第04讲 勾股定理【11个必考点】（必考点分类集训）-2024-2025学年八年级数学下册必考点分类集训系列（人教版）

第04讲 勾股定理【11个必考点】 【人教版】 【知识点1 勾股定理】 1 【必考点1 勾股定理解直角三角形】 1 【必考点2 利用勾股定理求线段长】 7 【必考点3 利用勾股定理求面积】 12 【必考点4 勾股定理与数轴】 16 【必考点5 勾股定理与网格】 18 【必考点6 勾股定理中的平方关系】 21 【必考点7 新定义三角形】 26 【知识点2 勾股定理的验证】 32 【必考点8 以弦图为背景的计算题】 32 【必考点9 勾股定理的证明】 35 【必考点10 勾股定理的实际应用】 40 【必考点11 利用勾股定理求最短路径问题】 45 【知识点1 勾股定理】 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.对任意的直角三角形，如果它的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么一定有a2+b2=c2，这种关系我们称为勾股定理. 2.数学语言：如右图所示，△ABC是直角三角形，其中较短的直角边a叫作勾，较长的直角边b叫做股，斜边c叫做弦. 【必考点1 勾股定理解直角三角形】 【例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a、b、c． （1）若a：b＝3：4，c＝25，求a，b； （2）若c+a＝64，b＝16，求a、c； （3）若∠A＝30°，b＝12，求c边上的高h． 【分析】（1）设a＝3m，则b＝4m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程，即可解决问题；得：a2+b2＝c2， （2）在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程，即可解决问题； （3）证明c＝2a，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程，即可解决问题． 【解答】解：（1）设a＝3m，则b＝4m， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：a2+b2＝c2， 即（3m）2+（4m）2＝252， 解得：m＝5（负值已舍去）， ∴a＝3m＝15，b＝4m＝20； （2）∵c+a＝64， ∴c＝64﹣a， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：a2+b2＝c2， 即a2+162＝（64﹣a）2， 解得：a＝30（负值已舍去）， ∴c＝64﹣30＝34； （3）∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴c＝2a， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：a2+b2＝c2， 即a2+（12）2＝（2a）2， 解得：a＝12（负值已舍去）， ∴c＝2a＝24， ∵S△ABCab， ∴h6， 即c边上的高h为6． 【例2】在△ABC中，AB＝15，BC＝20，BD为AC边上的高，且BD＝12，则AC＝ 　 　． 【分析】根据题意，画图后，利用勾股定理，解答即可． 【解答】解：根据题意，作BD⊥AC于点D，交CA的延长线于点D， ∵AB＝15，BC＝20，BD＝12， ∴AD9，CD16， ∴AC＝CD﹣AD＝16﹣9＝7． 如图，此时AC＝CD+AD＝16+9＝26， 故答案为：7或26． 【变式1】如图，在△ABC中，过点A作AD⊥AB于点D． （1）若∠B＝30°，AB＝2，求BD的长； （2）在（1）的条件下，∠C＝45°，求△ABC的面积； （3）若AC＝4，AB＝6，BC＝8，求△ABC的面积． 【分析】（1）由含30°角的直角三角形的性质得ADBD，再由勾股定理求出BD的长即可； （2）过点A作AE⊥BC于点E，由含30°角的直角三角形的性质得AE，再由勾股定理得BE＝3，然后证△AEC是等腰直角三角形，得CE＝AE，即可解决问题； （3）过点A作AE⊥BC于点E，设BE＝x，则CE＝8﹣x，在Rt△AEB和Rt△AEC中，由勾股定理得出方程，求出x，则AE，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【解答】解：（1）∵AD⊥AB， ∴∠BAD＝90°， ∵∠B＝30°， ∴ADBD， 在Rt△BAD中，由勾股定理得：AB2+AD2＝BD2， 即（2）2+（BD）2＝BD2， 解得：BD＝4（负值已舍去）； （2）如图1，过点A作AE⊥BC于点E， 则∠AEB＝∠AEC＝90°， ∵∠B＝30°， ∴AEAB2， 在Rt△AEB中，由勾股定理得：BE3， ∵∠C＝45°， ∴△AEC是等腰直角三角形， ∴CE＝AE， ∴BC＝BE+CE＝3， ∴S△ABCAE•BC（3）； （3）如图2，过点A作AE⊥BC于点E， 则∠AEB＝∠AEC＝90°， 设BE＝x，则CE＝8﹣x， 在Rt△AEB中，由勾股定理得：AE2＝AB2﹣BE2＝62﹣x2， 在Rt△AEC中，由勾股定理得：AE2＝AC2﹣CE2＝42﹣（8﹣x）2， ∴62﹣x2＝42﹣（8﹣x）2， 解得：x， ∴AE2＝62﹣（）2， 解得：AE（负值已舍去）， ∴S△ABCAE•BC8＝3． 【变式2】已知△ABC，且AB＝20，AC＝13，BC边上的高为12，则△ABC的面积为 　 　． 【分析】根据题意，△ABC可能是锐角三角形或者钝角三角形，分两种情况进行讨论作图，然后利用勾股定理即可求解． 【解答】解：在△ABC中，BC边上高AD＝12，AB＝20，AC＝13， 当△ABC为锐角三角形时，如图所示， 在Rt△ABD中，AD＝12，AB＝20， ∴， 在Rt△ACD中，AD＝12，AC＝13， ∴， ∴BC的长为：CD+DB＝16+5＝21， ∴△ABC的面积为：； 当△ABC为钝角三角形时，如图所示， 在Rt△ABD中，AB＝20，AD＝12， 由勾股定理得：， 在Rt△ACD中，AD＝12，AC＝13， 由勾股定理得：， ∴BC＝BD﹣CD＝16﹣5＝11， ∴△ABC的面积为：； 综上可得：△ABC的面积为：126或66． 故答案为：126或66． 【变式3】△ABC中，AB＝17，AC＝10，高AD＝8，则△ABC的周长是　 　． 【分析】分三角形为钝角三角形和锐角三角形两种情况画图，利用勾股定理求解即可． 【解答】解：分两种情况： ①如图1， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：， 在Rt△ADC中，由勾股定理得：， 则BC＝BD+DC＝21， ∴△ABC的周长是AB+AC+BC＝17+10+21＝48； ②如图2， ∵BD＝15，CD＝6， ∴BC＝BD﹣CD＝15﹣6＝9， ∴△ABC的周长是AB+AC+BC＝17+10+9＝36， 综上，△ABC的周长是36或48， 故答案为：36或48． 【必考点2 利用勾股定理求线段长】 【例1】已知，如图在三角形ABC中，AC＝4，∠A＝30°，∠ABC＝15°，延长AC到点D，使得DC＝AC，则BD的长为（　　） A．5 B． C． D． 【分析】先作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，然后根据勾股定理可以得到BE和AE的关系，再根据等腰三角形的性质，可以得到CE和BE的关系，然后计算出BE和DE的值，最后根据勾股定理即可求得BD的长即可． 【解答】解：作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，如图， 设BE＝x， ∵∠A＝30°， ∴AB＝2BE＝2x， ∴AE， ∵∠BEC＝90°，∠A＝30°，∠ABC＝15°， ∴∠BCE＝∠A+∠ABC＝45°， ∴∠BCE＝∠CBE＝45°， ∴BE＝CE＝x， ∵AE，AE＝AC+CE，AC＝CD＝4， ∴4+x， 解得x＝22， ∴DE＝CE﹣CD＝x﹣4＝22﹣4＝22， ∴BD4， 故选：C． 【例2】如图．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．，点P在线段BC上，当AP＝BP时，AP的长度为 　 　cm． 【分析】由勾股定理求出BC＝2cm，设AP＝BP＝x cm，则CP＝（2﹣x）cm，再在Rt△ACP中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【解答】解：在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC2（cm）， 设AP＝BP＝x cm，则CP＝（2﹣x）cm， 在Rt△ACP中，由勾股定理得：AC2+CP2＝AP2， 即（）2+（2﹣x）2＝x2， 解得：x， 故答案为：． 【变式1】如图，在 Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则DC的长是 　　． 