专题04 四边形中的常见模型-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（湘教版）

专题04 四边形中的常见模型 模型1：“垂美四边形”模型 模型2：正方形中的“对称”模型 模型3：正方形中的“十字架”模型 模型4：正方形中的“半角”模型 模型5：正方形中的“手拉手”模型 模型1：“垂美四边形”模型 1．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，则 【答案】34 【分析】根据“垂美”四边形的定义得到，根据勾股定理计算，得到答案．本题考查的是勾股定理、“垂美”四边形的定义，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 【详解】解：四边形为“垂美”四边形， ， ， 在中，， 在中，， ， 在中，， 在中，， ， 故答案为：34． 一．解答题（共5小题） 1.定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．现有如图所示的“垂美”四边形，对角线相交于点O，若，求． 【答案】61． 【分析】本题考查了新定义以及勾股定理的应用，根据“垂美”四边形的定义得，代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形， ∴， 则 ∵ ∴． 2．如图甲，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）【概念理解】我们已经学习了①平行四边形、②菱形、③矩形、④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是______（填序号）． （2）【性质探究】小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图甲，在四边形中，若，则．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由． （3）【问题解决】如图乙，在中，，，D，E分别是，的中点，连接，，有，求． 【答案】（1）②④；（2）猜想正确，理由见解析；（3） 【分析】本题考查四边形中新定义的问题，熟练掌握勾股定理与几何问题的结全是解题的关键， （1）利用垂美四边形的定义结合菱形和正方形的性质即可得到答案； （2）利用垂美四边形的定义可得到，再根据勾股定理即可得到答案； （3）结合垂美四边形的结论，代入即可得到答案． 【详解】解：（1）∵菱形、正方形的对角线相互垂直， ∴菱形和正方形符合垂美四边形的定义， 故答案为：②④； （2）猜想正确，理由如下： ∵四边形中，， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴； （3）∵，，D、E分别是、的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．我们把对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”，如图，已知四边形，，像这样的四边形称为“垂美四边形”． 探索证明（1）如图，设，猜想之间的关系，用等式表示出来，并说明理由．（提示：运用勾股定理说理） 变式思考（2）如图，是的中线，，垂足为O，设，请用一个等式把三者之间的数量关系表示出来： 拓展应用（3）如图，在矩形中，E为的中点，若四边形为“垂美四边形”，且求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握定理形式是解题关键； （1）在、、、中分别利用勾股定理列出方程即可得，即可求解； （2）由（1）可得：，结合即可求解； （3）由题意可得，结合即可求解； 【详解】解：（1）在中：； 在中：； 在中：； 在中：； ∴， 即：， （2）由题意得：， ∵， ∴四边形为“垂美四边形”， 由（1）可得：， 即：， 整理得：， （3）由题意得：， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵四边形为“垂美四边形”， ∴， ∴， 解得：或（舍去） 4．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)在我们学过：①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形，能称为垂美四边形的是 ；（只填序号） (2)如图，垂美四边形的对角线交于点，求的长度． 【答案】(1)③④ (2) 【分析】本题主要考查了特殊平行四边形的性质，平行四边形的性质，勾股定理 （1）根据菱形和正方形的性质即可得到答案； （2）先根据勾股定理得到，，，，即可推算出，代入数据，即可求解． 【详解】（1）解：∵菱形和正方形的对角线相互垂直，矩形和平行四边形的对角线不一定垂直， ∴只有正方形和菱形能称为垂美四边形， 故答案为：③④； （2）∵， ∴，，，， ∴，， ∴； ∵ ∴ ∴． 5．（1）【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在①平行四边形②菱形③矩形④正方形中，能称为垂美四边形是__________；（只填序号）    （2）【性质探究】如图1，垂美四边形的两对角线交于点，，，，之间的数量关系为，请你给出证明： （3）【性质应用】如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，请直接写出的长． 【答案】（1）②④（2）见解析（3） 【分析】（1）由菱形和正方形的对角线相互垂直可得答案； （2）运用两次勾股定理，再运用等量代换可解决问题； （3）先根据手拉手模型很容易得到，连接,,可得到四边形是垂美四边形，由（2）的结论算出即可. 【详解】（1）∵菱形和正方形的对角线互相垂直，而矩形和平行四边形的对角线不一定垂直， ∴只有正方形和菱形是垂美四边形， 故选②④. （2）∵， ∴,,,, ∴， , ∴. （3）如图所示，连接,.    在 中，，， 由正方形可知，， ∴， 同理可得：， 由正方形和正方形可知， , ∴, 即, ∴, ∴, 又 ∴, ∴ ∴四边形是垂美四边形. 由（2）的结论可得： 解得： 【点睛】本题主要考查了新定义的概念，勾股定理的应用，一元二次方程解法等知识点，解决此题的关键是要合理的利用由垂美四边形得到的结论. 模型2：正方形中的“对称”模型 如图，边长为2的正方形中，P是对角线上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作，交射线于点E．      (1)求证：； (2)在点P的运动过程中，能否为等腰三角形？如果能，求出此时的长；如果不能，试说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)能， 【分析】（1）过点作于，过点作于，根据正方形的性质证明，即可证明； （2）根据题意分①若点在线段上②若点在线段的延长线上，分别求解即可． 【详解】（1）证明：过点作于，过点作于，如图,    ∵四边形是正方形，，， ∴． ∴，． ∵即， ∴． 在和中， ． ∴， ∴； （2）解：能，理由如下： ①若点在线段上，如图，    ∵，∴． ∵，∴． 