专题07 解析几何-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（浙江专用）

专题07 解析几何 题型概览 题型01直线与圆 题型02 椭圆 题型03 双曲线 题型04 抛物线 题型05 圆锥曲线新定义 ( 题型01 ) 直线与圆 1.（2025·浙江温州·一模）若方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的方向向量得出斜率，设点斜式方程，再由圆心到直线距离等于半径求解. 【详解】由直线的方向向量为知，直线的斜率， 设直线方程为， 则由直线与圆相切知，圆心到直线的距离， 解得或， 所以直线的方程为或， 即或， 故选：B 2.（2025·浙江台州·一模）已知圆，其中，若圆上仅有一个点到直线距离为1，则的值为_______；圆的半径取值可能为_______（请写出一个可能的半径取值）． 【答案】 ①. ②. （满足即可，答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意，圆过原点且原点到直线的距离为1，则在直线上，且与相切，与无交点，可解问题. 【详解】根据题意，与直线的距离为1的点都在直线和上， 又圆过原点且原点到直线直线的距离为1， 则在直线上，且与相切， 所以， 又因为圆与无交点，所以，如图. 故答案为：；（满足即可，答案不唯一） 【点睛】关键点点睛：根据题意，发现圆过原点且原点到直线的距离为1是解题关键. ( 题型0 2 ) 椭圆 1.（2025·浙江温州·一模）（多选）已知，，，，其中，点为平面内一点，记点到，的距离分别为，，则下列条件中能使点的轨迹为椭圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可判断A的真假；求点的轨迹方程，判断BCD的真假. 【详解】对A：根据椭圆的定义，，所以点轨迹为椭圆，故A正确； 对B：设，则由，所以点轨迹为圆，故B错误； 对C：由，分情况去掉绝对值符号， 可知点的轨迹为4条线段，不是椭圆，故C错误； 对D：由，因为， 所以点轨迹为椭圆，故D正确. 故选：AD 2.（2025·湖州、衢州、丽水·一模）已知椭圆：，过左焦点作直线与圆：相切于点，与椭圆在第一象限的交点为，且，则椭圆离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意利用直线与圆相切可得，再由余弦定理计算得出，利用椭圆定义即可得出离心率. 【详解】设椭圆右焦点为，连接，如下图所示： 由圆：可知圆心，半径； 显然，且， 因此可得，所以，可得； 即可得，又易知； 由余弦定理可得， 解得， 再由椭圆定义可得，即， 因此离心率. 故答案为： 3.（2025·浙江宁波·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过上顶点作直线交椭圆于另一点.若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据椭圆的定义确定中各边的长度，再结合，用余弦定理列式，化简可求椭圆的离心率. 【详解】如图： 因为的周长为，，，所以，. 又， 所以. 所以椭圆的离心率为. 故选：C 4.（2025·浙江金华·一模）已知和为椭圆：上两点. （1）求椭圆的离心率； （2）过点的直线与椭圆交于，两点（，不在轴上）. （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）直线和分别与轴交于，两点，求证：以为直径的圆被轴截得的弦长为定值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据给定的点A和B在椭圆上，以及椭圆的离心率公式求出椭圆的离心率； （2）（i）借助韦达定理和面积公式计算即可；（ii）可借助韦达定理和圆的弦长公式计算即可. 【小问1详解】 由可知，求出， 代入，得，， 则，， 可知椭圆的离心率为. 【小问2详解】 （i）由（1）可知椭圆的方程为， 设，，过点的直线为， 与联立得：.恒成立. 所以， 得，所以，直线的方程为：. （ii）由（i）可知， 直线的方程为，令，得 直线的方程为，令，得， 记以为直径的圆与轴交于，两点， 由圆的弦长公式可知， 所以，为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向. 5.（2025·浙江绍兴·一模） 已知椭圆的离心率为，短轴端点和长轴端点间的距离为. （1）求的方程； （2）过左焦点的直线交于，两点，点在上. （i）若的重心为坐标原点，求直线的方程； （ii）若的重心在轴上，求的横坐标的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得到和求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立消元，得到，利用韦达定理得到，，小问（i）根据重心为原点得到点坐标，将点坐标代入椭圆方程即可求出的值，进而得到直线的方程；小问（ii）设，方法同（i），得到点坐标，将点坐标代入椭圆方程得到，利用求出的取值范围. 【小问1详解】 由题意知，即，又， 解得，，， 所以的方程； 【小问2详解】 因为左焦点为，设直线方程为， 联立，得， 设，，，则，， 因为的重心为原点，所以， 所以，又， 代入，可得， 解得，所以直线的方程是. （ii）设，由（i）可知，， 代入，可得， 解得，所以. 所以，且，所以. 6.（2025·浙江台州·一模）椭圆与椭圆的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的方程，得到，即可判断. 【详解】对于椭圆：， 对于椭圆：， 所以它们的长轴不相等，短轴不相等，离心率不相等，焦距相等. 故选：D. ( 题型0 3 )双曲线 1.