【分析】由勾股定理得BC＝3，再由角平分线的性质得DC＝DE，设DC＝DE＝x，然后由三角形面积关系得出方程，解方程即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°， ∴BC3，DC⊥BC， 如图，过D作DE⊥AB于点E， ∵BD平分∠ABC， ∴DC＝DE， 设DC＝DE＝x， ∵S△BCD+S△ABD＝S△ABC， ∴BC•DCAB•DEAC•BC， 即3x5x4×3， 解得：x， 即DC的长为， 故答案为：． 【变式2】如图，在△ABC中，AB＝24，AC＝13，D是线段BC上一点，连接AD，AD＝20，CD＝21，则BD的长为 　 　． 【分析】过A作AE⊥BC于点E，则∠AEB＝∠AEC＝90°，设DE＝n，则EC＝21﹣n，再由勾股定理即可求解． 【解答】解：过A作AE⊥BC于点E，垂足为点E， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝∠AEC＝90°， ∵CD＝21， 设DE＝n，则EC＝21﹣n， ∴AE2＝AD2﹣DE2＝202﹣n2， ∵AE2＝AC2﹣EC2＝132﹣（21﹣n）2， ∴202﹣n2＝132﹣（21﹣n）2， ∴n＝16， ∴DE＝16，EC＝5，AE＝12， ∴AE2+BE2＝AB2，即122+BE2＝242， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，则AD的长为 　 　． 【分析】连接BD，由勾股定理求得AC＝8，推导出CD＝BD，设CD＝x，则BD＝CD＝x，AD＝8﹣x，由勾股定理得（8﹣x）2+62＝x2，进一步解答即可得解． 【解答】解：在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，连接BD， ∴BC的垂直平分线为DE， ∴CD＝BD， 在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10， 由勾股定理得：AC8， 设CD＝x，则BD＝x，AD＝8﹣x， 在直角三角形由ABD中，由勾股定理：（8﹣x）2+62＝x2， 解得x＝6.25， ∴AD＝8﹣6.25＝1.75． 【变式4】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，AC的垂直平分线交AD于点E，交AC于点F，连接BE． （1）求证：AE＝BE； （2）若AB＝AC＝5，BC＝6，求△ABE的周长． 【分析】（1）连接EC，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，再根据线段垂直平分线的性质证明即可； （2）结合（1）求出BD＝3，根据勾股定理求出AE＝BE，再根据三角形周长定义求解即可． 【解答】（1）证明：连结EC． ∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线， ∴AD垂直平分BC， ∵点E在AD上， ∴BE＝EC， ∵AC的垂直平分线交AD于点E， ∴AE＝EC， ∴AE＝BE． （2）由（1）得，， ∵BC＝6， ∴BD＝3， ∴AD4， 设AE＝BE＝x， 在Rt△BDE中，BD2+DE2＝BE2， ∴32+（4﹣x）2＝x2， ∴， 即， ∴△ABE的周长为：AB+BE+AE＝5． 【必考点3 利用勾股定理求面积】 【例1】如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　） A．16 B．25 C．144 D．169 【分析】根据勾股定理解答即可． 【解答】解： 根据勾股定理得出：AB， ∴EF＝AB＝5， ∴阴影部分面积是25， 故选：B． 【例2】如图，在△ABC中，∠B＝90°，分别以AB，BC为边在△ABC外侧作正方形ABDE和正方形BCFG，再以AC为斜边在△ABC外侧作Rt△ACH，若AH＝1，，则图中阴影部分的面积是（　　） A．10 B． C． D． 【分析】阴影部分由正方形ABCD和正方形BCFG以及Rt△ACH组成．正方形ABCD的面积可以表示为AB2，正方形BCFG的面积可以表示为BC2，由于∠B＝90°，根据勾股定理，AB2+BC2＝AC2，在Rt△ACH中，AC2＝AH2+CH2，Rt△ACH的面积可以根据两条直角边的长度求出，代入计算即可． 【解答】解：S阴影＝S正方形ABDE+S正方形BCFG+S△ACH ＝AB2+BC2AH•CH ＝AC21×2 ＝AH2+CH2 ＝12+（2）2 ＝1+24 ＝25． 故选：C． 【变式1】如图，BC长为3cm，AB长为4cm，AF长为12cm．正方形CDEF的面积为 　 　cm2． 【分析】在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AC2，然后在直角△ACF中求得FC2，根据正方形CDEF的面积＝FC2即可求解． 【解答】解：在直角△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝32+42＝25， 在直角△ACF中，FC2＝AF2+AC2＝122+25＝169． 而正方形CDEF的面积＝FC2＝AF2+AC2＝122+25＝169． 故答案为：169 【变式2】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作等边三角形，等边三角形的面积分别为S1，S2，S3，S4，其中S1＝2，S2+S3＝14，则S4的大小为 　 　． 【分析】连接AC，作EF⊥AD于点F，由30度角的性质得，由勾股定理得，结合三角形面积公式可求出，同理可求：，，，然后利用勾股定理可得结论． 【解答】解：如图，连接AC，作EF⊥AD于点F， 由条件可知，DF＝AF，∠DEF＝30°， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可求：，，， 由勾股定理可得AC2＝CD2+AD2＝BC2+AB2． ∴， ∴S1+S4＝S2+S3． ∵S1＝2，S2+S3＝14， ∴2+S4＝14， ∴S4＝12， 故答案为：12． 【变式3】如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知正方形A、B、C、D的面积分别是2，5，1，2，则正方形E的面积是　 　． 【分析】根据勾股定理的几何意义解答即可． 【解答】解：由题意可得： SE＝S1+S2 ＝SA+SB+SD+SC ＝2+5+2+1 ＝10， 故选：10． 【变式4】勾股定理是数学中一颗璀璨的明珠，在人类的文明史上有杰出的贡献．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，分别以Rt△ABC的各边为一边向Rt△ABC外部作正方形，把两个较小正方形按图2放置，若图形①的面积是4，则图形②的面积是 　 　． 【分析】先根据勾股定理求出AB2﹣AC2＝BC2＝9，再根据①的面积+②的面积＝9得出答案． 【解答】解：根据勾股定理，得AB2﹣AC2＝BC2＝9， ∴①的面积+②的面积＝AB2﹣AC2＝9， ∵图形①的面积是4， ∴图形②的面积是5． 故答案为：5． 【必考点4 勾股定理与数轴】 【例1】如图，△ABC的两个顶点A，C均在数轴上，且∠ACB＝90°，BCAC，若点A表示的数是﹣1，点C表示的数是1，那么以点A为圆心，AB的长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据点A表示的数是﹣1，点C表示的数是1，得出AC＝2，从而推出AC与BC的长，再根据勾股定理求出AB的长，从而得出AD的长，即可推出结果． 【解答】解：∵点A表示的数是﹣1，点C表示的数是1， ∴AC＝2， ∴BC1， ∴AB， 又∵以点A为圆心，AB的长为半径画弧交数轴于点D， ∴AD＝AB， ∴点D表示的数1， 故选：A． 【变式1】如图，数轴上的点A，点C表示的实数分别是﹣2，1，BC⊥AC于点C，且BC＝1，连接AB．若以点A为圆心，AB长为半径画弧交数轴于点A右边的点P，则点P所表示的实数为（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出AC的长，再由勾股定理求出AB的长，即可得出答案． 【解答】解：∵数轴上的点A，点C表示的实数分别是﹣2，1， ∴AC＝1﹣（﹣2）＝3， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB， ∴点P表示的数为2， 故选：A． 【变式2】如图，把一块含45°角的三角板放入2×4的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示﹣1的点重合，则数轴上点A所表示的数为（　　） A．2 B．1.8 C．﹣1+2 D． 【分析】由题意可知，BA＝BC，∠BDC＝90°，BD＝CD＝2，再由勾股定理求出BC＝2，则BA＝2，然后求出DA＝BA﹣BD＝22，即可解决问题． 【解答】解：如图， 由题意可知，BA＝BC，∠BDC＝90°，BD＝CD＝2， ∴BC2， ∴BA＝2， ∴DA＝BA﹣BD＝22， ∴数轴上点A所表示的数为22+1＝﹣1+2， 故选：C． 【变式3】如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是4×4的正方形网格上的格点，以点A为圆心，AD长为半径画圆交数轴于M，N两点，则M点所表示的数为 　 　． 