第6章 空间向量与立体几何 章末题型归纳总结（能力篇）（10大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）

第6章 空间向量与立体几何 章末题型归纳总结（能力篇） 【题型归纳目录】 题型一：空间向量及其线性运算 题型二：空间向量的数量积运算 题型三：空间向量基本定理 题型四：空间向量运算的坐标表示 题型五：用空间向量研究平行、垂直问题 题型六：用空间向量研究异面直线所成角问题 题型七：用空间向量研究线面角问题 题型八：用空间向量研究二面角问题 题型九：用空间向量研究距离问题 题型十：立体几何中的存在性问题 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点1：空间向量及其加减运算 （1）空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或． （2）零向量与单位向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记作．当有向线段的起点与终点重合时，． 模为1的向量称为单位向量． （3）相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量． 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为． （4）空间向量的加法和减法运算 ①，．如图所示． ②空间向量的加法运算满足交换律及结合律 ， 知识点2：空间向量的数乘运算 （1）数乘运算 实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算．当时，与向量方向相同；当时，向量与向量方向相反．的长度是的长度的倍． （2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 ，． （3）共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作． （4）共线向量定理 对空间中任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使． （5）直线的方向向量 如图8-153所示，为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为② ①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，，此式叫做线段的中点公式． （6）共面向量 如图8-154所示，已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量． （7）共面向量定理 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． 推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式． ②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立． 知识点3：空间向量的数量积运算 （1）两向量夹角 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作． （2）数量积定义 已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，． （3）空间向量的数量积满足的运算律： ，（交换律）； （分配律）． 知识点4：空间向量的坐标运算及应用 （1）设，，则； ； ； ； ； ． （2）设，，则． 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标． （3）两个向量的夹角及两点间的距离公式． ①已知，，则； ； ； ； ②已知，，则， 或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式． （4）向量在向量上的投影为． 知识点5：向量法证明平行、垂直 （1）平面的法向量： 如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量． 注意： ①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有． 第一步：写出平面内两个不平行的向； 第二步：那么平面法向量，满足． （2）判定直线、平面间的位置关系 ①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，． 若∥，即，则； 若，即，则． ②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且． 若∥，即，则； 若，即，则． （3）平面与平面的位置关系 平面的法向量为，平面的法向量为． 若∥，即，则；若⊥，即，则⊥． 知识点6：空间角公式 （1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则． （2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则． （3）二面角公式： 设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中． 知识点7：空间中的距离 求解空间中的距离 （1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算． 如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． （2）点到平面的距离 为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线． 解题方法总结 用向量法可以证点共线、线共点、线（或点）共面、两直线（或线与面、面与面）垂直的问题，也可以求空间角和距离．因此，凡涉及上述类型的问题，都可以考虑利用向量法求解，且其解法一般都比较简单． 