若为等腰三角形，则． ∴， ∴，与矛盾， ∴当点在线段上时，不可能是等腰三角形． ②若点在线段的延长线上，如图．      若是等腰三角形， 此时， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴的长为2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角分线的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，注意分类在解题中的应用． 1． 解答题（共4小题） 1．如图，在正方形中，E为上的一点，F为上的一点，且，试探究与之间的数量关系，并证明． 【答案】，证明见解析 【分析】连接，过点分别作，，垂足分别是H、M，先证明四边形是矩形，然后利用勾股定理得出，再证明，进而得出，再根据三线合一得出，于是结论得证． 【详解】证明：如图，连接，过点分别作，，垂足分别是H、M， 则，， 在正方形中，，，， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三线合一，等角对等边等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 2．如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，求的长． 【答案】 【分析】先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，继而得到，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用勾股定理、含角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵边长为6的正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得∶， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 3．如图，是正方形外一点，连接，，使是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，，，连接、、． (1)求证：； (2)①当点在何处时，的值最小； ②当点在何处时，的值最小，并说明理由； (3)当的最小值为时，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)①点在上时，的值最小；②点在上时，的值最小，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据是等边三角形，得，根据， ，得； （2）①连接交于点O，当M点落在O点时，A、M、C三点共线，的值最小；②连接，根据，得，根据，，得是等边三角形．得．当M点位于上时，， 的值最小． （3）过E点作交的延长线于F，则，设正方形的边长为x，则．，根据，解得． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵，正方形中，， ∴， ∵， ∴； （2）解：①连接交于点O，当M点落在O点时， A、M、C三点共线，的值最小； ②如图，连接， 当M点位于上时，的值最小． 理由如下： 连接，由（1）知，， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形． ∴． ∴，最短， ∴当M点位于上时，的值最小， 即等于的长． （3）解：过E点作交的延长线于F， 则． 设正方形的边长为x， 则，， 在中，∵，且， ∴， 解得，． 【点睛】本题考查正方形和等边三角形．熟练掌握正方形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含的直角三角形性质，是解题的关键． 4．小星学习了正方形的相关知识后，对正方形进行了探究． 如图，为正方形的一条对角线，点E为上任意一点（点E不与点B，D重合），点G为中点，过点E作交边于点F，延长交于点H． (1)问题探究： 如图①，连接，则与的位置关系为______，与的数量关系为______； (2)问题解决： 如图②，连接，求证：； (3)拓展延伸： 如图③，连接并延长交于点M、连接，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）证明为等腰直角三角形，根据三线合一，即可得出结论； （2）证明，即可得出结论； （3）连接，证明，得到，证明垂直平分，得到，根据，等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵点G为中点， ∴，； 故答案为：，； （2）∵正方形，矩形， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3），理由如下： 连接， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵，由（2）知：， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，中垂线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 模型3：正方形中的“十字架”模型 边长为4的正方形中，点是对角线上一点，过点作交射线于点，连结． (1)若点在边上（如图1）； ①求证：； 在解决上面问题时小明和小华有不同的思路： 小明：根据正方形的性质容易证明，若再证明，就可用“等角对等边”证明． 小华：根据正方形的性质容易证明，若通过作辅助线构造与线段、相关的全等三角形证得，便可得到． 请写出完整的证明过程（可以参照上面两种思路，也可以选择其他思路）． ②若，求的长． (2)若点在延长线上，，请规范画出符合条件的图形（不限作图工具）并直接写出的长． 【答案】(1)①见解析；② (2)，图见解析 【分析】（1）①小明：根据正方形的轴对称性可得，从而可得，再根据，可得，继而可得，根据等角对等边即可得； 小华：如图所示，过E作交于点G，交于点H，证明出四边形是矩形，得到，证明出，得到，即可得到； ②过点作于点，交于点，根据等腰三角形的性质结合四边形是矩形，得，为等腰直角三角形，继而可求得的长； （2）如图所示：过点E作，垂直为N，交于M，由正方形的对称性可得，从而得，继而由已知可得，可得，根据，可得，继而可得，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）①小明：∵正方形关于对称， ∴， ∴． ∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； 小华：如图所示，过E作交于点G，交于点H ∵正方形关于对称， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； ②过点作于点，交于点， ∵， ∴是的中点 ∵，， ∴ ∵四边形为矩形， ∴ 又为等腰直角三角形， ∴． （2）如图所示：过点E作，垂直为N，交于M，    ∵正方形关于对称， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线，熟练掌握相关定理与性质是解题的关键． 一．解答题（共4小题） 1．