上单调递减，则需要时，单调递减，且在断开位置处也要满足减函数的定义. 【详解】因为时，是单调减函数， 又因为在上单调，所以，故时，单调递诚， 则只需满足，解得， 故选：B. 7．（2024·广东肇庆·一模）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况，结合指数函数和对数函数单调性，得到不等式解集. 【详解】当时，，解得， 与求交集得， 当，，解得， 与求交集得， 故的解集为. 故选：D 四、函数值域 8．（2025·广东肇庆·二模）已知函数，则的最小值是 . 【答案】 【分析】分别求出函数在各段上的最小值，再比较即可求出． 【详解】当时，单调递减，所以. 当时，在区间上单调递减，在区间上单调增， 所以. 综上所述，的最小值是. 故答案为：. 9．（2025·广东茂名·一模）集合，，那么“”是“”的（    ）． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】化简集合，然后利用充分条件及必要条件的定义即得. 【详解】∵集合，， ∴， ∴“” 是“”的充分而不必要条件． 故选：． 10．（2024·广东佛山·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分段求函数值域，根据原函数值域为，求实数的取值范围. 【详解】若，在上，函数单调递增，所以； 此时，函数在上单调递减，在上单调递增，无最大值，所以； 因为函数的值域为，所以，结合得. 若，则的值域为； 若，在上，函数单调递减，所以（）； 在上，函数单调递减，在上单调递增，无最大值，所以； 所以函数的值域不可能为； 若，则函数在上，函数单调递减，所以（）； 在上，函数单调递增，， 此时函数的值域不可能为. 综上可知：当时，函数的值域为. 故选：D 五、函数的奇偶性 11．（2024·广东湛江·一模）若函数为奇函数，则 【答案】/ 【分析】先根据函数是奇函数关于原点对称得出,再应用奇函数的定义计算求出,计算即可求值. 【详解】由于函数的定义域满足 ，故定义域为 ， 根据奇函数的定义域关于原点对称可知 ， ∴ ， ， ∴ ， 故 ， 故答案为： ． 12．（2024·广东佛山·一模）已知是奇函数，则（    ） A． B．0 C． D．4 【答案】A 【分析】利用奇函数的定义计算出函数在时的解析式，可得出、的值，由此可计算出的值. 【详解】因为是奇函数， 设，则，所以， 即， 所以，即，则. 故选：A. 六、单调性奇偶性综合 13．（2024·广东肇庆·一模）已知定义在上的函数，其中是奇函数且在上单调递减，的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由是奇函数且在上单调递减，函数也是奇函数且在上单调递减，得在上单调递减，利用单调性解不等式. 【详解】定义在上的函数， 因为是奇函数，也是奇函数，所以是奇函数. 由. 因为是增函数，所以是减函数. 又因为是减函数，所以在上单调递减. 因为，所以，解得. 故选：B. 14．（2025·广东·一模）设函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意判断是偶函数，判断函数的单调区间，再利用单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】，， 又 ，所以函数是偶函数， 当时，，易得单调递增， 不等式，即， 等价于， ，可得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 七、函数周期性 15．（2025·广东肇庆·二模）下列函数中是奇函数且是周期函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据函数的定义域及奇偶性的定义和周期函数的定义即可判断. 【详解】若，定义域为， 则是奇函数， 是周期函数，故A正确； 若，则，故不是奇函数，故B错误； 若，定义域为， 则， 故不是奇函数，故C错误； 若，定义域为， 则是奇函数， 是周期函数，故D正确. 故选：AD. 八、函数对称性 16．（2025·广东·一模）若函数关于直线对称，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】由题意可得，代入展开后，结合等式恒成立，即可求得答案. 【详解】由题意函数关于直线对称， 故，即， 即， 即, 故需满足且，即， 则， 故选：B 九、函数零点问题 17．（2024·广东湛江·一模）函数零点的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】数形结合思想，分别作出和的图象即可求解. 