专题06 找次品（4大突破）-2024-2025学年五年级下册数学计算大通关（人教版）

2024-2025学年五年级下册数学计算大通关 数学广角：找次品 本专题单元讲义，包含三大内容： 1、计算常用知识点：梳理计算所需知识点，让学生明确计算过程中会用到哪些知识点。 2、计算专题突破：以小知识点为突破口，小专题讲练。 3、计算题综合突破：针对常考题进行汇编突破。 目录 常用知识点 1 专题突破 2 突破点一：逻辑推理法找次品 2 突破点二：三组原则解决问题 3 突破点三：公式法找次品（已知轻重） 3 突破点四：公式法找次品（不知轻重） 4 综合突破 7 1.数目与测试次数之间的关系 三组原则 在找次品时，尽可能将待测物品平均分成3份，如果不能平均分成3份，则使多的一份与少的一份个数相差1，这样找出次品需要称的次数最少。 要辨别的物品数目 保证能找到次品至少需要测的次数 2～3（2～31） 1 4～9（4～32） 2 10～27（10～33） 3 28～81（28～34） 4 82～243（82～35） 5 …… …… 得出规律（计算公式）：当所测的物品的个数an-1≤a≤3n（n≥1）时，所称次数至少为n次。 2.知识导图 3.天平平衡原理 （1）天平平衡,说明两边所放物品质量相等；天平不平衡,高的那一端所放物品较轻,低的 一端所放物品较重。 （2）用天平找次品,并不是一定要通过天平称出具体质量，利用天平平衡原理,通过逻辑推理也能找出次品。例如：从3个物品中找次品的基本思路:用天平称1次,就可以判断出次品是否在托盘上,也就是说通过推理,能确定次品是这三个中的哪一个。 【专题突破一】逻辑推理法找次品 【思路点拨】用天平找次品,并不是一定要通过天平称出具体质量，利用天平平衡原理,通过逻辑推理也能找出次品。 1.有3个零件，其中一个是次品，质量稍重。根据下图可以确定次品是（ ）号零件。 2. 其中有1瓶奶的质量稍重，是次品，下面两位同学表明了找次品的次数，他们说的对吗？ 【专题突破二】三组原则找次品。 【思路点拨】在找次品时，尽可能将待测物品平均分成3份，如果不能平均分成3份，则使多的一份与少的一份个数相差1，这样找出次品需要称的次数最少。 1.(1)用尽可能少的次数保证找出次品,你会对待测物品进行分组吗? 待测物品个数 6 12 19 25 分组 （2，2，2） （ ， ， ） （ ， ， ） （ ， ， ） (2)有5个零件,其中1个是次品,质量稍重,根据下图可以推断出( )号零件一定是正品，( )号或( )号可能是次品。 （3）端午节前妈妈买了5盒蜜枣,其中有1盒较轻。如果用没有砝码的天平称,至少称几次一定能找到那盒蜜枣?请补充下列过程: ①把5盒蜜枣分成3份(2,2,1),天平两端各放( )盒蜜枣。 ②如果天平平衡,那么（ ） ③如果天平不平衡,把( )的一端中的2盒蜜枣分别放在天平两端，( )的那盒就是要找的蜜枣。 ④至少称( )次一定能找到较轻的那盒蜜枣。 (4)6个零件里有一个是次品(次品轻些),如图是小红用天平找次品过程的称量示意图。根据示意图可知,次品是（ ）(填序号)。如果9个零件中有1个次品至少要用天平称量( )次就能保证找到次品。 2.盒子里有18枚外形完全相同的硬币,其中有1枚假币稍重一些。小乐和小壮想用没有砝码的天平找出这枚假币,他们分别设计了一种方案,但都不完整。请帮他们补充完整。 小乐的方案 小壮的方案 （1）将18枚硬币平均分为2份（9,9），天平两端各放1份，（ ）的一端有假币。 （2）将有假币的9枚硬币平均分为（ ）份，称（ ）次就可以找到假币的那份，判断过程是 。 （3） 。 （4）共称了3次。 （1）将18枚硬币平均分为（6,6,6），任取2份放在天平两端，如果天平平衡，那么（ ）的那份中有假币；如果天平不平衡，那么（ ）的那份有假币。 （2） 。 （3） 。 （4）共称了3次。 【专题突破三】公式法找次品 【思路点拨】当所测的物品的个数an-1≤a≤3n（n≥1）时，所称次数至少为n次。