第7章 计数原理单元测试卷（能力篇）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）

第7章 计数原理单元测试卷（能力篇） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．一个口袋里有质地和大小都相等、编号不同的个白球和1个红球，下列哪个式子可以表示从这个口袋中抽取个球的方法数？（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】从个球中摸个球用组合数公式表示为，但选项中并没有，所以要找与等价的方法数， 将摸球分为两类，第一类，摸出的球中不含有红球，则需从剩下的个球中摸个球； 第二类，摸出的球中含有红球，则只需从余下的个球中再摸个球， 故. 故选：C． 2．定义：各位数字之和为5的四位数叫“吉祥数”，例如“1022，3110”，则所有“吉祥数”的个数是（   ） A．35 B．32 C．29 D．20 【答案】A 【解析】各位数字之和为5的四位数叫“吉祥数”，按首位数字分别计算， 当首位数字为5时，则剩余三位数分别是0，0，0，共有1个“吉祥数”； 当首位数字为4时，则剩余三位数分别是1，0，0，共有3个“吉祥数”； 当首位数字为3时，则剩余三位数分别是1，1，0或2，0，0，共有个“吉祥数”； 当首位数字为2时，剩余三位数分别是2，1，0或3，0，0或1，1，1，共有个“吉祥数”； 当首位数字为1时，则剩余三位数分别是3，1，0或4，0，0或1，1，2或2，2，0，共有个“吉祥数”， 则共有个“吉祥数”． 故选：A． 3．四个同学排成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾的排法总数是（    ） A．12种 B．14种 C．16种 D．18种 【答案】B 【解析】若甲在第二位，则乙可以站在第一位和第三位，此时有, 若甲在第三位，则乙可以站在第一位和第二位，此时有, 若甲在第四位，则乙可以随意站，此时有, 故总的方法有， 故选：B 4．已知的展开式中的系数为17．则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】根据题意，的展开式通项为， 所以的展开式中为： ， 则，解得. 故选：A 5．的值是（    ） A． B．1 C．0 D．22024 【答案】B 【解析】 . 故选：B. 6．若，，则（    ） A． B．31 C． D．32 【答案】B 【解析】令，得 ，即 ， 令，得 ， 即 ， 所以 . 故选：B. 7．的展开式中所有二次项（即含，，的项）的系数和为（    ） A． B． C．0 D．40 【答案】A 【解析】 根据二项式定理，则. 当时，的展开式中不含，，的项. 当时，， 这部分含，，的项系数分别为，，. 将含，，的项系数相加，即. 则的展开式中所有二次项的系数和为. 故选：A. 8．将1，2，3，4，5，6，7，8填入如图所示的方格中，每个方格填写1个数字，则仅有两列数字之和为9的填法有（    ） A．576种 B．1152种 C．2304种 D．4608种 【答案】D 【解析】依题意，将1，2，3，4，5，6，7，8按照两个数字之和为9分成“18，27，36，45”四组，从中任取2组有种方法， 再在四列方格中任选2列，填入这两组数字，有种方法，每一列的两个数字的排列有种方法； 余下4个数字填入方格有种，满足同列数字和为9的有种， 所以不同填法共有种. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则（    ） A． B． C． D．展开式中所有项的二项式系数的和为 【答案】ABD 【解析】对于A，令，可得，A正确． 对于B，展开式中的第二项为，所以，B正确． 对于C，令，可得，则，C错误． 对于D，展开式中所有项的二项式系数的和为，D正确． 故选：ABD 10．某学校高二年级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列说法正确的是（   ） A．从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有64种不同的选法 B．从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有15种不同的选法 C．将这8名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320种 D．8名学生排成一排，已知5名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有336种排法. 【答案】BCD 【解析】选项A：从8个人中选2人，1人做正组长，1人做副组长选法共有种，故A错误； 选项B：从8个人中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人选法共有种，故B正确； 选项C：选排3位女生有种情况，再把3位女生看成1个人与5个男生一起排列有种情况， 共有种情况，故C正确； 选项D：8名学生排成一排，已知5名男生已排好， 先排第一个女生可以排5个男生中间的4个空或2头，有6种情况， 再排第二个女生可以排到排好的6个人中间的5个空或2头，有7种情况， 最后排第三个女生可以排到排好的7个人中间的6个空或2头，有8种情况， 共有种情况，故D正确， 故选：BCD 11．在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角（如图①，小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将的展开式按的升幂排列，将各项系数列表如下（如图②）： 上表图②中第行的第个数用表示，即展开式中含项的系数为，则（    ） A． B． C．（，） D． 