用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些点的坐标，进而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量（除要求不共面外，还要能够便于表示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基底，如常选择几何体上共点而不共面的三条棱所在的向量为基底），然后将有关向量用基底向量表示，并进行向量运算． 【典型例题】 题型一：空间向量及其线性运算 【例1】已知平行四边形ABCD，点E是CD的中点，点F满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】在四面体中，为中点，为中点，则用，，表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】在四面体中， 若，，，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在四面体中，，点M在上，且，点N为BC的中点，则（   ） A． B． C． D． 题型二：空间向量的数量积运算 【例2】如图所示，在平行六面体中，，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【变式2-1】如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长度为2，且． (1)求的长； (2)求直线与所成角的余弦值． 【变式2-2】如图，已知平行六面体. (1)若，求的长度； (2)若，求与所成角的余弦值. 【变式2-3】如图所示，平行六面体中，，，，. (1)用向量，，表示向量，并求； (2)求. 题型三：空间向量基本定理 【例3】已知向量，若共面，则 ． 【变式3-1】在四面体中，空间的一个点满足，若四点共面，则 . 【变式3-2】如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，若，则 . 【变式3-3】已知三棱锥，如图所示，为重心，点，为，中点，点，分别在，上，，，若四点共面，则 ． 题型四：空间向量运算的坐标表示 【例4】已知空间中三点，，． (1)若向量与相互垂直，求实数的值； (2)求的面积． 【变式4-1】设，向量，且. (1)求； (2)求向量与夹角的余弦值. 【变式4-2】已知空间三点，设. (1)求和的夹角的余弦值; (2)若向量与互相垂直，求的值. 【变式4-3】已知点，设． (1)求在方向上的投影向量（用坐标表示）； (2)求． 题型五：用空间向量研究平行、垂直问题 【例5】已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中.是的中点，是的中点. (1)求与的夹角余弦值 (2)求证平面 【变式5-1】如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，E为中点，点F在上，且 (1)求证：平面 (2)求二面角的余弦值; (3)线段上是否存在点Q，使得平面若存在，求线段的长;若不存在，说明理由. 【变式5-2】如图，平行六面体的底面ABCD是菱形，且． (1)求的长； (2)求证：平面． 【变式5-3】如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，. (1)求证：； (2)若，当平面平面时，求的长. 题型六：用空间向量研究异面直线所成角问题 【例6】在正方体中，为上靠近的三等分点，为上的点，则当异面直线与夹角最大时， . 【变式6-1】在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 ． 【变式6-2】如图，在三棱锥中，平面平面，，点E在棱上，且，侧面内一动点P满足，则点P的轨迹长度为 ；直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 . 【变式6-3】在直三棱柱中，，点是的中点，则与所成角的余弦值为 . 题型七：用空间向量研究线面角问题 【例7】如图，四棱锥中，平面平面，为棱上一点.    (1)证明：； (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【变式7-1】如图，四棱锥中，，且. (1)求证：平面平面； (2)若是等边三角形，底面是边长为3的正方形，是中点，求直线与平面所成角的余弦值. 【变式7-2】如图，把矩形纸片ABCD沿BM折成直二面角，其中，M为AD的中点． (1)若点Q为线段的中点，求证：∥平面． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【变式7-3】如图，在三棱锥中，侧面是边长为2的等边三角形，底面是以为斜边的等腰直角三角形，，． (1)当时，求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 题型八：用空间向量研究二面角问题 【例8】如图，已知四棱锥中，底面为菱形，，，平面，分别是的中点． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正弦值． 【变式8-1】如图，在三棱柱中，，，．    (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值． 【变式8-2】如图，正六边形的边长为2，将梯形沿翻折至，形成多面体，其中为的中点，连接．    (1)若点为的中点，证明：平面； (2)若，求多面体的体积； (3)若二面角的大小为，求平面与平面夹角的余弦值． 【变式8-3】如图，在三棱台中，平面，平面平面，，的面积为，三棱锥的体积为． (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的大小． 题型九：用空间向量研究距离问题 【例9】如图，四棱锥中，平面平面ABCD是以为斜边的等腰直角三角形，底面为直角梯形其中是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【变式9-1】已知三棱柱的棱长均为. (1)证明：平面平面； (2)若，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离. 【变式9-2】如图，正方体的棱长为1，点M，N分别在线段，上，且，. (1)若，证明：； (2)若，点P，Q分别在直线，上，且，，求的取值范围. 