专题05 三角函数与解三角形-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（浙江专用）

专题05 三角函数与解三角形 题型概览 题型01 三角计算公式 题型02三角函数图像与性质 题型03 三角函数实际应用 题型04解三角形 ( 题型01 ) 三角计算公式 1.（2025·浙江杭州·一模） 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据，即可利用二倍角公式以及和差角公式化简求解. 【详解】由可得 ， 故选：C 2.（2025·浙江温州·一模）已知，，则（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用两角和与差的正弦公式展开，然后两式相减、两式相加各得一个等式，再让这两个等式相除并化简即可求解. 【详解】, 两式相减得, 两式相加得, 所以, 即, 故选：B. 3.（2025·浙江绍兴·一模）已知，，则（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用两角和与差的正弦公式展开，然后两式相减、两式相加各得一个等式，再让这两个等式相除并化简即可求解. 【详解】, , 两式相减得, 两式相加得, 所以, 即, 故选：B. 4.（2025·浙江台州·一模） 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：D 5.（2025·浙江金华·一模）已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式可得的值，再将弦化切，即可求解. 【详解】由得，即，解得， 所以， 故选：B 6.（2025·浙江温州·一模）（多选）已知函数，则（） A. B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，用和差化积公式及二倍角公式化简可以判断；对于B，利用导数研究的单调性，进而可求的最值；对于C，利用B的单调性比较自变量的大小即可比较函数值的大小；对于D，运用分析法，多次使用和差化积、积化和差公式即可推导. 【详解】对于A，， 由和差化积公式:得： , 其中，故所以即 A正确； 对于B，对求导,， 在上，令得令得 所以在和单调递减,在单调递增, 故在区间上的最大值为,且,故B错误； 对于C，当时单调递增,故在上单调递增, 而当时,，且,故正确； 对于D， ， 由和差化积公式:得 因为，所以，所以， 所以 而, , 由积化和差得 ,其中, 上述不等式显然成立，故D正确, 故选：ACD 【点睛】结论点睛：和差化积与积化和差公式 和差化积公式： . 积化和差公式： ， ， ， . ( 题型0 2 ) 三角函数图像与性质 1.（2025·浙江杭州·一模）将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，则"是偶函数"是""的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由三角函数的奇偶性，分别验证命题的充分性以及必要性，即可得到结果. 【详解】由题意可得，由是偶函数可得， 且，当时，，当时，， 所以由是偶函数可得或，故充分性不满足； 当时，可得为偶函数，故必要性满足； 所以"是偶函数"是""的必要不充分条件. 故选：B 2.（2025·浙江金华·一模）（多选）设函数，则（ ） A. 的图象有对称轴 B. 是周期函数 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点中心对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项由偶函数得到轴是其中一条对称轴；B选项用周期的定义找到其中一个周期为；C选项通过两个特殊点函数值的大小判定函数在区间不是单调递增；D选项由中心对称的定义验证是否成立即可. 【详解】∵， ∴是偶函数，关于轴对称，故A正确； ∵， ∴是函数的一个周期，故B正确； ，∵，， 显然，故在区间上不单调递增，故C错误； ， ∴的图象关于点中心对称. 故选：ABD. 3.（2025·湖州、衢州、丽水·一模）已知函数，，若有两个零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数零点的定义，结合余弦函数的性质求出，再逐项计算判断即得. 【详解】由，得，而，则，， ，因此，解得， 由，得或，于是， 对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：利用余弦函数的性质，结合零点的意义求出两个零点是解题之关键. ( 题型0 3 ) 三角函数实际应用 1.（2025·湖州、衢州、丽水·一模）古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一.如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，当秒时，（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由点坐标求得半径，再由周期是60秒，经过45秒，就是旋转了个周期，由计算出图中（小于平角的那个），然后由勾股定理计算． 【详解】由已知，， 经过45秒后，即旋转了个周期，因此，如图， 所以， 故选：A． 2.（2025·浙江绍兴·一模）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里可从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，均匀设置有48个座舱（按顺时针依次编号为1至48号），开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min.甲、乙两户家庭去坐摩天轮，甲家庭先坐上了1号座舱，乙家庭坐上了号座舱，若从乙家庭坐进座舱开始计时，10min内（含10min）出现了两户家庭的座舱离地面高度一样的情况，则的最小值是（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，设乙家庭转动出现了两户家庭的座舱离地面高度一样，借助对称性求出，再结合两个相邻座舱对应弧所对圆心角即可得解. 【详解】设乙家庭转动出现了两户家庭的座舱离地面高度一样，，只需考查旋转的第一周内即可， 而摩天轮的座舱每分钟转动，则乙家庭的座舱转过的弧度数为， 摩天轮的两个相邻座舱中点间的圆弧所对圆心角为，甲家庭的座舱转过的弧度数为， 依题意，甲乙两户家庭的座舱关于摩天轮垂直于地面的轴对称，则， 整理得，当且仅当时取等号， 所以的最小值是17. 故选：B ( 题型0 4 ) 解三角形 1.（2025·浙江杭州·一模）已知在中，. （1）判断的形状，并说明理由; （2）若点在边上，且.若，求的面积. 【答案】（1）三角形为直角三角形， （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，即可由余弦定理求解，继而根据三角恒等变换可得，即可判断三角形的形状， （2）利用余弦定理可求解，即可利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 由可得， 故，进而， 由于,故， 又，故, 化简可得,故， 由于,故， 进而,故三角形为直角三角形， 【小问2详解】 由于，，且为直角三角形， 设，则, 故在三角形中，由余弦定理可得,即，解得， 故 2.（2025·湖州、衢州、丽水·一模）在中，角对应的三边分别是，，，且. （1）求角的值； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换可求得，可得； （2）根据可求得，，再利用切弦互化以及正弦定理可得，，再利用正弦定理可求得边长即求出面积. 【小问1详解】 根据题意由正弦定理可得， 整理可得， 即，所以； 可得，又，所以， 又，因此. 