专题03 函数的概念与性质-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（浙江专用）

专题03 函数的概念与性质 题型概览 题型01 分段函数 题型02函数的图象与性质 题型03函数与导数 题型04抽象函数 ( 题型01 ) 分段函数 1.（2025·浙江杭州·一模）函数是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既非奇函数也非偶函数 D. 既是奇函数也是偶函数 2.（2025·浙江宁波·一模）设，函数若在区间内恰有6个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3.（2025·浙江温州·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. ( 题型0 2 ) 函数的性质 1.（2025·浙江杭州·一模）设，满足.若函数存在零点，则（ ） A. B. C. D. 2.（2025·浙江宁波·一模）已知，则_______________. 3.（2025·浙江台州·一模）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. 3 B. 2 C. 2 D. 3 4.（2025·浙江金华·一模） 已知函数的部分图像如图所示，则以下可能成立的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5.（2025·浙江绍兴·一模）（多选）下列各组函数的图象，通过平移后能重合的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 6.（2025·浙江台州·一模）（多选）已知函数，且，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. D. 在上有两个不同的零点 ( 题型0 3 ) 函数与导数 1.（2025·浙江杭州·一模）曲线在点处的切线的斜率是_________. 2.（2025·浙江台州·一模）若在上单调递减，则实数的最大值为_______． 3.（2025·浙江绍兴·一模）若曲线在点处的切线与圆相切，则________. 4.（2025·浙江宁波·一模）（多选）函数，则（ ） A. 的图象过定点 B. 当时，在上单调递增 C. 当时，恒成立 D. 存在，使得与轴相切 5.（2025·浙江绍兴·一模）已知函数，且是的极小值点，则可以是（ ） A. B. C. D. 6.（2025·浙江杭州·一模）（多选）已知函数，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则在上单调递减 D. 若，则在上单调递增 7.（2025·浙江杭州·一模）对，不等式恒成立，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8.（2025·浙江温州·一模） 已知函数，. （1）当时，求的最小值； （2）若与在原点处的切线重合，且函数有且仅有三个极值点，求实数的取值范围. 9.（2025·浙江绍兴·一模）已知函数. （1）当时，求在区间上的值域； （2）若存在，当时，，求的取值范围. 10.（2025·浙江宁波·一模）已知函数. （1）判断的奇偶性； （2）若，求证：； （3）若存在，使得对任意，均有，求正实数的取值范围. 11.（2025·浙江台州·一模） 已知函数． （1）求函数的单调递减区间； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 12.（2025·浙江杭州·一模）已知函数. （1）若，求的单调区间; （2）若，求证:; （3）若使得，求证:. 13.（2025·浙江金华·一模）已知函数，. （1）若，求的单调区间； （2）若，求的取值范围. 14.（2025·湖州、衢州、丽水·一模）已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，，证明：； （3）若，恒有，求实数的取值范围. ( 题型0 4 ) 抽象函数 1.（2025·浙江杭州·一模）（多选）已知函数的定义域为，若，则（ ） A. B. C. D. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数的概念与性质 题型概览 题型01 分段函数 题型02函数的图象与性质 题型03函数与导数 题型04抽象函数 ( 题型01 ) 分段函数 1.（2025·浙江杭州·一模）函数是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既非奇函数也非偶函数 D. 既是奇函数也是偶函数 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】当时，，则， 当时，，则， 又, 综上可得，， 即函数为偶函数. 