【变式9-3】如图，在长方体中，，．为线段上一动点，记．以点为坐标原点，分别以，，为轴正方向，轴正方向，轴正方向建立空间直角坐标系. (1)写出点的坐标（用表示）； (2)当平面时，求的值； (3)过点、、作截面，求点到该截面距离的最大值. 题型十：立体几何中的存在性问题 【例10】如图平面ABC，，F是线段BC上的动点，E是MC的中点，已知 (1)证明：平面平面 (2)若，，N在线段MB上. （i）求点C到平面AEB的距离; （ii）是否存在点N，使得平面NAC与平面AEB夹角的余弦值为若存在，求的值;若不存在，请说明理由. 【变式10-1】图1是等腰梯形，，，是中点，以为折痕，将折起，使点到达点的位置，如图2.    (1)求证：； (2)若 （i）求二面角的平面角的正弦值； （ii）在棱上存在点，使得到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值. 【变式10-2】如图，已知四边形ABCD是矩形，，三角形PCD是正三角形，且平面平面. (1)若O是CD的中点，证明:； (2)求二面角的正弦值； (3)在线段CP上是否存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为若存在，确定点Q的位置，若不存在，请说明理由 【变式10-3】如图，在多面体中，平面，四边形为平行四边形，，，，为的中点． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 空间向量与立体几何 章末题型归纳总结（能力篇） 【题型归纳目录】 题型一：空间向量及其线性运算 题型二：空间向量的数量积运算 题型三：空间向量基本定理 题型四：空间向量运算的坐标表示 题型五：用空间向量研究平行、垂直问题 题型六：用空间向量研究异面直线所成角问题 题型七：用空间向量研究线面角问题 题型八：用空间向量研究二面角问题 题型九：用空间向量研究距离问题 题型十：立体几何中的存在性问题 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点1：空间向量及其加减运算 （1）空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或． （2）零向量与单位向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记作．当有向线段的起点与终点重合时，． 模为1的向量称为单位向量． （3）相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量． 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为． （4）空间向量的加法和减法运算 ①，．如图所示． ②空间向量的加法运算满足交换律及结合律 ， 知识点2：空间向量的数乘运算 （1）数乘运算 实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算．当时，与向量方向相同；当时，向量与向量方向相反．的长度是的长度的倍． （2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 ，． （3）共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作． （4）共线向量定理 对空间中任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使． （5）直线的方向向量 如图8-153所示，为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为② ①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，，此式叫做线段的中点公式． （6）共面向量 如图8-154所示，已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量． （7）共面向量定理 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． 推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式． ②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立． 知识点3：空间向量的数量积运算 （1）两向量夹角 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作． （2）数量积定义 已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，． （3）空间向量的数量积满足的运算律： ，（交换律）； （分配律）． 知识点4：空间向量的坐标运算及应用 （1）设，，则； ； ； ； ； ． （2）设，，则． 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标． （3）两个向量的夹角及两点间的距离公式． ①已知，，则； ； ； ； ②已知，，则， 或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式． （4）向量在向量上的投影为． 知识点5：向量法证明平行、垂直 （1）平面的法向量： 如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量． 注意： ①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有． 第一步：写出平面内两个不平行的向； 第二步：那么平面法向量，满足． （2）判定直线、平面间的位置关系 ①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，． 若∥，即，则； 若，即，则． ②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且． 若∥，即，则； 若，即，则． （3）平面与平面的位置关系 平面的法向量为，平面的法向量为． 