精品解析：江苏省镇江市丹阳市2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题

高一期末质量检测卷・数学学科 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 式子的值为（ ） A. B. 10 C. 11 D. 12 4. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A B. C. D. 5. 若将函数图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向右平移个长度单位，则所得到的曲线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知函数在上满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个函数中，周期为且在区间上单调递增的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列结论中正确有（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 直线是函数的一条对称轴 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 若函数的图像关于轴对称，则正数的最小值为 11. 若函数是上的奇函数，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 函数的最大值为1 D. 若实数，且满足，则的最小值为6 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 已知幂函数经过点，则的值是______. 13 已知，则______. 14. 对于任意实数，符号表示“不超过的最大整数”，如，，，则______； 若函数，则的值域为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合， （1）当时，求； （2）若“”是“”成立必要不充分条件，求的取值范围. 16. 已知不等式的解集为. （1）求，的值； （2）若不等式对于均成立，求实数取值范围. 17. 某企业拥有一台大功率的耗电设备，每天至少运行1小时，但不超过20小时.假设该设备每天运行小时，且每小时的平均耗电量千瓦与每天的运行时间满足如下函数关系：. （1）当时，若该设备每小时的平均耗电量不超过2千瓦，求的取值范围； （2）求该设备一天的耗电总量的最小值及设备当天的运行时间. 18. 意大利著名画家达·芬奇将两端固定的项链在重力的作用下自然下垂所形成的曲线称为“悬链线”.双曲余弦函数是一种特殊的悬链线函数，其相应的双曲正弦函数为，记函数. （1）判断函数的奇偶性并予以证明； （2）讨论函数的单调性； （3）若对于任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点. （1）求函数的解析式； （2）当，方程有解，求实数的取值范围； （3）若方程在区间上恰有三个实数根，，，且，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一期末质量检测卷・数学学科 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合交集运算求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据由能不能推出及由能不能推出即可得答案. 【详解】解：由，可得或； 由可得且， 所以由不能推出，但由能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 式子的值为（ ） A. B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据指、对数运算求解即可. 【详解】由题意可得：原式. 故选：C. 4. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的定义求出，再由诱导公式计算可得. 【详解】因为角的终边经过点，所以， 所以. 故选：B 5. 若将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向右平移个长度单位，则所得到的曲线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数图象变换以求得正确答案. 【详解】函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍得到， 再将图象向右平移个长度单位得到. 故选：A 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】通过商的关系，由弦化切即可求解； 【详解】， 故选：A 7. 已知函数在上满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再结合正弦函数的图象性质可得，即可得解. 【详解】由，且，可得， 由于，则，可得. 故选：D 8. 若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性，分和时，结合对数函数的性质讨论即可. 【详解】因为函数的值域为， 可知内单调递减，则，解得， 可得当时，，即在内值域为，符合题意； 且在内不单调递减， 若在内单调递增，则，解得， 此时，符合题意； 若在内为常函数，则，解得， 此时，符合题意； 综上所述：实数的取值范围是． 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个函数中，周期为且在区间上单调递增的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先判断各函数的最小正周期，再确定各函数在区间上的单调性，即可选择判断． 【详解】对于A，的最小正周期为π，在区间上单调递减，A不是； 对于B，的最小正周期为π，在区间上单调递增，B是； 对于C，的最小正周期为π，在区间上单调递增，C是； 对于D，的最小正周期为4π，在区间上单调递减，D不是． 故选：BC 10. 已知函数，则下列结论中正确的有（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 直线是函数的一条对称轴 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 若函数的图像关于轴对称，则正数的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据最值点与对称轴之间的关系分析判断；对于C：根据函数零点与对称中心之间的关系分析判断；对于D：根据三角函数的性质可得，即可得最小值. 【详解】对于选项A：因为， 即，所以函数在区间上不单调递增，故A错误； 对于选项B：由选项A可知为最小值， 所以直线是函数的一条对称轴，故B正确； 对于选项C：因为， 所以函数的图象关于点中心对称，故C正确； 对于选项D：因为的图像关于轴对称， 则，解得， 且，可知当时，取到最小值，故D正确； 故选：BCD. 11. 若函数是上的奇函数，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 函数的最大值为1 D. 