【答案】BCD 【解析】依据题意结合图②可知图②中每一行的每一个数等于其上一行头顶和左、右肩上共三个数的和（没有的用0代替）， 如：第四行的第三个数10，等于上一行头顶上的数3加上左、右肩上的数1和6，第三行中的第二个数3，等于上一行头顶上的数1加上左、右肩上的数0（左肩上没有数，故用0代替）和2， 所以， 对于A项，由上可得，故A项错误； 对于B项，由图可知，以此类推可得，故B项正确； 对于C项，由上可知，故C项正确； 对于D项，因为， ， 则， 所以根据乘法法则的展开式中含项的系数为 ， 又， 其通项公式为， 因为，所以的展开式中含项的系数为0， 故，故D项正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．用0，1，2，3四个数字组成的没有重复数字的四位数中，偶数的个数是 【答案】 【解析】当个数数字是0时，满足条件的四位数由， 当个数数字是2时，满足条件的四位数由， 故满足条件的偶数个数是10， 故答案为：10 13．如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有 . 【答案】48 【解析】根据题意，对于区域A，有4种涂色方法，对于区域B，有3种涂色方法， 对于区域C，有2种涂色方法，对于区域D，有2种涂色方法， 则由分步乘法计数原理可得种涂色方法. 故答案为：48 14．现将8个体积相同但质量均不同的小球放入恰好能容纳8个小球且底面圆直径与小球直径相同的圆柱形卡槽内，这8个小球分别为2个红球、4个白球、2个黑球，若4个白球互不相邻，且其中一个白球不能放入卡槽的两端，则共有 种不同的放法；若2个红球之间恰好有白球和黑球各1个，则共有 种不同的放法． 【答案】 1728 3840 【解析】由题意可将把8个小球放入卡槽内的过程转化为这8个小球位置上的排列组合问题， 若4个白球互不相邻，且其中一个白球不能放入卡槽的两端， 先排红球和黑球共有种方法，再排其中1个白球有种方法， 最后排剩余的3个白球有种方法，所以共有种不同的放法． 若2个红球之间恰好有白球和黑球各1个，先任选1个白球，1个黑球放入2个红球中间，有种方法， 又2个红球的放法有种， 再将1个白球，1个黑球和2个红球进行捆绑与剩余的4个小球进行全排列有种， 所以共有种不同的放法． 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） （1）解方程：     （2）计算． 【解析】（1）因为，所以. 又因为，所以，解得． （2）法一： . 法二：原式. 16．（15分） 在的展开式中，求： (1)含的项； (2)各项系数和（用数字作答）； (3)系数最大的项是第几项？ 【解析】（1）展开式中的第项， 当时，，即含的项为. （2）设， 令，可得各项系数和为. （3）设第项的系数最大，则有， 由①可得， 化简得，解得. 同理由②可得. 或时系数最大， 故系数最大项为第六项和第七项. 17．（15分） 某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法? (2)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法? (3)唱歌节目、舞蹈节目相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法? (4)由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法? 【解析】（1）先排唱歌节目，有2种排法， 再将剩下的5个节目全排列，有种方法， 故共有种排法； （2）将3个舞蹈节目看成整体，优先排布，有种排法. 再将剩下4个节目全排列，有种排法. 最后，将舞蹈节目整体放入剩下4个节目排布时产生的不含两端的3个空中， 有3种排法，故共有种排法； （3）将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，有种排法. 再将小品分放入排布舞蹈，歌曲时产生的三个空中，有种排法. 则共有种排法. （4）将新增两个节目放入7个节目排布产生的8个空中. 若两个节目放入同一个空，有种排法， 若两个节目不放入同一个空，有种排法， 故共有种排法. 18．（17分） 近年来，社交推理游戏越来越受到大众的喜爱，它们不仅提供了娱乐和休闲的功能，还可以锻炼玩家的逻辑推理、沟通技巧和团队合作精神，增强社交能力和人际交往能力.某校“社交推理游戏社团”在一次活动中组织了“搜索魔法师”游戏，由1名“侦探”、6名“麻瓜”、4名“魔法师”参与游戏.游戏开始前，“侦探”是公认的，每个“麻瓜”和“魔法师”均清楚自己的角色且不知道其他人的身份.游戏过程中，由“侦探”对“麻瓜”和“魔法师”逐个当众询问并正确应答，直至找出所有的“魔法师”为止. (1)若恰在第5次搜索才测试到第1个“魔法师”，第10次才找到最后一个“魔法师”，则这样的不同搜索方法数是多少？ (2)若恰在第5次搜索后就找出了所有“魔法师”，则这样的不同搜索方法数是多少？ (3)游戏开始，有甲、乙、丙三位同学都想争取“侦探”的角色，主持人决定采用“击鼓传花”的方式来最终确认人员.三人围成一圈，第1次由甲将花传出，每次传花时，传花者都等可能地将花传给另外两个人中任何一人.试问，5次传花后花在甲手上的可能线路有多少种？ 【解析】（1）先排前4次搜索，只能取“麻瓜”，有种不同的搜索方法， 再从4个“魔法师”中选2个排在第5次和第10次的位置上搜索，有种搜索方法， 再排余下4个的搜索位置，有种搜索方法. 所以共有种不同的搜索方法. （2）第5次搜索恰为最后一个“魔法师”， 则另3个在前4次搜索中出现，从而前4次有一个“麻瓜”出现， 所以共有种不同的搜索方法. （3）由于甲是第1次传花的人，因此第2次传花时，甲不能再次拿到花. 这意味着在第2次传花时，花必须传给乙或丙. 同样，第3次传花时，花不能回到前一次传花的人手中. 因此，传花的路线不能有连续两次传给同一个人的情况. 设为经过次传花后花在甲手上的线路数，其中. 则为经过次传花后花在甲手上的线路数，即经过次传花后花不在甲手上的线路数， 所以为经过次传花的总线路，每一次传花均有两种方向（顺时针或逆时针）， 则，. 所以，，，， 综上，5次传花后花在甲手上的可能线路有10种. 19．（17分） 组合数有许多丰富有趣的性质，例如，二项式系数的和有下述性质：.小明同学想进一步探究组合数平方和的性质，请帮他完成下面的探究. (1)计算：，，并与，比较，你有什么发现?写出一般性结论并证明； (2)证明：； (3)利用上述（1）（2）两小问的结论，证明：. 