【分析】直接利用勾股定理得出AD的长，再利用数轴得出答案． 【解答】解：∵OD⊥x轴， ∴∠AOD＝90°， ∴△AOD是直角三角形， ∵OA＝1，OD＝3， ∴， ∴， ∴M点所表示的数为：． 故答案为：． 【必考点5 勾股定理与网格】 【例1】如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用等积法即可求出BD的长． 【解答】解：根据勾股定理得：AC5， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴BD＝2． 故选：A． 【变式1】如图，在3×3的正方形网格中，A，B，C，D是格点，则下列线段长度最长是（　　） A．AB B．AD C．AC D．AE 【分析】根据勾股定理分别求出各个线段的长度即可得出结论． 【解答】解：由勾股定理得，AE，AD，AC，AB， ∴下列线段长度最长是AC， 故选：C． 【变式2】如图，网格中每个小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB长为半径画弧，交最上方的网格线与点D，则CD的长为（　　） A． B．0.8 C． D． 【分析】连接AD，利用勾股定理求出ED的长即可求出结论． 【解答】解：如图：连接AD， 由题意可得：AD＝AB＝CE＝3， AE＝2，∠E＝90°， ∴DE， ∴CD＝CE﹣DE＝3， 故选：D． 【变式3】如图，在4×3的正方形网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长都是1，则线段AC与线段BC的大小关系为（　　） A．AC＜BC B．AC＞BC C．AC＝BC D．无法确定 【分析】先根据勾股定理求出AC、BC的长，然后比较大小即可． 【解答】解：， ， ∵， ∴AC＜BC， 故选：A． 【变式4】通过学习，同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．例如：在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），如图1，构造△ABC，比较与的大小，其理由如下：因为在△ABC中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以AB+BC＞AC（三角形任意两边之和大于第三边）．因为（勾股定理），BC＝1，所以． 请你参考例子中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由， 【分析】画出图形，再由勾股定理求出DE、EF、DF的长，然后由三角形的三边关系即可得出结论． 【解答】解：，理由如下： 如图2所示， 由勾股定理得：DE，EF，DF， 在△ABC中，DF﹣EF＜DE， ∴． 【必考点6 勾股定理中的平方关系】 【例1】如图，四边形ABCD中，AC⊥BD，AD＝3，BC＝5，则AB2+CD2＝ 　 　． 【分析】在Rt△CEB和Rt△AEB中，根据勾股定理得BE2+CE2＝CB2，ED2+EA2＝AD2，进一步得BE2+CE2+ED2+EA2＝9+25，再根据AB2＝BE2+AE2，CD2＝EC2+ED2，最后求得AB2+CD2＝34． 【解答】解：∵BD⊥AC， ∴∠CEB＝∠AEB＝∠AED＝∠CED＝90°， 在Rt△CEB和Rt△AEB中，根据勾股定理得， BE2+CE2＝CB2，ED2+EA2＝AD2， ∴BE2+CE2+ED2+EA2＝9+25， ∵AB2＝BE2+AE2，CD2＝EC2+ED， ∴AB2+CD2＝34． 故答案为：34． 【例2】如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝14，AD⊥BC于点D，M为AD上任意一点，则MC2﹣MB2＝　 　． 【分析】由AB＝10，AC＝14，AD⊥BC，即可得MC2﹣MB2＝MD2+CD2﹣（MD2+DB2）＝CD2﹣DB2＝CA2﹣AB2＝142﹣92＝96． 【解答】解：∵AB＝10，AC＝14，AD⊥BC， ∴MC2﹣MB2＝MD2+CD2﹣（MD2+DB2）＝CD2﹣DB2＝CD2+AD2﹣（DB2+AD2）＝CA2﹣AB2＝142﹣102＝96． 故答案为：96． 【变式1】如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2． （1）求证：∠A＝90°； （2）若BC2＝56，AD：BD＝3：4，求AC的长． 【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质可得CD＝BD，然后利用勾股定理逆定理可得结论； （2）首先确定BD的长，进而可得CD的长，再利用勾股定理进行计算即可． 【解答】（1）证明：连接CD， ∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E， ∴CD＝DB， ∵BD2﹣DA2＝AC2， ∴CD2﹣DA2＝AC2， ∴CD2＝AD2+AC2， ∴△ACD是直角三角形，且∠A＝90°； （2）解：∵BC2＝56，AD：BD＝3：4， 设AD＝3a，CD＝BD＝4a， ∴ACa， ∴AB＝7a， 由勾股定理得：BC2＝AB2+AC2， 即， ∴AC． 【变式2】如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2+CF2等于多少？ 【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得CE2+CF2＝EF2，进而可求出CE2+CF2的值． 【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠ACE∠ACB，∠ACF∠ACD，即∠ECF（∠ACB+∠ACD）＝90° ∴△EFC为直角三角形， 又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF， ∴CM＝EM＝MF＝5，EF＝10， 由勾股定理可知CE2+CF2＝EF2＝100． 【变式3】如图，AD是锐角△ABC的高，求证：； 【分析】由勾股定理得AB2＝BD2+AD2，AC2＝CD2+AD2，相减求出AB2﹣AC2＝BC（BD﹣CD），然后进一步变形整理即可； 【解答】（1）证明：∵AD是锐角△ABC的高， 由勾股定理得：AB2＝BD2+AD2，AC2＝CD2+AD2， ∴AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2＝（BD+CD）（BD﹣CD）＝BC（BD﹣CD）， ∴， ∴， ∴， ∴； 【变式4】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，且∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F． （1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长； （2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2． 【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得BD＝5，由勾股定理计算可得AD的长，由等腰直角三角形性质得DF＝5，最后由线段的差可得结论； （2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△CHB≌△AEF（SAS），得AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，由等腰三角形三线合一的性质得EF＝FH，最后由勾股定理和等量代换可得结论． 【解答】（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∵BC＝10， ∴BD＝5， Rt△ABD中，∵AB＝13， ∴AD12， 在Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°， ∴△BDF是等腰直角三角形， ∴DF＝BD＝5， ∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7； （2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF、CH， 在△CHB和△AEF中， ， ∴△CHB≌△AEF（SAS）， ∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC， ∴∠CEF＝∠CHE， ∴CE＝CH， ∵BD＝CD，FD⊥BC， ∴CF＝BF， ∴∠CFD＝∠BFD＝45°， ∴∠CFB＝90°， ∴EF＝FH， 在Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2， ∴BF2+EF2＝AE2． 【必考点7 新定义三角形】 【例1】如图1，D是△ABC中边AB上的任一点（与点A、B不重合），连结CD．若，则称CD是AB的“智慧线”．如图2，已知AB＝7，AC＝5，∠B＝45°，若边AB上存在点D，使CD是AB的“智慧线”，则AD的长为 　 　． 