专题06 数列-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（浙江专用）

专题06 数列 题型概览 题型01等差数列 题型02等比数列 题型03数列综合 题型04数列新定义 ( 题型01 ) 等差数列 1.（2025·浙江金华·一模）已知数列为等差数列，，，则______. 2．（2025·浙江宁波·一模） 已知数列为等差数列，且满足. （1）若，求的前项和； （2）若数列满足，且数列的前项和，求数列的通项公式. ( 题型0 2 ) 等比数列 1.（2025·浙江宁波·一模）（多选）已知数列，都是正项等比数列，则（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等比数列 C. 数列是等比数列 D. 数列是等比数列 ( 题型0 3 ) 数列综合 1.（2025·湖州、衢州、丽水·一模）若，已知数列中，首项，，，则______. 2.（2025·湖州、衢州、丽水·一模）已知数列的首项是1，其前项和是，且，. （1）求，的值及数列的通项公式； （2）若存在实数，使得关于的不等式，有解，求实数取到最大值时的值. 3.（2025·浙江台州·一模）如图的形状出现存南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最一上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……，设从上至下各层球数构成一个数列则___________.（填数字） 4.（2025·浙江温州·一模） 已知数列的通项公式，在其相邻两项，之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 5.（2025·浙江温州·一模）已知正项数列满足，且，则______. ( 题型0 4 ) 数列新定义 1.（2025·浙江台州·一模）对于无穷数列和如下的两条性质：：存在实数，使得且，都有；：任意且，都存在，使得． （1）若，判断数列是否满足性质，并说明理由； （2）若，且数列满足任意，则称为数列的一个子数列．设数列同时满足性质和性质． ①若，求的取值范围； ②求证：存在的子数列为等差数列． 2.（2025·浙江金华·一模）已知正边形的每个顶点上有一个数.定义一个变换，其将正边形每个顶点上的数变换成相邻两个顶点上的数的平均数，比如： 记个顶点上的个数顺时针排列依次为，则，为整数，，，.设（共个，表示次变换） （1）若，，，求，，，； （2）对于正边形，若，，证明：； （3）设，，，证明：存在，使得不全为整数. 3.（2025·浙江绍兴·一模）维向量是平面向量和空间向量的推广，对维向量，记，设集合. （1）求，； （2）（i）求中元素的个数； （ii）记，求使得成立的最大正整数. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 数列 题型概览 题型01等差数列 题型02等比数列 题型03数列综合 题型04数列新定义 ( 题型01 ) 等差数列 1.（2025·浙江金华·一模）已知数列为等差数列，，，则______. 【答案】11 【解析】 【分析】根据等差数列的公式求解公差，即可得的值. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，所以，解得， 所以. 故答案为：11. 2．（2025·浙江宁波·一模） 已知数列为等差数列，且满足. （1）若，求的前项和； （2）若数列满足，且数列的前项和，求数列的通项公式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目中的递推公式，求得等差数列的前两项与公差，结合通项公式以及求和公式，可得答案； （2）利用公式求得数列的通项公式，根据题目中的方程，利用换元法整理为关于的一元一次方程，求得等差数列的通项公式，可得答案. 【小问1详解】 当时，由，则，由，则， 所以等差数列的公差为， 即通项公式， 所以前项和. 【小问2详解】 当时，，可得， 当时， ， 将代入上式，则， 综上所述，，. ，可得， 由（1）可知，则， 由方程，可得，解得， 由，则等差数列的公差为，所以， 由，，则. ( 题型0 2 ) 等比数列 1.（2025·浙江宁波·一模）（多选）已知数列，都是正项等比数列，则（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等比数列 C. 数列是等比数列 D. 数列是等比数列 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等比数列的定义和通项公式逐项判断即可. 【详解】因为数列，都是正项等比数列， 所以设数列，公比分别为，，且，，且对任意的正整数有，成立； 对于A，不妨设， ，满足，都是正项等比数列， 此时，因为，， 所以，此时不是等比数列，故A不正确； 对于B，因为，所以数列是等比数列，故B正确； 对于C，因为，所以数列是等比数列，故C正确； 对于D，设，，满足，都是正项等比数列， 此时，，， 所以，，所以，此时数列不是等比数列，故D不正确； 故选：BC. ( 题型0 3 ) 数列综合 1.（2025·湖州、衢州、丽水·一模）若，已知数列中，首项，，，则______. 【答案】158 【解析】 【分析】利用已知确定数列的通项公式，得出，，由函数解析式得出，结合倒序相加法求和． 【详解】，则， 所以，整理得， 即是常数数列，又， 所以，， ， 则， 所以， 又，所以，， 所以， 所以． 故答案：158． 2.（2025·湖州、衢州、丽水·一模）已知数列的首项是1，其前项和是，且，. （1）求，的值及数列的通项公式； （2）若存在实数，使得关于的不等式，有解，求实数取到最大值时的值. 【答案】（1），， （2）4或5 【解析】 【分析】（1）用累加法得到数列通项公式； （2）求出数列前项和，列出不等式，构造函数利用导函数求最大值，并找到最大值点. 