24.6 正多边形与圆-【探究在线】2024-2025学年新教材九年级下册数学高效课堂导学案（沪科版）

24.6 正多边形与圆 ©第1课时 正多边形与圆 识要，点分类结 6.(合肥期末)如图，正五边形ABCDE内接于 基础在线》 … ⊙O,点F在AE上.若∠FCD=70°，则∠FDC 知识点1正多边形的概念 度数为 () 1.下列图形中，是正多边形的是 A.64 B.72 C.74 D.80 A.等腰三角形 B.菱形 7.如图，⊙O的内接正九边形两条对角线AB,CD 相交，连接OA,OB,OC,OD.求∠1的度数. C.正方形 D.五边形 2.下列命题正确的是 A.各边相等的多边形是正多边形 B.各内角相等的多边形是正多边形 C.正多边形的对边平行且相等 D.各边相等、各内角也相等的多边形是正多 边形 3.(中考·临夏)“香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮 知识点3正多边形的画法 疏棂.”图①中窗棂的外边框为正六边形（如 8.如图，求作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH 图②)，则该正六边形的每个内角为 (不写画法，保留作图痕迹) 图1 图② 第3题图 第4题图 知识点2正多边形与圆 2 能力在线沙 方法规律综合端 4.如图，正方形ABCD是⊙O的内接四边形，则 ∠AOD的度数是 9.(六安期中)如图，已知⊙O与正五边形ABCDE 5.(中考·甘孜)如图，正六边形ABCDEF内接 的两边AB,CD相切于A,D两点，则∠AOD 于⊙O,OA=1,则AB的长为 ( 的度数是 () B.144 A.2 B.√3 C.1 D.2 A.152 C.129 D.108 D 0 D 第5题图 第6题图 第9题图 第10题图 37探究在线 九年级数学（下）·HK 10.(中考·山东)如图，已知AB,BC,CD是正n ④顺次连接DE,EF,FA,AB,BC,得到正六 边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在 边形ABCDEF. 该正n边形的外部作正方形BCMN,若 问题解决 ∠ABN=120°，则n的值为 ( 任务一根据以上信息，请你用不带刻度的 A.12 B.10 C.8 D.6 直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作 11.(池州模拟)如图，正方形ABCD与等边三角 图痕迹，不写作法)； 形PRQ内接于⊙O,RQ∥BC,则∠AOR等 任务二将正六边形ABCDEF绕点D顺时 于 ( 针旋转60°，直接写出此时点E所在位置的坐 A.45 B.50° C.60 D.75 标： 0 O(C) 第11题图 第12题图 12.(芜湖期未)如图，正八边形ABCDEFGH内 接于⊙O,且⊙O的半径为2√2，则正八边形 ABCDEFGH的面积为 () A.8 B.82 C.162D.16 3 拓展在线沙搭化拔尖提升练…。 13.(中考·临夏)根据背景素材，探索解决问题. 14.如图①，②，③所示，M,N分别是⊙O的内接 平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边 正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形 形ABCDEF. ABCDE的边AB,BC上的点，且BM=CN, 背景素材六等分圆原理，也称 连接OM,ON. 为圆周六等分问题，是一个古老 (1)图①中∠MON的度数是 ;图② 而经典的几何问题，旨在解决如 中∠MON的度数是 :图③中∠MON 何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问 的度数是 题.这个问题由欧几里得在其名著《几何原 本》中详细阚述， 已知条件点C与坐标原点O重合，点D在 x轴的正半轴上且坐标为(2,0) 图 图② 图3 操作步骤 (2)根据前面的探索，在图@中，M,N分别是 ①分别以点C,D为圆心，CD长为半径作孤， ⊙O的内接正n边形ABCDE…的边AB,BC 两孤交于点P: 上的点，且BM=CN,连接OM,ON,则 ②以点P为圆心，PC长为半径作圆： ∠MON的度数是 ③以CD的长为半径，在⊙P上顺次截取DE -EF-FA=AB: 第24章38 @第2课时正多边形的性质 基础在线》 知识受点分美结 知识点1正多边形的性质与计算 1.一个正多边形的中心角为24°，则这个正多边 形的边数是 () A.30 B.5 C.15 D.10 2.如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这 个正五边形的边长为a,半径为R,边心距为 r,则下列关系式错误的是 () 知识点2正多边形的对称性 A.R-r2=a B.a=2Rsin36 7.正五边形不具有的性质是 ( C.a=2rtan36 D.r=Rcos36 A.