等比数列的概念【常考的6大题型归纳】讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

高二上学期数学常考题型归纳（人教A版2019选择性必修二） 专题4.3.1等差数列的概念 【题型一：根据“定义”求等比数列的通项公式..................................................】 【题型二：等比数列通项公式的基本量计算..........................................................】 【题型三：由递推关系证明数列是等比数列..........................................................】 【题型四：等比中项及其应用..................................................................................】 【题型五：等比数列的下标性质..............................................................................】 【题型六：等比数列的单调性与最值......................................................................】 1．等比数列的概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号 语言 在数列{an}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{an}为等比数列，常数q称为等比数列的公比 递推 关系 或 2．等比中项 如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. 3．等比数列的通项公式 若等比数列{}的首项为，公比为q，则这个等比数列的通项公式是. 4．证明数列是等比数列的主要方法： (1)定义法：＝q（常数）{an}为等比数列； (2)中项法：a＝an·an＋2{an}为等比数列； (3)通项公式法：an＝k·qn（k，q为常数）{an}为等比数列； 5.等比数列的下标性质： 若m,n,p,q 6．等比数列的单调性 已知等比数列{an}的首项为，公比为q，则 (1)当或时，等比数列{an}为递增数列； (2)当或时，等比数列{an}为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当q<0时，等比数列{}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶 数项异号). 【题型一：根据“定义”求等比数列的通项公式（这里只体现构造法中常考的两个）】 【思路总结】 类型一： 方法过程： 1. 设=p 2. 对比与=p得到x= 3. 所以数列是以 4. 所以=() 类型二：+ 方法过程： 1. 等式两边同时除以 2. 设,得到,回到类型一 类型三： 【例题】 1.（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，若，则 ． 2.（2025高三·全国·专题练习）在数列中，，且，则通项公式 ． 3.（2025高三·全国·专题练习）在数列中，，，，则通项公式 ． 【相似练习】 1.（24-25高三上·广东广州·期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ． 2.（24-25高三上·重庆长寿·期末）已知数列满足，则 ． 3.（24-25高二·江苏·假期作业）已知等比数列的前项和为，且.求的通项公式； 【题型二：等比数列通项公式的基本量计算】 【例题】 1．（浙江省金华十校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题）在等比数列中，，则公比 （    ） A． B． C．3 D．13 2．（24-25高二上·黑龙江绥化·期末）在等比数列中，，，则等于（   ） A．或 B． C． D．或 3．（24-25高二上·福建福州·期末）在等比数列中，若，，则（    ） A．6 B．8 C． D．16 【相似练习】 4．（2024·陕西西安·模拟预测）设正项等比数列的公比为，若，，成等差数列，则 ． 5．（24-25高二上·吉林·期末）在等比数列中，若，，则 . 6．（24-25高二上·福建福州·期末）已知等比数列满足，则数列的通项公式 ． 【名师点睛】：等比数列的通项公式中有三个基本量（项数），已知其中两个量，就可以求出第三个量，进而求出数列的通项公式或者其他项。建立方程时要注意利用等比数列的性质如：以及下标性质若m,n,p,q 【题型三：由递推关系证明数列是等比数列】 【例题】 1．（22-23高二上·江苏徐州·期中）数列的前项和为，且，数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列是等比数列； (3)求数列的通项公式. 2．（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知数列中，，且满足（）． (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； 3．（24-25高二上·河北保定·期末）已知数列满足，且.数列的前和为，. (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； 4．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知数列的前n项和为，，，数列满足． (1)求证：数列为等比数列； 【相似练习】 5．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知数列中， (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项6．