若∥，即，则；若⊥，即，则⊥． 知识点6：空间角公式 （1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则． （2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则． （3）二面角公式： 设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中． 知识点7：空间中的距离 求解空间中的距离 （1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算． 如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． （2）点到平面的距离 为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线． 解题方法总结 用向量法可以证点共线、线共点、线（或点）共面、两直线（或线与面、面与面）垂直的问题，也可以求空间角和距离．因此，凡涉及上述类型的问题，都可以考虑利用向量法求解，且其解法一般都比较简单． 用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些点的坐标，进而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量（除要求不共面外，还要能够便于表示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基底，如常选择几何体上共点而不共面的三条棱所在的向量为基底），然后将有关向量用基底向量表示，并进行向量运算． 【典型例题】 题型一：空间向量及其线性运算 【例1】已知平行四边形ABCD，点E是CD的中点，点F满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于，,,由于点E是CD的中点， 所以，，，故， 故选：B. 【变式1-1】在四面体中，为中点，为中点，则用，，表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在四面体中，为中点，为中点， 则. 故选：B. 【变式1-2】在四面体中， 若，，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图： ∵，，∴分别为中点， ∴ ， 故选：B. 【变式1-3】如图，在四面体中，，点M在上，且，点N为BC的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在四面体中， . 故选：D. 题型二：空间向量的数量积运算 【例2】如图所示，在平行六面体中，，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 所以 . 故选：A. 【变式2-1】如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长度为2，且． (1)求的长； (2)求直线与所成角的余弦值． 【解析】（1）设， ， ， ∴； （2） ， ∴， 又， ， ∴， ∴直线与所成角的余弦值为． 【变式2-2】如图，已知平行六面体. (1)若，求的长度； (2)若，求与所成角的余弦值. 【解析】（1）由题知， 又， 所以， 所以. （2）因为， 所以， 因为，所以， 因为 ，所以， 设与所成的角为，则， 即与所成角的余弦值为. 【变式2-3】如图所示，平行六面体中，，，，. (1)用向量，，表示向量，并求； (2)求. 【解析】（1）根据空间向量的线性运算，可得， 可得 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为，，，. 所以 . 题型三：空间向量基本定理 【例3】已知向量，若共面，则 ． 【答案】7 【解析】因为共面， 所以， 即，解得： 故答案为：7 【变式3-1】在四面体中，空间的一个点满足，若四点共面，则 . 【答案】/ 【解析】四面体中，不共面， 空间的一个点满足， 因为四点共面， 所以，则. 故答案为：. 【变式3-2】如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，若，则 . 【答案】 【解析】在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点， 所以 又 所以 即. 故答案为：. 【变式3-3】已知三棱锥，如图所示，为重心，点，为，中点，点，分别在，上，，，若四点共面，则 ． 【答案】4 【解析】如图所示： 设中点为，连接，因为点G为重心， 所以点在线段上面， 因为 ， 所以， 所以， 若M，D，E，F四点共面，则，解得， 故答案为：4. 题型四：空间向量运算的坐标表示 【例4】已知空间中三点，，． (1)若向量与相互垂直，求实数的值； (2)求的面积． 【解析】（1），， ∴， 又∵，∴， 即，解得. （2）法一：由（1）得，， ， 得，∴， ． 法二：，， ∴为直角三角形，，，， ． 【变式4-1】设，向量，且. (1)求； (2)求向量与夹角的余弦值. 【解析】（1）向量，且， 故，解得. 由于， 所以，解得. 故， 所以， 故. （2）由于，故， 故. 【变式4-2】已知空间三点，设. (1)求和的夹角的余弦值; (2)若向量与互相垂直，求的值. 【解析】（1）由点，得， 所以，所以和夹角的余弦值为 （2）由（1）可得， 因为向量与互相垂直， 则， 整理可得，解得或， 所以的值为2或. 【变式4-3】已知点，设． (1)求在方向上的投影向量（用坐标表示）； (2)求． 【解析】（1）由， 得， 故， 则在方向上的投影向量为； （2）， 故，， 故. 题型五：用空间向量研究平行、垂直问题 【例5】已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中.是的中点，是的中点. (1)求与的夹角余弦值 (2)求证平面 【解析】（1）以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 则，故，， ， ， 与的夹角余弦值为. （2）法一：设平面的法向量为， 由（1）得，，， 则有，令，得， 即平面. 