【详解】解：由，得函数的定义域为， 函数零点的个数零点个数， 即函数的图象和函数的图象的交点个数， 如图所示： 数形结合可得函数的图象和函数的图象的交点个数为． 故选:C． 18．（2024·广东珠海·一模）已知函数在R上没有零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为 与函数 的图象没有交点，利用数形结合法求解. 【详解】设 ，的图象如图所示， 问题转化为与函数 的图象没有交点， 所以或, 解得或, 故选：A. 19．（2025·广东佛山·一模）函数在区间上的零点个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】利用二倍角公式可得或，故可求零点个数. 【详解】令，则， 故或，而， 所以或或或或， 故共有5个零点， 故选：B. 十、图象交点与方程的根 20．（2025·广东·一模）已知函数，，若关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】原方程等价于或，则只需有个根，数形结合即可得答案. 【详解】函数是偶函数，大致图象，如图所示： 方程， 分解因式得， 解得：或， 由函数的图象可知，只有个根， 所以需有个根才满足题意， 所以实数的取值范围是：， 故答案为：． 十一、函数模型及应用 21．（2025·广东茂名·一模）常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案． 【详解】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1， 则512天后，甲的质量为：，乙的质量为：， 由题意可得， 所以． 故选：B． 十二、多选题综合 22．（2025·广东·一模）已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，，．下列说法正确的是（    ） A．3是函数的一个周期 B．函数的图象关于直线对称 C．函数是偶函数 D． 【答案】ACD 【分析】根据可得即可确定周期求解选项A；根据为奇函数，可得即可求解选项B；根据题设条件可得即可求解选项C；利用函数的周期性和函数值可求解选项D. 【详解】对A，因为， 所以，即， 所以3是函数的一个周期，A正确； 对B，因为为奇函数，所以， 所以函数的图象关于点中心对称，B错误； 对C，因为， 所以， 即，即， 所以函数是偶函数，C正确； 对D，， 所以， 所以，D正确； 故选:ACD. 23．（2025·广东·一模）已知定义域为的函数满足不恒为零，且，，.则下列结论正确的是（    ） A． B．的图象关于点对称 C．是偶函数 D．在上有个零点 【答案】AB 【分析】根据函数的周期性、对称性、零点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，所以是周期为的周期函数. ，所以关于点对称， 由令，得，则， 令得，即，A选项正确. 则， 由，得， 以替换得， 所以是奇函数，，C选项错误， 所以关于对称，根据周期性可知的图象关于点对称，B选项正确. 由于，所以， ， 由上述分析可知，在区间上， 至少有如下个零点：， 对于，可以构造如下的符合题意的函数对应的图象， 此时在区间上有个零点：，所以D选项错误. 故选：AB 【点睛】研究函数的周期性，从表达式上看，形如等函数都是周期函数.研究函数的对称性，形如等都是函数的对称性，要注意的是，对应的是轴对称，对应的是中心对称. 24．（2025·广东·一模）已知是自然对数的底数，，函数的图象经过原点，且无限接近直线又不与该直线相交，则（   ） A． B．的值域为 C．在区间上单调递减 D． 【答案】BD 【分析】对于A，根据函数过原点和无限接近直线可判断；对于B，根据解析式判断函数的奇偶性，值域可判断，对于C，根据解析式判断函数的单调性，即可判断；对于D，根据对数函数性质，再根据函数的为偶函数可判断. 【详解】对于A，因为函数的图象经过原点， 所以，解得，则． 又因为函数无限接近直线但又不与该直线相交， 所以，则，故A错误． 对于B，则因为， 为偶函数．当时，， 所以函数的值域为，故B正确； 对于C，当时，，因为函数为减函数， 则函数在区间上单调递增，故C错误； 对于D，因为，根据函数为偶函数可得，故D正确. 故选:BD． 25．（2025·广东·一模）设为定义在上的奇函数，当时，为常数），则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在上是单调减函数 D．