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）已知数列满足，，设. (1)写出，，并证明是一个等比数列： (2)求数列的通项公式； 公式； 【名师点睛】：核心定义的深度理解与应用，等比数列的核心定义是从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数q（q）,即=q,在证明时，我们要将给定的数列递推关系朝着这个形式去转化。在书写过程中，务必清晰德展示变形步骤，明确指出q的值以及该比值对所有的(从第二项起)都成立。 【题型四：等比中项及其应用】 【例题】 1．（24-25高二上·重庆·期末）已知等比数列中，，，则等于（    ） A． B． C．6 D．不确定 2．（24-25高三下·山东·开学考试）设等差数列的公差为，，若，，成等比数列，则（    ） A．3 B．2 C． D． 3．（24-25高三上·四川成都·期中）已知等比数列中，，则的值为（    ） A．6 B． C． D． 【相似练习】 4．（24-25高二上·湖北武汉·期末）在各项均为正数的等比数列中，，，则 ． 5．（24-25高三上·山东泰安·期末）已知递增等差数列的前项和为是和的等比中项． (1)求数列的通项公式； 6．（24-25高二下·河北张家口·开学考试）已知公差不为0的等差数列满足，且成等比数列． (1)求的通项公式； 【名师点睛】：等比中项的定义为：若三个数A，B，C满足C,则称B是A与C的等比中项，等比数列中任意三项都符合(n),运用概念时要特别注意等比数列各项的符号关系，因为等比数列中，当q时各项同号，当q时奇数项和偶数项正负不同，要注意出现多解或错解的情况。 【题型五：等比数列的下标性质】 【例题】 1．（2025届山东省齐鲁名校大联考模拟预测数学试题）已知正项等比数列满足，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河北张家口·开学考试）在正项等比数列中，若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 3．（2025高三·全国·专题练习）在等比数列中，，是方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【相似练习】 4．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．14 D．15 5．（24-25高二上·福建漳州·期末）已知数列满足且，则的值为（    ） A．32 B．16 C． D． 6．（24-25高二上·河南漯河·期末）在正项等比数列中，若，，则 ． 【题型六：等比数列的单调性与最值】 【例题】 1．（24-25高二上·浙江温州·期末）若正项数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二上·上海·期末）在等比数列中，公比为q，其前n项积为，并且满足，，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数n等于4046 3．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知数列是公比为的等比数列.设甲：；乙：数列单调递增，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【相似练习】 4．【多选】（24-25高二上·浙江杭州·期末）各项均为正数的等比数列的前n项积为，若，公比，则下列说法正确的是（    ） A．若，则必有 B．若，则必有 C．若，则必有 D．若，则必有 5．【多选】（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）等比数列的公比为，且满足，，，记，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．使成立的最小自然数等于 6．【多选】（24-25高二上·湖南·期末）记等比数列的公比为q，前n项积为，已知，，，则（   ） A． B． C．的最大值为 D． 【名师点睛】等比数列单调性的判断方法比值判断法：对于等比数列，＝q， 当q且0,或者01且0时，数列单调递增；当q且0，或者q且0时数列单调递减；当q=1时数列为常数列，不具备严格的单调性；当q0时，数列的正负交替，不具备单调性。 【课后作业】 一、单选题 1．（24-25高二上·云南文山·期末）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A．211 B．210 C．11 D．9 2．（24-25高二上·重庆北碚·期末）已知等比数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）在数列中，，对任意，都有，则（    ） A． B． C． D． 4．（江苏省南通市2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题）在等比数列中，“”是“是递增数列”的（    ）条件 A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．不充分不必要 5．（24-25高三上·云南昆明·期中）设等比数列公比为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件 二、多选题 6．（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，公比为，，，记的前项积为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（安徽省鼎尖名校2024-2025学年高二上学期1月期末联考数学试题）已知等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为．若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．数列为等比数列 三、解答题 8．