9.3.1平面向量基本定理【6大题型】-2024-2025学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

9.3.1平面向量基本定理 【考点梳理】 考点一：基底的概念问题 考点二：基底表示向量问题 考点三：平面向量基本定理 考点四：平面向量基本定理求参数 考点五：平面向量的坐标表示 考点六：平面向量基本定理证明共线问题 【知识梳理】 知识一：平面向量基本定理 1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 知识二：平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 知识三： 平面向量的坐标表示 1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).，在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0). 【题型归纳】 题型一：基底的概念问题 1．（23-24高一下·江苏无锡）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知､是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中不能作为基底的一组是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（23-24高一下·浙江宁波·期中）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型二：基底表示向量问题 4．（23-24高一下·江苏南京·期中）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·江苏徐州·期中）在中，点D为边BC上一点，且，设，，试用，表示（    ）． A． B． C． D． 6．（23-24高一下·山东泰安·期中）如图，中，点为边的中点，点在边上，且，以为一组基底，则（   ） A． B． C． D． 题型三：平面向量基本定理应用 7．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知为的重心，线段上一点满足，与相交于点，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ）    A．9 B．4 C．3 D． 9．（2024·吉林延边·一模）如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 题型四：平面向量基本定理求参数 10．（23-24高一下·江苏盐城）已知向量不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 11．（23-24高一下·广东广州·期中）如图所示，在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，，则的最小值为（    ）    A．5 B．9 C． D． 12．（22-23高三上·湖南益阳·期末）如图所示的矩形中，，满足，，G为EF的中点，若，则的值为（    ） A． B．3 C． D．2 题型五：平面向量的坐标表示 13．（22-23高一下·江西·期末）若点，则（    ） A． B． C． D． 14．（22-23高一下·四川南充·期末）已知向量，将向量绕原点O沿逆时针方向旋转到的位置，则点的横坐标为（    ） A． B． C．0 D．1 15．（20-21高一下·江苏扬州·阶段练习）已知向量，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型六：平面向量基本定理证明共线问题 16．（23-24高一下·辽宁抚顺）如图，在中，D，F分别是BC，AC的中点，，，. (1)用分别表示向量，; (2)求证:B，E，F三点共线. 17．（22-23高一下·安徽合肥·期中）如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线.    (1)用、表示； (2)求的值. 18．（22-23高一上·辽宁锦州·期末）在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，. (1)若，试用，和实数表示； (2)试用，表示； (3)在边上有点，使得，求证：，，三点共线. 【高分演练】 一、单选题 19．（23-24高一下·江苏淮安·期中）设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 20．（23-24高一下·江苏南京·期末）向量与不共线，， ()，若与共线，则应满足（   ） A． B． C． D． 21．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 22．（2024·浙江·模拟预测）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（    ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 23．（23-24高一下·广东广州·期中）在平行四边形中，为的中点，，与交于点，若，，则（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高一下·江苏盐城·期中）如图，在中，，的平分线交于点，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高一下·宁夏银川·阶段练习）如图，在梯形中，，设，则（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在平行四边形ABCD中，，，F为CD的中点，，且，则为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 27．（2024·广东佛山·模拟预测）在中，，若，线段与交于点，则（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高三下·浙江）在平行四边形中，点是的中点，点分别满足，设，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 29．（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．平面向量的一个基底中，一定都是非零向量 B．在平面向量基本定理中，若，则 C．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的 D．若单位向量的夹角为，则在上的投影向量是 30．