如图，在正方形中，，分别为边，上的点，且，连接，交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形的外角性质等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键．先根据正方形的性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据等量代换可得，最后根据三角形的外角性质即可得证． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图1，正方形中，点是边上的一点（不与点、重合），连接，点、关于对称，连接并延长，交于点，交于点． (1)求证：； (2)如图2，当点为中点时，连接，求的值； (3)如图3，连接并延长，交的延长线于点，连接，探索线段、、之间的等量关系，请写出关系式，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)．理由见解析 【分析】（1）证明，即可得到； （2）证明是的中位线，得到，再证明，推出是等腰直角三角形，据此求解即可； （3）连接，作于点，先求得，再证明，和以及是等腰直角三角形，根据，进一步计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵点、关于对称， ∴垂直平分，即， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵点、关于对称， ∴，， ∵点为中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ， ∴； （3）解：．理由如下， 连接，作于点， ∵点、关于对称， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴和是等腰直角三角形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键． 3.数学活动：探究正方形中的十字架 （1）猜想：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、AD边上，且BF⊥AE，猜想线段AE与BF之间的数量关系： ． （2）探究：如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB，BC，CD，AD边上，且EG⊥HF，此时线段HF与EG相等吗?如果相等请给出证明，如果不相等请说明理由． （3）应用：如图3，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使点A落在CD边的中点E处，点B落在点F处，折痕为MN，则线段MN的长为 ． 【答案】（1）AE=BF；（2）HF=EG，证明见解析；（3） 【分析】（1）利用AAS证明△ABF≌△DAE，即可得到结论； （2）过点E作EM⊥CD，垂足为M，过点H作HN⊥BC，垂足为N，利用ASA证明△HFN≌△EGM，即可得到结论； （3）连接NE，作NP⊥AD交AD于点P，根据折叠的性质，利用勾股定理就可以列出方程，从而解出DM的长，在Rt△EFN和Rt△NEC中，得到EF2+FN2=CE2+CN2，求出FN，再利用勾股定理即可求出MN． 【详解】解：（1）AE=BF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠BAF=∠ADE=90°， ∴∠DAE+∠AED=90°， ∵BF⊥AE， ∴∠AFB+∠DAE=90°， ∴∠AED=∠AFB， 在△ABF和△DAE中， ， ∴△ABF≌△DAE（AAS）， ∴BF=AE； （2）EG=HF，理由是： 如图，过点E作EM⊥CD，垂足为M，过点H作HN⊥BC，垂足为N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴EM=HN， ∵∠EPQ=90°， ∴∠PEQ+∠PQE=90°，又EM∥BC， ∴∠PQE=∠HFN， ∴∠PEQ+∠HFN=90°，又∠HFN+∠FHN=90°， ∴∠PEQ=∠FHN， 在△HFN和△EGM中， ， ∴△HFN≌△EGM（ASA）， ∴HF=EG； （3）如图，连接NE，作NP⊥AD交AD于点P， 由四边形ABCD是正方形及折叠知，FN=BN，EM=AM，EF=AB，∠EFN=∠B=90°， 在Rt△DEM中，DM2+DE2=EM2， ∵AB=BC=CD=DA=4，E为BC的中点， ∴DE=2， ∴DM2+22=（4-DM）2， 解得DM=， 在Rt△EFN中，EF2+FN2=EN2， 在Rt△NEC中，CE2+CN2=EN2， ∴EF2+FN2=CE2+CN2， ∴42+FN2=22+（4-FN）2， 解得，FN=， ∴BN=AP=， ∴MP=AD-DM-AP=4--=2， 在Rt△MPN中，MN==． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，翻折变换的问题，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键． 4．阅读与思考 下面是小宇同学写的一篇数学小论文，请认真阅读并完成相应的任务： 由一道习题引发的思考−−“十字架模型”的拓展研究 在我们教材上，有这样一道习题：如图1，四边形是一个正方形花园，E，F是它的两个门，要修建两条路和，且使得，那么这两条路等长吗？为什么？ 对于上面问题，我是这样思考的： ∵四边形是正方形，∴，．   又∵，∴ ∴，（依据*） ∴，∴． 有趣的是对于两个端点分别在正方形一组对边上的线段，若这样的两条线段互相垂直，是否这两条线段仍然相等呢？对此我们可以做进一步探究： 如图2，在正方形中，若点M、N、P、Q分别是、、、上的任意四点，且，垂足为O，则仍然与相等．理由如下： 过点M作，垂足为E，过点P作，垂足为F．则容易证明四边形和均为矩形， ∴，．∵，∴ 在四边形QOND中，∵， … 任务：任务：根据上面小论文的分析过程，解答下列问题： (1)画横线部分的“依据*”是__________________________． (2)在小论文的分析过程，主要运用的数学思想有：_______．（从下面选项中填出两项）． A．转化思想 B．方程思想 C．由特殊到一般的思想 D．函数思想 (3)请根据小论文提供的思路，补全图2剩余的证明过程． 【答案】(1)同角的余角相等 (2)A、C (3)见解析 【分析】（1）根据证明过程分析即可； （2）在小论文的分析过程，体现了转化思想和由特殊到一般的思想； （3）通过等量代换和全等三角形的判定得到，即可得到． 【详解】（1）∵ ∴ ∴， ∴ 根据同角的余角相等即可得到 故答案为：同角的余角相等． （2）在小论文的分析过程，体现了转化思想和由特殊到一般的思想 故答案为：A、C． （3）∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ 【点睛】本题考查了同角的余角相等，基本的数学思想，全等三角形的判定和性质，正确理解题意是解题的关键． 模型4：正方形中的“半角”模型 通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 【原题】如图1，点E，F分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系． 