专题02 三角形中位线压轴九大题型-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（苏科版）

专题02 三角形中位线压轴九大题型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 题型一、利用三角形的中位线求角度 2 题型二、利用三角形的中位线求线段的长度 5 题型三、利用三角形的中位线求周长 7 题型四、利用三角形的中位线求面积 8 题型五、利用三角形的中位线求最值 12 题型六、与三角形中位线有关的规律探究 18 题型七、与三角形中位线有关的格点作图 21 题型八、三角形中位线的实际应用 25 题型九、与三角形中位线有关的证明 31 压轴能力测评（15题） 37 知识点1：三角形的中位线 三角形中位线：在△ABC 中，D，E 分别是 AC，AC 的中点，连接 DE.像 DE 这样， 连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线.B 中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。 知识点2：中点四边形:依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形O。 结论 1: 点 M、N、P、Q 是任意四边形的中点，则四边形 MNPQ 是平行四边形 结论 2: 对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形 结论3：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形 结论 4: 对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形 类型一、利用三角形的中位线求角度 【典例1】（23-24九年级上·四川资阳·期末）如图，在四边形中，点是对角线的中点，点分别是边的中点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由题意可得是的中位线，是的中位线，得到，，即得，进而得到，据此即可求解，掌握了三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点是对角线的中点，点分别是边的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【变式1-1】（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，在中，点、分别是边、的中点，点是线段上的一点．连接、，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点、分别是边、的中点，可得，再结合，可得，利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵点、分别是边、的中点， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线的性质，三角形内角和定理，熟悉以上性质是解题的关键． 【变式1-2】（23-24八年级下·广东云浮·期末）如图， 在中，， 分别是的中点， 连接， 则的度数为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行线的性质，直角三角形的特征，熟悉三角形中位线定理是本题的关键．根据直角三角形两锐角互余，求出，由三角形中位线定理得到，根据平行线的性质即可解答． 【详解】解： ， ， 分别是的中点， ， ， 故选：D． 【变式1-3】（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点是的中点，的度数为 ，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形中位线的性质等知识点，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键． 由矩形的性质可得，可得，然后根据三角形外角的性质即可求得；再根据三角形中位线的性质可得,根据平行线的性质即可求得,最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴ 故答案为：，． 类型二、利用三角形的中位线求线段的长度 【典例2】（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）如图中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（   ） A．16 B．6 C．4 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，再根据三角形的中位线定理求解即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式2-1】（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，为的中位线，点F在上，且，若，，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了三角形的中位线、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，最后根据线段的和差求解即可得． 【详解】解：∵为的中位线，， ∴，点是的中点， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：1． 【变式2-2】（21-22八年级下·广东江门·期中）如图，矩形中，，，R是的中点，P是上的动点，E、F分别是、的中点，那么线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、中位线的性质及勾股定理，检验学生对矩形性质和中位线性质的理解及对勾股定理的掌握情况．根据矩形的性质，利用勾股定理即可求出得长度，在根据三角形中位线的性质即可求得答案． 【详解】如图，连接， 四边形是矩形，，， ，． R是的中点， ， ， 、分别是、的中点， 为的中位线， ， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，，，，分别为，的中点，连接，平分，交于点，则的长是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质．用勾股定理可算出，然后根据中位线定理“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”可得，，易证得，然后计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵D，E分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 类型三、利用三角形的中位线求周长 【典例3】（24-25九年级上·河南·阶段练习）如图，菱形中，，分别是，的中点，若，则菱形的周长为（  ）    A．