专题01 集合与常用逻辑用语-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（浙江专用）

专题01 集合与常用逻辑用语 题型概览 题型01集合的运算 题型02集合新定义 题型03命题的否定、充分必要条件 ( 题型01 ) 集合的运算 1.（2025 ·浙江杭州·一模） 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为，则，解得， 则，所以. 故选：A 2.（2025·湖州、衢州、丽水·一模）已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合定义求得，再由交集定义计算． 【详解】因为，， 所以， 所以， 故选：B． 3.（2025·浙江金华·一模） 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：A. 4.（2025·浙江宁波·一模）集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简，根据并集的定义即可求解. 【详解】由，可得， 故， 故选：D 5.（2025·浙江绍兴·一模） 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式求出集合A，根据集合的交集运算即得答案. 【详解】解不等式，得， 即， 又，故， 故选：A 6.（2025·浙江温州·一模）已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将集合用列举法写出具体元素，由集合的表达式可知集合的元素，即可得到的结果. 【详解】将集合用列举法写出得：， 对于集合，由可知：，所以. 故选：C. ( 题型0 2 ) 集合新定义 1.（2025·浙江温州·一模） 已知集合. （1）集合，且中的任意三个不同的元素，，都有. （i）当时，写出一个满足条件的恰有四个元素的集合； （ii）对于任意给定的，求集合中的元素个数的最大值. （2）已知集合，，且同时满足以下条件：①，，都有（其中，，）；②，，使得（其中）.求集合中的元素个数. 【答案】（1）（i）或或或或或；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）由，所以，再列出满足题意的集合B即可； （ii）记集合，设满足条件的集合，其中，，，，，，，，且，，则集合中的元素个数等于，证明即可得答案； （2）先用反证法证明，再证明，则可得. 【小问1详解】 （i）由，所以，可得： 四元素的集合可以是：或或或或或； （ii）对于任意给定的，集合中的元素个数的最大值为， 其证明过程如下： 记集合， 设满足条件的集合， 其中，，，，，，，，且，， 则集合中的元素个数等于， 根据条件对任意的，，都有（否则，就有，不合题意） 又因为，，其中，， 即，，，，，，，是中的不同的元素， 所以，即集合中的元素个数， 取满足条件，且元素个数等于，所以集合中的元素的最大值等于. 【小问2详解】 以为例：（多取不符条件①，少取不符条件②！） 这时， 因为；，取即可， ；，则， ；， 若取，； ，则， 证明如下： 先证明：，假设，则，，使得，与条件矛盾，所以假设不真，即； 再证明：，假设，则中的元素个数大于，所以，，， ，根据条件“，，使得”，所以3两个不同的集合， ，使得，，又因为，，，，所以，与矛盾，所以假设不真，； 综上所述：. 【点睛】本题第二问的关键是充分理解①、②两条性质，然后利用反证法，分和两种情况进行讨论，以上不等式同时满足时，可直接得到结论. 2.（2025·浙江杭州·一模）已知正项有穷数列，设，记的元素个数为. （1）若数列，求集合，并写出的值; （2）若是递增数列或递减数列，求证:”的充要条件是“为等比数列”; （3）若，数列由这个数组成，且这个数在数列中每个至少出现一次，求的取值个数. 【答案】（1），； （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用集合的定义直接求解即可； （2）分充分性和必要性两个方面分别证明，利用题中给出的集合的定义分析即可； （3）通过分析可知，且，设数列 此时, ，然后对数列分别作变换进行分析求解，即可得到答案． 【小问1详解】 因为，，，， 故 所以，； 【小问2详解】 充分性：若是等比数列，设公比为． 不妨考虑数列是递增数列，所以． 则当时，． 所以，故，得证. 必要性：若． 因为是递增数列，所以， 所以且互不相等,又， 所以， 又， 所以，且互不相等． 所以，，，． 所以， 所以为等比数列； 若为单调递减数列，同理可证. 【小问3详解】 因为数列由这个数组成，任意两个不同的数作商（可相等）， 比值只可能为共个不同的值； 又因为这个数在数列中共出现次，所以数列中存在，所以． 综上，，且． 设数列 此时，． 现对数列分别作如下变换： 把前面的移动到和后面的之间，得到数列： 此时，． 再把前面的移动到和之间，得到数列： 此时，． 依次类推，把前面的移动到和之间，得到数列：， 此时，； 再构造， 此时，； 构造， 此时， ； 依次类推，构造数列：， 此时， 最后构造数列：， 此时； 综上，可以取到从到的所有个整数值，所以的取值个数为. 【点睛】方法点睛：对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. ( 题型 3 ) 命题的否定、充分必要条件 1.（2025·浙江台州·一模） 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求得集合，可得结论. 【详解】由，可得，所以， 因为在上单调递增，又， 由，可得，所以，所以， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2.（2025·浙江金华·一模）若，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件概念，结合指数函数性质判断即可. 【详解】考虑条件.这意味着a和b要么相等，要么互为相反数. 考虑等式.由于是单调递增的，所以当且仅当a = b. 如果a = b，那么必然成立.但是，如果，a和b可以互为相反数，此时不一定成立. 因此，我们得出结论：是的必要不充分条件. 故选：B. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合与常用逻辑用语 题型概览 题型01集合的运算 题型02集合新定义 题型03命题的否定、充分必要条件 ( 题型01 ) 集合的运算 1.（2025 ·浙江杭州·一模） 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.（2025·湖州、衢州、丽水·一模）已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3.（2025·浙江金华·一模） 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4.（2025·浙江宁波·一模）集合，，则（ ） A. B. C. D. 5.（2025·浙江绍兴·一模） 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 6.（2025·浙江温州·一模）已知集合，，则（ ） A. B. C. D. ( 题型0 2 ) 集合新定义 1.（2025·浙江温州·一模） 已知集合. （1）集合，且中的任意三个不同的元素，，都有. （i）当时，写出一个满足条件的恰有四个元素的集合； （ii）对于任意给定的，求集合中的元素个数的最大值. （2）已知集合，，且同时满足以下条件：①，，都有（其中，，）；②，，使得（其中）.求集合中的元素个数. 2.（2025·浙江杭州·一模）已知正项有穷数列，设，记的元素个数为. （1）若数列，求集合，并写出的值; （2）若是递增数列或递减数列，求证:”的充要条件是“为等比数列”; （3）若，数列由这个数组成，且这个数在数列中每个至少出现一次，求的取值个数. ( 题型 3 ) 命题的否定、充分必要条件 1.（2025·浙江台州·一模） 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.（2025·浙江金华·一模）若，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$