【分析】当D点在E点左侧和右侧两种情况：过C作CE⊥AB，在AB上找一点D，连接CD，使CDAB，如图2所示，根据题意得到CE＝BE，设CE＝BE＝x，则有AE＝7﹣x，在Rt△ACE中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，利用勾股定理求出DE的长，结合图形求出AD的长即可． 【解答】解：过C作CE⊥AB，在AB上找一点D，连接CD，使CDAB，如图2所示， 在Rt△BCE中，∠B＝45°，∠CEB＝90°， ∴∠ECB＝∠B＝45°， ∴CE＝BE， 设CE＝BE＝x， ∵AB＝7， ∴AE＝AB﹣BE＝7﹣x， 在Rt△ACE中，AC＝5，AE＝7﹣x，CE＝x， 根据勾股定理得：AE2+CE2＝AC2，即（7﹣x）2+x2＝52， 解得：x1＝3，x2＝4（舍）， ∴BE＝CE＝3，AD＝7﹣x＝4，在Rt△CDE中，CD＝3.5，CE＝3， 根据勾股定理得：DE， 此时AD＝AE﹣DE＝4； 同理，当D点在E点右侧时，AD＝AE+DE＝4； 故答案为：4或4． 【例2】定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．在△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC边上的高AD＝12，△ABC中BC边的“中偏度值”为 　 　． 【分析】分两种情况计算，先根据勾股定理求出BC＝14，再根据中线的定义得出BE＝7，故ED＝2，同理可得ED＝7，故得出答案． 【解答】解：如图，AE为△ACB的中线， ∵∠ADC＝90°， 在Rt△ADC和Rt△ADB中， ， ， ∴BC＝14， ∵AE为△ACB的中线， ∴BE＝7， ∴DE＝BD﹣BE＝2， ∴； 如图，AE为△ACB的中线， ∵∠ADB＝90°， 在Rt△ADC和Rt△ADB中， ， ， ∴BC＝4， ∴BE2， ∴DE＝2+5＝7， ∴△ABC中BC边的“中偏度值”为：； 故答案为：6或． 【变式1】定义：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，a、b、c满足ac+a2＝b2，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： （1）如图1所示，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，AB＝BC，AC＞AB，请求∠A的度数． （2）如图2所示，在△ABC中，∠B＝2∠A，且∠C＞∠A，求证：△ABC为“类勾股三角形”．志明同学想到可以在AB上找一点D使得AD＝CD，再作CE⊥BD，请你帮助志明完成证明过程． 【分析】（1）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论； （2）先求出CD＝CB＝a，AD＝CD＝a，DB＝AB﹣AD＝c﹣a，，，两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论． 【解答】解：（1）∵AB＝BC，AC＞AB， ∴a＝c，b＞c， ∵△ABC是类勾股三角形， ∴ac+a2＝b2， ∴c2+a2＝b2， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠A＝45°； （2）如图：以在AB上找一点D使得AD＝CD，再作CE⊥BD， ∴∠A＝∠ACD， ∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝2∠A， ∵∠B＝2∠A， ∴∠CDB＝∠B， ∴CD＝CB＝a， ∴AD＝CD＝a， ∴DB＝AB﹣AD＝c﹣a， ∵CE⊥AB， ∴， ∴， 在Rt△ACE中，， 在Rt△BCE中，， ∴， ∴b2＝ac+a2， ∴△ABC是“类勾股三角形”． 【变式2】若直角三角形存在一边上的中线恰好等于这边的长，则我们称这个直角三角形为“等边中三角形”． 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）若AC2＝3，BC＝2，求证：Rt△ABC是“等边中三角形”； （2）若BC＝2且Rt△ABC是“等边中三角形”，求AC2的值． 【分析】（1）取BC的中点D，连接AD，则，再由勾股定理计算出AD的长，即可得解； （2）根据“等边中三角形”的定义，分两种情况，分别结合勾股定理计算即可得解． 【解答】（1）证明：如图，取BC的中点D，连接AD， 则， ∴由勾股定理可得：， ∴AD＝BC＝2， ∴Rt△ABC是“等边中三角形”； （2）解：∵Rt△ABC是“等边中三角形”， ∴如图，取BC的中点D，连接AD，则，当AD＝BC＝2时， 此时AC2＝AD2﹣CD2＝3， 如图，取AC的中点E，连接BE，则，BE＝AC， 由勾股定理可得：CE2+BC2＝BE2， ∴， ∴， 综上所述，AC2＝3或． 【变式3】我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫“可爱三角形”． （1）根据“可爱三角形”的定义，等边三角形一定是“可爱三角形”吗？直接答：“是”与“不是”． （2）若三角形的三边长分别是4，，，则该三角形是“可爱三角形”吗？说明理由． （3）若Rt△ABC是“可爱三角形”∠C＝90°，AC＝5．求AB的长． 【分析】（1）根据等边三角形的性质和题中定义求解即可； （2）根据“可爱三角形”的定义判断即可； （3）根据“可爱三角形”的定义，结合勾股定理分两种情况求解即可． 【解答】解：（1）是． 理由：设等边三角形的边长为a， ∵a2+a2＝2a2， ∴等边三角形一定是“可爱三角形”； （2）是，因为：42＝16，，． 所以16+24＝2×20，满足两边的平方和等于第三边平方的2倍．所以它是“可爱三角形”． （3）由勾股定理可得：AC2+BC2＝AB2， 由它是“可爱三角形”可分两种情况： ①AC2+AB2＝2BC2，即AC2+AB2＝2（AB2﹣AC2）， 解得（负值舍去）； ②AB2+BC2＝2AC2，即AB2+AB2﹣AC2＝2AC2， ∴2AB2＝3AC2， 解得（负值舍去）． 综上，AB的长为或． 【知识点2 勾股定理的验证】 勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想、图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的.利用面积相等证明勾股定理是最常见的一种方法，常见的几种证明方法如下 （1）弦图证明 内弦图 外弦图 ∴ ∴ （2）“总统”法（半弦图） 如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形： ，∴ 【必考点8 以弦图为背景的计算题】 【例1】如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b，若ab＝7，大正方形的面积为30，则小正方形的边长为（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b， ∵每一个直角三角形的面积为：， ∴， ∴（a﹣b）2＝30﹣14＝16， ∴a﹣b＝4， 故选：C． 【变式1】我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c．若b﹣a＝2，c＝10，则a+b的值为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【分析】根据勾股定理可知a2+b2＝c2，再根据b﹣a＝2，c＝10，即可得到a、b的值，然后即可计算出每个直角三角形的面积． 【解答】解：由图可得， a2+b2＝c2， ∴且a、b均大于0， 解得， ∴a+b＝6+8＝14， 故选：B． 【变式2】如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的，如果小正方形的面积为6，大正方形的面积为14，直角三角形中较短直角边的长为a，较长直角边的长为b，那么ab的值为（　　） A．4 B．6 C． D． 【分析】由四个全等的直角三角形，大正方形，小正方形之间的面积关系得出a2+b2＝14，（b﹣a）2＝6，进而得出2ab＝8，即可求出答案． 【解答】解：由题意得：a2+b2＝14，（b﹣a）2＝6， ∴b2﹣2ab+a2＝6， ∴2ab＝a2+b2﹣6＝14﹣6＝8， ∴ab＝4， 故选：A． 【变式3】如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两条直角边长（x＞y），下列四个说法：①x+y＝9；②y﹣x＝2；③2xy+4＝49；④x2+y2＝49．其中正确的是（　　） A．①② B．②④ C．③④ D．①②③④ 【分析】根据勾股定理和正方形的性质即可得到x2+y2＝AB2＝49，即可判定④；根据图形可知x﹣y＝CE＝2，即可判断②；根据四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，可得2xy+4＝49，即可判断③；进而得到（x+y）2＝94，即可判断①． 