故选：B 2.（2025·浙江宁波·一模）设，函数若在区间内恰有6个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质可得的零点为，根据，解得或，即可分三种情况讨论求解. 【详解】在区间内恰有6个零点， 又最多有两个零点， 当时，至少有四个根， ， 令，即，，， 又，，即， 令，解得或， ①若且，解得， 此时在有2个零点， 只需要在有4个零点， 这4个零点分别为 故且，解得，此时有6个零点，满足题意， ②当且时，解得， 此时在有1个零点， 只需要在有5个零点， 这5个零点分别为， 故且，解得，此时有6个零点，满足题意， ③当且时，解得， 此时在有1个零点， 只需要在有5个零点， 这5个零点分别为， 故且，解得不存在， 综上可得或， 故选：D 【点睛】关键点点睛：的零点为，根据，解得或，分三种情况讨论求解. 3.（2025·浙江温州·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知当时，的取值范围是，当时，的最大值为，且注意到趋于负无穷时，也会趋于负无穷，由此即可列出不等式求解. 【详解】当时，的取值范围是， 注意到，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，的最大值为， 且注意到趋于负无穷时，也会趋于负无穷， 若函数的值域为， 则当且仅当，解得. 故选：A. ( 题型0 2 ) 函数的性质 1.（2025·浙江杭州·一模）设，满足.若函数存在零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的单调性，结合函数的零点判断定理判断选项的正误即可． 【详解】函数的定义域为，且均为单调递增函数，故函数是增函数， 由于，故， 满足，说明中有1个是负数一定是，两个正数或3个负数， 由于存在零点，故． 故选：B． 2.（2025·浙江宁波·一模）已知，则_______________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据函数的解析式，结合指数式与对数式的运算法则，即可求解. 详解】由题意，函数，令，所以. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了函数的求值问题，其中解答中熟记指数式与对数式的运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 3.（2025·浙江台州·一模）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. 3 B. 2 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性求解. 【详解】根据题意，是定义在上的奇函数， 当时，， 则. 故选：B 4.（2025·浙江金华·一模） 已知函数的部分图像如图所示，则以下可能成立的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由图象可知：在内有两个极值点，即有两个不同的正根，结合二次函数的零点分布列式求解即可. 【详解】因，则， 由图象可知：在内有两个极值点，即有两个不同的正根， 则，可得， 对比选项可知：ABD错误，C正确. 故选：C. 5.（2025·浙江绍兴·一模）（多选）下列各组函数的图象，通过平移后能重合的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用诱导公式可判断A；根据两个函数的单调性不同可判断B；利用指数或对数的运算法则可判断C，D. 【详解】对于A，将的图象向左平移个单位后得到的图象，故A正确； 对于B，易知在上单调递增； 对于，，令，得， 所以当或时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 所以不能通过平移由得到，故B错误； 对于C，将的图象向左平移个单位后得到的图象，故C正确； 对于D，将的图象向上平移个单位后得到的图象，故D正确. 故选：ACD. 6.（2025·浙江台州·一模）（多选）已知函数，且，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. D. 在上有两个不同的零点 【答案】BC 【解析】 【分析】计算可得，可判断A；计算可得，可判断B；分，，，四种情况讨论可判断C；结合C选项可知时，在上有一个不同的零点，可判断D. 【详解】对于A，， ， 所以最小正周期不为，故A错误； 对于B，， ， 所以，所以的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，当时，若，，所以， 若，，所以， ，所以， 同理可得时，， 当时，若，， 所以， 若，，则， 若，，则 所以， 同理可得时，，故C正确； 对于D，当时，又，所以， 此时，，只有一个解， 所以在上有一个不同的零点，故D错误； 故选：BC. ( 题型0 3 ) 函数与导数 1.