【小问1详解】 ∵，∴ 当时，， 即， 当时，也满足， ∴， ∴，. 【小问2详解】 由（1）可知， ∴，∴ 令， ，当时，，单调递增; 当时，,单调递减; ∵, ∴当或时，取得最大值70， ∴取得最大值时，取4或5. 3.（2025·浙江台州·一模）如图的形状出现存南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最一上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……，设从上至下各层球数构成一个数列则___________.（填数字） 【答案】 【解析】 【分析】根据题中给出的图形，结合题意找到各层球的数列与层数的关系，得到，即可得解． 【详解】解：由题意可知，，，，，， 故， 所以， 故答案为： 4.（2025·浙江温州·一模） 已知数列的通项公式，在其相邻两项，之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分析得的项的情况，从而求得，，进而得解. 【详解】由题意，数列元素依次为，， 在到之间3的个数为，故到处共有35个元素， 所以前30项中含，，及26个3， 故， 而， 故成立的最小的为29. 故选：B 5.（2025·浙江温州·一模）已知正项数列满足，且，则______. 【答案】6069 【解析】 【分析】首先由递推关系式得出是以为首项，3为公差的等差数列，再代入，结合即可求出，最后利用等差数列的通项公式即可求得答案. 【详解】因为为正项数列且，① 所以，② 得，即， 所以是以为首项，3为公差的等差数列， 令可得，又，， 所以，解得， . 故答案为：6069. ( 题型0 4 ) 数列新定义 1.（2025·浙江台州·一模）对于无穷数列和如下的两条性质：：存在实数，使得且，都有；：任意且，都存在，使得． （1）若，判断数列是否满足性质，并说明理由； （2）若，且数列满足任意，则称为数列的一个子数列．设数列同时满足性质和性质． ①若，求的取值范围； ②求证：存在的子数列为等差数列． 【答案】（1）满足，理由见解析 （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据性质的条件，结合不等式的性质求解； （2）①由条件可得是单调递增数列，且存在，使得．进而可得，，结合，可得出结果；②依题意可得单调递增，设，由性质可推得，当时，存在，使得，进而得，利用等差数列的定义证明即可. 【小问1详解】 数列满足性质． 且， 因为，所以，又因为，所以， 因此，存，使得且，都有，故满足性质． 注：取之间的任意实数都可以． 【小问2详解】 ①因为数列满足性质，所以是单调递增数列， 又因为数列满足性质，所以存在，使得． 而，因此，， 由，得， 由，得，故的取值范围是． ②由数列满足性质，可知单调递增，设， 令，由性质，存在，使得， 同理，存，使得，…， 以此类推，当时，存在，使得， 由数列单调递增，可知． 记，则， 因为，所以数列是等差数列， 故存在的子数列为等差数列，得证． 2.（2025·浙江金华·一模）已知正边形的每个顶点上有一个数.定义一个变换，其将正边形每个顶点上的数变换成相邻两个顶点上的数的平均数，比如： 记个顶点上的个数顺时针排列依次为，则，为整数，，，.设（共个，表示次变换） （1）若，，，求，，，； （2）对于正边形，若，，证明：； （3）设，，，证明：存在，使得不全为整数. 【答案】（1），，，. （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）涉及到根据给定的变换规则进行多次变换的计算，按照变换公式逐步计算即可. （2）需要利用假设和变换公式进行推导，结合等差数列性质公式，证明所有数相等. （3）运用反证法，要结合整数整除性质来证明存在这样的. 【小问1详解】 当时，的变换如下： 所以，，，. 【小问2详解】 ，， 成等差数列，令公差为， 又，则，， 则 【小问3详解】 反证法，假设对任意，均为整数 由于，为整数，故与的奇偶性相同，故同奇偶，同奇偶，而， 中有个奇数，个偶数， 故可不妨设为奇数，设为偶数. ， 又为整数，且或， 和除4余数相同 同理 ， 和除4的余数相同， ， 和除4的余数相同. 除4的余数相同. ， 和除4的余数相同 ， 和除4的余数相同. ， 和除4的余数相同 除4的余数相同. 综上，除以4的余数都相同，而，矛盾！ 假设不成立，所以存在，使不全为整数. 【点睛】关键点点睛：本题关键读懂新定义“变换”，结合等差数列和反证法解题，属于难题. 3.（2025·浙江绍兴·一模）维向量是平面向量和空间向量的推广，对维向量，记，设集合. （1）求，； （2）（i）求中元素的个数； （ii）记，求使得成立的最大正整数. 【答案】（1）， （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）列举出所有可能情况，根据可求得结果； （2）（i）设中元素的个数为，根据定义可得递推关系式，结合等比数列求和公式可推导求得； （ii）首先确定的必要条件为当时，，由此可得；验证当时充分性成立，从而得到结果. 【小问1详解】 ， 当时，；当时，；当时，；当时，， ； ， 当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，， . 小问2详解】 （i）设中元素的个数为， ，， 为偶数时，，且， ， 中的元素个数为. （ii）①当时， ； ②当时， ； ③当时， ； ； 要使得成立，其必要条件当时，， 令，则， 数列为递增数列，又，， 的解为； 当时，， 即充分性成立； 使得成立的最大正整数. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列与向量结合的新定义问题的求解，解题关键是能够根据的定义，确定为偶数时，，从而进一步确定递推关系式，将问题转化为数列问题来进行求解. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$