专题02 平面向量与复数、不等式（十大题型）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（广东专用）

专题02 平面向量与复数、不等式（10大题型） 一、复数的四则运算 1．（2025·广东茂名·一模）已知，则，（    ） A．0 B． C． D． 2．（2024·广东韶关·一模）若复数满足，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 3．（2025·广东肇庆·二模）已知，则（    ） A．2 B． C．4 D． 4．（2025·广东佛山·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·广东·一模）若复数满足，则 ． 二、复数的模长 6．（2024·贵州·模拟预测）（    ） A． B． C．2 D．5 7．（2025·广东·一模）复数满足，其中为虚数单位，则（    ） A．2 B． C．1 D． 8．（2024·广东佛山·一模）已知复数满足，则（   ） A．2 B．1 C． D． 9．（2024·广东肇庆·一模）已知复数，，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 三、共轭复数 10．（2024·广东珠海·一模）复数（i为虚数单位），z的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 四、复数的几何意义 11．（2025·广东·一模）在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 五、复数的其他综合 12．（2025·广东·一模）在复平面内，一个正方形的3个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，则第4个顶点对应的复数为（    ） A．－1＋2i B．－1＋3i C．3i D． 13．（2025·广东·一模）（多选）已知复数，若，则（    ） A． B．z在复平面内对应的点在第四象限 C． D．的虚部为3 六、平面向量平行与垂直 14．（2025·广东肇庆·二模）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 15．（2024·广东韶关·一模）已知向量，若与垂直.则实数的值为（    ） A． B． C． D． 七、平面向量的模长 16．（2025·广东·一模）已知向量满足，则（    ） A．2 B． C． D．3 17．（2025·广东·一模）已知平面向量的夹角为，且，，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 18．（2025·广东佛山·一模）已知单位向量，满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．向量在向量上的投影向量为 D． 八、投影向量 19．（2025·广东·一模）若向量与满足，且，则在方向上的投影向量的模为 ． 20．（2024·广东肇庆·一模）已知单位向量，满足，则向量在向量上的投影向量的模为 . 九、平面向量的其他综合 21．（2024·广东珠海·一模）在△ABC中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 22．（2025·广东佛山·一模）（多选）在中，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在方向上的投影向量为 D．若，则 23．（2025·广东茂名·一模）向量与在单位向量上的投影向量均为，且，当与的夹角最大时，（    ） A．8 B．5 C． D． 十、不等式及基本不等式 24．（2025·广东茂名·一模）（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 25．（2025·广东中山·一模）设正实数满足，则下列说法错误的是（    ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 26．（2024·广东佛山·一模）（多选）已知，，且，则（    ） A．的最小值为18 B．的最小值为36 C．的最小值为 D．的最小值为 ( 19 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平面向量与复数、不等式（10大题型） 一、复数的四则运算 1．（2025·广东茂名·一模）已知，则，（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数乘法运算法则运算即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 2．（2024·广东韶关·一模）若复数满足，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】方法1：根据复数除法运算求出，然后共轭复数概念结合乘法运算可得；方法2：利用复数模的性质求出，然后由性质可得. 【详解】法1：因为，所以，所以. 法2：因为，所以，即. 故选：C. 3．（2025·广东肇庆·二模）已知，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】利用复数的除法法则求得复数，可求得. 【详解】因为， 所以，则. 故选：C. 4．（2025·广东佛山·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的除法可求. 【详解】因为，故， 故选：B. 5．（2025·广东·一模）若复数满足，则 ． 【答案】 【分析】利用复数的除法运算即可得解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 二、复数的模长 6．（2024·贵州·模拟预测）（    ） A． B． C．2 D．5 【答案】B 【分析】利用复数的运算得，再利用模长的计算公式，即可解. 【详解】因为，所以， 故选：B. 7．（2025·广东·一模）复数满足，其中为虚数单位，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再计算其模即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：D 8．（2024·广东佛山·一模）已知复数满足，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，再根据复数代数形式的除法运算化简，最后再计算其模. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：B 9．（2024·广东肇庆·一模）已知复数，，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据复数模长性质和充分不必要条件即可得到答案。 【详解】因为，所以，充分性显然成立； 对于必要性，只需举一个反例即可，如，，此时，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选:C 三、共轭复数 10．（2024·广东珠海·一模）复数（i为虚数单位），z的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将该复数化简为复数标准形式，再写出共轭复数即可. 【详解】，所以z的共轭复数为. 故选:B 四、复数的几何意义 11．（2025·广东·一模）在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】由复数的除法法则计算结合复数的几何意义即可求解. 【详解】对应的点坐标是位于第四象限， 故选：D 五、复数的其他综合 12．