（1）找次品的规律公式是：称n次，最多可以分辨出3n个零件。 ‌ （2）公式解释‌： 这个公式说明，如果你有一堆零件，其中有一个是次品，重量和其他的不一样，那么称n次最多可以分辨出3n个零件。 （3）例如： 2-3个零件，称1次就能找出次品。 4-9个零件，称2次。 10-27个零件，称3次。以此类推，这个公式帮助你快速找出次品。 1.要在70个外观完全一样的玻璃球中，找出质量稍轻的一个次品，用天平称，至少称（ ）次，才能确保找出次品。 2.有300箱苹果，299箱的质量相等，只有1箱少了几个。用天平至少称（ ）次可以找出这箱苹果。 【专题突破四】不知次品的轻重至少测量的次数。 思路点拨】 （1）找次品的规律公式是：称n次，最多可以分辨出3n个零件。 ‌ （2）公式解释‌：这个公式说明，如果你有一堆零件，其中有一个是次品，重量和其他的不一样，那么称n次最多可以分辨出3n个零件。 （3）例如： 2-3个零件，称1次就能找出次品。 4-9个零件，称2次。 10-27个零件，称3次。以此类推，这个公式帮助你快速找出次品。 ‌ （4）注意事项‌：这个公式的前提是你知道次品是轻还是重。如果不知道，可能得多称一次。即n+1次 1.3个物品1个次品不知重还是轻,至少称几次。 2.五个乒乓球找次品（不知轻重）最少需要称3次才能保证把次品找出来。 3.7个物体，有一个是次品，不知道轻重，最少要称几次才能找出来？ 4.有9盒奶粉，其中8盒每盒 600g，另1盒(次品)不是600g，但不知道比 600g重还是轻。至少称几次才能保证找出次品? 5.有28个零件其中有一个是次品，用天平秤，至少称几次，就保证把次品找到? 一、填空。 1.有7袋无碘盐，其中有一袋是次品，质量稍轻一些，其余的6袋质量相同，至少称（ ）次能保证找出质量稍轻的那一袋无碘盐 2.有13盒月饼，其中12盒质量相等，另有一盒是次品，质量不足.如果用天平称，至少称（ ）次，可以找出这盒月饼 3.要在70个外观完全一样的玻璃球中，找出质量稍轻的一个次品，用天平称，至少称（ ）次，才能确保找出次品。 4.有9瓶药，其中八瓶质量相同，另有一瓶少5粒，用天平称至少称（ ）次能保证把这瓶药找出来。 5.有16瓶钙片，外形、包装相同，其中15瓶的质量相同，另外1瓶少了一片，比其它略轻。用天平至少称( )次，才能保证找出这瓶钙片。 6.有83箱苹果，82箱的质量相等，只有1箱少了几个。用天平至少称（ ）次可以找出这箱苹果。 二、选择题。 1.有6瓶水，其中5瓶质量相同，另外有1瓶是盐水，比其他水略重一些，至少称（ ）次能保证找出这瓶盐水。 A.3 B.2 C.4 D.5 2.一箱糖果有 12 袋，其中 11 袋质量相同，另有一袋质量不足，轻一些。用无砝码的天平称，至少称( )能保证找出这袋糖果。 A. 1次 B.2次 C.3次 D.4次 3.有 27个零件，其中有一个零件是次品(次品轻一些)，用天平称，至少称( )次能保证找出次品零件， A.3 B.4 C.5 D.6 4.刘师傅做了7个零件，其中有一个次品(比正品重一些)被混放在一起了，如果请你用没有砝码的天平来找这个次品。下面说法错误的是( ) A.称1次可能会找到它 B.称1次保证能找到它 C.称2次可能会找到它 D.称2次保证能找到它 5.有2187个零件,其中有一个较重的次品,用天平称,保证找到这个次品的最少次数是( )次。 A.1084 B.7 C.3 6.某公司包装的 32 箱牛奶中，有一箱忘记放入赠品，工人用没有砝码的天平至少称（ ）次保证能找到这箱未放入赠品的牛奶。 A. 8 B.5 C.4 D.3 7.有8袋糖果，其中7袋每袋 250 克，另一袋比 250 克略轻一点，用天平称。下面说法正确的是( )。 A.称一次肯定能找出这袋略轻的 B.至少称2次能保证找出这袋略轻的 C.至少称3次能保证找出这袋略轻的 三、解决问题。 1.如果有5瓶编号分别为1-5的钙片，其中有一瓶少了3片。如果用天平称，至少次能保证找到次品。请你在下面写出找次品的过程，也可以画图。 2.