14 B．16 C．15 D．17 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中位线和菱形的性质．利用三角形的中位线定理以及菱形的性质进行计算即可． 【详解】解：∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ， ∴菱形的周长为． 故选：B． 【变式3-1】（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，四边形，已知对角线相交于点，且，点分别依次为四边形的边的中点，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，在中，根据点为中点可得，同理可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，在中，点为的中点， ∴， 同理，在中，， 在中，， 在中，， ∵四边形的周长为， ∵， ∴四边形的周长为， 故选：B ． 【变式3-2】（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在四边形中，分别是的中点，若，则四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中位线定理．熟练掌握中位线定理，是解题的关键．利用中位线定理，进行求解即可． 【详解】解：∵，分别是的中点， ∴，， ∴四边形的周长为； 故答案为：． 【变式3-3】（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，在周长为2的三角形中，，，分别是，，的中点，则的周长是 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理得到，根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵点分别为三边的中点， 是周长为2的三角形， ， 的周长， 故答案为1． 类型四、利用三角形的中位线求面积 【典例4】（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在矩形中，点是边上一点，连接，点分别是的中点，连接，若，则矩形的面积是（   ） A．200 B．196 C．192 D．188 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，直角三边形斜边的中线的性质，勾股定理逆定理，根据矩形的性质可得，根据F，G分别是的中点，可得，是的中位线，求出和的长，进一步可知是直角三角形，，根据，求出的面积，根据和矩形同底等高，可知矩形的面积，即可求出矩形的面积． 【详解】解：在矩形中，， ∵F，G分别是的中点， ∴，是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴矩形的面积， 故选：C． 【变式4-1】（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，四边形的对角线于点O，点E，F，G，H分别为边和的中点，顺次连接和，得到四边形．若，则四边形的面积等于（　　）． A．30 B．35 C．40 D．60 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，根据三角形中位线得到、成为解题的关键． 先根据三角形中位线得到、，再判定平行四边形是矩形，最后根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵点E，F分别为边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， 同理可得：，， ∴， 同理可得：， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴矩形的面积为：，即四边形的面积为30． 故选：A． 【变式4-2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积，与三角形中线、中位线有关的面积计算，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 根据中线的性质，可得，同理，，根据三角形中位线的性质可得，即可得到的面积． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， 又∵点是 的中点， ∴，， ∴． 又∵、是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点E，F是菱形边的中点，，，则菱形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了中位线，菱形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握中位线，菱形的性质，勾股定理是解题的关键． 如图，记的交点为，由点E，F是菱形边的中点，，可得，，，，由，可得，设，则，由勾股定理得，，可求，则，根据菱形的面积是，计算求解即可． 【详解】解：如图，记的交点为， ∵点E，F是菱形边的中点，， ∴，，，， ∵， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， ∴菱形的面积是， 故答案为：． 类型五、利用三角形的中位线求最值 【典例5】（23-24八年级下·山东潍坊·阶段练习）如图，矩形中，，，是边上的动点，是边上的一动点，点、分别是、的中点，则线段的长度最大为 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形中位线的性质定理，勾股定理，根据点、分别是、的中点，是的中位线，得到，故当最大时，线段的长度最大，利用勾股定理求出，即为线段的长度最大值． 【详解】解：连接， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最大时，线段的长度最大， ∵是边上的动点，， ∴当点P与点C重合时，最大，此时， ∴线段的长度最大为， 故答案为． 【变式5-1】（2024·江苏扬州·二模）在矩形中，，动点P在边上，过点P作于点E，连接，取的中点F，连接，在运动过程中当线段最小时，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，正确做出辅助线是解题的关键； 设点D关于直线的对称点为点G，连接，，延长，交于H点，连接，根据对称性质得，，在证和，然后将构造成三角形的中位线，将动线段转化为定点B到直线得最短距离，然后根据勾股定理和点到直线垂线段最短，求得取最小值的情况以及对应线段长度即可． 