（24-25高二上·陕西西安·期末）设数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 9．（24-25高三下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知数列中，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)证明：． 10．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）若数列的首项，且满足， (1)证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和. 11．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列满足，且． (1)设，证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式． 12．（安徽省鼎尖名校2024-2025学年高二上学期1月期末联考数学试题）已知等差数列的首项为，公差，等比数列的首项为，公比为，且满足，，． (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前项和． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$高二上学期数学常考题型归纳（人教A版2019选择性必修二） 专题4.3.1等差数列的概念 【题型一：根据“定义”求等比数列的通项公式..................................................】 【题型二：等比数列通项公式的基本量计算..........................................................】 【题型三：由递推关系证明数列是等比数列..........................................................】 【题型四：等比中项及其应用..................................................................................】 【题型五：等比数列的下标性质..............................................................................】 【题型六：等比数列的单调性与最值......................................................................】 1．等比数列的概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号 语言 在数列{an}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{an}为等比数列，常数q称为等比数列的公比 递推 关系 或 2．等比中项 如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. 3．等比数列的通项公式 若等比数列{}的首项为，公比为q，则这个等比数列的通项公式是. 4．证明数列是等比数列的主要方法： (1)定义法：＝q（常数）{an}为等比数列； (2)中项法：a＝an·an＋2{an}为等比数列； (3)通项公式法：an＝k·qn（k，q为常数）{an}为等比数列； 5.等比数列的下标性质： 若m,n,p,q 6．等比数列的单调性 已知等比数列{an}的首项为，公比为q，则 (1)当或时，等比数列{an}为递增数列； (2)当或时，等比数列{an}为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当q<0时，等比数列{}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶 数项异号). 【题型一：根据“定义”求等比数列的通项公式（这里只体现构造法中常考的两个）】 【思路总结】 类型一： 方法过程： 1. 设=p 2. 对比与=p得到x= 3. 所以数列是以 4. 所以=() 类型二：+ 方法过程： 1. 等式两边同时除以 2. 设,得到,回到类型一 类型三： 【例题】 1.（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，若，则 ． 【详解】令，得，所以； 令，则， 两式相减得，，即， 所以， 因为，所以，所以为常数， 故数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以. 故答案为：. 2.（2025高三·全国·专题练习）在数列中，，且，则通项公式 ． 【详解】递推式的两边同时除以，得到． 令，则． 显然有，， 故是以为首项，为公比的等比数列． 因此，可得． 故答案为：. 3.（2025高三·全国·专题练习）在数列中，，，，则通项公式 ． 【详解】对递推式的两边同时取倒数，得，即， 因此，，故是以2为首项，2为公比的等比数列， 于是，可得． 故答案为：. 【相似练习】 1.（24-25高三上·广东广州·期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ． 【详解】由，，，可得， 所以是以3为首项、3为公比的等比数列，所以， 则，； 故答案为：. 2.（24-25高三上·重庆长寿·期末）已知数列满足，则 ． 【详解】因为数列满足， 所以数列是以1为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以. 故答案为： 3.（24-25高二·江苏·假期作业）已知等比数列的前项和为，且.求的通项公式； 【详解】在等比数列中，，当时，， 则，即，因此等比数列的公比为， 而，解得， 所以的通项公式是. 【题型二：等比数列通项公式的基本量计算】 【例题】 1．（浙江省金华十校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题）在等比数列中，，则公比 （    ） A． B． C．