有 12 枚银元，其外表都完全相同，其中有1枚是假银元，比其他的 11 枚稍轻一些，利用无砝码的天平至少称几次才能找出这枚银元呢? 以下是设计方案的一部分，请你填下面的设计方案。 3.有15 瓶口香糖，其中有一瓶被甜甜偷吃了一些，给你一架天平，至少称几次能保证找出被偷吃的那一瓶?请用图示表示称的过程. 4.一盒弹力球有 27 个，其中有一个质量稍轻(属于次品)，用天平称，至少几次就一定能找到这个次品弹力球?(用自己喜欢的方式展示出思考过程和方法，并写出答案) 5.思考题: （1）有23个零件其中有一个是次品，用天平秤，至少称几次，就保证把次品找到? （2）有8个外形相同的乒乓球，其中只有一个质量不标准，请用一架不带砝码的天平，最多使用三次该天平，找出上述次品乒乓球。请在下面用图表示出称的过程。 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年五年级下册数学计算大通关 数学广角：找次品 本专题单元讲义，包含三大内容： 1、计算常用知识点：梳理计算所需知识点，让学生明确计算过程中会用到哪些知识点。 2、计算专题突破：以小知识点为突破口，小专题讲练。 3、计算题综合突破：针对常考题进行汇编突破。 目录 常用知识点 1 专题突破 2 突破点一：逻辑推理法找次品 2 突破点二：三组原则解决问题 3 突破点三：公式法找次品（已知轻重） 5 突破点四：公式法找次品（不知轻重） 5 综合突破 9 1.数目与测试次数之间的关系 三组原则 在找次品时，尽可能将待测物品平均分成3份，如果不能平均分成3份，则使多的一份与少的一份个数相差1，这样找出次品需要称的次数最少。 要辨别的物品数目 保证能找到次品至少需要测的次数 2～3（2～31） 1 4～9（4～32） 2 10～27（10～33） 3 28～81（28～34） 4 82～243（82～35） 5 …… …… 得出规律（计算公式）：当所测的物品的个数an-1≤a≤3n（n≥1）时，所称次数至少为n次。 2.知识导图 3.天平平衡原理 （1）天平平衡,说明两边所放物品质量相等；天平不平衡,高的那一端所放物品较轻,低的 一端所放物品较重。 （2）用天平找次品,并不是一定要通过天平称出具体质量，利用天平平衡原理,通过逻辑推理也能找出次品。例如：从3个物品中找次品的基本思路:用天平称1次,就可以判断出次品是否在托盘上,也就是说通过推理,能确定次品是这三个中的哪一个。 【专题突破一】逻辑推理法找次品 【思路点拨】用天平找次品,并不是一定要通过天平称出具体质量，利用天平平衡原理,通过逻辑推理也能找出次品。 1.有3个零件，其中一个是次品，质量稍重。根据下图可以确定次品是（ ）号零件。 【答案】② 【解析】根据天平平衡的原理，②号向下倾斜，所以质量稍重。 2.其中有1瓶奶的质量稍重，是次品，下面两位同学表明了找次品的次数，他们说的对吗？ 【答案】都对 【解析】两瓶奶，一边放一瓶，一端向下倾斜的为次品； 3瓶奶，也是一端先放一瓶，如果天平不平衡，向下倾斜的一端为次品；如果天平平衡，则未测的一瓶为次品。 【专题突破二】三组原则找次品。 【思路点拨】在找次品时，尽可能将待测物品平均分成3份，如果不能平均分成3份，则使多的一份与少的一份个数相差1，这样找出次品需要称的次数最少。 1.(1)用尽可能少的次数保证找出次品,你会对待测物品进行分组吗? 【答案】如下 待测物品个数 6 12 19 25 分组 （2，2，2） （4，4，4） （6，6，7） （8，8，9） (2)有5个零件,其中1个是次品,质量稍重,根据下图可以推断出(③④⑤)号零件一定是正品，( ① )号或( ② )号可能是次品。 （3）端午节前妈妈买了5盒蜜枣,其中有1盒较轻。如果用没有砝码的天平称,至少称几次一定能找到那盒蜜枣?请补充下列过程: ①把5盒蜜枣分成3份(2,2,1),天平两端各放( 2 )盒蜜枣。 ②如果天平平衡,那么（剩下的就是要找的那盒蜜枣） ③如果天平不平衡,把( 轻 )的一端中的2盒蜜枣分别放在天平两端，( 轻 )的那盒就是要找的蜜枣。 ④至少称( 2 )次一定能找到较轻的那盒蜜枣。 (4)6个零件里有一个是次品(次品轻些),如图是小红用天平找次品过程的称量示意图。根据示意图可知,次品是（ ⑤ ）(填序号)。如果9个零件中有1个次品至少要用天平称量( 2 )次就能保证找到次品。 2.盒子里有18枚外形完全相同的硬币,其中有1枚假币稍重一些。小乐和小壮想用没有砝码的天平找出这枚假币,他们分别设计了一种方案,但都不完整。请帮他们补充完整。 【答案】如下 小乐的方案 小壮的方案 （1）将18枚硬币平均分为2份（9,9），天平两端各放1份，（ 重 ）的一端有假币。 （2）将有假币的9枚硬币平均分为（ 3 ）份，称（ 1 ）次就可以找到假币的那份，判断过程是 天平两端各放1份,如果天平平衡,那么剩下的1份中有假币；如果天平不平衡,则重的一端有假币 。 （3）。将有假币的1份平均分成3份(1，1,1),天平两端各放1份如果天平平衡,那么剩下的1份是假币;如果天平不平衡,那么重的一端是假币 （4）共称了3次。 （1）将18枚硬币平均分为（6,6,6），任取2份放在天平两端，如果天平平衡，那么（ 剩下 ）的那份中有假币；如果天平不平衡，那么（ 重 ）的那份有假币。 （2）将有假币的1份平均分成3份(22,2),天平两端各放1份如果天平平衡,那么剩下的1 份中有假币;如果天平不平衡,那么重的一端有假币 。 （3）将有假币的1份平均分成2份(1,1),天平两端各放1份,重的一端是假币 。 （4）共称了3次。 【专题突破三】公式法找次品 【思路点拨】当所测的物品的个数an-1≤a≤3n（n≥1）时，所称次数至少为n次。（1）找次品的规律公式是：称n次，最多可以分辨出3n个零件。 ‌ （2）公式解释‌： 这个公式说明，如果你有一堆零件，其中有一个是次品，重量和其他的不一样，那么称n次最多可以分辨出3n个零件。 （3）例如： 2-3个零件，称1次就能找出次品。 4-9个零件，称2次。 10-27个零件，称3次。以此类推，这个公式帮助你快速找出次品。 1.要在70个外观完全一样的玻璃球中，找出质量稍轻的一个次品，用天平称，至少称（ ）次，才能确保找出次品。 【解析】因为33≤70≤34,所以称4次即可找出次品。 2.有300箱苹果，299箱的质量相等，只有1箱少了几个。用天平至少称（ ）次可以找出这箱苹果。 【解析】因为34≤70≤35,所以称5次即可找出次品。 【专题突破四】不知次品的轻重至少测量的次数。 【思路点拨】 （1）找次品的规律公式是：称n次，最多可以分辨出3n个零件。 ‌ （2）公式解释‌：这个公式说明，如果你有一堆零件，其中有一个是次品，重量和其他的不一样，那么称n次最多可以分辨出3n个零件。 （3）例如： 2-3个零件，称1次就能找出次品。 4-9个零件，称2次。 10-27个零件，称3次。以此类推，这个公式帮助你快速找出次品。 ‌ （4）注意事项‌：这个公式的前提是你知道次品是轻还是重。如果不知道，可能得多称一次。即n+1次 1.3个物品1个次品不知重还是轻,至少称几次。 【思路点拨】任取两个看是否平衡， 不平衡就任换其中一个，再称看是否平衡。 第一次平衡，则第三个是次品； 第一次不平衡，第二次平衡，则换下的是次品; 第一次不平衡，第二次也不平衡，则没换的那个是次品。 综上，需要至少两次称重。判断出次品后，根据称重结果即可判断轻重了。 2.五个乒乓球找次品（不知轻重）最少需要称3次才能保证把次品找出来。 【思路点拨】首先，把五个球分别编号为①②③④⑤。 方法1 第一次称：把①②和③④分别放在天平两边，有三种情况：    （1）①②=③④，⑤是次品    （2）①②＜③④，⑤是标准品；①或②有可能是重次品，或者③或④有可能是轻次品。     （3）①②＜③④ ⑤是标准品，①或②有可能是轻次品；或者③或④有可能是重次品。 第二次称：假设是上面的第ii种情况，①②>③④。把①和②分别放在天平的两边，有三种情况：   ①=②，次品在③或④中，①和②是标准品，且知道③或④是轻次品。