【解答】解：如图所示， ∵正方形ABGF的面积为49， ∴AB2＝49， ∵△ABC是直角三角形， ∴根据勾股定理得：x2+y2＝AB2＝49，故④正确； ∵正方形CDHE的面积为4， ∴CE＝CD＝EH＝DH＝2， ∴x﹣y＝CE＝2，故②错误； 由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 列出等式为， 即2xy+4＝49，故③正确； 由2xy+4＝49可得2xy＝45， 又∵x2+y2＝49， 两式相加得：x2+2xy+y2＝49+45， 整理得：（x+y）2＝94， ，故①错误； 故正确的是③④． 故选：C． 【必考点9 勾股定理的证明】 【例1】我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理． 【解答】解：A、大正方形的面积为：c2，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴a2+b2＝c2，故该选项能证明勾股定理，不符合题意； B、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴（a+b）2＝2ab+c2， ∴a2+b2＝c2，故该选项能证明勾股定理，不符合题意； C、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：2ab+a2+b2， ∴（a+b）2＝2ab+a2+b2， ∴故该选项不能证明勾股定理，符合题意； D、故选：C． 【例2】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2． 证明：∵， 又S四边形∴， ∴，∴a2+b2＝c2． 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明： 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2． 【分析】连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，仿照已知材料中的方法，利用五边形面积的不同表示方法解答即可． 【解答】证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a． ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴b2＝c2﹣a2， ∴a2+b2＝c2． 【变式1】课堂上，王老师给出如图所示甲、乙两个图形，能利用面积验证勾股定理a2+b2＝c2的是（　　） A．甲行、乙不行 B．甲不行、乙行 C．甲、乙都行 D．甲、乙都不行 【分析】图甲利用大正方形面积减去四周四个直角三角形面积可以表示出中间小正方形的面积，根据正方形面积公式，用边长可以直接表示出中间小正方形面积，从而验证勾股定理；图乙用直角梯形面积减去两个直角三角形面积可以表示中间直角三角形面积，利用三角形面积公式可以直接表示出面积，从而验证勾股定理． 【解答】解：图甲中大正方形的面积为：（a+b）2＝a2+2ab+b2， 四个直角三角形的面积和为：， 则中间小正方形的面积为：a2+2ab+b2﹣2ab＝a2+b2， ∵中间小正方形边长为c， ∴面积为c2， ∴a2+b2＝c2， ∴图甲能利用面积验证勾股定理； 图乙中直角梯形的面积为：， 两个直角三角形的面积和为：， 中间等腰直角三角形的面积为：， ∵中间等腰直角三角形的两条直角边为c， ∴中间等腰直角三角形的面积为， ∴， 即a2+b2＝c2， ∴图乙能利用面积验证勾股定理； 综上分析可知，甲、乙都行，故C正确． 故选：C． 【变式2】如图①，直角三角形的两条直角边长分别是a，b（a＜b），斜边长为c． （1）探究：用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）． ①小正方形的边长为c，大正方形的边长为 　 　； ②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式 　 　，整理得 　 　，从而验证勾股定理； （2）应用：将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使BC和CD在一条直线上，连接AE．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理． 【分析】（1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可； （2）利用等积法进行证明即可． 【解答】解：（1）①由图和题意可知：大正方形的边长为a+b； 故答案为：a+b； ②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式，整理得a2+b2＝c2； 故答案为：，a2+b2＝c2； （2）∵∠BAC+∠ACB＝90°，∠BAC＝∠ECD， ∴∠ECD+∠ACB＝90°， ∴∠ACE＝90° 用两种不同的方法表示出梯形ABDE的面积，可得：， ∴a2+2ab+b2＝2ab+c2， ∴a2+b2＝c2． 【变式3】【感知】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图①所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为b，较短直角边长为a，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 　 　． 【探究】同学们在探索过程中发现，当把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图②的图形，设直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，利用这个图形也可以验证勾股定理． 【拓展】图①“赵爽弦图”中，若b＝6，a＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，直接写出这个风车的外围（实线）周长． 【分析】感知：观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出小正方形的面积； 探究：根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证； 拓展：根据外延的4部分全等，且AD＝AC＝6，由勾股定理求得，再根据风车的外围周长4×（BD+AD），据此计算即可． 【解答】解：感知：由（a+b）2＝21可知a2+2ab+b2＝21， ∴2ab＝21﹣13＝8， ∴小正方形的面积为13﹣8＝5． 故答案为：5． 探究：，， ∴c2+ab＝a2+b2+ab，即a2+b2＝c2． 拓展：如图③，由题意知，外延的4部分全等，且AD＝AC＝6， ∴CD＝12， ∴， ∴这个风车的外围周长是4×（BD+AD）＝4×（13+6）＝76． 【必考点10 勾股定理的实际应用】 【例1】如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，绳子始终绷紧且绳长保持不变． （1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离；（结果保留根号） （2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？ 【分析】（1）根据勾股定理求AC、BC的长，然后作差求解即可； （2）求出从A处移动到岸边点F的时间，再比较即可． 【解答】解：（1）∵∠AFC＝90°，AF＝24米，CF＝7米， ∴AC25（米）， ∵AB＝18米， ∴BF＝AF﹣AB＝24﹣18＝6（米）， ∴BC（米）， ∴CE＝AC﹣BC＝（25）米， 答：男子需向右移动的距离为米； （2）由题意知，需收绳的绳长为：AC﹣CF＝25﹣7＝18（米）， ∴此人的收绳时间为（秒）， ∵36＞30， ∴该男子不能在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置． 【例2】如图，一架10米长的梯子AB，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙BO＝6米． （1）此时梯子顶端A离地面多少米？ （2）设梯子顶端到水平地面的距离为m米，底端到垂直墙面的距离为n米．若，根据经验，可知当1.7＜a＜2.7时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子顶端A下滑3米到C处，请问这时使用是否安全？ 【分析】（1）在Rt△AOB中，由勾股定理得求出AO即可得出答案； （2）在Rt△COD中，根据CO＝5米，CD＝120米，由勾股定理可求出DO米，则m＝5米，n米，进而得a1.7，由此即可得出答案． 【解答】解：（1）依题意得：∠AOB＝90°，AB＝10米，BO＝6米， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AO8（米）． 答：此时梯子顶端离地面8米． （2）这时使用是否安全，理由如下： 由（1）可知：AO＝8米， ∵梯子顶端A下滑了3米到C处， ∴梯子顶端到水平地面的距离CO＝8﹣3＝5（米）， 在Rt△COD中，CD＝AB＝10米， 由勾股定理得：DO（米）， 此时梯子顶端到水平地面的距离为m＝5米，底端到垂直墙面的距离为n米， ∴a1.7， ∴a不在1.7＜a＜2.7的安全范围内， ∴这时使用不安全． 