（2025·浙江杭州·一模） 已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率等于（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据渐近线方程可得，故，即可由离心率公式求解. 【详解】的渐近线方程为， 因此，故， 故离心率为， 故选：A 2.（2025·浙江温州·一模）已知椭圆和双曲线焦点相同，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线方程可得，且焦点在x轴上，再结合椭圆方程列式求解即可. 【详解】对于双曲线，可知其半焦距，且焦点在x轴上， 对于椭圆可得，且，解得. 故答案为：. 3.（2025·浙江杭州·一模）已知双曲线都经过点，离心率分别记为，设双曲线的渐近线分别为和.若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，当时，不妨设，分别将双曲线的方程用表示，再结合和离心率公式分类求出两双曲线的离心率即可得解. 【详解】当时，点在渐近线上，不合题意； 当时，不妨设， 则， 因为双曲线经过点， 所以， 所以， 因为，所以，则双曲线的焦点在轴上， 所以， 同理， 因为，所以，则双曲线的焦点在轴上， 所以， 所以，即， 综上所述，. 故答案：. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 4.（2025·湖州、衢州、丽水·一模） 双曲线的另一种定义：动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是常数，则点的轨迹是一个双曲线.动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，列出方程并化简得答案. 【详解】设，依题意，，化简整理得， 所以点的轨迹方程为. 故选：B 5.（2025·浙江宁波·一模）已知是双曲线：上一点，的渐近线方程为. （1）求的方程； （2）直线过点，且与的两支分别交于，两点.若，求直线的斜率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线经过的点以及渐近线方程即可联立方程求解， （2）联立直线与双曲线方程可得韦达定理，根据两点距离公式以及弦长公式可求解，即可代入化简求解. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 故双曲线方程为 【小问2详解】 由题意可知：直线的斜率存在，设直线方程为， 联立可得， 由韦达定理可得， 由于，化简得， 故， , 故， 故，平方可得， 解得或， 由于与的两支分别交于，两点，故， 当时，代入不符合，故舍去， 将其代入，经检验符合， 综上可得 【点睛】关键点点睛：利用两点斜率公式以及弦长公式求解. 6.（2025·浙江金华·一模）已知双曲线：，为右焦点，斜率为直线与交于，两点，设点，，其中，过且斜率为的直线与过且斜率为1的直线交于点，直线交于，两点，且点为线段的中点，则点的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，，，根据题意可得直线，的方程，从而得.设中点为，则，从而知三点共线，再根据题中数据进行计算即可. 【详解】 设，，， 则直线：，直线：， 两直线联立，解得即. 设中点为，则， 因为 ， 所以三点共线. 因为，且， 所以，所以. 同理知，即， 设，则，解得， 所以. 故答案为：. ( 题型0 4 )抛物线 1.（2025·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为. （1）求的方程; （2）若点关于直线对称点在上，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由条件可得外接圆的半径以及圆心横坐标，结合抛物线的定义即可得到圆心到准线的距离为半径，即可得到； （2）根据题意，由点关于线对称可得点关于直线对称的点坐标，然后代入抛物线方程计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为的外接圆的面积为，则其半径为， 且外接圆的圆心一定在的垂直平分线上， 其中焦点，准线方程为， 所以圆心的横坐标为，则圆心到准线的距离为， 即，所以的方程为. 【小问2详解】 设点关于直线对称点为， 则两点连线的中点坐标在直线上，即， 化简可得①， 由对称性又可知，和所在直线与垂直，则②， 联立①②可得，，解得，所以， 又因为在抛物线上，则，即， 即， 即，即， 所以， 其中时，，所以， 所以，即. 2.（2025·浙江宁波·一模）抛物线：的焦点为，为上一点且，为坐标原点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据焦半径公式，确定点的横坐标，再求点的纵坐标，可得的面积. 【详解】如图： 不妨设点在第一象限，过点作与抛物线的准线垂直，垂足为. 则，又，所以，所以. 所以. 故答案为： 3.（2025·浙江绍兴·一模）已知直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，且，过点作的垂线，垂足为，则（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，由题意可知,进而可得，进而可知直线的方程，联立直线与抛物线，得到韦达定理，由得，代入求解即可. 【详解】设,依题意：, 所以直线的方程为：,即, 联立,得 所以, 因为,所以, 即,解得 故选：C. 4.（2025·浙江台州·一模）已知抛物线的焦点为，准线为，双曲线的左焦点为T． （1）求的方程和双曲线的渐近线方程； （2）设为抛物线和双曲线的一个公共点，求证：直线与抛物线相切； （3）设为上的动点，且直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，直线与抛物线交于不同的两点，判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）准线的方程为，双曲线的渐近线方程为 （2）证明见解析 （3）是，． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程即可求解； （2）结合题意联立方程组和，化简即可求解； （3）由题意得，设，联立方程组和，利用韦达定理表示和，化简即可证明. 【小问1详解】 准线的方程为，双曲线的渐近线方程为． 【小问2详解】 联立方程组， 消去得，解得（舍负），由对称性，不妨取， 又由，求得直线的方程为， 联立方程组，消去得， 因为，所以直线与抛物线相切． 【小问3详解】 因为，得准线为线段的中垂线， 则直线与直线的倾斜角互补，即， 设，由条件知， 联立方程组，消去得， 则， 联立方程组，消去得， 则， 所以， 故为定值． 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有，或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题. 5.（2025·浙江金华·一模）已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，结合已知条件，求得，即可求得抛物线方程. 【详解】根据题意，连接，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，作图如下： 由抛物线定义可知，解得， 故抛物线方程为：. 故选：C. 6.（2025·浙江温州·一模）点在抛物线上，且到抛物线焦点的距离为. （1）求抛物线的方程； （2）过点的直线交抛物线于，两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦半径公式及点在抛物线上，列方程组，可求的值. （2）法1：设出直线的方程：，与抛物线方程联立，得到，，再根据，得求的值. 法2：设直线的方程：，与抛物线方程联立，得到，，再根据，得得的关系，从而说明直线经过定点，再结合直线过抛物线的焦点，可得直线方程. 法3：设，，则直线可写成，根据及可求出的值，得直线的方程. 法4：设，，根据直线与垂直，可分别设两直线方程为，，分别与抛物线方程联立，把、坐标用表示出来，再结合求的值，进而求出点坐标，结合直线过点，可求直线方程. 法5：设，，设直线：与抛物线方程联立，可得，再根据，结合直线过点，可求的值，得直线的方程. 【小问1详解】 根据焦半径公式可得，所以， 又，所以， 解得或（舍去）， 故所求抛物线方程为. 【小问2详解】 法1：，，设，，， ，所以， ， ，（舍去）， 所以即. 法2：设，，， ，所以， ， ， ，所以过定点， 又因为过，所以； 法3：，，设，，， ， . ， ， 所以. 法4：设，，不妨设， ， ， ，同理， ， ， ， 又因为过，所以. 法5：设，，， ， ， ， ， . 又因为过，所以， 解得，，所以. ( 题型0 5 ) 圆锥曲线新定义 1．（2025·湖州、衢州、丽水·一模）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线族（不包括直线轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. （1）圆：是直线族的包络曲线，求，满足的关系式； （2）若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围及直线族的包络曲线的方程； （3）在（1）（2）的条件下，过曲线上动点向圆做两条切线，，交曲线于点，，求面积的最小值. 【答案】（1） （2），曲线的方程为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据直线与圆相切得到方程，化简即可； （2）转化为方程无实数解，则判别式小于0，则得到范围，再根据直线族：为抛物线的切线即可； （3）设，，，根据直线与圆相切得到，再将直线与联立得得到，再根据弦长公式得到面积表达式，最后利用导数求出其最值即可. 【小问1详解】 由题可得，直线族为圆M的切线， 故满足，，所以满足． 【小问2详解】 将点代入，可得关于的方程， 因为点不在直线族上，故方程无实数解， 所以，那么，故， 因为区域的边界为抛物线， 下证：是的包络曲线． 证明：联立直线与，可得，所以， 故直线族：为抛物线的切线. 因此直线族的包络曲线的方程为. 【小问3详解】 设，，， 则， 故 由直线与相切，所以， 整理得，① 同理可得，，② 由①②可得直线． 直线与联立得，（显然） 可得， 由韦达定理可得． 因此， 由于点到直线的距离， 所以面积为， 令，则， 由，解得， 当，，当，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 那么（当且仅当时取到）， 所以面积的最小值是. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是通过相切得到方程，从而得到直线的方程，再联立抛物线得到得到韦达定理式，最后利用弦长公式得到面积表达式，利用导数求出最值即可. 2.（2025·浙江宁波·一模）（多选）已知曲线：，下列说法正确的是（ ） A. 曲线过原点 B. 曲线关于对称 C. 曲线上存在一点，使得 D. 若曲线上一点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】代入即可判断A,根据关于的对称点为在曲线上，结合同角关系即可求解B，根据得矛盾求解C，根据，即可结合不等式求解D. 【详解】将代入可得，故曲线过原点，A正确， 设曲线上任意一点，则关于的对称点为，则 ，故在曲线上，B正确， 对于C，若曲线上存在一点，根据：可知均在曲线上，故曲线关于坐标轴以及原点均对称， 若曲线上存在一点，使得，则，根据对称性不妨设， 将其代入曲线方程可得，所以， 由于，则存在角使得， ，， 所以 ， 这与矛盾，故不存在一点，使得，C错误， 对于D，， 故，故，， 故，故D正确， 故选：ABD 【点睛】关键点点睛： 由 ，得矛盾求解. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 解析几何 题型概览 题型01直线与圆 题型02 椭圆 题型03 双曲线 题型04 抛物线 题型05 圆锥曲线新定义 ( 题型01 ) 直线与圆 1.（2025·浙江温州·一模）若方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程可以是（ ） A. B. C. D. 2.（2025·浙江台州·一模）已知圆，其中，若圆上仅有一个点到直线距离为1，则的值为_______；圆的半径取值可能为_______（请写出一个可能的半径取值）． ( 题型0 2 ) 椭圆 1.（2025·浙江温州·一模）（多选）已知，，，，其中，点为平面内一点，记点到，的距离分别为，，则下列条件中能使点的轨迹为椭圆的是（ ） A. B. C. D. 2.（2025·湖州、衢州、丽水·一模）已知椭圆：，过左焦点作直线与圆：相切于点，与椭圆在第一象限的交点为，且，则椭圆离心率为______. 3.（2025·浙江宁波·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过上顶点作直线交椭圆于另一点.若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 4.（2025·浙江金华·一模）已知和为椭圆：上两点. （1）求椭圆的离心率； （2）过点的直线与椭圆交于，两点（，不在轴上）. （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）直线和分别与轴交于，两点，求证：以为直径的圆被轴截得的弦长为定值. 5.（2025·浙江绍兴·一模） 已知椭圆的离心率为，短轴端点和长轴端点间的距离为. （1）求的方程； （2）过左焦点的直线交于，两点，点在上. （i）若的重心为坐标原点，求直线的方程； （ii）若的重心在轴上，求的横坐标的取值范围. 6.（2025·浙江台州·一模）椭圆与椭圆的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 ( 题型0 3 )双曲线 1.（2025·浙江杭州·一模） 已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率等于（ ） A. B. C. D. 或 2.（2025·浙江温州·一模）已知椭圆和双曲线焦点相同，则______. 3.（2025·浙江杭州·一模）已知双曲线都经过点，离心率分别记为，设双曲线的渐近线分别为和.若，则_____. 4.（2025·湖州、衢州、丽水·一模） 双曲线的另一种定义：动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是常数，则点的轨迹是一个双曲线.动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 5.（2025·浙江宁波·一模）已知是双曲线：上一点，的渐近线方程为. （1）求的方程； （2）直线过点，且与的两支分别交于，两点.若，求直线的斜率. 6.（2025·浙江金华·一模）已知双曲线：，为右焦点，斜率为直线与交于，两点，设点，，其中，过且斜率为的直线与过且斜率为1的直线交于点，直线交于，两点，且点为线段的中点，则点的坐标为______. ( 题型0 4 )抛物线 1.（2025·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为. （1）求的方程; （2）若点关于直线对称点在上，求的值. 2.（2025·浙江宁波·一模）抛物线：的焦点为，为上一点且，为坐标原点，则______. 3.（2025·浙江绍兴·一模）已知直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，且，过点作的垂线，垂足为，则（） A. B. C. D. 4.（2025·浙江台州·一模）已知抛物线的焦点为，准线为，双曲线的左焦点为T． （1）求的方程和双曲线的渐近线方程； （2）设为抛物线和双曲线的一个公共点，求证：直线与抛物线相切； （3）设为上的动点，且直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，直线与抛物线交于不同的两点，判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 5.（2025·浙江金华·一模）已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 6.（2025·浙江温州·一模）点在抛物线上，且到抛物线焦点的距离为. （1）求抛物线的方程； （2）过点的直线交抛物线于，两点，且，求直线的方程. ( 题型0 5 ) 圆锥曲线新定义 1．（2025·湖州、衢州、丽水·一模）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线族（不包括直线轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. （1）圆：是直线族的包络曲线，求，满足的关系式； （2）若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围及直线族的包络曲线的方程； （3）在（1）（2）的条件下，过曲线上动点向圆做两条切线，，交曲线于点，，求面积的最小值. 2.（2025·浙江宁波·一模）（多选）已知曲线：，下列说法正确的是（ ） A. 曲线过原点 B. 曲线关于对称 C. 曲线上存在一点，使得 D. 若曲线上一点，则 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$