第三次，把①和③称，有两种情况： （1）①＞③，③是轻次品， （2）①=③，④是轻次品。 方法2. ①②分别放天平左右，①=②，再第二次将③ ④放在天平左右，如果平衡，则次品在⑤ ，不平衡次品在③或④中，①和②是标准品，第三次，把①和③称，如果平衡次品就是④，如果不平衡次品是③，一共称三次。 ①②不平衡，则次品在①和②，这是运气好。第二次，把①和③称，如果平衡次品就是④，如果不平衡次品是③只用称两次。 方法3 ①②分别放天平左右，如果①=②，则①和②是标准品，第二次，把①和③称，如果平衡，第三次再①④，如果平衡次品是⑤，一共称了三次。 3.7个物体，有一个是次品，不知道轻重，最少要称几次才能找出来？ 【思路点拨】3次可以称出来，但不知道有没有2次的神操作，3次方法如下： ①先选4个出来，分成2组来称，如果平衡，则次品在余下3个之中，再用2次即可称出 如果不平衡，将4个编为A、B、C、D，其中AB一组CD一组，由对称性，不妨设AB一端较重 ②再将AB放在天平两端称，如果平衡，则次品在CD中，且次品较轻，再用A和C称，即可知道次品是C还是D ③如果AB不平衡，则次品在AB中，且次品较重，再用C和A称，即可知道次品是A还是B 3.有9盒奶粉，其中8盒每盒 600g，另1盒(次品)不是600g，但不知道比 600g重还是轻。至少称几次才能保证找出次品? 【思路点拨】 本题属于找次品的题目，需要掌握根据天平的平衡原理找次品的方法； 根据题意，先把9盒奶粉平均分成3份，每份3盒，先拿其中两份进行称重； 如果重量不同，做好标记，再将其中轻的一组与剩余的一组进行称重，推断不是600g的那盒奶粉在哪一组，进行第三次称重，推断不是600g的那盒奶粉是哪一盒； 如果两组一样重，则不是600g的那盒奶粉在剩余的一组，然后在剩余一组中，任意拿出两盒进行称重，推断不是600g的那盒奶粉是哪一盒，据此可完成解答。 【解答】 把9盒奶粉平均分成3份，每份3盒，先拿其中两份进行称重: 如果重量不同，标记出哪个轻哪个重，再将其中轻的一组与剩余的一组进行称重，如果轻的依旧轻，则不是600g的那盒奶粉不足600g且在轻的一组;进行第三次称重，将轻的那边的3盒任拿两盒称重，若平衡，则不是600g的那盒奶粉在剩余的一组，若不平衡，则不是600g的那盒奶粉是较轻的那一盒； 如果两组一样重，则不是600g的那盒奶粉在剩余的一组然后在剩余一组中，任意拿出两盒进行称重，如果重量不同，标记出哪个轻哪个重，再将其中轻的一盒与剩余的一盒进行称重，如果轻的依旧轻，则不是600g的那盒奶粉就是轻的一袋，如果一样重，则第二次标记的重的一盒就是不是600g的那盒奶粉。 所以至少要称3次。 答:至少要称3次才能找出次品。 4.有28个零件其中有一个是次品，用天平秤，至少称几次，就保证把次品找到? 【解析】可将28个零件分成9个，9个，10个。 第一次：将9个，9个置于托盘，找出次品所在零件堆。 第二次，情况A：若次品在9个中，将9个分为3个，3个，3个，进一步确定次品所在，第三次，将3个分为1个，1个，1个，因为次品不知道比正品轻还是重，所以再称一次。 第二次，情况B：若次品在10个中，将10分为3，3，4，取3，3置于托盘，确定次品所在； 第三次，若次品在3中则分类方法同A情况，若次品在4中，将4分为1，1，2，取1，1置于托盘，确定次品所在哪堆， 第四次，将2分为1，1，可找出次品，因为次品不知道比正品轻还是重，所以再称一次。 3+1=4（次） 答：总的来说，至少称4次就可以找出次品。 【点评】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，需要学生开动脑筋，借助一定的数学思维方式进行解答． 一、填空。 1.有7袋无碘盐，其中有一袋是次品，质量稍轻一些，其余的6袋质量相同，至少称（ ）次能保证找出质量稍轻的那一袋无碘盐。 【答案】2 【分析】根据找次品的方法，逐渐缩小次品所在的范围，直到找出次品。 