【模型】我们把这种模型称为“半角模型”，在解决半角模型问题时，“旋转”、“截长补短”均是常用的方法． (1)思路梳理： A.旋转法：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，则，，可以得到，即点共线． 易证 ，故之间的数量关系为 ． B.截长补短法：延长至点G，使得，由，，即，可以得到． (2)类比引申 如图2，点E，F分别在正方形的边的延长线上，．连接，试猜想之间的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)； (2)． 【分析】把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，根据四边形为正方形，，，可得点、共线，由旋转，，可证。得出即可； 把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，可证点、、在一条直线上。由旋转，，，可证，得出即可． 【详解】（1）解：四边形为正方形， ,, 把绕点A逆时针旋转至，可使与重合， , 点、、共线， , ,, ,即， 在和中， ， ， , ,即, 故答案为：； （2），理由如下， 如图所示， , 把绕点逆时针旋转至,可使与重合， , 点、、在一条直线上， , ,,, ， , , ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角的和差计算，线段和差计算等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 1． 解答题（共3小题） 1．在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图1，在中，，点D、E在边上，且，求DE的长． 解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连结． 由旋转的特征得． ∵， ∴． ∵， ∴，即． ∴． 在和中， ， ∴①_____． ∴． 又∵， ∴在中，②_____． ∵， ∴③_____． 【问题解决】 （1）上述问题情境中，“①”处应填：_________；“②”处应填：_________；“③”处应填：_________． 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】 （2）如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连接，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系：_________（直接写出结论，不必证明）． 【答案】（1），，5；（2），证明见解析；（3） 【分析】本题主要考查了旋转的性质、正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）由旋转的性质可得，进而证明可得，再说明、，再运用勾股定理即可解答； （2）由旋转的性质以及题意可得，再证明可得，再结合正方形的性质可证得，易证可得，最后在中运用勾股定理即可解答； （3）如图4所示，延长交延长线于M点，交延长线于N点，将绕着点A顺时针旋转得到，连接．过点H作直线与O，则可得，再说明是等腰直角三角形，即；由（2）知，则；再根据勾股定理可得，最后运用等量代换即可证明结论． 【详解】解：（1）如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连结． 由旋转的特征得． ∵， ∴． ∵， ∴，即． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 又∵， ∴在中，． ∵， ∴． 故答案为：，，5． （2），证明如下： 如图3，将绕点A逆时针旋转，得到，过点D作交边于点H，连接． 由旋转得：． 由题意得：， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 又∵为正方形的对角线， ∴， ∵，   ∴， 在和中， ，   ∴， ∴， 在和中， ，   ∴， ∴． 在中，，   ∴； （3），证明如下： 如图4所示，延长交延长线于M点，交延长线于N点，将绕着点A顺时针旋转得到，连接．过点H作直线与O， ∴，    ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，    ∴， 由（2）知，则， 则由勾股定理有：，即 又∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 2．问题：如图，点、分别在正方形的边，上，，试判断、、之间的数量关系． (1)【发现】、、之间的数量关系为_______． (2)【类比引申】 如图，四边形中，，，，点、分别在边、上，则当与满足_______关系时，仍有中的结论，请证明． (3)【探究应用】 如图，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形，已知米，，，，道路 、上分别有景点型、，且与垂直，米，现要在 、之间修一条笔直的道路，求这条道路的长．（结果取整数，参考数据：，） 【答案】(1)； (2)； (3)米． 【分析】【发现】根据正方形的性质可得：，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可证，根据全等三角形对应边相等可证； 【类比引申】延长到，使，连接，可证，根据全等三角形的性质可得，利用可证，根据全等三角形对应角相等可得； 过点作垂足为点，连接，可知是等边三角形，根据已知角的度数可知，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半可以得到的长度，利用勾股定理可求的长度，从而可证是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得，由【类比引申】可知． 【详解】（1）【发现】解：如下图所示， 延长到点，使， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2）【类比引申】解：当时，中结论仍然成立， 理由如下： 如下图所示，延长到，使，连接， ，， ， 在和中， ， ，， 又， 在和中， ， ， 又， ， ； （3）【探究应用】解：如下图所示，过点作垂足为点，连接， 与垂直， ， ， ， ， 是等边三角形， 米， 在中，， ， 米， 米， 米， 米， ， ， ， ， ， 由【类比引申】可知(米)． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质．解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质找到边和角之间的关系． 3．如图（1），点E，F分别在正方形的边，上，，连接．试猜想、、之间的数量关系．    【思路梳理】数学课上小明和小红同学都对这个问题进行了探究，并向同学们阐述了自己的证明思路 小明同学：如图（2）把绕点A逆时针旋转至．可使与重合，由，得．