【变式1】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风的速度为25km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【解答】解：（1）海港C受台风影响． 理由：如图，过点C作CD⊥AB于D， ∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km， ∴AC2+BC2＝AB2． ∴△ABC是直角三角形． ∴AC×BC＝CD×AB ∴300×400＝500×CD ∴CD240（km） ∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域， ∴海港C受到台风影响． （2）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口， ∵ED70（km）， ∴EF＝140km ∵台风的速度为25km/h， ∴140÷25＝5.6（小时） 即台风影响该海港持续的时间为5.6小时． 【变式2】海滨公园是珠海市市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.62米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降11米，则他应该往回收线多少米？ 【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）在Rt△CDB中， 由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝202﹣122＝256， 所以，CD＝16（负值舍去）， 所以，CE＝CD+DE＝16+1.62＝17.62（米）， 答：风筝的高度CE为17.62米； （2）由题意得，CM＝11米， ∴DM＝5米， ∴（米）， ∴BC﹣BM＝20﹣13＝7（米）， ∴他应该往回收线7米． 【变式3】《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽AB＝1丈，芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD＝1尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即OC＝OE，求水池的深度和芦苇的长度（1丈等于10尺）． （1）求水池的深度OD； （2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽AB＝2a，芦苇高出水面的部分CD＝n（n＜a），则水池的深度OD（OD＝b）可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【分析】（1）设芦苇的长度x尺，则图中OC＝OE＝x，则OD＝x﹣1，DE＝5，利用勾股定理得出x的长进而得出答案． （2）利用勾股定理得出AG的长进而得出答案． 【解答】解：（1）设芦苇的长度x尺， 则图中OC＝OE＝x，则OD＝x﹣1，DE＝5， 在Rt△ODE中，∠ODE＝90°， 由勾股定理得 DE2+OD2＝OE2． ∴52+（x﹣1）2＝x2， 解得 x＝13， ∴OD＝13﹣1＝12 答：芦苇的长度为13尺，水池的深度为12尺； （2）图中OD＝b，CD＝n，AB＝2a，则OC＝OE＝b+n，DE＝a， 在Rt△ODE中，∠ODE＝90°， 由勾股定理得 DE2+OD2＝OE2． ∴a2+b2＝（b+n）2， 解得b． 【必考点11 利用勾股定理求最短路径问题】 【例1】如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为9cm，7cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，那么它爬行的最短路程是 　 　cm． 【分析】分为三种情况展开，根据勾股定理求出线段AB的长度，再进行比较即可． 【解答】解：①如图1，展开后连接AB，则AB就是在表面上从A到B的最短距离， 在Rt△ABM中，由勾股定理得：AB20（cm）； ②如图2，展开后连接AB，则AB就是在表面上从A到B的最短距离， 在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB（cm）； ③如图3，展开后连接AB，则AB就是在表面上A到B的最短距离， 在Rt△ANB中，由勾股定理得：AB7（cm）． ∴蚂蚁爬行的最短路程是20cm． 【例2】如图所示的是一个圆柱，底面圆的周长是12cm，高是5cm，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B，则彩带最短需要 　 　cm． 【分析】过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，求出AD和BD的长，根据勾股定理求出斜边AB即可． 【解答】解：如图所示： 沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB， 则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程， AD＝12cm，∠D＝90°，BD＝5cm， 由勾股定理得：． 故答案为：13． 【变式1】如图，圆柱形容器高为12cm，底面周长为10cm．在容器内壁距离容器底部3cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，距离容器上沿3cm与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子需爬行的最短距离为　 　cm（不计壁厚）． 【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 【解答】解：如图：∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一蚊子， 此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿3cm与蚊子相对的点A处， ∴A′D＝5cm，BD＝12cm， ∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离， A′B13（Cm）． 故壁虎捕捉蚊子的最短距离为13Cm． 故答案为：13． 【变式2】在一个长AB为2米，宽AD为1米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD，三棱柱的上底面与下底面是边长为0.4米的正三角形，一只蚂蚁从点A处爬行翻过三棱柱到C处需要走的最短路程是 　 　米． 【分析】根据题意将木块展开，再利用两点之间线段最短求出对角线AC长． 【解答】解：如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长， ∴长方形的长为米2+0.4＝2.4（米）， ∵长方形的宽为1米， ∴一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是对角线AC， ∴（米）， 故答案为：2.6． 【变式3】固定在地面上的一个正方体木块如图①所示，其棱长为4，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点A爬行到点B的最短路程为　 　． 【分析】根据两点之间线段最短，将图②展开，利用勾股定理进行求解即可． 【解答】解：如图，正方体上表面的对角线为CD，将图②展开，连接AB交CD于点E，线段AB的长度即为蚂蚁爬行的最短路程， 由题意可知：△ACD为等边三角形，△CBD为等腰直角三角形， 在△ACB与△ADB中， ， ∴△ACB≌△ADB（SSS）， ∴∠CBE＝∠DBE， ∴AB⊥CD， ∵BC＝BD＝4， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 勾股定理【11个必考点】 【人教版】 【知识点1 勾股定理】 1 【必考点1 勾股定理解直角三角形】 1 【必考点2 利用勾股定理求线段长】 2 【必考点3 利用勾股定理求面积】 3 【必考点4 勾股定理与数轴】 5 【必考点5 勾股定理与网格】 6 【必考点6 勾股定理中的平方关系】 8 【必考点7 新定义三角形】 9 【知识点2 勾股定理的验证】 10 【必考点8 以弦图为背景的计算题】 11 【必考点9 勾股定理的证明】 12 【必考点10 勾股定理的实际应用】 14 【必考点11 利用勾股定理求最短路径问题】 16 【知识点1 勾股定理】 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.对任意的直角三角形，如果它的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么一定有a2+b2=c2，这种关系我们称为勾股定理. 2.