【详解】 第一次称重： 将7袋无碘盐分为三组，2袋、2袋和3袋， 选择两组各2袋的盐进行称重， 情况A：平衡，次品在剩下的3袋中， 情况B：不平衡，次品在较轻的2袋中， 第二次称重： 情况A：次品在3袋中， 取其中2袋进行称重， 平衡，剩下的一袋是次品， 不平衡，较轻的一袋是次品， 情况B：次品在2袋中， 将这两袋放在天平两端， 较轻的一袋是次品， 答：至少称2次能保证找出质量稍轻的那一袋无碘盐。 【点睛】本题考查了找次品，掌握找次品的方法是解题的关键。 或公式法：7＜32，所以2次。 2.有13盒月饼，其中12盒质量相等，另有一盒是次品，质量不足.如果用天平称，至少称（ ）次，可以找出这盒月饼 【答案】3 【详解】三组原则 第一次称重： 13盒分3组：4盒、4盒、5盒, 两边各放4盒， 情况A：平衡，次品在5盒中, 情况B：不平衡，次品在较轻4盒中, 第二次称重： 情况A：次品在5盒中， 5盒分3组：2盒、2盒、1盒, 两边各放2盒， 两边平衡，次品是未称1盒, 两边不平衡，次品在较轻2盒中, 情况B：次品在4盒中， 4盒分3组：1盒、1盒、2盒, 两边各放1盒， 两边平衡，次品在剩下2盒中, 两边不平衡，较轻的是次品, 第三次称重： 情况A与情况B中较轻2盒放两边， 较轻的是次品, 答：至少称3次保证可以找出这盒月饼。 或公式法：13＜33，所以3次 3.要在70个外观完全一样的玻璃球中，找出质量稍轻的一个次品，用天平称，至少称（ ）次，才能确保找出次品。 【答案】4 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【详解】先把70个玻璃球分成(23，23，24)三份。 第一次:称23个的两份，如果平衡，则次品在没称的那份中，如果不平衡，则次品在天平高的那端; 第二次:将有次品那份中的23个(或24个)分成(7，7，9)或(8，88)三份，称7个或8个的两份，如果平衡则次品在没称的那份中，如果不平衡，则次品在天平高的那端; 第三次:将有次品那份中的9个(或8个)分成(3，3，3)或(33，2)三份，称3个的两份，如果平衡，则次品在没称的那份中，如果不平衡，则次品在天平高的那端; 第四次:从有次品的那份中那2个分别放在天平两端，如果平衡，则次品是剩下没称的那个，如果不平衡，则次品是天平高的那端的那一个。 这样，至少称4次才能保证找出这个次品 【点晴】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 4.有9瓶药，其中八瓶质量相同，另有一瓶少5粒，用天平称至少称（ ）次能保证把这瓶药找出来。 【答案】2   【详解】 一共有9瓶药水，把这9瓶药水分成(3，3，3)三组；把两个3瓶的放在天平上称，如不平衡，则找出较重的一组，再分成(1，1，1)放在天平上称，可找出次品，如平衡，则次品在另3瓶中，再把3分成(1，1，1)，可找出次品。 5.有16瓶钙片，外形、包装相同，其中15瓶的质量相同，另外1瓶少了一片，比其它略轻。用天平至少称( )次，才能保证找出这瓶钙片。 【答案】3 【分析】本题考查知识点：正确运用天平秤平衡原理解决问题。因天平是一个等臂杠杆，所以如果左右两盘质量不一样，则天平会不平衡，把质量不足的那一瓶看作是次品，利用天平的特点进行分组称量即可。 【详解】 第一次称量：在天平两边各放5瓶，可能出现两种情况：（把轻的那瓶看作次品）如果天平平衡，则次品在剩余的那6瓶中，把它分成3组，每组2瓶，先称2组，如果平衡，就把剩下的2瓶称量即可；如果不平衡，就称轻的那一组，如此经过3次即可找出次品。如果左右不平衡，那么说明轻的5瓶就有次品，由此再把5瓶分成3组：2瓶、2瓶、1瓶，先称两组2瓶的，如果平衡，剩下的那一瓶就是次品，如果不平衡，称轻的那组，如此经过3次即可找出次品。 综上，16瓶钙片里要找到那瓶较轻的钙片，用天平至少称3次，才能保证找出这瓶钙片。 6.有83箱苹果，82箱的质量相等，只有1箱少了几个。用天平至少称（ ）次可以找出这箱苹果。 