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知是平面内的一个基底，则下列也是平面内一个基底的是（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）以下结论中错误的是（    ） A．“”是“共线”的充分不必要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．若，则 D．若为平面的一组基底，则构成平面的另一组基底 32．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知向量，不共线，且，，，若，，三点共线，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 33．（23-24高一上·浙江宁波·期末）下列说法正确的是（    ） A．已知，为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底 B．，则存在唯一实数，使得 C．两个非零向量，，若，则与共线且反向 D．中，，，则为等边三角形 三、填空题 34．（23-24高一下·江苏扬州·期中）已知正方形的边长为3，为的中点，则 . 35．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知平行四边形中，，，．若点满足，点为中点，则 36．（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知在中，为上的一点，且，若，则 ． 37．（23-24高一下·广东广州·期中）已知为两个不共线的非零向量，若与共线，则k的值为 ． 38．（23-24高一下·上海·期中）如图，在平行四边形中，点在边上，点在边上，且与相交于点，若，则实数 . 四、解答题 39．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）设，是不平行的向量，且，． (1)若向量与共线，求实数的值； (2)若，用，的线性组合表示． 40．（23-24高一下·山西大同·期中）如图，在中，，点满足边上的中线与交于点．设．    (1)用向量表示； (2)求的大小． 41．（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知向量，不共线，点P满足，x，.证明： (1)若，则点P是线段AB的中点； (2)是A、B、P三点共线的充要条件. 42．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）设是夹角为 的两个单位向量，如果. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)试确定的值，使和共线； (3)若与的夹角为锐角，试求的取值范围. 43．（23-24高一下·江苏宿迁·期末）如图，，，分别是的边，，上的点，且，，，，，.设，. (1)用向量，表示； (2)求. 44．（23-24高一下·江苏南通·期中）如图在中，，，设， (1)用表示向量． (2)若，，，求． (3)若，，求． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.3.1平面向量基本定理 【考点梳理】 考点一：基底的概念问题 考点二：基底表示向量问题 考点三：平面向量基本定理 考点四：平面向量基本定理求参数 考点五：平面向量的坐标表示 考点六：平面向量基本定理证明共线问题 【知识梳理】 知识一：平面向量基本定理 1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 知识二：平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 知识三： 平面向量的坐标表示 1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).，在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0). 【题型归纳】 题型一：基底的概念问题 1．（23-24高一下·江苏无锡）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基底满足的条件逐一分析即可. 【详解】对于：， 所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误； 对于：， 所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误； 对于：， 所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误； 对于：设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底.故正确. 故选：. 2．（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知､是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中不能作为基底的一组是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】根据基底向量的定义，结合共线向量的判定定理逐项分析判断. 【详解】因为､是平面内所有向量的一组基底，则､不共线， 对于选项A：若、共线，则， 可得，无解， 所以、不共线，可以作为基底向量，故A错误； 对于选项B：因为， 可知和共线，不能作为基底向量，故B正确； 对于选项C：若、共线，则， 可得，无解， 所以、不共线，可以作为基底向量，故C错误； 对于选项D：若、共线，则， 可得，无解， 所以、不共线，可以作为基底向量，故D错误； 故选：B. 3．（23-24高一下·浙江宁波·期中）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】判断每个选项中的向量是否共线，即可判断出答案. 【详解】由于是平面内的一个基底，故不共线， 和不共线，故A能构成基底， 和共线，故B不能构成基底， 和不共线，故C能构成基底， 根据向量的加减法法则可知和不共线，故D能构成基底， 故选：B 题型二：基底表示向量问题 4．（23-24高一下·江苏南京·期中）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量线性运算的性质，结合平面向量基本定理进行求解即可. 【详解】 ， 故选：B 5．（23-24高一下·江苏徐州·期中）在中，点D为边BC上一点，且，设，，试用，表示（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性运算即可求解． 