【详解】如图所示，设点D关于直线的对称点为点G，连接，，延长，交于H点，连接， 点G，D关于直线对称， ，， 在和中 ， ， ， ， ， 在和中 ，即E为的中点， 又F为的中点， 为的中位线， ， 要使最小，则需取得最小值，而B为固定点，H在固定直线上， 由点到直线垂线段最短可知，当时取得最小值， ， ， ， 在中，， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 【变式5-2】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在正方形ABCD中，AD=3，BE=1，P，Q分别是线段BC，线段CD上的动点，当四边形AEPQ的周长最小时，四边形AEPQ的面积为 ． 【答案】 【分析】作点E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，即可得出P，Q的位置，然后根据中位线的性质求出DQ＝AE′＝2，CQ＝1，证明△PCQ≌△PBE′（AAS），求出PC＝PB＝BC＝，然后根据S四边形AEPQ＝S正方形ABCD−S△ADQ−S△PCQ−S△BEP计算即可． 【详解】解：如图，作点E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′， 则QA＝QA′，PE＝PE′， ∴QA＋QP＋PE＝QA′＋QP＋PE′≥A′E′， ∴如图，四边形AEPQ的周长最小， ∵AD＝A′D＝3，BE＝BE′＝1， ∴AA′＝6，AE′＝4， ∵∠A′AE′＝90°， ∴∠A′＋∠E′＝90°，∠A′AQ＋∠QAE′＝90°， 又∵∠A′＝∠A′AQ， ∴∠E′＝∠QAE′， ∴QA＝QE′， ∴QA′＝QA＝QE′，即点Q是A′E′的中点， ∵， ∴DQ是△A′AE′的中位线， ∴DQ＝AE′＝2， ∴CQ＝DC−DQ＝3−2＝1， ∴BE′＝CQ， 在△PCQ和△PBE′中，， ∴△PCQ≌△PBE′（AAS）， ∴PC＝PB＝BC＝， ∴S四边形AEPQ＝S正方形ABCD−S△ADQ−S△PCQ−S△BEP ＝ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题，正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，中位线的性质，全等三角形的判定和性质等，利用轴对称确定A′、E′，连接A′E′得出P、Q的位置是解题关键． 【变式5-3】（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，6），点M是AB的中点，动点P在x轴上运动，连接BP，ON⊥BP于N，当MN最小时，点P的坐标为 ． 【答案】（6，0） 【分析】如图，取OB的中点E，连接EN、EM，先根据直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形的中位线定理可得，，再根据三角形的三边关系可求得MN的最小值为1，然后画出此时相对应的图形，再利用三角形的中位线定理求解即可． 【详解】解：如图，取OB的中点E，连接EN、EM， ∵A（8，0），B（0，6）， ∴OA＝8，OB＝6， ∵ON⊥BP于N， ∴∠BNO＝90°， 又∵点E为OB的中点， ∴， ∵点E、M分别为OB、AB的中点， ∴EM是的中位线， ∴，， 当点E、N、M不在同一直线上时，， 即， 当点E、N、M在同一直线上时，或， ∴， ∴MN的最小值为1，此时点N在线段EM上，如下图所示： ∵EM是的中位线，点N在EM上，点P在OA上， ∴MN是的中位线， ∴， ∵， ∴， 又∵OA＝8， ∴， ∴此时点P的坐标为（6，0）， 故答案为：（6，0）． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、三角形的中位线定理以及三角形的三边关系的应用，能够根据题意求得MN的最小值以及画出此时相对应的图形是解决本题的关键． 类型六、与三角形中位线有关的规律探究 【典例6】（22-23八年级下·山西吕梁·期中）如图，依次连接周长为1的小等边三角形各边的中点，得到第二个小等边三角形，再依次连接第二个小等边三角形各边的中点，得到第三个小等边三角形……按这样的规律，第2023个小等边三角形的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得第二个三角形的周长为，同理可得，第三个三角形的周长是，即可得到规律，从而可得第2023个小等边三角形的周长． 【详解】解：如图所示：   ， 分别为的中点， 分别为的中位线， ， 的周长， 第二个三角形的周长为， 同理可得，第三个三角形的周长是， …… 第2023个小等边三角形的周长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理及应用，熟练掌握三角形中位线定理，得出相应的规律是解题的关键． 【变式6-1】（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，是边长为2的等边三角形，分别取边的中点，，，连接，得到四边形，它的周长记作；分别取的中点，，，连接，，得到四边形，它的周长记作；照此规律作下去，则等于 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了三角形中位线定理、图形的变化规律，根据三角形中位线定理、线段中点的定义求出四边形的各边长，从而得出边长，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：∵点，，分别为边的中点， ∴、都是的中位线， ∴，，，， ∴四边形的周长：， 同理可得：四边形的周长， 四边形的周长， 四边形的周长， …， ∴， 故答案为：． 【变式6-2】（2024·山东济南·模拟预测）如图，在中，已知，，，依次连接的三边中点，得到，再依次连接的三边中点，得到，，按这样的规律下去，的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，三角形中位线定理，由再利用中位线的性质可得： 再总结规律可得：从而运用规律可得答案． 【详解】解：探究规律： ，，， 分别为的中点， 同理： 总结规律： 运用规律：当时，． 故答案为：． 【变式6-3】（2021·黑龙江·三模）如图，在等腰直角三角形中，，，分别连接，，的中点，得到第1个等腰直角三角形；分别连接，，的中点，得到第2个等腰直角三角形……以此规律作下去，得到等腰直角三角形，则的长为 ． 【答案】 【分析】由题意，先求出，，，然后找出变化的规律，即可得到答案． 【详解】解：在等腰直角三角形中，，， ∴， ∵、、是中点， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴； 同理可求：； ； …… ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是遵循从特殊到一般的探究方法，寻找规律，利用规律即可解决问题． 类型七、与三角形中位线有关的格点作图 【典例7】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点均在格点上，请回答下列问题． (1)直接写出的长度为_______； (2)在格点上找一点C，连接，使； (3)利用格点，画线段的中点； (4)在格点上找一点，连接，使． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】此题考查了勾股定理、三角形中位线的性质定理等知识，熟练掌握网格的特点是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）根据网的特点作图即可； （3）利用网格的特点找点D即可； （4）根据中位线定理进行作图即可． 【详解】（1）解： 故答案为： （2）如图，线段即为所求， （3）如图，点D即为所求 （4）如图，线段即为所求． 【变式7-1】（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．在图中已标出线段，A，B均为格点，按要求完成下列问题． (1)以为对角线画一个，且C，D为格点，点C在线段AB的上方； (2)则（1）中的周长是______，面积是______； (3)仅用无刻度直尺画出上图中的一条中位线（保留所有画图痕迹）． 【答案】(1)见解析（答案不唯一） (2)，12 (3)见解析（答案不唯一） 【分析】（1）利用网格的信息找到的中点O，利用平行四边形对角线互相平分以及C，D为格点画出即可． （2）结合网格利用勾股定理求出，，进一步求出的周长和面积即可． （3）利用网格的信息找到的中点E，连接即可． 【详解】（1）解：如下为所求： （2）∵，， ∴的周长是∶， 的面积是： 故答案为：，12． （3）， 如下：即为所求． 【点睛】本题主要考查了利用网格画出平行四边形以及用无刻度尺画三角形的中位线，平行四边形的性质以及中位线的定义，并利用网格求平行四边形的面积以及周长． 【变式7-2】（2024·浙江温州·三模）如图在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请按照要求画格点图形． (1)在图1中画出一个平行四边形，且平行四边形的面积为5； (2)在图2中画一个以为中位线的格点三角形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要几何图形的变换，理解题意，根据图形的面积公式及三角形中位线的定义即可求解，解题的关键就是对图形性质的理解． （1）根据平行四边形的面积为5，可先构造一个底为5，高为1 的三角形，进而可作出平行四边形． （2）先以A为中点构造边，连接并延长，即可找到F点，连接即可． 【详解】（1） 如图， ， ， 即为所求； （2） 如图，A点为的中点，B点为的中点， ∴是的中位线， ∴即为所求． 【变式7-3】（23-24八年级下·浙江金华·期中）如图是5×5的方格纸，点A，B，C都在格点上，按要求作图． (1)在图1中找到一个格点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形； (2)在图2中仅用无刻度的直尺，作出的中位线MN使得M在AB上，N在AC上．（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计图案，三角形中位线定义，平行四边形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行四边形的判定画出图形； （2）根据三角形的中位线的定义画出图形． 【详解】（1）解：如图1中，平行四边形即为所求； （2）如图2中，线段即为所求． 类型八、三角形中位线的实际应用 【典例8】（23-24八年级下·山西朔州·期末）阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 【答案】（1）平行四边形对边相等；三角形的中位线等于第三边的一半；（2）①作图见解析；②步骤见解析；③全等三角形对应边相等 【分析】（1）根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质进行解答即可； （2）构造全等三角形，画出图形，利用全等三角形的对应边进行解答即可． 【详解】解：（1）“圆周率”小组：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是平行四边形对边相等； “智慧”小组：∵D，E分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是三角形的中位线等于第三边的一半； （2）①如图， ②先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使， ，最后量出的距离就是的距离； ③在和中， ， ∴， ∴， ∴得到A，B两点间的距离的主要依据是全等三角形对应边相等． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，三角形中位线的应用，三角形全等的应用，平行线的判定，解题的关键是理解题意熟练掌握相关的判定和性质． 【变式8-1】（2024·广东东莞·模拟预测）为了倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，．当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．过点B作垂直底面于点D，判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得． 【详解】解：如图，过点B作垂直底面于点D， ， ， 点O为跷跷板的中点， 是的中位线， ， ， 故选：B． 【变式8-2】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图1，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接，分别取，的中点D、E． (1)测得的长为，则A、B两地的距离为_______． (2)如图2，在四边形中，，点E、F分别是和的中点， 求的长 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形中位线定理的含义，全等三角形的判定与性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． （1）证明为的中位线，利用三角形的中位线的性质可得答案； （2）如图，取的中点，连接，连接，并延长交于，证明，可得，证明三点共线，再利用三角形的中位线的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵，的中点为D、E． ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴； （2）如图，取的中点，连接，连接，并延长交于， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点H、F分别是和的中点，， ∴，， ∴三点共线， ∵点H、E分别是和的中点，， ∴， ∴． 【变式8-3】（23-24八年级下·广西南宁·期末）【综合与实践】 任务 如图1， 测出水池A， B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）．    测量工具 皮尺    皮尺的功能： 直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 测角仪    测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P， Q两点，可测得的大小．    