【答案】5 【解析】运用公式法解决问题。 83＜35，所以用天平至少称5次可以找出这箱苹果。 二、选择题。 1.有6瓶水，其中5瓶质量相同，另外有1瓶是盐水，比其他水略重一些，至少称（ ）次能保证找出这瓶盐水。 A.3 B.2 C.4 D.5 【答案】B 【解析】将6瓶水分三组，每组2瓶, 第一次称重：选两组，各2瓶的水称重, 情况A：平衡，盐水在未被称重的那组2瓶, 第二次称重：从未称重的那组2瓶，分别称重，较重的是盐水, 情况B：不平衡，盐水在较重的那组2瓶, 第二次称重：从较重的那组2瓶，分别称重，较重的是盐水, 答：至少称2次能保证找出这瓶盐水，故选B。 2.一箱糖果有 12 袋，其中 11 袋质量相同，另有一袋质量不足，轻一些。用无砝码的天平称，至少称( )能保证找出这袋糖果。 A. 1次 B.2次 C.3次 D.4次 【答案】C 【分析】 第一次：把12袋糖果平均分成3份，每份4袋，任取2份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则较轻的糖果即在未取的4袋中（再按下面方法操作），若不平衡；第二次：把天平秤中较高端的4袋糖果，分成2分，分别放在天平秤2端，第三次：把天平秤中较高端的2袋糖果分别放在天平秤2端，较高端即为较轻的，据此即可解答。 【详解】 根据分析：用无砝码的天平称，至少称3次能保证找出这袋糖果。 故答案为：C 【点睛】 本题主要考查学生依据天平秤平衡原理解决问题的能力，注意每次取糖果的袋数。 3.有 27个零件，其中有一个零件是次品(次品轻一些)，用天平称，至少称( )次能保证找出次品零件， A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】A 【解析】考查目的:主要考查学生依据天平平衡原理找次品的能力。 把27个零件分成三组(9,9,9),第一次把其中两份分别放在天平两端,若平衡,则次品在未取的一份里;若不平衡,则次品在轻的一端的一份里。把含有次品的一份分成三组(3,3,3),其中两份放在天平两端,若平衡,则次品在未取的一份里;若不平衡,则次品在轻的一端的一份里。从含有次品的3个零件中取两个放在天平两端,若平衡,则未取的那个是次品;若不平衡,轻的一端的就是次品。由此可知至少称3次能保证找出次品零件。 4.刘师傅做了7个零件，其中有一个次品(比正品重一些)被混放在一起了，如果请你用没有砝码的天平来找这个次品。下面说法错误的是( ) A.称1次可能会找到它 B.称1次保证能找到它 C.称2次可能会找到它 D.称2次保证能找到它 【答案】D 【解析】因为7＜3×3（2次） 5.有2187个零件,其中有一个较重的次品,用天平称,保证找到这个次品的最少次数是( )次。 A.1084 B.7 C.3 【答案】B 【分析】 根据找次品的方法，一般把零件分成3份，尽量平均分，不平均时可以让第三份少一些，然后进行称量，这样可以尽量少的次数找到次品。 【详解】 把2187平均分成3份，每份729个，取其中的两份用天平称，如果平衡，剩下的一份里就有次品，如果不平衡，重的一方就有次品。把含有次品的一份，再分成3份，每份243个，重复上面的步骤，确定含有次品的一份。 2187÷3＝729 729÷3＝243 243÷3＝81 81÷3＝27 27÷3＝9 9÷3＝3 同上，把含有次品的一份分成3份，每份1个，重复以上步骤，确定次品。 则用天平称，保证找到这个次品的最少次数是7次。 故答案为：B 【点睛】 本题主要考查找次品，关键根据物品的个数，对物品进行分份。 6.某公司包装的 32 箱牛奶中，有一箱忘记放入赠品，工人用没有砝码的天平至少称（ ）次保证能找到这箱未放入赠品的牛奶。 A. 8 B.5 C.4 D.3 【答案】C 【解析】32＜3×3×3×3，所以工人用没有砝码的天平至少称4次保证能找到这箱未放入赠品的牛奶。 7.有8袋糖果，其中7袋每袋 250 克，另一袋比 250 克略轻一点，用天平称。下面说法正确的是( )。 