法二：取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； 【变式5-1】如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，E为中点，点F在上，且 (1)求证：平面 (2)求二面角的余弦值; (3)线段上是否存在点Q，使得平面若存在，求线段的长;若不存在，说明理由. 【解析】（1）在中，， 所以，即，又因为， 在平面中，，、平面， 所以平面 （2）因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又所以， 由（1）已证，且已知， 故以A为原点，分别为轴建立如图空间直角坐标系， 则，， 所以，，，， 因为E为PD中点， 所以， 由点F在PC上，且知，， 设平面AEF的法向量为，则，即， 令，则，，于是， 又因为由（1）已证平面，所以平面的一个法向量为， ， 由题知，二面角的平面角为锐角，所以其余弦值为 （3）假设存在Q点满足题意，则存在使得， 因为，， 所以， 平面AEF，所以要使平面， 当且仅当，即， 整理得：，解得， 因为，所以线段AC上不存在点Q，使得平面 【变式5-2】如图，平行六面体的底面ABCD是菱形，且． (1)求的长； (2)求证：平面． 【解析】（1）设， 由于四边形ABCD为菱形，则，即， 所以，同理可得， 由题意可得， 所以； （2）因为， 所以， 所以，同理可证 又因为平面． 所以平面 【变式5-3】如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，. (1)求证：； (2)若，当平面平面时，求的长. 【解析】（1）在菱形中，， 又平面，平面， ，又， 平面，平面， 平面，平面， . （2）设，交点为，则， 以为原点，以，，分别为轴，轴，建立如图直角坐标系， 设，则，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，则， 取平面的法向量为， 则，取，则， ， ，. 即. 题型六：用空间向量研究异面直线所成角问题 【例6】在正方体中，为上靠近的三等分点，为上的点，则当异面直线与夹角最大时， . 【答案】 【解析】设正方体的棱长为3，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设， 则，， 所以， 令，则，则， 要使异面直线与夹角最大，则取到最小， 从而取到最大，因为，所以， 函数的对称轴为， 所以当即时，即时，， 则. 故答案为：. 【变式6-1】在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 ． 【答案】 【解析】在四棱锥中，由平面，平面， 得，， 在中，，，则，， 由为的中点，得， ， ，因此， 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 故答案为： 【变式6-2】如图，在三棱锥中，平面平面，，点E在棱上，且，侧面内一动点P满足，则点P的轨迹长度为 ；直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 . 【答案】 / 【解析】（法一）由得，点P轨迹是以A为球心，1为半径的球面，又点P在平面内，点P在以A为圆心，1为半径，为圆心角的圆弧上，因此点P的轨迹长度为. 建系如图，设，则. . 令， . 故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为. （法二）设直线与直线所成角为，取的中点，根据三余弦定理可知，，易知P从点M运动至N处，逐渐减小，则逐渐增大， 由图可知，P从点M运动至N处逐渐增大， 则P在点M处时，取得最小值，此时， 则P在点N处时，取得最大值，此时， 故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为. 【变式6-3】在直三棱柱中，，点是的中点，则与所成角的余弦值为 . 【答案】 【解析】 设，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ∴， ∴， ∴与所成角的余弦值为. 故答案为：. 题型七：用空间向量研究线面角问题 【例7】如图，四棱锥中，平面平面，为棱上一点.    (1)证明：； (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）取中点，连接 平面平面，平面平面平面 平面 平面    ，即 又平面平面 平面 （2）连接，设，连接 平面平面，平面平面 ，易知 取中点，连接，则两两互相垂直. 分别以为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系 则 ， ， 设平面的一个法向量 则即令，则 设直线与平面所成角为，则 即直线与平面所成角的.正弦值为 【变式7-1】如图，四棱锥中，，且. (1)求证：平面平面； (2)若是等边三角形，底面是边长为3的正方形，是中点，求直线与平面所成角的余弦值. 【解析】（1）， 又， 面面， 平面， 平面平面； （2）平面平面交于点平面，平面平面， 平面， 以为原点，的方向分别为轴，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则，取，得法向量为 设直线与平面所成角为，则 所以直线与平面所成角的余弦值为. 【变式7-2】如图，把矩形纸片ABCD沿BM折成直二面角，其中，M为AD的中点． (1)若点Q为线段的中点，求证：∥平面． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：取的中点记为点E，由于矩形ABCD中，， 且点Q为线段的中点， 则，则四边形EMDQ为平行四边形， 则，∵平面平面， ∴平面. （2）方法一：取BC中点N，连AN交BM于点O，连CM，则四边形ABNM为正方形， 且， ∴， 则二面角的平面角为 ，        ∴平面ABCD， 又平面ABCD，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴平面， 则为直线与平面所成线面角 ，            又， ∴． 