对角线相等 B.一定有外接圆 C.是轴对称图形 D.是中心对称图形 8.正十二边形的对称轴有 条 2 能力在线沙方法规律综合练 第2题图 第3题图 3.如图所示，已知正八边形ABCDEFGH,连接 9.一个正多边形绕着它的中心旋转40°后，才与原 AC,若正八边形ABCDEFGH的半径为 正多边形第一次重合，那么这个多边形() 1mm,则AC的长为 ( A.是轴对称图形，但不是中心对称图形 A.1mm B.√2mm B.是中心对称图形，但不是轴对称图形 C.既是轴对称图形，也是中心对称图形 C.2、2mm D./3 mm D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 4.若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径 10.“割圆术”是我国魏晋时期的数学家刘微首创 为 ( 的计算圆周率的方法：“割之弥细，所失弥少， A.2 B.2、2 割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而 c号 D.1 无所失矣”，即随着边数增加，圆内接正多边 形逐步通近圆，进而可以用圆内接正多边形 5.已知⊙O的面积为4π，则其内接正三角形的 的面积近似表示圆的面积.设圆的半径为R, 面积为 ( 则由圆内接正十二边形算得的圆周率约为 A.35 B.36 C.3 D.26 6.(教材P51例题变式)如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O,半径r=4,求这个正六边形的边长 和边心距OM的长， A.3.14 B.3 C.3.1 D.3.141 39探究在线九年级数学（下）·HK 11.(中考·通辽)如图，平面直角坐标系中，原点 3 O为正六边形ABCDEF的中心，EF∥x轴， 拓展在线沙培化接尖提升蛛】 点E在双曲线y=(k为常数，k>O)上，将 15.(黄山期末)仔细阅读以下画图过程，并解决 问题： 正六边形ABCDEF向上平移3个单位长度， 如图①，已知⊙O及圆上一点A.作法： 点D恰好落在双曲线上，则k的值为() 第一步：如图②，连接OA,并以OA为边作 ∠AOB=60°交⊙O于点B: A.43 B.33 C.25 D.3 第二步：在圆上依次取点C,D,E,F,使得BC y=k>0 =CD=DE-EF=AB: 第三步：顺次连接各点，得到六边形ABCDEF: 第四步：如图③，过点B作⊙O的切线，交OC 的延长线于点P,作直线PD, 解决问题： 第1题图 第13题图 12.(教材P51练习T2变式)（安庆期末）下列说 (1)若六边形ABCDEF的面积为6√3，求 ⊙O的半径的长： 法正确的是 () (2)判断直线PD与⊙O的位置关系，并说明 A.等边三角形的内切圆与外接圆半径之比 理由 为1：2 B.正十边形的内切圆与外接圆半径之比为1： cos18 C.正六边形的内切圆与外接圆半径之比为5：2 D.以上说法都不正确 翻 13.(中考·宜宾)如图，正五边形ABCDE的边 长为4，则这个正五边形的对角线AC的长是 ,(提示：连接BD或BE) 14.将正方形ABCD,EFGH完全重合，再将正 方形EFGH绕其中心旋转一定的角度，就得 到了正八边形IJKLMNOP,如图，这种构造 正八边形的方法称为“四转八”法。 (1)若正八边形IJKLMNOP的边长为2，则 正方形ABCD的边长为 (2)连接AC,则AC与AO之间有怎样的数 量关系？请说明理由. H A P 第24章40(2)出(1》理∠m-99” 陵力在线 4=指， ACE×wE+1a=2V2a 0用=gm,C-表0 A10.511A.1无.31 ∠0M-∠0s-}cw-∠A5)-g-∠Ng ,20山(w7+2x,,AC-2A0 由句2定理，司C=P平C=1(m 及(1}正，⊙1为△ABD的内回图，G,E,F为写或， 蹈展在镜 86m-0:0C-0m, AGAF.BG BE. 又V∠ACB-∠A0B, AB-AC. 1(F在⊙0中，∠A0第-且C-D-正-子 即号×6×留-子×0×0深 A-AG=AG-AF,牌=于，.N=CP ,∠OBA=0-∠ACR AB. (2度E=x,:D=10,,0E=DF=10-1 品∠0E-∠0HM十∠E--∠B十∠ACB-W ∴∠A0B-∠，-∠Y)=∠花=∠数球= OF-4.8CF--.46cm). C0CFCD+DF14-x. “0用是半径， ∴∠FOA=0,∴AI=C=CD=DE-EF=FA 廿CF,G分别与@0相银干点F, ,D是⊙0的想候， O4-O8,六△A0B为等游三角那. ∴G=CF=4,4m 精展在线 24,6王多边形与圆 理可△BC,△0.△DOE,△BF.△A0F为 需力在量 14C1》ADiB1 第1承时兵多造彩与国 等角形， 9.C10.A11.B (2)证明：过点0作O用⊥N于点H,莲接D,E: 基题在楼 .