【详解】由题意，画出图象如下： 可得． 故选：D． 6．（23-24高一下·山东泰安·期中）如图，中，点为边的中点，点在边上，且，以为一组基底，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的加减法运算法则运算即可得出答案. 【详解】由图形可知：. 故选：C. 题型三：平面向量基本定理应用 7．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知为的重心，线段上一点满足，与相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用重心及向量的中线公式得到，结合条件及向量共线的推论，即可求出结果. 【详解】如图，因为为的重心，所以在中线上，且， 又，所以， 设，所以， 又，所以，又三点共线， 所以，得到，所以， 故选：B. 8．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ）    A．9 B．4 C．3 D． 【答案】C 【分析】借助平面向量线性运算与三点共线定理及基本不等式计算即可得. 【详解】由点是的重心，，， 故， 由、、三点共线，故， 则， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：C. 9．（2024·吉林延边·一模）如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题意可知三点共线，进而得到，利用向量基本定理表示出,进而表示出计算即可. 【详解】因为，所以 所以， 因为，所以， 即， 因为三点共线，所以，解得， 所以， 而, 所以, 即. 故选：D. 题型四：平面向量基本定理求参数 10．（23-24高一下·江苏盐城）已知向量不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】A 【分析】由共线定理可知存在使得，然后由平面向量基本定理可得. 【详解】因为与同向共线，所以存在使得， 即， 又向量不共线，所以，解得（舍去）或. 故选：A 11．（23-24高一下·广东广州·期中）如图所示，在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，，则的最小值为（    ）    A．5 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】根据向量基本定理及向量共线定理的推论得到，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】因为是的中点，则 ， 、、三点共线， ， ， 当且仅当，即时，等号成立． 故选：D．    12．（22-23高三上·湖南益阳·期末）如图所示的矩形中，，满足，，G为EF的中点，若，则的值为（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】以为基底，根据平面向量线性运算即可求解. 【详解】因为，，G为EF的中点， 所以 ， 所以，所以. 故选：A 题型五：平面向量的坐标表示 13．（22-23高一下·江西·期末）若点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的坐标表示求解． 【详解】因为，所以， 故选:B. 14．（22-23高一下·四川南充·期末）已知向量，将向量绕原点O沿逆时针方向旋转到的位置，则点的横坐标为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】先确定向量与轴正方向的夹角，再利用旋转的角度可求答案. 【详解】因为，所以向量与轴正方向的夹角为， 向量绕原点O沿逆时针方向旋转到的位置，则与轴正方向的夹角为， 此时点在轴上，点的横坐标为0. 故选：C. 15．（20-21高一下·江苏扬州·阶段练习）已知向量，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点的坐标为，则，再结合可求出的值，从而可求得点的坐标 【详解】解：设点的坐标为，则， 因为， 所以，得， 所以点的坐标为， 故选：B 题型六：平面向量基本定理证明共线问题 16．（23-24高一下·辽宁抚顺）如图，在中，D，F分别是BC，AC的中点，，，. (1)用分别表示向量，; (2)求证:B，E，F三点共线. 【答案】(1)，； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，结合几何图形用基底表示向量即得. （2）由（1）的信息，利用共线向量的定理推理即可. 【详解】（1）在中，由D是BC的中点，得， 而，于是 又F是AC的中点，所以. （2）由（1）知，，因此， 即，而有公共点，所以B，E，F三点共线. 17．（22-23高一下·安徽合肥·期中）如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线.    (1)用、表示； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由结合平面向量的减法化简可得出关于、的表达式，再由可得出关于、的表达式； （2）由、、三点共线知，存在，使得，进而可得出，利用平面向量的基本定理可求得的值. 【详解】（1）解：因为，则，所以，， 因为为的中点，故. （2）解：因为、、三点共线，则， 所以，存在，使得，即， 所以，， 又因为，且、不共线，所以，， 所以，，故. 18．（22-23高一上·辽宁锦州·期末）在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，. (1)若，试用，和实数表示； (2)试用，表示； (3)在边上有点，使得，求证：，，三点共线. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】(1)根据向量加减法运算即可; (2)根据向量的数量关系及向量加减法表示; (3)应用向量共线且有公共点证明即可. 【详解】（1）由题意，所以， ① （2）设，由，， ② 由①、②得，， 所以，解得，所以； （3）由，得，所以， 所以，因为与有公共点，所以，，三点共线. 【高分演练】 一、单选题 19．（23-24高一下·江苏淮安·期中）设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据基底的定义，结合共线向量的性质逐一判断即可. 