（2025·浙江杭州·一模）曲线在点处的切线的斜率是_________. 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导，然后在导数中令可求出所求切线的斜率. 【详解】对函数求导得，当时，，因此，所求切线的斜率为，故答案为. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求切线的斜率，解题时要知系切线的斜率与导数之间的关系，考查计算能力，属于基础题. 2.（2025·浙江台州·一模）若在上单调递减，则实数的最大值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可知在上恒成立，分离参数，令，由基本不等式求出的最小值，即可得出答案. 【详解】因为在上单调递减， 所以在上恒成立，所以在上恒成立， 所以在上恒成立，令， 则， 当且仅当，即时等号成立，所以， 故实数的最大值为. 故答案为：. 3.（2025·浙江绍兴·一模）若曲线在点处的切线与圆相切，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出曲线在点处的切线，再利用圆的性质求出值. 【详解】由，求导得，则， 因此曲线在点处的切线方程为，即， 由直线与圆相切，得， 所以. 故答案为： 4.（2025·浙江宁波·一模）（多选）函数，则（ ） A. 的图象过定点 B. 当时，在上单调递增 C. 当时，恒成立 D. 存在，使得与轴相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合可判断A的真假；当时，求导，分析函数的单调性，可判断BC的真假；问题转化为函数的最小值为0是否成立，可判断D的真假. 【详解】对A：不管取何值，， 所以函数的图象过定点，故A正确； 对B：当时，，（），， 设，则，所以在上单调递增. 因为，所以， 所以上单调递增，这一说法不正确，即B错； 对C：由B选项可知，，所以存在，使得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 所以函数的最小值为， 且， 因为，故不能取“”.故C正确； 对D：当时，（），所以（）， 设（），则（）. 所以在上单调递增. 因为当时，；当时，. 所以存在，使得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 所以函数的最小值为，且. 由. 设，（），则， 所以在上单调递减. 且，，所以必定有解.即D正确. 故选：ACD 5.（2025·浙江绍兴·一模）已知函数，且是的极小值点，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数依次判断是不是的极小值点即可. 【详解】对于A，， ，当时，，所以； 当时，，所以， 所以不是的极值点，故A错误； 对于B，，， ，当时，，，所以； 当时，，，所以， 所以不是的极值点，故B错误； 对于C，，， ，当时，； 当时，，所以是的极小值点，故C正确； 对于D，，， ，当时，；当时，， 所以是的极大值点，故D错误. 故选：C. 6.（2025·浙江杭州·一模）（多选）已知函数，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则在上单调递减 D. 若，则在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，可得是的极小值点，即可判断AB；求导，再根据导函数的符号即可判断CD. 【详解】对于AB，， 因为，所以是的极小值点， 则，解得， 此时， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故A正确，B错误； 对于C，若，则， 当时，，所以在上单调递减，故C正确； 对于D，若，则， 当时，，所以在上单调递增，故D正确. 故选：ACD. 7.（2025·浙江杭州·一模）对，不等式恒成立，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】令，通过举反例说明选项A、B错误；对于选项C、D，通过分析可得在 上恒成立，问题转化为函数有相同的零点，计算可得选项D正确. 【详解】由得， 对于选项A、B，若，可令，不等式可化为， 当时，， 要使恒成立，则需，即恒成立， ∴， 当时，， 要使恒成立，则需，即恒成立， ∴， ∴， 当时，， 要使恒成立，则需，即恒成立， ∴， 综上可得，不存在使得不等式恒成立，选项A、B错误. 对于选项C、D，若， ∵ ∴， ∴， 要使不等式恒成立，则需， ∵函数在为增函数， ∴函数有相同的零点， 由得，由得，， ∴，即， ∴， ∴，选项D正确. 故选D. 