1.1 幂的乘除 讲义2024-2025学年北师大版数学七年级下册

1.1 幂的乘除 考点1: 同底数幂的乘法 · 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，用公式表示为：am·an ＝am+n (m，n都是正整数)。 1 同底数幂的乘法的运算性质只有在底数相同时才能使用。（底数可以是单项式，也可以是多项式） 2 单个字母或数字可以看成是指数为1的幂。 3 当底数为多项式时，可以把底数看成一个整体，按照同底数幂的乘法的运算性质进行计算，底数为原多项式，只把指数相加。 4 运用同底数幂的乘法的运算性质时，不要出现底数相同的幂相加的错误，如a2＋a5≠a7，也不要出现底数不同的幂相乘的错误，如22×35≠67 · 同底数幂的乘法性质可推广，即am·an·ap＝am+n+p (m，n，p都是正整数)； 同底数幂的乘法性质可逆用，即am+n＝am·an (m，n都是正整数). 练习1. 1. 若3m＝4，3n＝8,则3m+n的值为_________ 2. －am·a3m+2＝_________； (－x)2·xn+1＝_________ －a3·a2＋a4·a＝_________；xm-1· x4＋2xm+1· x2＝_________ 3. 代数式55+55+55+55+55化简的结果是________ 4. 若2n+2n+2n+2n＝2，则n＝_________ 5. 已知am＝3，am+n＝12，则am＋an＝_________ 6. 已知22x+3＝8×64，则x＝_________ 7. 计算： (b-a)3·(a-b)n-(a-b)n+1·(b-a)2 8. 证明356－354能被24整除. 9. 一千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于3.75×105千克煤放出的热量，据估计地壳里含2×1010千克镭，试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量？（结果用科学记数法表示） 10. 信息技术的存储设备常用B，K，M，G等作为存储量的单位.例如，我们常说某U盘的容量是10G，某个文件的大小是88K等，其中1G＝210M，1M＝210K，1K＝210B，对于一个存储量为2G的U盘，其容量有多少B? 11. 规定a*b＝2a×2b，求： （1）求2*3； （2）若2*（x+1）＝16，求x的值． 考点2: 幂的乘方 · 幂的乘方，底数不变，指数相乘，用公式表示为：(am) n ＝amn (m，n都是正整数)。 (1)幂的乘方的运算性质可推广为[(am)n]p＝amnp (m，n，p都是正整数)。 (2)公式中的字母a可以是单项式，也可以是多项式。如[(a+b) m] n＝(a+b) mn (3)不要把幂的乘方的运算性质与同底数幂的乘法的运算性质混淆。 · 幂的乘方的运算性质的逆用：amn＝(am) n＝(an) m (m，n都是正整数) 练习2. 1. 计算：-(x3) 4n＝ ；(a2) 4·(a3)2＝ ; [ (-m)2]a+3＝ 2. 已知a2m＝5，则(a3m)2的值为 3. 已知4a＝32b则a，b满足的关系正确的是 4. 若一个正方体的棱长为2×103米，则这个正方体的体积为 5. 已知36＝a2＝9b，则a+b的值为 6. 已知3a＝m，9b＝n为正整数，则3a+4b-2＝ 7. 已知x＋3y＝2，则3x·27y的值为 8. 若k为正整数，则的值为 9. 已知m＝3k，n＝3×9k－1，那么用含m的代数式表示n为 10. 下列各式中，运算结果不等于a8的是（ ） A．(a2)4 B．a4 ·a4 C．(-a4)2 D．a4＋a4 11. 下列变形不正确的（ ） A．a10＝(a5)2 B．a2mn＝(amn)2 C．37＝(34)3 D．(a+b)12＝[(a+b)6]2 12. 已知x3＝m，x5＝n，用含有m，n的代数式表示x14结果正确的是（ ） A．mn3 B．m2n3 C．m3n D．m3n2 13. 已知a2b＝4，求2(a3b)2－(a4b)2的值. 14. 已知m3a＝2，求(-m2a)3-3(m3) 3a的值. 15. 已知a＝233，b＝322，c＝711，比较a，b，c的大小关系 16. 已知a＝8131，b＝2741，c＝961，比较a，b，c的大小关系 考点3: 积的乘方 · 积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，用公式表示为(ab) n＝anb n(n是正整数)。 (1)积中各因式分别乘方时不能漏掉任何一个因式； (2)注意符号变化，负数的奇次幂为负数，负数的偶次幂为正数。 · 积的乘方的运算性质的推广： 三个或三个以上因式的积的乘方也具有这一性质，例如：(abc)n＝anb ncn (n是正整数) 积的乘方的运算性质的逆用：amn＝(am) n(m，n都是正整数) 练习3. 1. 下列运算正确的是（ ） A．a2＋a4＝a6 B．a2 ·a2＝a6 C．(3a3)2＝3a6 D．(-ab)4＝a4b4 2. 已知xy＝－3，则4x3y3＝ . 3. 若3x+1·＝16x-1，则x的值为 . 4. 若n为整数，且x2n＝2，则(3x3n)2的值为 . 5. 某养鸡场定制一批棱长为3×103mm的正方体鸡蛋包装箱，则这样一个包装箱的表面积为 mm2. (结果用科学记数法表示) 6. 如图,从一个棱长为6a(a＞0)的大正方体中挖去一个棱长为3a的小正方体，则剩余部分的体积为 7. 计算：(1)2.5100×0.4100 (2) 25×45× (3) 8. 