【小问2详解】 由三角形内角关系可得， 由可得，解得或； 当时，，又，所以两角均为钝角，不合题意； 因此，； 又，可得，同理； 由正弦定理可得，可得， 同理 因此的面积为. 3.（2025·浙江绍兴·一模）记三个内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）设是的中线，若，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角转化，结合三角形角度关系与三角恒等变换转化即可得角的大小； （2）在中由余弦定理得边的长，再根据余弦定理求边即可. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理得， 又因为，即，整理得， 又因为，所以，所以，即. 【小问2详解】 在中，由余弦定理， 可得，解得或（舍），即. 在中，由余弦定理可知，解得. 4.（2025·浙江台州·一模）已知的内角所对的边分别为，且． （1）求角； （2）若的面积为，为的中点，求长度的最小值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求解. （2）由（1）的结论，利用余弦定理及基本不等式求解即得. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得， 则 ，而，则，又， 所以. 【小问2详解】 依题意，，由（1）知，得， 在中，由余弦定理得 ，当时取到等号， 所以的最小值为. 5.（2025·浙江金华·一模） 记内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若为等腰三角形且腰长为2，求的底边长. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角化简可得； （2）分别讨论当为顶角和为底角时的底边长即可. 【小问1详解】 ，由正弦定理得： ，∵ ， ∵， 【小问2详解】 当为顶角，则底边， ， 当为底角，则该三角形内角分别为，，，则底边为 故的底边长为或. 6.（2025·浙江温州·一模）记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若为中点，，，求的周长. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）解法1：边化角之后，再利用两角和的正弦公式及，得到，得1分，再得出的值. 解法2：利用余弦定理，将角化边，得出，消去，得出结果. 解法3：整理成射影定理的结构，化简得出结果. （2）解法1：利用已知条件和余弦定理，得出，题干已知条件有转化成，利用余弦定理，得出，解方程得出或者的值，再计算得出周长. 解法2：利用，得出，由，得出，解方程得出或者，的值，再计算得出周长. 解法3：利用平行四边形长度，得出，由，得出，解方程得出或者，的值，再计算得出周长. 解法4：利用向量关系，得出，由，得出，解方程得出或者，的值，再计算得出周长. 解法5：在和分别利用余弦定理，得出，由，得出，解方程得出或者，的值，再计算得出周长. 【小问1详解】 解法1： 由题意，得 则 所以 因为在中，， 所以. 解法2： 由题意，得， 所以， 因此 因为，所以. 解法3： 由题意，得 所以由射影定理，得 因，所以. 【小问2详解】 解法1： 由已知条件，得. 在利用余弦定理，得. 所以 由余弦定理，得， 所以. 因此 所以的周长为. 解法2： 因为， 所以. 因此， 所以 又由余弦定理，得， 所以 因此， 所以的周长为. 解法3： 以的边，为邻边将补成平行四边形， 利用平行四边形长度关系可得，， 所以. 又由余弦定理，得， 所以 因此， 所以的周长为. 解法4： 利用向量关系，可得 因此 又由余弦定理，得， 所以 因此， 所以的周长为. 解法5： 在和分别利用余弦定理，可得 . 所以 又由余弦定理，得， 所以 因此 所以的周长为. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角函数与解三角形 题型概览 题型01 三角计算公式 题型02三角函数图像与性质 题型03 三角函数实际应用 题型04解三角形 ( 题型01 ) 三角计算公式 1.（2025·浙江杭州·一模） 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 2.（2025·浙江温州·一模）已知，，则（ ） A. B. 5 C. D. 3.（2025·浙江绍兴·一模）已知，，则（ ） A. B. 5 C. D. 4.（2025·浙江台州·一模） 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 5.（2025·浙江金华·一模）已知，则（ ） A. B. C. D. 6.（2025·浙江温州·一模）（多选）已知函数，则（） A. B. 当时， C. 当时， D. 当时， ( 题型0 2 ) 三角函数图像与性质 1.（2025·浙江杭州·一模）将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，则"是偶函数"是""的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.（2025·浙江金华·一模）（多选）设函数，则（ ） A. 的图象有对称轴 B. 是周期函数 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点中心对称 3.（2025·湖州、衢州、丽水·一模）已知函数，，若有两个零点，则（ ） A. B. C. D. ( 题型0 3 ) 三角函数实际应用 1.（2025·湖州、衢州、丽水·一模）古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一.如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，当秒时，（ ） A. B. C. D. 4 2.（2025·浙江绍兴·一模）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里可从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，均匀设置有48个座舱（按顺时针依次编号为1至48号），开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min.甲、乙两户家庭去坐摩天轮，甲家庭先坐上了1号座舱，乙家庭坐上了号座舱，若从乙家庭坐进座舱开始计时，10min内（含10min）出现了两户家庭的座舱离地面高度一样的情况，则的最小值是（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 ( 题型0 4 ) 解三角形 1.（2025·浙江杭州·一模）已知在中，. （1）判断的形状，并说明理由; （2）若点在边上，且.若，求的面积. 2.（2025·湖州、衢州、丽水·一模）在中，角对应的三边分别是，，，且. （1）求角的值； （2）若，，求的面积. 3.（2025·浙江绍兴·一模）记三个内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）设是的中线，若，，求. 4.（2025·浙江台州·一模）已知的内角所对的边分别为，且． （1）求角； （2）若的面积为，为的中点，求长度的最小值． 5.（2025·浙江金华·一模） 记内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若为等腰三角形且腰长为2，求的底边长. 6.（2025·浙江温州·一模）记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若为中点，，，求的周长. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$