数学语言：如右图所示，△ABC是直角三角形，其中较短的直角边a叫作勾，较长的直角边b叫做股，斜边c叫做弦. 【必考点1 勾股定理解直角三角形】 【例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a、b、c． （1）若a：b＝3：4，c＝25，求a，b； （2）若c+a＝64，b＝16，求a、c； （3）若∠A＝30°，b＝12，求c边上的高h． 【例2】在△ABC中，AB＝15，BC＝20，BD为AC边上的高，且BD＝12，则AC＝ 　 　． 【变式1】如图，在△ABC中，过点A作AD⊥AB于点D． （1）若∠B＝30°，AB＝2，求BD的长； （2）在（1）的条件下，∠C＝45°，求△ABC的面积； （3）若AC＝4，AB＝6，BC＝8，求△ABC的面积． 【变式2】已知△ABC，且AB＝20，AC＝13，BC边上的高为12，则△ABC的面积为 　 　． 【变式3】△ABC中，AB＝17，AC＝10，高AD＝8，则△ABC的周长是　 　． 【必考点2 利用勾股定理求线段长】 【例1】已知，如图在三角形ABC中，AC＝4，∠A＝30°，∠ABC＝15°，延长AC到点D，使得DC＝AC，则BD的长为（　　） A．5 B． C． D． 【例2】如图．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．，点P在线段BC上，当AP＝BP时，AP的长度为 　 　cm． 【变式1】如图，在 Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则DC的长是 　　． 【变式2】如图，在△ABC中，AB＝24，AC＝13，D是线段BC上一点，连接AD，AD＝20，CD＝21，则BD的长为 　 　． 【变式3】如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，则AD的长为 　 　． 【变式4】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，AC的垂直平分线交AD于点E，交AC于点F，连接BE． （1）求证：AE＝BE； （2）若AB＝AC＝5，BC＝6，求△ABE的周长． 【必考点3 利用勾股定理求面积】 【例1】如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　） A．16 B．25 C．144 D．169 【例2】如图，在△ABC中，∠B＝90°，分别以AB，BC为边在△ABC外侧作正方形ABDE和正方形BCFG，再以AC为斜边在△ABC外侧作Rt△ACH，若AH＝1，，则图中阴影部分的面积是（　　） A．10 B． C． D． 【变式1】如图，BC长为3cm，AB长为4cm，AF长为12cm．正方形CDEF的面积为 　 　cm2． 【变式2】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作等边三角形，等边三角形的面积分别为S1，S2，S3，S4，其中S1＝2，S2+S3＝14，则S4的大小为 　 　． 【变式3】如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知正方形A、B、C、D的面积分别是2，5，1，2，则正方形E的面积是　 　． 【变式4】勾股定理是数学中一颗璀璨的明珠，在人类的文明史上有杰出的贡献．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，分别以Rt△ABC的各边为一边向Rt△ABC外部作正方形，把两个较小正方形按图2放置，若图形①的面积是4，则图形②的面积是 　 　． 【必考点4 勾股定理与数轴】 【例1】如图，△ABC的两个顶点A，C均在数轴上，且∠ACB＝90°，BCAC，若点A表示的数是﹣1，点C表示的数是1，那么以点A为圆心，AB的长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，数轴上的点A，点C表示的实数分别是﹣2，1，BC⊥AC于点C，且BC＝1，连接AB．若以点A为圆心，AB长为半径画弧交数轴于点A右边的点P，则点P所表示的实数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，把一块含45°角的三角板放入2×4的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示﹣1的点重合，则数轴上点A所表示的数为（　　） A．2 B．1.8 C．﹣1+2 D． 【变式3】如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是4×4的正方形网格上的格点，以点A为圆心，AD长为半径画圆交数轴于M，N两点，则M点所表示的数为 　 　． 【必考点5 勾股定理与网格】 【例1】如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【变式1】如图，在3×3的正方形网格中，A，B，C，D是格点，则下列线段长度最长是（　　） A．AB B．AD C．AC D．AE 【变式2】如图，网格中每个小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB长为半径画弧，交最上方的网格线与点D，则CD的长为（　　） A． B．0.8 C． D． 【变式3】如图，在4×3的正方形网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长都是1，则线段AC与线段BC的大小关系为（　　） A．AC＜BC B．AC＞BC C．AC＝BC D．无法确定 【变式4】通过学习，同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．例如：在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），如图1，构造△ABC，比较与的大小，其理由如下：因为在△ABC中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以AB+BC＞AC（三角形任意两边之和大于第三边）．因为（勾股定理），BC＝1，所以． 请你参考例子中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由， 【必考点6 勾股定理中的平方关系】 【例1】如图，四边形ABCD中，AC⊥BD，AD＝3，BC＝5，则AB2+CD2＝ 　 　． 【例2】如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝14，AD⊥BC于点D，M为AD上任意一点，则MC2﹣MB2＝　 　． 【变式1】如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2． （1）求证：∠A＝90°； （2）若BC2＝56，AD：BD＝3：4，求AC的长． 【变式2】如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2+CF2等于多少？ 【变式3】如图，AD是锐角△ABC的高，求证：； 【变式4】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，且∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F． （1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长； （2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2． 【必考点7 新定义三角形】 【例1】如图1，D是△ABC中边AB上的任一点（与点A、B不重合），连结CD．若，则称CD是AB的“智慧线”．如图2，已知AB＝7，AC＝5，∠B＝45°，若边AB上存在点D，使CD是AB的“智慧线”，则AD的长为 　 　． 【例2】定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．在△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC边上的高AD＝12，△ABC中BC边的“中偏度值”为 　 　． 【变式1】定义：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，a、b、c满足ac+a2＝b2，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： （1）如图1所示，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，AB＝BC，AC＞AB，请求∠A的度数． （2）如图2所示，在△ABC中，∠B＝2∠A，且∠C＞∠A，求证：△ABC为“类勾股三角形”．志明同学想到可以在AB上找一点D使得AD＝CD，再作CE⊥BD，请你帮助志明完成证明过程． 【变式2】若直角三角形存在一边上的中线恰好等于这边的长，则我们称这个直角三角形为“等边中三角形”． 