即点共线，从而证明出，故得出了、、之间的数量关系； 小红同学：如图（2）在延长，并在的延长线截取，从而证明出，故得出了、、之间的数量关系； （1）请你选择一名同学的解题思路，得出、、之间的数量关系； 【类比引申】如图（3），点分别在正方形的边，的延长线上，，连接． （2）试猜想、、之间的数量关系，并给出证明． 【联想拓展】如图（4），在中，，，点均在边上，且． （3）若，，求出的长． 【答案】（1）小明：，见解析；（2），见解析；（3） 【分析】（1）先根据旋转得：，计算，即点共线，再根据证明，得，可得结论； （2）如图2，同理作辅助线：把绕点A逆时针旋转至，证明，得，所以； （3）如图3，同理作辅助线：把绕点A逆时针旋转至，证明，得，先由勾股定理求的长，从而得结论． 【详解】解：（1）小明：，理由如下：连接，如图（2）      由旋转得：，，，， 四边形是正方形， ，， ， 、、三点在一条直线上， ， ， ， ， ， ， ， ， 另一个思路： 小红：，理由如下： 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （2），理由如下： 把绕点逆时针旋转至，使与重合，    由旋转得：，，， 四边形是正方形， ，， ， 、、三点在一条直线上， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （3）把绕点逆时针旋转至，使与重合，连接，， 由旋转得：，，， ，，   ， ， ， ，， 在中，根据勾股定理得： ， ， 即， ， ，， ， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， ， ， 设， 在中，根据勾股定理得， ， 即， 解得：，（舍）， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质，通过类比联想，引申拓展，可达到解一题知一类的目的，本题通过旋转一三角形的辅助线作法，构建另一三角形全等，得出结论，从而解决问题． 模型5：正方形中的“手拉手”模型 将边长为4的正方形与边长为5的正方形按图1位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上．直线与直线交于点．继续将正方形绕点逆时针旋转 ． (1)如图1，与的数量关系：___________；与的位置关系：___________． (2)如图2，当点B在线段上时，求的面积． (3)连结，当时，求的值． 【答案】(1)相等，垂直； (2) (3)7 【分析】本题主要考查正方形的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理，灵活运用三角形全等的判定与性质和勾股定理求解是解题关键． （1）由题意可得，从而可得，再利用全等三角形的性质和直角三角形的知识可以得知； （2）连结交于点 ，则由勾股定理可得的长度，从而得到 的面积； （3）连接，同上可得：，由（1）同理可证明，，由勾股定理得，延长至．使，连接，则，证明，可得是等腰直角三角形，则由勾股定理可得：． 【详解】（1）解：结论：，． 证明：∵四边形为正方形， ∴，，， 在与中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）解：如图2，当在线段上时，连接交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，连接， 同上可得：， 由（1）同理可证明，， ∴， ∴， 延长至．使，连接， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得：． 一．解答题（共3小题） 1. 如图①边长为和3的两个正方形放在直线l上，连接、，则． (1)将正方形绕点O逆时针旋转一定的角度，如图②．还等于吗？说明理由． (2)将正方形绕点O逆时针旋转，使点E在直线l上，如图③，求的长． 【答案】(1)成立，理由见解析 (2) 【分析】（1）证明再由对应边相等得出．旋转一定角度后，和只是在基础上再增加旋转的角度，所以仍然等于，再通过边角边证明和全等，再证对应边． （2）由于，可以转换成求更方便，连接，利用正方形性质，求出和的一半，再利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】（1）解：，理由： 如图①在和中， ， ∴， ∴， 将正方形绕点O逆时针旋转一定的角度，如图②．成立，理由： ∵四边形和都是正方形 ∴， ， ， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴． （2）解：由（2）得：， 连接交于， ∵四边形都是正方形． ∴，． ∵正方形的边长为 ∴． ∴． ∵正方形的边长是3 ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查全等三角形判定与证明、正方形性质、勾股定理、图形的旋转，关键是找出图形变化中始终全等的两个三角形． 2．如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一个动点，连接．过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形（提示：过点作于点，过点作于点． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)的值为定值， 【分析】本题考查了正方形的性质与判定和矩形的性质，关键是结合图形得出三角形全等． （1）作出辅助线，得到，然后再判断，得到，则有，即可判断矩形为正方形； （2）由四边形为正方形，四边形是正方形可知，，故可得，得到，即可判断，为定值． 【详解】（1）证明：如图所示，过作于点，过作于点， 四边形为正方形， ， ，， ， ， 四边形为矩形， ， ，即， 是正方形对角线的交点， ， 在和中， ， ， ， 矩形为正方形． （2）解：的值为定值， 矩形为正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ，即， 在和中， ， ， ， ， 是定值． 3．如图1，点G是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点H．      (1)判断，的位置与数量关系？并说明理由 (2)若，，求的长． (3)如图2，正方形绕点逆时针旋转，连结、，与的面积之差是否会发生变化？若不变，请求出与的面积之差；若变化，请说明理由． 【答案】(1)，，理由见解析 (2) (3)与的面积之差不变，其值为0 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、二次根式的化简等知识，熟练掌握正方形的性质是解题关键． （1）先根据正方形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后设交于点，根据对顶角相等、三角形的内角和定理可得，由此即可得； （2）连接，与交于点，先根据正方形的性质和勾股定理可得，，从而可得，再在中，利用勾股定理求出的长，由此即可得； （3）过点作于点，过点作的垂线，交延长线于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）解：，，理由如下： ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，设交于点，    ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，连接，与交于点，    ∵四边形是正方形，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 由（1）已证：， ∴． （3）解：如图，过点作于点，过点作的垂线，交延长线于点，    ∴， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 所以与的面积之差不变，其值为0． 