【点睛】思路点睛：本题考查不等式恒成立问题，具体思路如下： （1）不等式变形为. （2）对于选项A、B，若，对，与符号不确定，可取，通过分类讨论得到不存在使得不等式恒成立，即可说明选项A、B错误. （3）对于选项C、D，若，确定恒成立，转化为，则与同号，利用函数的单调性可知函数有相同的零点，利用零点相同可得. 8.（2025·浙江温州·一模） 已知函数，. （1）当时，求的最小值； （2）若与在原点处的切线重合，且函数有且仅有三个极值点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分析函数的单调性，可求的最小值. （2）先根据确定的关系，再把函数有且仅有三个极值点转化成有且仅有三个变号零点.求导，分析函数的单调性，结合该函数零点的个数求参数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，， 令得：， 当时，，时，， 所以在单调递减，单调递增 所以时，. 【小问2详解】 ，，由得：， 所以， 问题即：有且仅有三个变号零点 当时，，故在单调递减，又，所以故此时在有且仅有一个变号零点0，不合题意； 当时，所以在有唯一零点.在递增，递减，故此时在至多有两个变号零点，不合题意； 当时，，，， 所以在有两个零点：， 且时，，时，，时，， 所以在递减，递增，递减， 又，故，， 又时，， 因为的增长速度大于的增长速度， 故，，于是， 又，，所以， 令，则， 因为的增长速度大于的增长速度， 故，，于是， 所以在，各有一个零点，，故此时有三个零点：，0，，合题意：所以. 【点睛】方法定睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： (1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； (2)求导数，得单调区间和极值点； (3)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解． 9.（2025·浙江绍兴·一模）已知函数. （1）当时，求在区间上的值域； （2）若存在，当时，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数求解函数单调性，即可得到函数相应区间的值域； （2）求导，利用函数单调性，即可得到符合条件的参数范围. 【小问1详解】 因为，所以， 所以当时，，当时，， 所以上递减，在上递增. 因为，，，且， 所以的值域是. 【小问2详解】 因为. ①若，当时，，所以在上递增， 所以，不符合题意. ②若，当时，；当时，， 所以在上递减，在上递增， 要存在，当，， 则只需，所以. 10.（2025·浙江宁波·一模）已知函数. （1）判断的奇偶性； （2）若，求证：； （3）若存在，使得对任意，均有，求正实数的取值范围. 【答案】（1）为偶函数， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性的定义即可判断， （2）将不等式等价于，平方化简只需要证明，构造即可求导求解， （3）构造，对进行多阶求导，即可根据导数的正负与函数单调性的关系，对分三种情况讨论，即可求解. 【小问1详解】 , 当时，定义域为，当时，定义域为，均关于原点对称， 且， 故为偶函数， 【小问2详解】 当时，为偶函数， 要证，只需要证， 当时，， 只需证明时，，即证， 只需证，即证， 令在单调递增，故，所以，得证. 【小问3详解】 由可得， 当时，，故， 故， 令，则， 令， 令， ①当时，即，存在，使得对任意，， 故在单调递增，又，所以在恒成立， 从而在单调递增，又，所以在恒成立， 从而在单调递增，结合，得对任意恒成立，符合题意， ②当时，，存在，使得对任意，， 故在单调递减，又，所以在恒成立， 从而在单调递减，又，所以在恒成立， 从而在单调递减，结合，得对任意恒成立，不符合题意， ③当时，令，，则，类推②同理可得不符合题意， 综上可得 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的常用步骤： (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 11.（2025·浙江台州·一模） 已知函数． （1）求函数的单调递减区间； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）求导，由求解； （2）设，由得到，再分和求解. 【小问1详解】 解：的定义域为，， 令，解得， 由，解得， 所以函数的单调递减区间是． 【小问2详解】 记， ， 因为，所以，得， 令，解得或， 当时，，在上恒成立， 因此，在上单调递减， 得，即对任意恒成立． 当时，对任意，， 因此，在上单调递增， 当时，， 不满足题意．综上，． 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是由得到降低了难度，然后根据两根或的大小，分和而得解. 12.（2025·浙江杭州·一模）已知函数. （1）若，求的单调区间; （2）若，求证:; （3）若使得，求证:. 