小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2， 水池外选点 C， 用皮尺测得； （2）分别在上用皮尺测得，测得．    求解过程 由测量可知： ∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的______ ∵， ∴______． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离，依据是 ； (3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，测量次数不超过3次）．         【答案】(1)见解析 (2)三角形的中位线等于第三边的一半 (3)示意图见解析， 【分析】本题考查三角形中位线的判定与性质，含30度直角三角的特征． （1）根据三角形中位线的性质即可解答； （2）三角形的中位线等于第三边的一半； （3）用测角仪在点A处测出，在射线上找一点G，用测角仪测出，然后用皮尺测量出，利用含30度直角三角的特征即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴． （2）解：由（1）可知小明测出水池A，B两点间的距离， 依据是：三角形的中位线等于第三边的一半； （3）解：如图，   ， ． 类型九、与三角形中位线有关的证明 【典例9】（23-24八年级下·四川广安·阶段练习）如图，在四边形中，，，和分别是各边中点，对角线，交于点． (1)若，求证：四边形是菱形； (2)若，请问四边形是什么形状？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)矩形，理由见解析 【分析】本题考查菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键； （1）根据中位线定理可得，，，，进而证明，即可证明四边形是菱形； （2）作交于点， 交于点，根据中位线定理可得，进而证明，即可求解； 【详解】（1）证明：，，，分别是、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，， ， ， 四边形是菱形； （2）解：若，四边形是矩形，理由如下： 作交于点， 交于点， ，，，分别是、、、的中点， 、分别是、的中位线， ，，同理可证，， ，同理可证， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ，， ， 在四边形中，， 四边形是矩形； 【变式9-1】（23-24九年级上·河南驻马店·期中）[教材呈现] （1）如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明． 如图①，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点． 求证：． [结论应用] （2）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段交的延长线于点E，延长线段交的延长线于点F．求证：． （3）若（2）中的，则的大小为多少？ 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题考查了三角形中位线定理、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，熟知三角形中位数定理是解题的关键． （1）可得分别为的中位线，则，则，即可求证； （2）根据三角形中位线定理得到，则，同理，再根据即可证明； （3）先由三角形中位线定理得到，则，由三角形外角的性质得到，再由，得到，，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点． ∴分别为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：P是的中点，M是中点， 是的中位线， ， ， 同理可得， ， ， ， ， ； （3）解：， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ． 【变式9-2】（21-22八年级下·福建莆田·阶段练习）如图，将矩形绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形，使点B落在边上的点E处，连接交于点H，连接． (1)求证：平分； (2)取中点P，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线性质，得到；根据等腰三角形的性质，得到，等量代换得到即可． （2）如图，过点B作，证明，后证明，得到，继而得到是中位线得证． 【详解】（1）证明：∵矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，使点落在边上的点处， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴平分． （2）证明：如图，过点B作， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，点P为的中点， ∴是中位线， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的中位线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握矩形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理是解题的关键． 【变式9-3】（24-25九年级上·北京·期中）在中，，，于点，点是上动点（不与重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段． (1)如图1，当点在线段上时，求证：点是线段中点． (2)如图2，作点关于点的对称点，连结，． ①依题意补全图形． ②猜想的度数，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】（1）由旋转的性质得，，利用三角形外角的性质求出，可得，等量代换得到即可； （1）①根据题意以点E为圆心，为半径画弧，交于点，再连接，即可；②延长到H使，连接，，，可得是的中位线，设，，则，，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一证明即可． 【详解】（1）证明：由旋转的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即E是的中点； （2）解：①补全图形如下： ②，证明如下： 证明：延长到H使，连接，，， ∵， ∴是的中位线， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵， ∴， 设，，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质，三角形中位线定理，熟练掌握中位线定理，勾股定理三线合一性质是解题的关键． 