4．如图，点P是边长为4的正方形的边上任意一点，过B点作于点G，过C点作于点E，连接． (1)如图1，若点P是的中点，求的长； (2)如图2，当点P在边上运动时（不与B、C重合），求证：； (3)当__________时，是等腰三角形． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质及勾股定理求出的值，再根据三角形的面积求出，然后证明，即可得出的值； （2）在上取一点F，使，连接，先证明，可得，再根据等量代换得，最后根据等腰三角形和勾股定理求出解； （3）根据等腰三角形的性质和“角边角”可得，利用，即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴． ∵P是的中点， ∴． 根据勾股定理，得． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）在上取一点F，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 即； （3）当时，是等腰三角形． 连接，延长交的延长线于点M，连接， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，正方形的性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．如图①，，都是等边三角形． （1）求证：． （2）求的度数． 【类比探究】 （3）如图②，四边形，四边形都是正方形，且我们知道正方形的四条边相等，四个内角都是直角，则与的数量关系是___________，位置关系是___________． 【深入探究】 （4）如图③，四边形，四边形都是正方形，且B，A，G三点共线，连接，点O是的中点，连接，，猜想与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3），；（4），，理由见解析 【分析】（1）根据证明，再由全等三角形的性质可得结论； （2）由，可得．，再利用三角形的内角和定理可得结论； （3）利用正方形的性质证明，再进一步利用全等三角形的性质可得结论； （4）如图3，延长交于点H，连接，．证明．可得．再证明，再结合全等三角形的性质可得结论． 【详解】证明：（1）∵，都是等边三角形， ∴，，． ∴， 在与中， ∴． ∴． （2）∵， ∴． ∴． ∴在中，． （3），，理由如下： 如图，记的交点为， ∵正方形，正方形， ∴，，， ∴，    ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即与的数量关系是位置关系是． （4），． 理由：如图3，延长交于点H，连接，． ∵四边形，四边形为正方形， ∴，，， ∴． ∵O是的中点， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴，． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∵， ∴，． ∴． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 四边形中的常见模型 模型1：“垂美四边形”模型 模型2：正方形中的“对称”模型 模型3：正方形中的“十字架”模型 模型4：正方形中的“半角”模型 模型5：正方形中的“手拉手”模型 模型1：“垂美四边形”模型 1．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，则 【答案】34 【分析】根据“垂美”四边形的定义得到，根据勾股定理计算，得到答案．本题考查的是勾股定理、“垂美”四边形的定义，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 【详解】解：四边形为“垂美”四边形， ， ， 在中，， 在中，， ， 在中，， 在中，， ， 故答案为：34． 一．解答题（共5小题） 1.定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．现有如图所示的“垂美”四边形，对角线相交于点O，若，求． 2．如图甲，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）【概念理解】我们已经学习了①平行四边形、②菱形、③矩形、④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是______（填序号）． （2）【性质探究】小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图甲，在四边形中，若，则．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由． （3）【问题解决】如图乙，在中，，，D，E分别是，的中点，连接，，有，求． 3．我们把对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”，如图，已知四边形，，像这样的四边形称为“垂美四边形”． 探索证明（1）如图，设，猜想之间的关系，用等式表示出来，并说明理由．（提示：运用勾股定理说理） 变式思考（2）如图，是的中线，，垂足为O，设，请用一个等式把三者之间的数量关系表示出来： 拓展应用（3）如图，在矩形中，E为的中点，若四边形为“垂美四边形”，且求的长． 4．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)在我们学过：①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形，能称为垂美四边形的是 ；（只填序号） (2)如图，垂美四边形的对角线交于点，求的长度． 5．（1）【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在①平行四边形②菱形③矩形④正方形中，能称为垂美四边形是__________；（只填序号）    （2）【性质探究】如图1，垂美四边形的两对角线交于点，，，，之间的数量关系为，请你给出证明： （3）【性质应用】如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，请直接写出的长． 模型2：正方形中的“对称”模型 如图，边长为2的正方形中，P是对角线上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作，交射线于点E．      (1)求证：； (2)在点P的运动过程中，能否为等腰三角形？如果能，求出此时的长；如果不能，试说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)能， 【分析】（1）过点作于，过点作于，根据正方形的性质证明，即可证明； （2）根据题意分①若点在线段上②若点在线段的延长线上，分别求解即可． 【详解】（1）证明：过点作于，过点作于，如图,    ∵四边形是正方形，，， ∴． ∴，． ∵即， ∴． 在和中， ． ∴， ∴； （2）解：能，理由如下： ①若点在线段上，如图，    ∵，∴． ∵，∴． 若为等腰三角形，则． ∴， ∴，与矛盾， ∴当点在线段上时，不可能是等腰三角形． ②若点在线段的延长线上，如图．      若是等腰三角形， 此时， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴的长为2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角分线的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，注意分类在解题中的应用． 1． 解答题（共4小题） 1．如图，在正方形中，E为上的一点，F为上的一点，且，试探究与之间的数量关系，并证明． 2．如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，求的长． 3．如图，是正方形外一点，连接，，使是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，，，连接、、． (1)求证：； (2)①当点在何处时，的值最小； ②当点在何处时，的值最小，并说明理由； (3)当的最小值为时，求正方形的边长． 4．小星学习了正方形的相关知识后，对正方形进行了探究． 如图，为正方形的一条对角线，点E为上任意一点（点E不与点B，D重合），点G为中点，过点E作交边于点F，延长交于点H． (1)问题探究： 如图①，连接，则与的位置关系为______，与的数量关系为______； (2)问题解决： 如图②，连接，求证：； (3)拓展延伸： 如图③，连接并延长交于点M、连接，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 模型3：正方形中的“十字架”模型 边长为4的正方形中，点是对角线上一点，过点作交射线于点，连结． (1)若点在边上（如图1）； ①求证：； 在解决上面问题时小明和小华有不同的思路： 小明：根据正方形的性质容易证明，若再证明，就可用“等角对等边”证明． 小华：根据正方形的性质容易证明，若通过作辅助线构造与线段、相关的全等三角形证得，便可得到． 请写出完整的证明过程（可以参照上面两种思路，也可以选择其他思路）． ②若，求的长． (2)若点在延长线上，，请规范画出符合条件的图形（不限作图工具）并直接写出的长． 【答案】(1)①见解析；② (2)，图见解析 【分析】（1）①小明：根据正方形的轴对称性可得，从而可得，再根据，可得，继而可得，根据等角对等边即可得； 小华：如图所示，过E作交于点G，交于点H，证明出四边形是矩形，得到，证明出，得到，即可得到； ②过点作于点，交于点，根据等腰三角形的性质结合四边形是矩形，得，为等腰直角三角形，继而可求得的长； （2）如图所示：过点E作，垂直为N，交于M，由正方形的对称性可得，从而得，继而由已知可得，可得，根据，可得，继而可得，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）①小明：∵正方形关于对称， ∴， ∴． ∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； 小华：如图所示，过E作交于点G，交于点H ∵正方形关于对称， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； ②过点作于点，交于点， ∵， ∴是的中点 ∵，， ∴ ∵四边形为矩形， ∴ 又为等腰直角三角形， ∴． （2）如图所示：过点E作，垂直为N，交于M，    ∵正方形关于对称， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线，熟练掌握相关定理与性质是解题的关键． 一．解答题（共4小题） 1．如图，在正方形中，，分别为边，上的点，且，连接，交于点．求证：． 2．如图1，正方形中，点是边上的一点（不与点、重合），连接，点、关于对称，连接并延长，交于点，交于点． (1)求证：； (2)如图2，当点为中点时，连接，求的值； (3)如图3，连接并延长，交的延长线于点，连接，探索线段、、之间的等量关系，请写出关系式，并加以证明． 3.数学活动：探究正方形中的十字架 （1）猜想：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、AD边上，且BF⊥AE，猜想线段AE与BF之间的数量关系： ． （2）探究：如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB，BC，CD，AD边上，且EG⊥HF，此时线段HF与EG相等吗?如果相等请给出证明，如果不相等请说明理由． （3）应用：如图3，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使点A落在CD边的中点E处，点B落在点F处，折痕为MN，则线段MN的长为 ． 4．阅读与思考 下面是小宇同学写的一篇数学小论文，请认真阅读并完成相应的任务： 由一道习题引发的思考−−“十字架模型”的拓展研究 在我们教材上，有这样一道习题：如图1，四边形是一个正方形花园，E，F是它的两个门，要修建两条路和，且使得，那么这两条路等长吗？为什么？ 对于上面问题，我是这样思考的： ∵四边形是正方形，∴，．   又∵，∴ ∴，（依据*） ∴，∴． 有趣的是对于两个端点分别在正方形一组对边上的线段，若这样的两条线段互相垂直，是否这两条线段仍然相等呢？对此我们可以做进一步探究： 如图2，在正方形中，若点M、N、P、Q分别是、、、上的任意四点，且，垂足为O，则仍然与相等．理由如下： 过点M作，垂足为E，过点P作，垂足为F．则容易证明四边形和均为矩形， ∴，．∵，∴ 在四边形QOND中，∵， … 任务：任务：根据上面小论文的分析过程，解答下列问题： (1)画横线部分的“依据*”是__________________________． (2)在小论文的分析过程，主要运用的数学思想有：_______．（从下面选项中填出两项）． A．转化思想 B．方程思想 C．由特殊到一般的思想 D．函数思想 (3)请根据小论文提供的思路，补全图2剩余的证明过程． 模型4：正方形中的“半角”模型 通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 【原题】如图1，点E，F分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系． 【模型】我们把这种模型称为“半角模型”，在解决半角模型问题时，“旋转”、“截长补短”均是常用的方法． (1)思路梳理： A.旋转法：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，则，，可以得到，即点共线． 