3 D．13 【详解】， ∴， 故选：C. 2．（24-25高二上·黑龙江绥化·期末）在等比数列中，，，则等于（   ） A．或 B． C． D．或 【详解】由，，得和为方程的两个根， 解得，或，，设等比数列的公比为q， 所以或. 故选：A 3．（24-25高二上·福建福州·期末）在等比数列中，若，，则（    ） A．6 B．8 C． D．16 【详解】设等比数列的公比为 因为在等比数列中，，，所以 所以，所以， 故选：D 【相似练习】 4．（2024·陕西西安·模拟预测）设正项等比数列的公比为，若，，成等差数列，则 ． 【详解】因为数列的公比为，且，所以， 因为，，成等差数列， 所以，又， 所以， 所以（舍去）或， 所以. 故答案为：. 5．（24-25高二上·吉林·期末）在等比数列中，若，，则 . 【详解】设等比数列的公比为，由，， 得，所以. 故答案为：2 6．（24-25高二上·福建福州·期末）已知等比数列满足，则数列的通项公式 ． 【详解】由题意得，结合，解得， 则. 故答案为：. 【名师点睛】：等比数列的通项公式中有三个基本量（项数），已知其中两个量，就可以求出第三个量，进而求出数列的通项公式或者其他项。建立方程时要注意利用等比数列的性质如：以及下标性质若m,n,p,q 【题型三：由递推关系证明数列是等比数列】 【例题】 1．（22-23高二上·江苏徐州·期中）数列的前项和为，且，数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列是等比数列； (3)求数列的通项公式. 【详解】（1）当时，．当时，． 检验，当时符合．所以． （2）当时，，而， 所以数列是等比数列，且首项为3，公比为3． （3）由（2）得：，所以. 2．（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知数列中，，且满足（）． (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； 【详解】（1）由题意知，所以， 由于，故，故， 故数列是以3为首项，公比为3的等比数列； 3．（24-25高二上·河北保定·期末）已知数列满足，且.数列的前和为，. (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； 【详解】（1）由已知得， 因此为常数， 可得数列为等比数列. 即数列为首项为2，公比为2的等比数列； 可得， 即 4．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知数列的前n项和为，，，数列满足． (1)求证：数列为等比数列； 【详解】（1），且，故为等比数列 【相似练习】 5．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知数列中， (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项 【详解】（1）由得， 则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 6．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）已知数列满足，，设. (1)写出，，并证明是一个等比数列： (2)求数列的通项公式； 【详解】（1）由题. 因为， 所以， 因为，所以， 则为以为首项，公比为2的等比数列； （2）由（1）可知， 当为奇数时，，故 当为偶数时，， 综上，，； 【名师点睛】：核心定义的深度理解与应用，等比数列的核心定义是从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数q（q）,即=q,在证明时，我们要将给定的数列递推关系朝着这个形式去转化。在书写过程中，务必清晰德展示变形步骤，明确指出q的值以及该比值对所有的(从第二项起)都成立。 【题型四：等比中项及其应用】 【例题】 1．（24-25高二上·重庆·期末）已知等比数列中，，，则等于（    ） A． B． C．6 D．不确定 【详解】由，可得：， 又等比数列所有奇数项同号，， 所以， 故选：B 2．（24-25高三下·山东·开学考试）设等差数列的公差为，，若，，成等比数列，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【详解】因为，，成等比数列，所以， 因为等差数列的公差为，，而， 所以，解得，故D正确. 故选：D 3．（24-25高三上·四川成都·期中）已知等比数列中，，则的值为（    ） A．6 B． C． D． 【详解】由等比数列中，， 所以，则. 故选：D 【相似练习】 4．（24-25高二上·湖北武汉·期末）在各项均为正数的等比数列中，，，则 ． 【详解】等比数列中，，由， 得，由，得， 所以． 故答案为：3． 5．（24-25高三上·山东泰安·期末）已知递增等差数列的前项和为是和的等比中项． (1)求数列的通项公式； 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为 则① 是和的等比中项 ② 由①②得 6．（24-25高二下·河北张家口·开学考试）已知公差不为0的等差数列满足，且成等比数列． (1)求的通项公式； 【详解】（1）设等差数列的公差为，由成等比数列，得，而， 则，又，解得， 所以的通项公式是. 【名师点睛】：等比中项的定义为：若三个数A，B，C满足C,则称B是A与C的等比中项，等比数列中任意三项都符合(n),运用概念时要特别注意等比数列各项的符号关系，因为等比数列中，当q时各项同号，当q时奇数项和偶数项正负不同，要注意出现多解或错解的情况。 【题型五：等比数列的下标性质】 【例题】 1．（2025届山东省齐鲁名校大联考模拟预测数学试题）已知正项等比数列满足，则（   ） A． B． C． D． 【详解】因为正项等比数列满足，所以，解得， 又，所以， 故选：B 2．