1．（23-24八年级下·河南开封·期末）某数学小组要测量池塘两侧，两点间的距离，无法直接测得，间的距离，先在地面上取可以直接到达，的点，连接和，分别取，的中点，，测得线段的长为，则，两点间的距离是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中位线性质，根据三角形的中位线性质得到即可求解． 【详解】解：∵点，是，的中点， ∴是的中位线，又， ∴， 故选：B． 2．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在中，，，是斜边上的一个动点，且在上（不包含端点）运动的过程中，始终保持，分别是的中点，连接，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，判定四边形是矩形，推出，由三角形中位线定理得到，因此，当时，最小，由勾股定理求出的长，由三角形面积公式，得到的面积，求出，即可得到的最小值是． 【详解】解：连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴当最小时，最小，当时，最小， 此时的面积， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，关键是判定四边形是矩形，得到，由三角形中位线定理得到，由三角形面积公式求出的最小值． 3．（24-25九年级上·山西晋中·期中）如图，在菱形中，，，顺次连接菱形各边的中点所得四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，交于点，根据菱形的性质和中位线定理可知四边形是矩形，根据菱形的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可求，，利用矩形的面积公式可求结果． 【详解】解：如下图所示，连接、，交于点， 四边形是菱形， ，， 又， 是等边三角形， ， 则， ， 点、、、分别是、、、的中点， ，， 同理可得，， 四边形是矩形， 四边形的面积为． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、矩形的面积公式、等边三角形的判定和性质，解决本题的关键是根据菱形的性质和三角形的中位线定理证明四边形是矩形． 4．（2021·河南·二模）如图，AC是边长为2的正方形ABCD的对角线，P为BC边上一动点，E，F为AB，AC的中点．当PE+PF的值最小时，CP的值为 ． 【答案】 【分析】作点E关于BC的对称点Q，连接FQ，交BC于点P，此时PE+PF最小，再利用中位线的性质求解即可． 【详解】如图，作点E关于BC的对称点Q，连接FQ，交BC于点P，此时PE+PF最小， ∵E，F为AB，AC的中点，BC=2， ∴，， ∵B为EQ中点，， ∴BP为的中位线， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最短路线问题-将军饮马模型，中位线的性质，熟练掌握将军饮马模型的作法是解题的关键． 5．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，矩形中，点是边上任意一点，连接．点分别是的中点，连接．若，，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理．先求得矩形的边长，根据三角形中位线定理得． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴设，， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∵点分别是的中点， ∴， 故答案为：3． 6．（24-25八年级上·重庆垫江·期末）在如图所示的中，点D，E在边上，的平分线于F，的平分线于H，若，，则△ABC的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理．证明，推出，，同理，，得到是的中位线，进一步计算即可求解． 【详解】解：∵平分，且， ∴，，， ∴， ∴，， 同理可证，， ∴是的中位线， ∴， ∴的周长为， 故答案为：20． 7．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，D为外一点，使，E为的中点，，求的度数． 【答案】 【分析】延长、交于F，证明，可得，，求得，根据三角形中位线定理可得，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：延长、交于F， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵E为的中点，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质、直角三角形的性质，正确构造全等三角形证明是解题的关键． 8．（22-23八年级下·江苏·期末）解答题 (1)证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）] (2)如图2，在中，对角线交点为分别是的中点，分别是的中点，…，以此类推．若的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l； (3)借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？    【答案】(1)见解析 (2) (3)（无限接近于2） 【分析】（1）先作出图形，延长至F，使，然后根据“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可得，然后证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对边平行且相等可得且，然后整理即可证明结论； （2）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出四边形的周长等于周长的一半，然后依次表示出各四边形的周长，再相加即可解答； （3）根据规律，l的算式等于大正方形的面积减去最后剩下的一小部分的面积，然后写出结果即可解答． 【详解】（1）解：已知：在中，D、E分别是边的中点， 求证：且， 证明：如图，延长至F，使， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形对应边相等），（全等三角形对应角相等）， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴且， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∴且（平行四边形的对边平行且相等）， ∵， ∴且．    （2）解：∵分别是的中点， ∴， ∴四边形的周长1， 同理可得，四边形的周长， 四边形A3B3C3D3的周长， …， ∴四边形的周长之和． （3）解：由图可知，（无限接近于1）， 所以（无限接近于2）． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理的证明、平行四边形的判定与性质、数字规律等知识点，正确作辅助线构造出全等三角形的和平行四边形是解题的关键． 10．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）实践操作：如图，是正方形网格，每个小正方形的边长都为1． (1)请在图中画出等腰，使得点在格点上，，且； (2)仅用无刻度直尺作出的中位线，使得点分别在上，并保留作图痕迹． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图所示，取格点C，连接，即为所求； （2）分别取格点M、N、G、H，连接交于E，连接交于F，则即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； 【点睛】本题主要考查了无刻度直尺作图，等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等等，熟练掌握相关性质是解题关键． 11．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，点、、分别是、、的中点，连接、、、．    (1)求证：、互相平分； (2)现有三个条件：①；②平分；③；请你从中选择两个条件（写序号）：使得四边形是正方形，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)①②（或①③），见解析 【分析】本题考查了正方形的判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握正方形的判断，三角形中位线定理是解题的关键． （1）由三角形中位线定理得，再证四边形为平行四边形，即可得出结论； （2）可以选①②（或①③），根据平行四边形的性质与判定、矩形的判定定理、三角形中位线的性质及正方形的判定定理得到结论． 【详解】（1）证明：证明：、、分别为、、的中点， ，， 四边形为平行四边形． 、互相平分； （2）方法1：选①②平分， 证明：四边形为平行四边形，， 是矩形 平分， ， ， ， ， ， 矩形为正方形． 方法2：选①；③； 证明：四边形为平行四边形， 是矩形 ， 点是的中点， 矩形为正方形． 故答案为：①②（或①③） 12．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接， 分别为的中点， ．（依据1） 分别为的中点， ． 同理： 四边形是平行四边形．（依据2） 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnon，Pierte1654∼1722）是法国数学家，力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．例如：瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系． 任务： (1)填空：材料中的依据1是：_______．依据2是：_______． (2)如图2，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论． (3)请用刻度尺，三角板等工具，画出四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形，且四边形的对角线与的夹角为，求瓦里尼翁平行四边形中的度数． 【答案】(1)三角形的中位线定理．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 (2)瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和，证明见解析 (3)图见解析，的度数为或 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、平行线的性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键． （1）根据三角形的中位线定理、两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得； （2）根据三角形的中位线定理可得，，由此即可得； （3）根据题意画出图形（见解析），先根据三角形的中位线定理可得，，再根据平行线的性质求解即可得． 【详解】（1）证明：如图2，连接， 分别为的中点， ．（三角形的中位线定理） 分别为的中点， ． ， 同理：， 四边形是平行四边形．（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 故答案为：三角形的中位线定理．两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （2）解：瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和．证明如下： 分别为的中点， ∴． 分别为的中点， ∴． ∴， 同理：， ∴瓦里尼翁平行四边形的周长为 ． （3）解：由题意，画出图形如下： ①如图1，当时， 分别为的中点， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴； ②如图2，当时，则， 分别为的中点， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴； 综上，瓦里尼翁平行四边形中的度数为或． 13．（24-25八年级上·山东烟台·期末）【问题背景】 小明遇到一个这样问题：如图1，两条相等的线段，交于点O，，连接，，求证：．通过尝试，他发现通过平移可以解决这个问题： 证明：过点C作，且使，连接． ∴四边形为平行四边形， ∴ ， ∵， ∴ ， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，即． （1）请完成证明中的两个填空、处的内容； 参考小明同学思考的方法，继续解决问题： （2）【类比运用】如图2，与相交于点，，，，，，求线段的长； （3）【联系拓展】如图3，的三条中线分别为，，．若的面积为10，则以，，的长为三边长的三角形的面积等于多少？ （请直接写出答案）． 【答案】（1），；（2）10；（3） 【分析】（1）根据平行四边形的性质、平行线的性质及等边三角形的性质求解即可； （2）作，，两线交于F，连接，证是直角三角形，得，再证是等边三角形，得，根据四边形是平行四边形可得答案； （3）连接，，过作交直线于点，连接，，交于点，由的三条中线分别为，，，得到和都是的中位线，再证明四边形、、是平行四边形，得到，，再根据三角形中线有关的面积规律求出以，，的长度为三边长的三角形的面积等于． 【详解】（1）证明：过点C作，且使，连接． ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，即． 