【详解】A：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此不成立， 因此假设不成立，因此和不是共线向量，因此本选项的向量可以做基底； B：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此不成立， 因此假设不成立，因此和不是共线向量，因此本选项的向量可以做基底； C：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此要想成立， 一定有，显然无实数解，因此假设不成立， 因此和是不共线向量，所以本选项的向量可以做基底； D：因为， 所以和是共线向量，所以本选项的向量不可以做基底， 故选：D 20．（23-24高一下·江苏南京·期末）向量与不共线，， ()，若与共线，则应满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量平行的结论可以直接得到答案. 【详解】因为与不共线，且与共线，则， 即，即. 故选：C 21．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，即可得到，再根据平面向量共线定理的推论得到，解得即可. 【详解】因为，所以，即， 又，所以， 因为点是线段上一点，即、、三点共线， 所以，解得. 故选：B 22．（2024·浙江·模拟预测）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（    ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【答案】C 【分析】根据向量共线则判断即可. 【详解】对A，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故A错误； 对B，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故B错误； 对C，因为，，则，故、、三点共线，故C正确； 对D，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故D错误. 故选：C 23．（23-24高一下·广东广州·期中）在平行四边形中，为的中点，，与交于点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平面向量的线性运算将用、用分别含，的两种形式表示出来，再由平面向量基本定理建立方程，求出，即可求得． 【详解】因为在上，为的中点， 设， 因为，，三点共线，所以， 因为、不共线， 所以，解得， 所以． 故选：B． 24．（23-24高一下·江苏盐城·期中）如图，在中，，的平分线交于点，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由三点共线得到，再由平行四边形定则结合图形关系得到边长关系，最后计算结果即可. 【详解】因为三点共线，且， 所以， 过作的平行线，分别交于， 则， 又，的平分线交于点， 所以，为正三角形， 所以， 故选：A. 25．（23-24高一下·宁夏银川·阶段练习）如图，在梯形中，，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量基本定理和线性运算计算即可. 【详解】因为，， 则， 故选：A. 26．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在平行四边形ABCD中，，，F为CD的中点，，且，则为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】借助向量的线性运算，可将转化为，结合题意计算即可得. 【详解】 ， 即， 故或（负值舍去）. 故选：B. 27．（2024·广东佛山·模拟预测）在中，，若，线段与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中线性质得出，再由平面向量线性运算即可求得结果. 【详解】如下图所示：    由可得分别为的中点， 由中线性质可得， 又，所以， 因此. 故选：B 28．（23-24高三下·浙江·开学考试）在平行四边形中，点是的中点，点分别满足，设，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用平面向量基底法用表示，再利用向量垂直的性质与数量积的运算法则即可得解. 【详解】因为点是的中点，， 所以， ； 因为， 所以 ， 则，故A正确. 故选：A. 二、多选题 29．（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．平面向量的一个基底中，一定都是非零向量 B．在平面向量基本定理中，若，则 C．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的 D．若单位向量的夹角为，则在上的投影向量是 【答案】ABD 【分析】根据基底定义可判断AC；由平面向量基本定理可判断B；根据投影向量公式直接计算可判断D. 【详解】对于A，根据平面向量基底定义可知，不共线，所以一定都是非零向量，A正确； 对于B，若，且在平面向量基本定理中不共线，所以，B正确； 对于C，只要是平面内不共线的两个向量都可作为基底，C错误； 对于D，因为，所以在上的投影向量为，D正确. 故选：ABD 30．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知是平面内的一个基底，则下列也是平面内一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据向量是否共线即可结合选项判断. 【详解】对于A，由于，故共线，不能成为基底， 对于B，不共线，可以作为基底， 对于C，由于，所以共线，故不可以作为基底， 对于D，不共线，可以作为基底， 故选：BD 31．（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）以下结论中错误的是（    ） A．“”是“共线”的充分不必要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．若，则 D．若为平面的一组基底，则构成平面的另一组基底 【答案】BC 【分析】解命题“”得，解命题“与共线”得或0，即可判断A；举例即可判断B；根据垂直的向量表示即可判断C；根据共线向量和基底的概念即可判断D. 【详解】A：，， 由，得， 即，由，得； 由与共线，得或0， 所以“”是“与共线”的充分不必要条件，故A正确； B：当时，，但不存在实数使得，故B错误； C：若，不一定有，故C错误； D：假设与共线，则存在实数m使得， 由为平面的一组基底，得，方程无解，所以假设不成立， 即与不共线，所以与可以构成平面的另一个基底，故D正确. 故选：BC 32．