（24-25高二下·河北张家口·开学考试）在正项等比数列中，若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【详解】正项等比数列 中， 可得 ， 解得 （负值舍去） . 故选：C. 3．（2025高三·全国·专题练习）在等比数列中，，是方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【详解】设等比数列的公比为，因为，是方程的根， 所以，， 又，同号，所以，，则， 所以． 故选：B. 【相似练习】 4．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．14 D．15 【详解】正项等比数列中，，解得， 因此， 所以. 故选：D 5．（24-25高二上·福建漳州·期末）已知数列满足且，则的值为（    ） A．32 B．16 C． D． 【详解】根据题意，数列满足，， 则，即数列是公比为的等比数列， 又由，则， 则. 故选：D. 5. （24-25高二上·河南漯河·期末）在正项等比数列中，若，，则 ． 【详解】因为数列为正项等比数列，， 所以， 又. 故答案为：. 【题型六：等比数列的单调性与最值】 【例题】 1．（24-25高二上·浙江温州·期末）若正项数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二上·上海·期末）在【详解】因为正项数列是等比数列，所以， 当时，，解得， 所以数列为递增数列，满足充分性； 当数列为递增数列时，，满足必要性， 所以“”是“数列为递增数列”的充要条件. 故选：C 等比数列中，公比为q，其前n项积为，并且满足，，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数n等于4046 【详解】∵，∴，∴． ∵，∴，即一个大于1，一个小于1， ∵，∴数列为递减数列，故，即，选项A正确. ，选项B正确. ，选项C错误. ， ，选项D正确. 故选：C． 3．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知数列是公比为的等比数列.设甲：；乙：数列单调递增，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】当首项时，若，此时数列单调递减， 如，因此充分性不成立； 若数列单调递增，当首项，时，满足题意， 如，可知必要性不成立； 综上可知，甲是乙的既不充分也不必要条件. 故选：D 【相似练习】 4．【多选】（24-25高二上·浙江杭州·期末）各项均为正数的等比数列的前n项积为，若，公比，则下列说法正确的是（    ） A．若，则必有 B．若，则必有 C．若，则必有 D．若，则必有 【详解】A选项，若，则， 的各项均为正数，由等比数列性质得， 则有， 故，A正确； B选项，若，则，而，所以数列单调递减， 若，则，所以，若，则，所以，B错误； C选项，若，由A知，， 若，则，又，显然矛盾，不合题意， 若，则，满足要求，则为中最大项，，C正确； D选项，若，则，而，所以数列单调递减， 则必有，所以，D正确. 故选：ACD 5．【多选】（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）等比数列的公比为，且满足，，，记，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．使成立的最小自然数等于 【详解】对于A选项，因为 为等比数列，且，， 若，则，不合乎题意， 若，则，这与矛盾， 若，则，这与矛盾， 若，由，所以，，故A正确； 对于B选项，由等比中项知，所以，故B错误； 对于C选项，因为 ，故C错误； 对于D选项，由等比中项知： ， ，故D正确； 故选：AD. 6．【多选】（24-25高二上·湖南·期末）记等比数列的公比为q，前n项积为，已知，，，则（   ） A． B． C．的最大值为 D． 【详解】因为，所以一个大于1，一个小于1， 因为，若公比，则都大于等于1，矛盾，所以，A不正确； 因为，所以，即， 所以数列是正项递减数列，可得，所以的最大值为，C不正确； ，B正确； 因为，所以，D正确. 故选：BD. 【名师点睛】等比数列单调性的判断方法比值判断法：对于等比数列，＝q， 当q且0,或者01且0时，数列单调递增；当q且0，或者q且0时数列单调递减；当q=1时数列为常数列，不具备严格的单调性；当q0时，数列的正负交替，不具备单调性。 【课后作业】 一、单选题 1．（24-25高二上·云南文山·期末）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A．211 B．210 C．11 D．9 2．（24-25高二上·重庆北碚·期末）已知等比数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）在数列中，，对任意，都有，则（    ） A． B． C． D． 4．（江苏省南通市2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题）在等比数列中，“”是“是递增数列”的（    ）条件 A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．不充分不必要 5．（24-25高三上·云南昆明·期中）设等比数列公比为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件 二、多选题 6．（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，公比为，，，记的前项积为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（安徽省鼎尖名校2024-2025学年高二上学期1月期末联考数学试题）已知等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为．若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．数列为等比数列 三、解答题 8．