【解析】（1），， 规律：，证明如下： 的展开式中，的系数为， 同时，的展开式中的系数为， 所以. （2）证明：的展开式中的系数为， 又，的展开式中的系数为 ， 所以. （3）证明：由（1）可知， 由（2）可知， 两式相减可得， 即. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7章 计数原理单元测试卷（能力篇） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．一个口袋里有质地和大小都相等、编号不同的个白球和1个红球，下列哪个式子可以表示从这个口袋中抽取个球的方法数？（   ） A． B． C． D． 2．定义：各位数字之和为5的四位数叫“吉祥数”，例如“1022，3110”，则所有“吉祥数”的个数是（   ） A．35 B．32 C．29 D．20 3．四个同学排成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾的排法总数是（    ） A．12种 B．14种 C．16种 D．18种 4．已知的展开式中的系数为17．则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 5．的值是（    ） A． B．1 C．0 D．22024 6．若，，则（    ） A． B．31 C． D．32 7．的展开式中所有二次项（即含，，的项）的系数和为（    ） A． B． C．0 D．40 8．将1，2，3，4，5，6，7，8填入如图所示的方格中，每个方格填写1个数字，则仅有两列数字之和为9的填法有（    ） A．576种 B．1152种 C．2304种 D．4608种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则（    ） A． B． C． D．展开式中所有项的二项式系数的和为 10．某学校高二年级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列说法正确的是（   ） A．从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有64种不同的选法 B．从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有15种不同的选法 C．将这8名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320种 D．8名学生排成一排，已知5名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有336种排法. 11．在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角（如图①，小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将的展开式按的升幂排列，将各项系数列表如下（如图②）： 上表图②中第行的第个数用表示，即展开式中含项的系数为，则（    ） A． B． C．（，） D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．用0，1，2，3四个数字组成的没有重复数字的四位数中，偶数的个数是 13．如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有 . 14．现将8个体积相同但质量均不同的小球放入恰好能容纳8个小球且底面圆直径与小球直径相同的圆柱形卡槽内，这8个小球分别为2个红球、4个白球、2个黑球，若4个白球互不相邻，且其中一个白球不能放入卡槽的两端，则共有 种不同的放法；若2个红球之间恰好有白球和黑球各1个，则共有 种不同的放法． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） （1）解方程：     （2）计算． 16．（15分） 在的展开式中，求： (1)含的项； (2)各项系数和（用数字作答）； (3)系数最大的项是第几项？ 17．（15分） 某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法? (2)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法? (3)唱歌节目、舞蹈节目相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法? (4)由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法? 18．（17分） 近年来，社交推理游戏越来越受到大众的喜爱，它们不仅提供了娱乐和休闲的功能，还可以锻炼玩家的逻辑推理、沟通技巧和团队合作精神，增强社交能力和人际交往能力.某校“社交推理游戏社团”在一次活动中组织了“搜索魔法师”游戏，由1名“侦探”、6名“麻瓜”、4名“魔法师”参与游戏.游戏开始前，“侦探”是公认的，每个“麻瓜”和“魔法师”均清楚自己的角色且不知道其他人的身份.游戏过程中，由“侦探”对“麻瓜”和“魔法师”逐个当众询问并正确应答，直至找出所有的“魔法师”为止. (1)若恰在第5次搜索才测试到第1个“魔法师”，第10次才找到最后一个“魔法师”，则这样的不同搜索方法数是多少？ (2)若恰在第5次搜索后就找出了所有“魔法师”，则这样的不同搜索方法数是多少？ (3)游戏开始，有甲、乙、丙三位同学都想争取“侦探”的角色，主持人决定采用“击鼓传花”的方式来最终确认人员.三人围成一圈，第1次由甲将花传出，每次传花时，传花者都等可能地将花传给另外两个人中任何一人.试问，5次传花后花在甲手上的可能线路有多少种？ 19．（17分） 组合数有许多丰富有趣的性质，例如，二项式系数的和有下述性质：.小明同学想进一步探究组合数平方和的性质，请帮他完成下面的探究. (1)计算：，，并与，比较，你有什么发现?写出一般性结论并证明； (2)证明：； (3)利用上述（1）（2）两小问的结论，证明：. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$