易证 ，故之间的数量关系为 ． B.截长补短法：延长至点G，使得，由，，即，可以得到． (2)类比引申 如图2，点E，F分别在正方形的边的延长线上，．连接，试猜想之间的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)； (2)． 【分析】把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，根据四边形为正方形，，，可得点、共线，由旋转，，可证。得出即可； 把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，可证点、、在一条直线上。由旋转，，，可证，得出即可． 【详解】（1）解：四边形为正方形， ,, 把绕点A逆时针旋转至，可使与重合， , 点、、共线， , ,, ,即， 在和中， ， ， , ,即, 故答案为：； （2），理由如下， 如图所示， , 把绕点逆时针旋转至,可使与重合， , 点、、在一条直线上， , ,,, ， , , ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角的和差计算，线段和差计算等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 1． 解答题（共3小题） 1．在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图1，在中，，点D、E在边上，且，求DE的长． 解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连结． 由旋转的特征得． ∵， ∴． ∵， ∴，即． ∴． 在和中， ， ∴①_____． ∴． 又∵， ∴在中，②_____． ∵， ∴③_____． 【问题解决】 （1）上述问题情境中，“①”处应填：_________；“②”处应填：_________；“③”处应填：_________． 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】 （2）如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连接，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系：_________（直接写出结论，不必证明）． 2．问题：如图，点、分别在正方形的边，上，，试判断、、之间的数量关系． (1)【发现】、、之间的数量关系为_______． (2)【类比引申】 如图，四边形中，，，，点、分别在边、上，则当与满足_______关系时，仍有中的结论，请证明． (3)【探究应用】 如图，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形，已知米，，，，道路 、上分别有景点型、，且与垂直，米，现要在 、之间修一条笔直的道路，求这条道路的长．（结果取整数，参考数据：，） 3．如图（1），点E，F分别在正方形的边，上，，连接．试猜想、、之间的数量关系．    【思路梳理】数学课上小明和小红同学都对这个问题进行了探究，并向同学们阐述了自己的证明思路 小明同学：如图（2）把绕点A逆时针旋转至．可使与重合，由，得．即点共线，从而证明出，故得出了、、之间的数量关系； 小红同学：如图（2）在延长，并在的延长线截取，从而证明出，故得出了、、之间的数量关系； （1）请你选择一名同学的解题思路，得出、、之间的数量关系； 【类比引申】如图（3），点分别在正方形的边，的延长线上，，连接． （2）试猜想、、之间的数量关系，并给出证明． 【联想拓展】如图（4），在中，，，点均在边上，且． （3）若，，求出的长． 模型5：正方形中的“手拉手”模型 将边长为4的正方形与边长为5的正方形按图1位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上．直线与直线交于点．继续将正方形绕点逆时针旋转 ． (1)如图1，与的数量关系：___________；与的位置关系：___________． (2)如图2，当点B在线段上时，求的面积． (3)连结，当时，求的值． 【答案】(1)相等，垂直； (2) (3)7 【分析】本题主要考查正方形的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理，灵活运用三角形全等的判定与性质和勾股定理求解是解题关键． （1）由题意可得，从而可得，再利用全等三角形的性质和直角三角形的知识可以得知； （2）连结交于点 ，则由勾股定理可得的长度，从而得到 的面积； （3）连接，同上可得：，由（1）同理可证明，，由勾股定理得，延长至．使，连接，则，证明，可得是等腰直角三角形，则由勾股定理可得：． 【详解】（1）解：结论：，． 证明：∵四边形为正方形， ∴，，， 在与中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）解：如图2，当在线段上时，连接交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，连接， 同上可得：， 由（1）同理可证明，， ∴， ∴， 延长至．使，连接， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得：． 一．解答题（共3小题） 1. 如图①边长为和3的两个正方形放在直线l上，连接、，则． (1)将正方形绕点O逆时针旋转一定的角度，如图②．还等于吗？说明理由． (2)将正方形绕点O逆时针旋转，使点E在直线l上，如图③，求的长． 2．如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一个动点，连接．过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形（提示：过点作于点，过点作于点． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 3．如图1，点G是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点H．      (1)判断，的位置与数量关系？并说明理由 (2)若，，求的长． (3)如图2，正方形绕点逆时针旋转，连结、，与的面积之差是否会发生变化？若不变，请求出与的面积之差；若变化，请说明理由． 4．如图，点P是边长为4的正方形的边上任意一点，过B点作于点G，过C点作于点E，连接． (1)如图1，若点P是的中点，求的长； (2)如图2，当点P在边上运动时（不与B、C重合），求证：； (3)当__________时，是等腰三角形． 5．如图①，，都是等边三角形． （1）求证：． （2）求的度数． 【类比探究】 （3）如图②，四边形，四边形都是正方形，且我们知道正方形的四条边相等，四个内角都是直角，则与的数量关系是___________，位置关系是___________． 【深入探究】 （4）如图③，四边形，四边形都是正方形，且B，A，G三点共线，连接，点O是的中点，连接，，猜想与的数量关系和位置关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$