【答案】（1）单调递减区间是，无增区间. （2）证明见详解 （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）利用导函数求得的最大值，再得到在上递减； （2）时函数值恒为负数，所以研究的最大值，借助导函数得到在区间上小于0，所以函数单减，从而得到函数值一定小于0，得证； （3）利用导函数求单调区间，由此得出的所在区间，构造直线使得与的交点见距离等于不等式两边的值，再由线段长短得出相应结论. 【小问1详解】 当时，，， 则 令，则， 令，∵， ∴， ∴在区间上单调递减增，在区间上单调递减， ∴， ∴的单调递减区间是，无增区间. 【小问2详解】 ∵， 当时，显然成立， 当时，，令， ∴， ∴在区间上单调递减，∴， ∴在区间上单调递减，∴， 综上所述，当时，. 【小问3详解】 ， ∴，令，则，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∵，∴. 不妨设，则，， 先证：， 易知在处的切线方程为，该切线与直线的交点的横坐标为， 令，则， 当时，，此时， ∴当时，图像在下方. ∴， ∴， 再证，设，， 易知直线方程为，直线方程为， 则直线，与直线交点的横坐标为，， ∴， ∵，同理可证：， ∴，类似的可以证明， ∴，即， ∴ 【点睛】思路点睛：本题不等式证明可以分别证明两边成立，因为是与的交点，可以构造其他交点使得线段长度等于不等式两端的值，再证明点的位置，得到线段长度即可得证. 13.（2025·浙江金华·一模）已知函数，. （1）若，求的单调区间； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）单调增区间为，减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）代入参数值，求导函数，解导函数大于0的不等式，得出增减区间； （2）求导函数，得到增减区间，求得最小值；由题意建立不等式，构建对应函数，由导函数求得单调区间得最小值再建立不等关系，得到范围. 【小问1详解】 当时， 时，，时，； 的单调增区间为，单调减区间为 【小问2详解】 时，，时， 又， 令 则，显然单调递减，且， 必然存在唯一使得 当，，单调递增， 当，，单调递减 由于时，，成立 当时，单调递减，且，因此成立 综上，成立的范围为 14.（2025·湖州、衢州、丽水·一模）已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，，证明：； （3）若，恒有，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）直接求出导函数，计算和，由点斜式得直线方程并整理为一般式； （2）在题设条件下证明，是减函数，，再证明即得证； （3）时，由说明递减，不等式不可能恒成立，时，由（2）得出时，，的大于1的根记为（是地，），证明时，，时，，由确定的单调性，，时，由完成证明，时，由确定．综合后得出结论． 【小问1详解】 时，， ， ，又， 所以切线方程为，即； 【小问2详解】 ， 时，是递增函数，因此，， 又，所以，在上递减， ， 因为，所以， 从而； 【小问3详解】 ，， 当时，，在上是减函数， 当时，，因此不可能恒成立， 时，由得， 记，， 则有两个实根，一根小于1，一根大于1， 大于1的根为，易知它是关于的减函数， 注意到在上是增函数，且， 即时，，时，， 所以时，，递减，时，，递增， 所以， 时，，此时， 记，在上递减，在上递增，且， 因此 当时，，， 当时，，， 综上，时，恒成立 所以的取值范围是． 【点睛】难点点睛：本题考查用导数求切线方程，研究不等式恒成立问题，难度较大．第（3）小题的求解，一般由完成，但本题中，难点一是确定函数值是何时取得的，结合（2）的求解，得出时，，难点二是在分类讨论和的结论时需要用两种不同的思路，时，最小值作为的函数是递增的，得出，然后由的单调性得证，时，先由的单调性得出． ( 题型0 4 ) 抽象函数 1.（2025·浙江杭州·一模）（多选）已知函数的定义域为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】取特殊值0和1，建立等式，得出或的相应结论，再前面结论取特殊值得到BC选项的结论，借助前面的结论，先求出的值，令化简得到即可得出结论. 【详解】令，，则 令，则 则，， ∴或 令，则 若，则，矛盾， ∴，则，∴A选项错误； 令，则，∴B选项正确； 令，则，则，即，C选项正确； 由A、C选项中结论，令，则，则 令，则， 即，D选项错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：本题是已知抽象函数的关系式求相应结论，这类题目可以从特殊值入手，建立一定的等式，解得特殊值所对的函数值，在令部分变量为特殊值，从而得出相应结论. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$