第一章 直角三角形的边角关系-同步训练 2024—2025学年北师大版九年级数学下册

第一章 直角三角形的边角关系 一、选择题： 1.的值等于(    ) A. B. C. D. 2.已知，在中，，若，，则长为(    ) A. B. C. D. 3.如图，在中，，，则的长是(    ) A. B. C. D. 4.如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点到球心的长度为厘米，小球在左、右两个最高位置时，细绳相应所成的角为，那么小球在最高位置和最低位置时的高度差为(    ) A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米 5.在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度如图，已知小明距假山的水平距离为，他的眼镜距地面的高度为，李明的视线经过量角器零刻度线和假山的最高点，此时，铅垂线经过量角器的刻度线，则假山的高度为(    ) A. B. C. D. 6.图是一个地铁站入口的双翼闸机．如图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的弧与弧的长都为，且与闸机侧立面夹角当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为(    ) A. B. C. D. 7.在中，若，则的值为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，，，为边上的一个动点不与、重合，连接，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 9.在中，，，则的值等于______． 10.在中，若，，，都是锐角，则的度数是_______． 11.如图，在中，，是的中点，过点作的垂线交于点，，，则          ． 12.如图，为了使电线杆稳固的垂直于地面，两侧常用拉紧的钢丝绳索固定，由于钢丝绳的交点在电线杆的上三分之一处，所以知道的高度就可以知道电线杆的高度了．要想得到的高度，需要测量出一些数据，然后通过计算得出． 请你设计出要测量的对象：______； 请你写出计算高度的思路：______． 13.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从滑行至，已知米，则这名滑雪运动员的高度下降了______米．参考数据：，， 14.如图，下左图为天工开物记载的用于舂捣谷物的工具“碓”的结构简图，如图为其平面示意图．已知于点，与水平线相交于点，若，，，则点到水平线的距离为          ． 三、解答题： 15. 根据条件求锐角： ，求； ，求； ，求． 16. 计算：． 17. 在中，，，，求． 18. 如图，在中，，是边上的中线，，，． 求的长； 求的值． 19. 如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点在尺上的读数恰为若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点在尺上的读数约为          结果精确到，参考数据：，， 20. 某兴趣小组为了测量大楼的高度，先沿着斜坡走了米到达坡顶点处，然后在点处测得大楼顶点的仰角为，已知斜坡的坡度为：，点到大楼的距离为米，求大楼的高度． 参考数据：，， 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 根据特殊角三角函数值，可得答案． 【解答】 解：， 故选：． 2.【答案】  【解析】解：如图所示：，， ， 解得：． 故选：． 直接利用已知画出直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出答案． 此题主要考查了锐角三角函数定义，正确画出直角三角形是解题关键． 3.【答案】  4.【答案】  【解析】此题考查了解直角三角形的应用，三角函数的基本概念， 当小球在最高位置时，过小球作小球位置最低时细绳的垂线，在构建的直角三角形中，可根据偏转角的度数和细绳的长度，求出小球最低位置时的铅直高度，进而可求出小球在最高位置与最低位置时的高度差． 【详解】解：如图：过作于， 中，厘米，， ． 厘米． 故选：． 5.【答案】  【解析】解：米，李明的眼睛高米，， ，米，， ， 解得米， 即米． 故选：． 根据已知得出，再利用，进而得出的长． 本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意得出解答是解答此题的关键． 6.【答案】  【解析】【分析】本题考查了直角三角形的应用，过点作，过点作，在中，可求得，同理可求得，再由弧长公式可求得，即可求解． 【详解】解：过点作，过点作，如图， 则中，， ， 中，， ， 双翼的弧与弧的长都为，， ，， ， ， 双翼边缘的端点与之间的距离为， 当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为， 故选：． 7.【答案】  【解析】【分析】本题考查了求一个角的正弦，熟练掌握知识点是解题的关键．根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：在中，若， ， 故选：． 8.【答案】  【解析】如图，以为斜边向外作等腰直角三角形．，，当、、三点在同一直线上时，取得最小值，为的长在中，，，，，故选B． 9.【答案】  【解析】解：在中，，， ， ． 故答案为：． 根据题意，勾股定理求得斜边长，然后根据余弦的定义即可求解． 本题考查了解直角三角形，掌握三角函数的定义是关键． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查特殊锐角三角函数值、三角形内角和定理，掌握特殊锐角三角函数值以及三角形内角和定理是正确解答的前提． 根据特殊锐角三角函数值求出、，再根据三角形内角和定理求出答案即可． 【解答】 解：，，都是锐角， ，， ， 故答案为． 11.【答案】  【解析】解：，， ， ， 是的中点， ， ，， ∽， ，即， 解得：． 故答案为：． 在中，先求出，，继而得出，再由∽，利用对应边成比例可求出． 本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是熟练掌握三角函数的定义及勾股定理． 12.【答案】和线段；在中，由，求出， 由，可求，求得．  【解析】解：要测量的对象：和线段； 在中，由，求出， 由，可求，求得． 故答案为：和线段，在中，由，求出， 由，可求，求得． 根据解直角三角形的方法即可得到结论． 本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键． 13.【答案】  【解析】【试题解析】 【分析】 本题考查解直角三角形中的坡度坡角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于中考常考题型． 在中，，即可求解这名滑雪运动员的高度下降了多少米． 【解答】 解：在中， ， 这名滑雪运动员的高度下降了． 故答案为． 14.【答案】  【解析】【分析】本题主要考查了解三角形，熟练利用三角函数解三角形是解题的关键． 延长交于点，连接，证明，进而得到，再利用三角函数解和即可求得答案． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， ，， ，， 在中，，， ， ， ， ， 在中，， ． 故答案为：． 15.【答案】解：， ； ， ； ， ．  【解析】先启用计算器上功能，再按，最后按等于即可得； 先启用计算器上功能，再按，最后按等于即可得； 先启用计算器上功能，再按，最后按等于即可得． 本题主要考查计算器三角函数，解题的关键是掌握科学计算器上计算三角函数值功能的使用． 16.【答案】解： ， ．  【解析】将特殊角的三角函数值代入求解． 本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 17.【答案】解：在中，，，．  18.【答案】解：，，， ； ， ， ； 是边上的中线， ， ， ， ， ．  【解析】由可得，根据勾股定理可得的长，进而求得的长； 根据是边上的中线可得的长，由可得的长，根据勾股定理可得的长，再根据三角函数的定义解答即可． 本题考查了解直角三角形以及勾股定理，在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． 19.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，属于基础题型，难度中等，通过作辅助线得到是解题的关键．过点作于，过点作于首先在等腰直角中，得到，则，然后在直角中，根据正切函数的定义即可求出的长度． 【解答】 解：过点作于，过点作于， 在中，，， ， ． 在中，，， ，． 与尺上沿的交点在尺上的读数约为． 故答案为． 20.【答案】解：如图，过点作于点，于点， ， 四边形是矩形， ，， 在中，：：：， 设，， 根据勾股定理，得， ， 解得， ，， ， 在中，米， 米． 答：大楼的高度约为米．  【解析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题和坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角和坡度坡角定义． 过点作于点，于点，可得四边形是矩形，根据斜坡的坡度为：，设，，利用勾股定理可得的值，再根据锐角三角函数即可进一步求大楼的高度． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$