若实数，且满足，则的最小值为6 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据奇函数的性质可求得A，根据函数的单调性可判断B，根据基本不等式可求得最值，即可判断C，根据奇函数的性质以及基本不等式可求得D. 【详解】对于A，因为函数是奇函数，所以， 即，所以， 当时，满足是奇函数，所以选项A正确； 对于B，根据A可知，因为，所以，即， 设，则 ， 因为，所以，， ，那么，即， 所以在上单调递增， 由于且，所以，选项B错误； 对于C，当时，，根据基本不等式， 当且仅当，即时，等号成立，所以， 当时，，，根据， 当且仅当即时，等号成立，所以， 综上函数的最大值为1，选项C正确； 对于D，因为是奇函数，， 则， 又，在上单调递增，所以，即， 则， 当且仅当即时，等号成立，选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛： （1）对于奇函数，如果在处有意义，则； （2）定义法判断函数的单调性，根据单调性判断函数值的大小； （3）运用基本不等式时一定要注意“一正二定三相等”. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 已知幂函数经过点，则的值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及过点的坐标代入得到方程组，解得即可. 【详解】因为幂函数经过点， 所以，解得，所以. 故答案为： 13. 已知，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】令，代入所求式子，结合诱导公式化简即可得出结果． 【详解】令，则，， 则 ． 故答案为： 14. 对于任意实数，符号表示“不超过的最大整数”，如，，，则______； 若函数，则的值域为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据高斯函数的定义及对数函数的性质计算可得，首先分析的奇偶性与值域，结合高斯函数的性质可得，从而得解. 【详解】令，依题意可得， 令，则时，；时，； 时，；时，；时，； 所以 ； 对于函数，其定义域为， 又，所以是偶函数， 当，且时，，. 当，且时，，. 又是偶函数，所以函数的值域为， 所以的图象如下所示： 根据高斯函数的性质可知（为整数）， 所以 ， 因为，所以，则， 所以的值域为. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是理解高斯函数的定义，第二空关键是推导出. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合， （1）当时，求； （2）若“”是“”成立的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据对数函数单调性计算不等式求解集合B，然后利用补集运算和交集运算求解即可； （2）由题意是的真子集，利用集合关系列不等式组求解即可. 【小问1详解】 当时，， 由，解得，所以， 所以，此时. 【小问2详解】 由“”是“”成立的必要不充分条件得是的真子集， ， 则有（取“=”不同时成立），解得， 故实数的取值范围为. 16. 已知不等式解集为. （1）求，的值； （2）若不等式对于均成立，求实数取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得和是关于的方程的两根，利用韦达定理得到方程组，解得即可； （2）依题意可得不等式对于均成立，分与两种情况讨论，分别计算可得. 【小问1详解】 因为不等式的解集为， 所以和是关于的方程的两根， 由根与系数的关系知，，解得，； 【小问2详解】 由（1）知，不等式对于均成立， 当时，不等式为恒成立， 当时，应满足，解得， 综上，实数的取值范围是． 17. 某企业拥有一台大功率的耗电设备，每天至少运行1小时，但不超过20小时.假设该设备每天运行小时，且每小时的平均耗电量千瓦与每天的运行时间满足如下函数关系：. （1）当时，若该设备每小时的平均耗电量不超过2千瓦，求的取值范围； （2）求该设备一天的耗电总量的最小值及设备当天的运行时间. 【答案】（1） （2）该设备一天的耗电总量的最小值为，当天的运行时间为小时 【解析】 【分析】（1）令，解一元二次不等式即可得结果； （2）根据题意求耗电总量的函数解析式，结合二次函数以及基本不等式求分段函数最值即可. 【小问1详解】 当时，令， 可得，解得， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 由题意可知：设备一天的耗电总量为， 当时，， 可当且仅当，即时，取到最小值； 当时，， 当且仅当时，取到最小值； 因为，所以该设备一天的耗电总量的最小值为，设备当天的运行时间为小时. 18. 意大利著名画家达·芬奇将两端固定的项链在重力的作用下自然下垂所形成的曲线称为“悬链线”.双曲余弦函数是一种特殊的悬链线函数，其相应的双曲正弦函数为，记函数. （1）判断函数的奇偶性并予以证明； （2）讨论函数的单调性； （3）若对于任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）函数为奇函数，证明见详解 （2）在定义域为内单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）整理可得，结合奇函数定义分析判断； （2）整理可得，根据指数函数单调性结合单调性的性质分析判断； （3）换元令，可得恒成立，结合二次函数最值分析求解. 【小问1详解】 函数为奇函数，证明如下： 由题意可知：，其定义域为， 且， 所以函数奇函数. 【小问2详解】 因为， 因为在定义域为内单调递增，可知在定义域为内单调递减， 所以在定义域为内单调递增. 【小问3详解】 由（2）可知：在内单调递增，且， 可得， 令，可得恒成立， 又因为，当且仅当时，等号成立， 可得，解得， 所以实数的取值范围为. 19. 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点. （1）求函数的解析式； （2）当，方程有解，求实数的取值范围； （3）若方程在区间上恰有三个实数根，，，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 分析】（1）根据周期求出，再根据函数过点求出，即可求出函数解析式； （2）将问题转化为在上有解，求出函数在此区间上的值域，即可得答案； （3）首先分析的单调性，即可画出函数图象，依题意可得与在区间上恰有三个交点，即可求出的取值范围，再根据对称性得到及的取值范围，即可得解. 【小问1详解】 因为图象相邻两条对称轴之间的距离为， 所以， 所以，又，即，所以， 所以， 又因为函数的图象过点，所以，即， 又因，解得， 所以； 【小问2详解】 因为， 当时，， 所以，所以， 所以方程有解， 即有解，所以； 【小问3详解】 当时， 令或，解得或， 所以在，上单调递增， 令，解得， 所以在上单调递减， 且当时，则的图象（）如下所示： 因为方程在区间上恰有三个实数根，，，且， 即与在区间上恰有三个交点，则， 且与关于对称，与关于对称， 所以，， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． 【点睛】关键点点睛：本题第三为关键是得到，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$