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知向量，不共线，且，，，若，，三点共线，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】AC 【分析】首先表示出、，依题意可得，根据平面向量共线定理得到，从而得到关于、的方程组，解得即可. 【详解】因为，，， 所以， ， 又向量，不共线，，，三点共线， 所以，则，即， 所以，解得或. 故选：AC 33．（23-24高一上·浙江宁波·期末）下列说法正确的是（    ） A．已知，为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底 B．，则存在唯一实数，使得 C．两个非零向量，，若，则与共线且反向 D．中，，，则为等边三角形 【答案】ACD 【分析】利用基底的定义可判断选项A；利用向量共线定理可判断选项B；利用数量积的定义可判断选项C、D. 【详解】由，为平面内两个不共线的向量， 所以设，所以，则不存在， 所以与不共线，则可作为平面的一组基底，故A对； 只有当时，若，则存在唯一实数，使得，故B错； 因为两个非零向量，，设与夹角为， 由，平方得， ，所以，又，所以，则与共线且反向， 故C对； 在中，，所以，，所以， 由，得，即，则为等边三角形，故D对. 故选：ACD 三、填空题 34．（23-24高一下·江苏扬州·期中）已知正方形的边长为3，为的中点，则 . 【答案】 【分析】将表示为以为基底的形式，根据向量数量积运算，求得表达式的值. 【详解】 又， . 故答案为；. 35．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知平行四边形中，，，．若点满足，点为中点，则 【答案】 【分析】用平面向量基本定理即和都用和表示，即可得出的值. 【详解】 由题意可得： . 故答案为：. 36．（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知在中，为上的一点，且，若，则 ． 【答案】/ 【分析】结合向量的线性运算公式及平面向量基本定理可得，进而可求得的值，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 则. 故答案为：或. 37．（23-24高一下·广东广州·期中）已知为两个不共线的非零向量，若与共线，则k的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据共线向量满足的性质求解即可. 【详解】由题意若与共线，则， 则，因为为两个不共线的非零向量，故， 解得. 故答案为： 38．（23-24高一下·上海·期中）如图，在平行四边形中，点在边上，点在边上，且与相交于点，若，则实数 . 【答案】/ 【分析】将用表示，然后利用三点共线列方程求解即可. 【详解】由得， 因为， 则， 因为三点共线， 所以，解得. 故答案为：. 四、解答题 39．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）设，是不平行的向量，且，． (1)若向量与共线，求实数的值； (2)若，用，的线性组合表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量共线的定理计算可得； （2）由向量的线性运算和共线定理计算可得； 【详解】（1）因为向量与共线，所以设， 即， 所以， （2）设， 又因为， 由向量基本定理，得，解得 所以． 40．（23-24高一下·山西大同·期中）如图，在中，，点满足边上的中线与交于点．设．    (1)用向量表示； (2)求的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用平面向量的线性运算即可求解； （2）利用平面向量的数量积公式即可求解． 【详解】（1）由可知，， 则， 所以； 又为边上的中线，所以． （2）由得， 又，所以向量与的夹角为，则， 由图形可知，的大小等于向量与的夹角， 又， ， ， 所以， 又，所以． 41．（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知向量，不共线，点P满足，x，.证明： (1)若，则点P是线段AB的中点； (2)是A、B、P三点共线的充要条件. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）结合已知，由平面向量线性运算可得，即可证明； （2）根据平面向量的线性运算可证充分性，由共线向量定理和向量的线性运算计算可证必要性，即可证明. 【详解】（1）因为的，所以，即， 所以，所以，所以P是线段AB的中点. （2）充分性： 若，则，所以， 所以，所以， 所以A、B、P三点共线； 必要性： 因为A、B、P三点共线，所以存在实数x满足：， 所以，即， 所以，所以 综上所述，是A、B、P三点共线的充要条件. 42．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）设是夹角为 的两个单位向量，如果. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)试确定的值，使和共线； (3)若与的夹角为锐角，试求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据向量平行且有公共点得出三点共线； （2）应用两个向量平行系数关系求参； （3）把夹角为锐角转化为数量积大于零且向量不平行求参即可. 【详解】（1）因为, ，可知共线，所以三点共线. （2）因为与共线， 所以可得, 即得. （3）因为与夹角为锐角， 所以 且与不平行， 若,可得,则， 或或. 所以的范围为. 43．（23-24高一下·江苏宿迁·期末）如图，，，分别是的边，，上的点，且，，，，，.设，. (1)用向量，表示； (2)求. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据题意结合向量的线性运算分析求解； （2）根据题意结合向量的线性运算可得，再根据数量积的定义以及运算律分析求解. 【详解】（1）由题意可知：. （2）由题意可知：， 因为，，， 则， 所以. 44．（23-24高一下·江苏南通·期中）如图在中，，，设， (1)用表示向量． (2)若，，，求． (3)若，，求． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意结合向量的线性运算分析求解即可； （2）根据题意可得，根据模长公式结合数量积的运算律分析求解； （3）根据垂直关系分析可得，，结合夹角公式分析求解. 【详解】（1）由题意可知： 所以； . （2）由题意可知：，则， 可得， 所以. （3）若， 则， 整理可得， 又因为，且， 整理可得， 则，可得，即， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$