A.称一次肯定能找出这袋略轻的 B.至少称2次能保证找出这袋略轻的 C.至少称3次能保证找出这袋略轻的 【答案】C 【解析】 第一次:两边各放4袋，则可以找出较轻的那4袋; 第二次:两边各放2袋，就可以找出较轻的那2袋 第三次:两边各放1袋，即可找出略轻一点的那袋糖果 答:至少称3次一定能保证找出略轻一点的那袋栗子 故答案为:C 三、解决问题。 1.如果有5瓶编号分别为1-5的钙片，其中有一瓶少了3片。如果用天平称，至少次能保证找到次品。请你在下面写出找次品的过程，也可以画图。 【答案】2次 【解析】 将5瓶钙片分为三组： 2瓶、2瓶、1瓶, 第一次称重：选择两组各2瓶的钙片进行称重, 情况A：平衡，少了3片的在未被称重的1瓶里, 情况B：不平衡，少了3片的在较轻的2瓶里, 第二次称重： 情况A：确定少了3片的在1瓶里，直接得出结果, 情况B：确定少了3片的在较轻的2瓶里，较轻的那瓶是次品, 答：至少称2次能保证找到次品。 2.有 12 枚银元，其外表都完全相同，其中有1枚是假银元，比其他的 11 枚稍轻一些，利用无砝码的天平至少称几次才能找出这枚银元呢? 以下是设计方案的一部分，请你填下面的设计方案。 【答案】3次 【解析】如下 3.有15 瓶口香糖，其中有一瓶被甜甜偷吃了一些，给你一架天平，至少称几次能保证找出被偷吃的那一瓶?请用图示表示称的过程. 【答案】3次 【解析】至少称3次能保证找出这瓶口香糖。图示: 4.一盒弹力球有 27 个，其中有一个质量稍轻(属于次品)，用天平称，至少几次就一定能找到这个次品弹力球?(用自己喜欢的方式展示出思考过程和方法，并写出答案) 【答案】3次 【解析】解：先把27个弹力球分成（9，9，9），把任意两组的放在天平上称，如平衡，则次品在没称的一组，如不平衡，次品在天平上升的一端中； 同理再把9分成（3，3，3），找出有次品的一组； 再把3分成（1，1，1），可找出次品，共需3次。 答：至少3次就一定能找到这个次品弹力球。 5.思考题: （1）有23个零件其中有一个是次品，用天平秤，至少称几次，就保证把次品找到? 【答案】4次 【解析】‌分组策略‌：将23个零件分为三组，每组分别是8个、8个和7个。 ‌第一次称重‌：选择两组各8个的零件进行称重。 情况A：如果两边平衡，说明这16个零件都是正常的，次品零件一定在未被称重的那组7个里。 情况B：如果两边不平衡，说明次品零件一定在较轻或较重的那一组8个里。 ‌第二次称重‌： 对于情况A（次品在7个中）：将这7个零件分为三组，分别是3个、3个和1个。选择两组各3个的零件进行称重。 如果两边平衡，说明次品零件就是未被称重的那个。 如果不平衡，次品零件在较轻或较重的那一组3个里。 对于情况B（次品在8个中）：将这8个零件分为两组，分别是4个和4个。然后进行称重。 次品零件在较轻或较重的那一组4个里。 ‌第三次称重‌： 对于情况A中次品在3个里的情况：随机取其中的2个零件进行称重。 如果两边平衡，说明次品零件是未被称重的那个。 如果不平衡，次品零件就是较轻或较重的那个。 对于情况B中次品在4个里的情况：将这4个零件分为两组，分别是2个和2个。然后进行称重。 次品零件在较轻或较重的那一组2个里。 ‌第四次称重（仅在情况B的第三次称重后需要）‌： 对于情况B中次品在2个里的情况：直接对这两个零件进行称重，较轻或较重的那个就是次品零件。 （2）有8个外形相同的乒乓球，其中只有一个质量不标准，请用一架不带砝码的天平，最多使用三次该天平，找出上述次品乒乓球。请在下面用图表示出称的过程。 【答案】3次 【解析】 称第一次：把这8个乒乓分成（4，4）两组，天平每边放一组，肯定不平衡．称第二次：把轻的4个分成（2，2），若平衡，奖品在未称的4个，且奖品比标准球重；若不平衡，奖品在正在称的4个，且次品比标准球轻．此时已知次品比标准球轻还是重．称第三次：天平每边各拿下1个，若平衡，次品是拿下的两个中的一个，根据在哪边拿下的即可确定这个次品。 6 学科网（北京）股份有限公司 $$