计算：(1)(-x2)·x 3·(-2y)2-3(-2xy)2·(-x)3·y (2)(-2x4)4＋2x10·(-2x2)3＋2x4·5(3x4)3 9. (1)如果27x＝33，求x的值. (2)如果3x+2·5x+2＝153x-8，求x的值. (3)已知3x+1·22-32·2 x+1＝6-x+4，求x的值. (3)若an＝6，b2n＝8，求(ab) 2n－(a2b2)n的值. 10. 已知ax＝－2，ay＝3．求： (1)ax+y的值；(2)a3x的值；(3)a3x+2y的值． 考点4: 同底数幂的除法 · 同底数幂相除，底数不变，指数相减，用公式表示为：am÷an＝am-n (a≠0，m，n都是正整数，且m＞n)。 (1)注意运算性质成立的条件：①同底数幂相除；②指数m，n为正整数,且m＞n。 (2)同底数幂的除法和同底数幂的乘法互为逆运算，因此，同底数幂的除法可以用同底数幂的乘法来检验。 (3)运用同底数幂的除法的运算性质前，应先注意是不是同底数幂，底数不同时可适当转化。 · (1)当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，例如：am÷an÷ap＝am-n-p (a≠0，m，n，p都是正整数，且m＞n＋p) (2)同底数幂的除法的运算性质的逆用：am-n＝am÷an(a≠0，m，n都是正整数，且m＞n) 练习4. 1. 下列计算正确的是（ ） A．a8÷a2＝a4 B．2a3÷a3＝2a C．a3÷(-a)2＝a D．-(2a)2÷2a＝-a 2. 已知10a＝200，10b＝，则10a-b的值为　 　. 3. 如果x12÷xm+1＝ x5，则m的值为　 　. 4. 计算：(1) xn+1·xn-1÷(xn)2 (2)(a－b)2(b－a)2n÷(a－b)2n-1 (3)(-3x2n+2y n)3÷[(-x3y)2] n (4) a3·a3＋a9÷a3－(2a2) 3 5. 若9m＝a，27n＝b，则32m-3n＝　 　. 6. 已知9m÷32m+2＝，则n的值是　 　. 7. 已知3a＝4，3b＝6，3c＝13，则3c-2b+a＝　 　. 8. 已知8×4m÷16m＝213，则m＝　 　． 9. 一种液体每升含有1012个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀虫剂可以杀死109个此种细菌，要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂 滴. 10. 天宫一号腾空之后某一时刻飞行速度是音速的30倍，而音速是3.4×102米/秒，一架喷气式飞机速度是5×102米/秒，这一时刻天宫一号腾空之后飞行速度是这架喷气式飞机速度的 倍. 11. 若xm÷x的计算结果与x3是同类项，则m的值是　 　. 12. 在等式xc÷xb＝xa中，a，b，c为三个连续的偶数，且a＜b＜c，则ab的值为　 　． 13. 若ax＝4，ay＝16，求2a2x-y＋ay-x的值. 14. 已知2x＝3，2y＝16. 求： (1)2x+y的值. (2)23x的值. (3)22x+y-1的值. 考点5: 零指数幂与负整数指数幂 1. 零指数幂 零指数幂：a0＝1(a≠0)，即任何不等于0的数的零次幂都等于1。（底数a可以是不为0的单项式或多项式） 推导：把公式am÷an＝am-n (a≠0，m，n都是正整数，且m＞n)推广到m＝n的情形，有am÷an＝am-n＝am-m＝a0， 又am÷an＝am÷am＝1(a≠0) 2. 负整数指数幂 负整数指数幂：a –p＝ (a≠0，p都是正整数) 练习5. 1. (π-1)0+(0.125)23×823的结果是 . 2. 若3(2x+3)0有意义，那么x的取值范围是 . 3. 若代数式(2x+5) 7+x的值为1，那么x＝ . 4. 将()-1，(-2)0，(-3)2这三个数按从小到大的顺序排列为 . 5. 若a＝-22，b＝2-2，c＝()-2，d＝()0.则（　　） A．a＜b＜d＜c B．a＜b＜c＜d C．b＜a＜d＜c D．a＜c＜b＜d 6. 下列各式中正确的有 个. ①()-2＝9；②2-3＝-8；③a0＝1；④(-1)-1＝1；⑤(-3)-3＝-27． 7. 比较 2-333，3-222，5-111的大小.(用“＞”连接) 8. 计算：(1) (5-π)0+()3-()-2 (2) -102÷60÷(2×10)0-()-2 考点6: 用科学记数法表示绝对值较小的数 一个小于1的正数可以表示为a×10n的形式，其1≤a<10，n是负整数（一个大于－1的负数也可以用类似的方法表示） · 用科学记数法将一个数表示为a×10n的形式时，先确定a的值，再确定n的值 练习6. 1. 据研究，某病毒的直径是0.000000125米，将0.000000125用科学记数法表示为 . 2. 一粒芝麻的质量约为2.01×10-6千克,则将数据2.01×10-6还原为原数为 . 3. 北斗三号卫星上配置的新一代国产原子钟使北斗导航系统授时精度达到了十亿分之一秒，将数据十亿分之一用科学记数法表示为 . 4. 计算(结果用科学记数法表示)： (1)122×10-3×5×10-7 (2)(3×10-4)2×8×10-3 5. 集成电路是一种采用特殊工艺，将晶体管、电阻、电容等电子元件集成在硅基片上而形成的具有一定功能的器件，俗称芯片.若某种正方形电子元件的边长为 0.0000002m. (1)这个电子元件的面积为多少平方米?(用科学记数法表示) (2)若芯片的面积是10-3 m2，则芯片的面积是电子元件面积的多少倍?(用科学记数法表示) 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$