（2025·广东·一模）在复平面内，一个正方形的3个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，则第4个顶点对应的复数为（    ） A．－1＋2i B．－1＋3i C．3i D． 【答案】B 【分析】由复数的几何意义及向量的坐标运算可求解. 【详解】复数1＋2i，－2＋i，0所对应的点分别是A（1，2），B（－2，1），O（0，0）， 由题意可知，正方形以为邻边，设另一点为D（x，y）， 所以 则，解得， ∴. 故选：B． 13．（2025·广东·一模）（多选）已知复数，若，则（    ） A． B．z在复平面内对应的点在第四象限 C． D．的虚部为3 【答案】ACD 【分析】根据复数运算法则化简，然后根据条件，解得，逐个判断选项即可； 【详解】， 因为，所以，解得， 则，，A正确． z在复平面内对应的点为在第一象限，B错误． ，C正确． ，虚部为3，D正确． 故选：ACD. 六、平面向量平行与垂直 14．（2025·广东肇庆·二模）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的坐标运算求得向量的坐标，利用向量共线的条件的坐标表示得到方程，求解可得. 【详解】因，，故， 又，故得 故选：A. 15．（2024·广东韶关·一模）已知向量，若与垂直.则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用向量的坐标运算，得到，再利用向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】由题意，向量，可得， 因为，所以，解得， 所以当时，与垂直， 故选：A. 七、平面向量的模长 16．（2025·广东·一模）已知向量满足，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及向量数量积运算律计算得解. 【详解】由，得，则， 所以. 故选：C 17．（2025·广东·一模）已知平面向量的夹角为，且，，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据向量模长的关系，利用平方法转化为向量数量积公式，解一元二次方程即可得出答案. 【详解】由， 所以，即， 即，整理得， 解得或（舍去）， 所以. 故选：B. 18．（2025·广东佛山·一模）已知单位向量，满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．向量在向量上的投影向量为 D． 【答案】D 【分析】根据数量积的运算律求出，即可求出，从而判断A，再根据判断B，根据投影向量的定义判断C，计算，即可判断D. 【详解】单位向量，满足， 则，所以， 所以，又，所以，故A错误； ，故B错误； 因为， 所以向量在向量上的投影向量为，故C错误； 因为，所以，故D正确. 故选：D 八、投影向量 19．（2025·广东·一模）若向量与满足，且，则在方向上的投影向量的模为 ． 【答案】5 【分析】根据给定条件，求出，再利用投影向量及向量模的意义求解作答. 【详解】因为，，则有，即， 而在方向上的投影向量为，所以在方向上的投影向量的模为. 故答案为：5 20．（2024·广东肇庆·一模）已知单位向量，满足，则向量在向量上的投影向量的模为 . 【答案】1 【分析】由得到，再由投影向量的计算公式代入计算即可. 【详解】因为单位向量，满足， 可得：，也即 则， 则向量在向量上的投影向量的模为. 故答案为：1 九、平面向量的其他综合 21．（2024·广东珠海·一模）在△ABC中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可. 【详解】由题可知，，, 所以有，所以，得. 故选：C 22．（2025·广东佛山·一模）（多选）在中，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在方向上的投影向量为 D．若，则 【答案】AC 【分析】A选项对题干条件直接根据数量积的定义，化简成，然后根据边角转化求解；B选项利用两角和的正切公式求解；C选项结合正弦定理，投影向量公式求解；D选项根据正弦定理算出三边长度之后根据数量积定义求解. 【详解】A选项，对于，根据数量积的定义展开可得，， 即，即，由正弦定理，， 即，则为锐角，由， 解得，，A选项正确， B选项：由A选项和题干可知，， ，故，B选项错误. C选项：在方向上的投影向量为， 由B知，，，且，解得， 由正弦定理，，则，C选项正确. D选项：由正弦定理，，即，解得， 于是，，D选项错误. 故选：AC 23．（2025·广东茂名·一模）向量与在单位向量上的投影向量均为，且，当与的夹角最大时，（    ） A．8 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示出、，利用余弦定理确定，利用面积得到，由此推断最大时，最大，取最小值，利用坐标运算得到：，由二次函数性质求最值即可. 【详解】 设为轴正半轴上的单位向量， 令，，， 如图所示，设与的夹角为，若， 在中，由余弦定理有：则， 而， 所以，所以， 因为，所以， 有根据正弦定理有：，即， 整理有：，所以， 当与的夹角最大时，最大，取最小值， 因为， 当且仅当时，取等号，所以当与的夹角最大时，. 故选：D 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于建立适当的平面直角坐标系，把向量的数量积用坐标表示，结合二次函数性质求值. 十、不等式及基本不等式 24．（2025·广东茂名·一模）（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】举出反例即可判断A，由不等式的性质代入计算即可判断BD，由作差法即可判断C. 【详解】对于A，取，满足，但是，故A错误； 对于B，因为，不等式两边同时乘以负数，不等式方向改变，所以， 不等式两边同时乘以负数，不等式方向改变，所以， 所以，故B正确； 对于C，因为，， 又因为，所以，而，即，， 所以，故C正确； 对于D，设，即， 则，解得，所以， 又，则，且， 所以，所以，故D正确； 故选：BCD 25．（2025·广东中山·一模）设正实数满足，则下列说法错误的是（    ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 【答案】C 【分析】根据基本不等式以及“1”的妙用判断各选项. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C，， 则，当且仅当，即时，故C错误； 对于D，，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：C. 26．（2024·广东佛山·一模）（多选）已知，，且，则（    ） A．的最小值为18 B．的最小值为36 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，根据基本不等式可得，进而求解即可判断；对于B，根据基本不等式可得，验证取等条件即可判断；对于C，由题意可得，进而结合即可判断；对于D，结合题意可得，，进而得到，再根据基本不等式求解即可判断. 【详解】对于A，由于，即， 则，即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为18，故A正确； 对于B，由，当且仅当且时等号成立， 显然不能同时成立，取不到等号，故B错误； 对于C，由于，所以有， 当且仅当时等号成立， 即的最小值为，故C正确； 对于D，因为，，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 则的最小值为，故D正确． 故选：ACD． ( 19 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$