则直线与平面所成线面角的正弦值为，       方法二：取BC中点N，连AN交BM于点O，则四边形ABNM为正方形， 且，∴， 则二面角的平面角为，              ∴平面ABCD， 以O为坐标原点，以OB，ON，所在直线为x轴，y轴，z轴如图建立空间直角坐标系 则， 则， 设平面的法向量， 则，令，则 ，             且， 则， 则直线与平面所成线面角的正弦值为. 【变式7-3】如图，在三棱锥中，侧面是边长为2的等边三角形，底面是以为斜边的等腰直角三角形，，． (1)当时，求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【解析】（1） 由题意得， 因为，所以，所以． 又，，，平面PAC， 所以平面， 因为平面，所以． 因为，所以为的中点，所以， 又，，平面． 所以平面． 因为平面．所以平面平面， （2）设分别为的中点，连接． 则，． 又平面，， 所以平面， 又平面，所以． 以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，即，． 设平面的法向量为， 则 令，则． 设直线与平面所成角为， 则， 整理得．解得或． 因为．所以． 题型八：用空间向量研究二面角问题 【例8】如图，已知四棱锥中，底面为菱形，，，平面，分别是的中点． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正弦值． 【解析】（1）证明：连接．∵底面为菱形，， ∴是正三角形，∵E是CD中点，∴， ∵平面，平面，∴， ，又都在平面内， ∴平面，又平面， ∴平面平面． （2）由（1）知，两两垂直，以所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 易知：，，，， 则 ，， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，即令，得，解得． 即，令，得，解得 设二面角的平面角为，则， 所以． 所以二面角的正弦值为． 【变式8-1】如图，在三棱柱中，，，．    (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）方法1：取的中点，连接，， 因为，所以，且， 因为，，为的中点，所以， 所以，所以， 因为，平面，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． 方法2：设为在底面的射影，则平面， 因为，所以 射影为底面的外心，又为直角三角形，所以恰为斜边的中点， 因为平面，所以平面平面． （2）由（1）可知，平面，所以与平面所成角即为，所以， 因为，所以，所以，， 因为，为的中点，所以， 方法1：如图所示，以为原点，分别以，，所在方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则有，即令，则，， 所以， 易知平面ABC的一个法向量为， 设平面与平面ABC的夹角为，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 方法2：如图，过作的平行线，因为，所以， 过作，垂足为， 因为平面平面，所以， 又，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以平面与平面的夹角即为， 易知，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 【变式8-2】如图，正六边形的边长为2，将梯形沿翻折至，形成多面体，其中为的中点，连接．    (1)若点为的中点，证明：平面； (2)若，求多面体的体积； (3)若二面角的大小为，求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）因为，平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面且， 所以平面平面， 因为平面，所以平面； （2）取中点，连接，因为是正六边形， 故是等边三角形，所以， 同理， 又因为正六边形的边长为2，所以， 又因为， 所以，可得， 又因为，所以平面， 所以是三棱锥的高， ， 由题可得， 所以； （3）以点为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为二面角的大小为， 所以，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，所以，令，得， 又平面的法向量为， 设直线与平面所成角的大小为， ， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 【变式8-3】如图，在三棱台中，平面，平面平面，，的面积为，三棱锥的体积为． (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的大小． 【解析】（1）取的中点，连接， ∵， ∴，又平面平面， ∵平面平面，平面， ∴平面，又平面， ∴， ∵平面平面， ∴， 又平面，， ∴平面，又平面，则； （2）由题意及（1），面，且面，则， 由面面，则， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，解得， 则， 设是平面的一个法向量，则，， 所以，当时，， 设是平面的一个法向量，则，， 所以，当时，， ∴由图知，平面与平面夹角为锐角， ∴平面与平面的夹角为． 题型九：用空间向量研究距离问题 【例9】如图，四棱锥中，平面平面ABCD是以为斜边的等腰直角三角形，底面为直角梯形其中是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【解析】（1）证明：由于是以AD为斜边的等腰直角三角形， O是AD的中点，故 由于平面平面ABCD，平面平面平面PAD， 故平面ABCD； （2）连结OB，由于O是AD的中点，且故 由于故四边形OBCD为矩形， 所以故有OB、OD、OP两两垂直， 以O为坐标原点，OB、OD、OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直坐标系Oxyz， 则, 设平面PAB的法向量为 则 令则 故平面PAB的一个法向量为 设平面PBC的法向量为 则 令则 故平面PBC的一个法向量为 设平面PAB与平面PBC的夹角为 故平面PAB与平面PBC的夹角余弦值为； （3）由（2）知，平面PAB的一个法向量为 所以点E到平面PAB的距离为 【变式9-1】已知三棱柱的棱长均为. (1)证明：平面平面； (2)若，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离. 