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）若AC2＝3，BC＝2，求证：Rt△ABC是“等边中三角形”； （2）若BC＝2且Rt△ABC是“等边中三角形”，求AC2的值． 【变式3】我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫“可爱三角形”． （1）根据“可爱三角形”的定义，等边三角形一定是“可爱三角形”吗？直接答：“是”与“不是”． （2）若三角形的三边长分别是4，，，则该三角形是“可爱三角形”吗？说明理由． （3）若Rt△ABC是“可爱三角形”∠C＝90°，AC＝5．求AB的长． 【知识点2 勾股定理的验证】 勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想、图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的.利用面积相等证明勾股定理是最常见的一种方法，常见的几种证明方法如下 （1）弦图证明 内弦图 外弦图 ∴ ∴ （2）“总统”法（半弦图） 如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形： ，∴ 【必考点8 以弦图为背景的计算题】 【例1】如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b，若ab＝7，大正方形的面积为30，则小正方形的边长为（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 【变式1】我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c．若b﹣a＝2，c＝10，则a+b的值为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【变式2】如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的，如果小正方形的面积为6，大正方形的面积为14，直角三角形中较短直角边的长为a，较长直角边的长为b，那么ab的值为（　　） A．4 B．6 C． D． 【变式3】如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两条直角边长（x＞y），下列四个说法：①x+y＝9；②y﹣x＝2；③2xy+4＝49；④x2+y2＝49．其中正确的是（　　） A．①② B．②④ C．③④ D．①②③④ 【必考点9 勾股定理的证明】 【例1】我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【例2】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2． 证明：∵， 又S四边形∴， ∴，∴a2+b2＝c2． 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明： 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2． 【变式1】课堂上，王老师给出如图所示甲、乙两个图形，能利用面积验证勾股定理a2+b2＝c2的是（　　） A．甲行、乙不行 B．甲不行、乙行 C．甲、乙都行 D．甲、乙都不行 【变式2】如图①，直角三角形的两条直角边长分别是a，b（a＜b），斜边长为c． （1）探究：用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）． ①小正方形的边长为c，大正方形的边长为 　 　； ②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式 　 　，整理得 　 　，从而验证勾股定理； （2）应用：将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使BC和CD在一条直线上，连接AE．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理． 【变式3】【感知】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图①所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为b，较短直角边长为a，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 　 　． 【探究】同学们在探索过程中发现，当把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图②的图形，设直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，利用这个图形也可以验证勾股定理． 【拓展】图①“赵爽弦图”中，若b＝6，a＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，直接写出这个风车的外围（实线）周长． 【必考点10 勾股定理的实际应用】 【例1】如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，绳子始终绷紧且绳长保持不变． （1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离；（结果保留根号） （2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？ 【例2】如图，一架10米长的梯子AB，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙BO＝6米． （1）此时梯子顶端A离地面多少米？ （2）设梯子顶端到水平地面的距离为m米，底端到垂直墙面的距离为n米．若，根据经验，可知当1.7＜a＜2.7时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子顶端A下滑3米到C处，请问这时使用是否安全？ 【变式1】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风的速度为25km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【变式2】海滨公园是珠海市市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.62米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降11米，则他应该往回收线多少米？ 【变式3】《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽AB＝1丈，芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD＝1尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即OC＝OE，求水池的深度和芦苇的长度（1丈等于10尺）． （1）求水池的深度OD； （2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽AB＝2a，芦苇高出水面的部分CD＝n（n＜a），则水池的深度OD（OD＝b）可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【必考点11 利用勾股定理求最短路径问题】 【例1】如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为9cm，7cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，那么它爬行的最短路程是 　 　cm． 【例2】如图所示的是一个圆柱，底面圆的周长是12cm，高是5cm，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B，则彩带最短需要 　 　cm． 【变式1】如图，圆柱形容器高为12cm，底面周长为10cm．在容器内壁距离容器底部3cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，距离容器上沿3cm与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子需爬行的最短距离为　 　cm（不计壁厚）． 【变式2】在一个长AB为2米，宽AD为1米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD，三棱柱的上底面与下底面是边长为0.4米的正三角形，一只蚂蚁从点A处爬行翻过三棱柱到C处需要走的最短路程是 　 　米． 【变式3】固定在地面上的一个正方体木块如图①所示，其棱长为4，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点A爬行到点B的最短路程为　 　． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$