函数仅有一个零点 【答案】AD 【分析】根据，求得，得到，求得的值，可得判定A正确；结合由，可得判定B不正确；结合和都是增函数，及为在上的奇函数，得出函数的单调性，可判定C不正确；结合和函数的单调性，得到仅有一个零点，可得判定D正确. 【详解】对于A中，因为为定义在上的奇函数，且当时，， 可得，解得，所以， 则，所以A正确； 对于B中，由，所以B不正确； 对于C中，当时，， 因为函数和都是增函数，所以在是单调递增函数， 又因为为在上的奇函数，所以在也是递增函数，所以C不正确； 对于D中，由，且和是单调递增函数， 所以函数为定义在上仅有一个零点，所以D正确. 故选：AD. 26．（2025·广东·一模）若函数同时具有性质：①对于任意的，，②为偶函数，则函数可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】首先判断B为奇函数，再利用基本不等式判断A、C，利用特殊值判断D； 【详解】解：对于B：， 故为奇函数，故B错误，A，C，D为偶函数； 对于A，，故A对 对于C， ，故C对 对于D，，时，，故D错， 故选：AC． 27．（2025·广东·一模）已知函数的定义域为，其中为给定的常数，且不为常函数，则（    ） A． B．当时，为奇函数 C．或1是存在的充要条件 D．当时，没有最值 【答案】BCD 【分析】特值检验即可判断选项A；对互换得，两式相加得根据奇函数的定义即可判断选项B；用特值检验推出必要性矛盾即可判断选项C；特值检验加反证法即可判断选项D. 【详解】对于A选项，令，则，则或，当时，取函数，则，矛盾，故A错误； 对于B选项，，对互换有 即，又因为不恒为0，则 用替换有，故为奇函数，故B正确； 对于C选项，当时，存在函数符合题意，充分性显然成立，下面我们证明必要性， 假设且，，则由A选项的分析知，令则， 因为，则，由的任意性可知，为常函数，这与不为常函数矛盾，假设不成立，所以当或1，即必要性成立，故C正确； 对于D选项，假设存在使得，则， 则对于任意均成立，故，为常函数，这与不为常函数矛盾，故不存在使得. 下面证明的任意取值均同号，， 对于任意取即可得，故的任意取值均同号. 若在处取到最值，则取，则， 故由的任意性有，这与题设矛盾，故D正确， 故选：BCD. 【点睛】本题考点是抽象函数及其应用，利用赋值法求函数值，以及灵活应用所给的恒等式证明函数的奇偶性，此类题目要求答题者有较高的数学思辨能力. 28．（2025·广东茂名·一模）已知函数，则（    ） A．当时，是增函数 B．当时，的值域为 C．当时，曲线关于点对称 D．当时，，则 【答案】ACD 【分析】根据复合函数的单调性判断A，利用特殊值判断B，计算即可判断C，根据函数的对称性与单调性转化为，再结合二次不等式的性质计算可得D. 【详解】对于A：因为定义域为， 当时在定义域上单调递增，且，又在上单调递增， 所以在定义域上单调递增，故A正确； 对于B：当时，但是，故B错误； 对于C：当时，， 则，所以曲线关于点对称，故C正确； 对于D：当时，的图象是由图象向右平移个单位得到， 所以的对称中心为，且在定义域上单调递增， 所以，可得， 即，从而得到， 即恒成立，所以，解得，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：D选项的关键是推导出的对称中心为，且在定义域上单调递增，从而将不等式转化为恒成立. 29．（2025·广东佛山·一模）已知定义域为的函数满足，且，为的导函数，则（    ） A．为偶函数 B．为周期函数 C． D． 【答案】ABD 【分析】通过对给定的函数关系式进行赋值等操作来分析函数的性质，并结合导数来判断各个选项的正确性，从而确定正确答案. 【详解】令，代入可得： ，即，所以， 令，则，即， 令得， 以替换，则， 以替换，则，所以函数是周期为的周期函数. 令，则，即， 所以是偶函数，A选项正确. 因为是周期为的周期函数，对两边求导得： ，即. 替换，则. 以替换，则， 所以是周期为的周期函数，B选项正确. 由的周期为，且，，，. ，C选项错误. 因为的周期为，，所以. 又，两边求导得，即， 所以. 而，令， 可得，即，. 对两边求导得，令，得. 对两边对求导， 得， 即 令， 可得，所以，则，D选项正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛： 对于抽象函数性质的研究，赋值法是一种重要手段，通过合理选取赋值，能够挖掘出函数的奇偶性、周期性等关键性质. 函数与其导函数之间存在紧密联系，对函数等式两边求导，能从函数的性质推导出导函数的性质，反之亦然. 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