【解析】（1） 如图，取AC的中点，连接， 由余弦定理，， 故有，所以， 由题设可知，为边长为2的等边三角形，所以， 因为，所以，所以， 又因为平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2）由（1）可知两两垂直，故可分别以所在直线为轴 建立空间直角坐标系如图所示. 则， . 因为，则， 设平面的法向量为， 则 不妨取， 可得是平面的一个法向量. 设直线与平面所成角为， 则， 化简整理得解得，或（舍去），则， 又因为，可得. 设点到直线的距离为， 则，解得. 故点到直线的距离为. 【变式9-2】如图，正方体的棱长为1，点M，N分别在线段，上，且，. (1)若，证明：； (2)若，点P，Q分别在直线，上，且，，求的取值范围. 【解析】（1）连接，，当，则是的中点，是的中点， 所以， 因为面，面，所以， 所以.   （2）以点为原点，，，方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系，则 ，，，，， ，，所以，， 所以，，所以，         又，设直线的方向向量为， 则由得， 取，又， 所以 由得， 易知在单调递减，单调递增 所以，所以. 【变式9-3】如图，在长方体中，，．为线段上一动点，记．以点为坐标原点，分别以，，为轴正方向，轴正方向，轴正方向建立空间直角坐标系. (1)写出点的坐标（用表示）； (2)当平面时，求的值； (3)过点、、作截面，求点到该截面距离的最大值. 【解析】（1）如图所示： ， 故， 因为， 所以； （2）因为， 则，， 设平面的法向量为， 故且， 取，则， 由于平面时， 故， 即，解得； （3）， 设平面的法向量为， 则有 取， 则， 所以， 所以当时，取最大值. 所以. 题型十：立体几何中的存在性问题 【例10】如图平面ABC，，F是线段BC上的动点，E是MC的中点，已知 (1)证明：平面平面 (2)若，，N在线段MB上. （i）求点C到平面AEB的距离; （ii）是否存在点N，使得平面NAC与平面AEB夹角的余弦值为若存在，求的值;若不存在，请说明理由. 【解析】（1），E是MC的中点，， 平面ABC，平面ABC，， 又，又，平面MAC，平面MAC， 平面MAC， 又平面AEF，， 又，平面MBC，平面MBC， 平面MBC，又平面AEF 平面平面MBC （2）（i） 以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系： ，，，，， ，， 设平面AEB的法向量为 则，即，取，可得， 所以，即点C到平面AEB的距离为； （ii） ， 设，则， ， 设平面NAC的法向量为 则，即， 令。可得， ， 化简得，解得或， 或. 【变式10-1】图1是等腰梯形，，，是中点，以为折痕，将折起，使点到达点的位置，如图2.    (1)求证：； (2)若 （i）求二面角的平面角的正弦值； （ii）在棱上存在点，使得到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）连接交于，在等腰梯形，，，易得， 因为是中点，所以，易知是菱形，即， 因为，平面， 所以平面，平面，所以 （2）由（1）可知，在菱形中，，因为，所以， 建立以为坐标原点，，为轴、轴、轴的坐标系，如图所示， ，，， （i），，，，， 设为平面的法向量，则，令，可得，即 设为平面的法向量，则，令，可得，即， ，二面角的平面角为，即 （ii）设，，，即 由（i）可知为平面的法向量，到平面的距离为， 即为中点，可得， 易知，，所以，， 设平面的法向量， 令，则，，则， 设直线与平面所成角为， 直线与平面所成角的正弦值 【变式10-2】如图，已知四边形ABCD是矩形，，三角形PCD是正三角形，且平面平面. (1)若O是CD的中点，证明:； (2)求二面角的正弦值； (3)在线段CP上是否存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为若存在，确定点Q的位置，若不存在，请说明理由 【解析】（1）连接， 因为三角形PCD是正三角形，且O是CD的中点，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为四边形ABCD是矩形，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为坐标原点，分别为轴，过平行于的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 则，所以. （2）由（1）可得：， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 设二面角为， 则，可得， 所以二面角的正弦值为. （3）由（1）可得， 设，可得， 由（2）可知：平面的法向量， 则由， 整理可得，解得或（舍去）， 即，可知存在点Q，点Q为PC的中点. 【变式10-3】如图，在多面体中，平面，四边形为平行四边形，，，，为的中点． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）证明：因为平面，平面， 所以，， 又，所以，，两两垂直， 以，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，， 所以，所以. （2）设平面的一个法向量， 因为，， 所以，即， 令，则，，所以， 又，设直线BD与平面BEF所成角， 则. （3）假设存在，设，则， 所以，   设平面DHP的一个法向量，因为， 所以，即， 令，则，， 所以，      由（2）问可知：平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 解得或（舍）， 所以存在点，使得满足要求，此时，即. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$