∠AK=∠k》=∠卫E=∠DE求=∠EFA= 12,1)64 0F,如围- L0.D1.104905CC ∠FAD=10,,大边思A改CDEF为匿内正六边形. (2)如医，连接0， ∠ANM=时'=∠B, T.节这个正九边形的外援属为⊙0， 被点0作0GLAB干G:设⊙0的平径为r: C,P8分别与⊙0于点C,,AD是 ∠A=∠A.AM=AL. 六∠B0D-e-4,∠A0-1∠D-88 渊有0对=0=B=n 直轻。 号.6×吉…马6：新得一心负值E 六00m i∠CPO-∠OPB,∠PBO= KANAC 5∠AAD-号∠0-20.∠8-号∠MC- H0=期， YAD-AF.AN-AD-AC-AF 衡去). ∠1=∠LD+∠AC=+4'= :P推是D的感直平分线， 博DN=F 暮，⊙0的集轻为名 ∠C=年，②0是△ABC的内切调，5.F为蜡点， R图期不 ,0=Pu.,∠OPn=∠DPB (直线PD与⊙O图0，理由， ∠OPB=∠DPB∠C ∠C-∠0EC=∠0F℃-0 连接0血 ∠0C-81',∠0PH=∠DPB=∠C0-" 品图边形C下为矩形 ,P为⊙0幽切线，二∠0P=T .∠=38”7”=41。 (迟-8，周难形F是正方形 在AP有ADOP中。 拓解在蓝 章=O.N= 0B+D0. 13.1)证璃.过直0作0E⊥AC,重星为E,如图， ,∠ANM=T=∠ODN=∠HN, 密力在墟 ∠0P=∠0P=每' "以州0为周台：O关为单轻的⊙0与AB 因边用OHND是夏形.O=DN. 9B16A1l.D12.C 0=P, 相银于点B,码⊥AA 0H=0E.即DH是⊙0的单径 山，任务一：如厢，正大效那ABCTAEF和正大边形NB'CDEF 'AO△DOPLSAS).,∠ODP-∠OP-0 A0平∠BA,05-四 OI⊥MN,NN是@0的g线 每为所作 ?D是圆上一是，直线PD与⊙O相间. ,0呢舞⊙D的平径 阶段测评2(4.424,5司 247祖长与角形面积 又OE⊥AC.C是⊙O的同线： 1.B2B3.h4A丘B6.C 民1课时旅关与扇影面何 (2由通意知：∠ABC-”, 1.d>5&5.2810m91,4 基得在 根据的段定理.得C-√一AF=√/了一可=2 1.(DC (2)C (3)B 2.B 12(1W8-1(3)4 :AB,AC均为心O的切线，切点处期为B和B: 1及如图周军，涯属DE,O吸 k=4語点4年a2店气1=&A AE-AB. ∠B=8∠C=N', 醋力在的 设⊙0的卡骨为r:则OE=OB=,CE=AC-AE=I1 挂务二1(4,3减(1，一5) 3.C10.C1l,4g12.8e 5-8.0-C-0ew12-r, :A几，AC是回O的切线 粘膜在战 1三1H证期”PA与@0相切， 在△中，樱星匀数定，哥C=5半0 ∠FA=0,∠0EA=9到 12-+新得一号即0-号 1.113w可762)3 ∠CAP=9 ∠A十∠BOF=10,∠日0F=13 ,AELPB.∠AEP= 六∠ED=达 第2课时正多造形的性质 h∠CAE+∠EPn0m∠P+ 4PA,P8.成是⊙O的n线，点台鳞为A,9,C,D和 看在楼 ∠EAP.∠CAE=∠， E分在PA,PB上，PA-,D是PA的中点， LC 2.A 8.B 4.A B.A ÷.∠CD-I∠CAE=2∠R &虹国，连援QC,0B 24,5三角形的内切圆 ÷rA-B-,PD-A--PA-3,-r )塑图，盖接，速点0靠0上A5 正★效形A0EF内接于⊙0 蓝随在线 ∠P=的'，∠CAE-∠P=,OM=0 ∠0C=G0 L.B.D1.A4日5.C&C7.20 PE-PB-EB6-:,DE DC+EC8+c. ,程， ÷△01D为等诗三角s.:AD=OM-三AC=4 8.注援AF DLCD,∠PDC- △C为等边三角志 :⊙(O是△ABC的内时国 在△PDE中，(6一x)=十(1十x)',解得3=1 ∠w60,BC=0Bm4 ∠ODA*.7OH⊥AE.AH-HD-AD-t 二AD=AE,BD=HE,CE=CE YAB-AC...BD-CE. m-佛-学-专 0t-0B,wa∠08w-4×号-25 OHAH+6023. ,PB⊙0相切，∴∠0BP=9 BFCF. IEt1)Y∠BAE=∠CAD.∠DAE-∠CAB 六这个查大边形的边长考4.边心里W的长为3 ,归LA,A6⊥PB.四边悬为知8 aF-c-吉×10-5,1c X:AD=AG,∠AD挥=∠路， 7.D&12 .EH=0B=4,EB=0H=2T. △D4△CAIAA) 能力在线 ∴DE=FH=DH=I,C放EH AF-√-F-过 EAB5. gA1aB1.A12,C1115十2 ∠0D=∠0M-m, 六80c-子C·AF-号×10X2- (证明，如图，连装OM, 14,4102wE+2 由【1)，周AE=AH,其AD=AMC, 设@0的牛经是，则号×+日十1o)·-0. 2AC-2Aa,理由如下 ∠ANF=∠AEN,∠ADG=∠ACA 设E八速形的边长为“ 4-5 ,∠HAE-∠CAD 新得一兰©0的轻为号 ∠ABE=∠EB=∠ADC■∠AC 周E者形ACD临边长为+D,0-停+ 六别墨再分的面飘为语-等 12 家究在线·九年圾数学（下），HK