（24-25高二上·陕西西安·期末）设数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 9．（24-25高三下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知数列中，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)证明：． 10．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）若数列的首项，且满足， (1)证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和. 11．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列满足，且． (1)设，证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式． 12．（安徽省鼎尖名校2024-2025学年高二上学期1月期末联考数学试题）已知等差数列的首项为，公差，等比数列的首项为，公比为，且满足，，． (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前项和． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C B B A D ABC ACD 1．C 【分析】设出等比数列的公比，利用等式求得，根据等比中项，可得答案. 【详解】设等比数列的公比为，由，得，即， 故. 故选：C. 2．B 【分析】推导出，再利用等比中项的性质可求得的值. 【详解】设等比数列的公比为，则， 由等比中项的性质可得，故. 故选：B. 3．B 【分析】令，得到，从而判断出是等比数列，利用等比数列的通项公式即可求出． 【详解】由题：， 又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以， 故选：B． 4．A 【分析】设等比数列的公比为，由已知可得，分类讨论可得数列也是递增数列，反之显然成立. 【详解】设等比数列的公比为，由，可得， 若，则，即，此时数列是递增数列， 若，则，即，此时数列也是递增数列， 反之，若数列是递增数列，则有， 所以“”是“是递增数列”的充要条件. 故选：A. 5．D 【分析】要判断“”与“等比数列为递增数列”之间的条件关系.需要分别从充分性和必要性两方面进行分析，即看“”能否推出“等比数列为递增数列”，以及“等比数列为递增数列”能否推出“”. 【详解】假设.对于等比数列，其通项公式为. 当，时，根据通项公式可得. 此时，等比数列不是递增数列. 这说明仅仅不能保证等比数列一定是递增数列， 所以“”不是“等比数列为递增数列”的充分条件. 假设等比数列为递增数列，那么. 由通项公式可得，，所以. 当时，不等式两边同时除以（因为，，不等号方向改变）， 得到.例如当时，，解得. 这说明等比数列为递增数列时，不一定有， 所以“”不是“等比数列为递增数列”的必要条件. 则“”是“为递增数列”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 6．ABC 【分析】等比数列的各项均为正数，，，可得，因此，，．进而判断出结论． 【详解】等比数列的各项均为正数，，， ， ，若，则一定有，不符合， 由题意得，，，故AB正确， ，， ，，故C正确，D错误， 故选：ABC． 7．ACD 【分析】由等比数列的通项公式求得首项和公比，进而逐项判断即可； 【详解】根据题意，解得故A正确； 则，故B不正确； ，C正确； 因为，，所以，是等比数列，D正确． 故选：ACD 8．(1)； (2). 【分析】（1）根据已知有，应用等比数列的定义写出通项公式； （2）由（1）得的通项公式，应用裂项相消法求. 【详解】（1）因为，所以，又， 所以是首项为2，公比为4的等比数列，. （2）因为，所以， 所以. 9．(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由递推公式得到即可求证； （2）由（1）的结论即可求解； （3）由（2），构造，通过作差确定单调性即可求证； 【详解】（1）由，得， 所以． 又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． （2）由（1），知数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以． （3）由（2），知． 设，则， 当时，，即， 当时，，即，所以， 所以． 10．(1)证明见解析 (2)数列的前项和 【分析】（1）数列变形为，可得数列是等比数列； （2）由（1）可得，进而可得，可求的前项和. 【详解】（1）因为，所以，所以， 故数列是为首项，2为公比的等比数列； （2）由（1）可得，所以， 所以，所以， 所以数列的前项和， 所以 所以数列的前项和为. 11．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由递推关系化简，利用等比数列的定义证明数列是等比数列； （2）由（1）求出，再由递推关系化简得出，即可得出通项公式. 【详解】（1）因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 又，所以，所以， 又，所以， 所以， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知，，即， 又，可得， 又由，可得， 所以 12．(1)，； (2) 【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式，即可求出数列的通项； （2）利用等差数列与等比数列的求和公式计算即可. 【详解】（1）因为，所以， 又因为，，所以， 计算可得，可得或3， 又因为，所以， 由此可得， ； （2）， 所以， 利用等差数列与等比数列的求和公式计算可得， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$