故答案为：，； （2）解：过A作，过D作，两直线交于F，连接， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴； （3）解：连接，，过作交直线于点，连接，，交于点， ∵的三条中线分别为，，， ∴和都是的中位线， ∴，，，， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴以，，的长度为三边长的三角形的面积等于． 【点睛】本题是四边形综合问题，主要考查平移的基本性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理及其逆定理、三角形中位线的性质，与三角形中线有关的面积问题等知识点． 14．（2025·江西·模拟预测）课本再现 想一想 你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系？能证明你的猜想吗？ 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理  三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 定理证明 （1）已知：如图①，是的中位线．延长至点，使，连接． 求证：且． 知识运用 （2）如图②，在正方形中，为的中点，、分别为、边上的点，若，，，求的长． （3）如图③，在四边形中，，，为的中点，，分别为，边上的点，若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【分析】（1）先利用证明，于是可得，，由内错角相等两直线平行可得，进而可得，结合，可证得四边形为平行四边形，于是可得，，再结合，即可得出结论； （2）取的中点，连接，延长、交于点，由正方形的性质可得，由邻补角互补可得，进而可得，由为的中点可得，利用可证得，于是可得，，由三角形的中位线定理可得，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，则，由此即可求出的长； （3）取的中点，连接，延长到点，使得，连接，由为的中点可得，利用可证得，于是可得，，过点作，交的延长线于点，连接，由邻补角互补可得，进而可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，于是可得，由等角对等边可得，由勾股定理可得，于是可得，，在中，根据勾股定理可得，由三角形的中位线定理可得，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，则，由此即可求出的长． 【详解】（1）证明：在与中， ， ， ，， ， 又， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ， 且； （2）解：如图，取的中点，连接，延长、交于点， 四边形是正方形， ， ， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， 为的中点，为的中点， 为的中位线， ， ，且为的中点， ， ； （3）解：如图，取的中点，连接，延长到点，使得，连接， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， 过点作，交的延长线于点，连接， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 为的中点，为的中点， 为的中位线， ， ，且为的中点， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理的证明及应用，全等三角形的判定与性质（、），平行四边形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边，内错角相等两直线平行，线段中点的有关计算，利用邻补角互补求角度，线段的和与差等知识点，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 15．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图1，在中，是的中点，点E在线段上，连结，作交直线于点，连结． 【初步尝试】 （1）如图2，当时，线段的长度是______，线段的长度是______． 【结论探究】 （2）如图3，小宁猜想“”，但她未能想出证明思路，小波介绍了添加辅助线的方法，如表所示，请帮小宁完成证明． 如图，延长至G，使，连结． 【拓展应用】 （3）如图4，当点E在线段的延长线上时，连结，作交直线于点F，连结．请补全图形，并求出当时，线段的长． 【答案】（1）5，3；（2）见解析；（3）见解析，11 【分析】（1）证明四边形是矩形，再利用三角形中位线定理解决问题即可； （2）利用全等三角形的性质证明，再证明，利用勾股定理可得结论； （3）如图3中，延长至G，使，连结，设，利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）解：∵点点都是中点 ∴、都是中位线 （2）证明：如图1中，延长至，使，连结． , ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图3中，延长至，使，连结．设． 易证 ∴ ∴ ∴ ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理．利用倍长线段法，构造全等三角形，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 三角形中位线压轴九大题型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 题型一、利用三角形的中位线求角度 2 题型二、利用三角形的中位线求线段的长度 3 题型三、利用三角形的中位线求周长 4 题型四、利用三角形的中位线求面积 5 题型五、利用三角形的中位线求最值 6 题型六、与三角形中位线有关的规律探究 7 题型七、与三角形中位线有关的格点作图 8 题型八、三角形中位线的实际应用 9 题型九、与三角形中位线有关的证明 12 压轴能力测评（15题） 14 知识点1：三角形的中位线 三角形中位线：在△ABC 中，D，E 分别是 AC，AC 的中点，连接 DE.像 DE 这样， 连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线.B 中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。 知识点2：中点四边形:依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形O。 结论 1: 点 M、N、P、Q 是任意四边形的中点，则四边形 MNPQ 是平行四边形 结论 2: 对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形 结论3：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形 结论 4: 对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形 类型一、利用三角形的中位线求角度 【典例1】（23-24九年级上·四川资阳·期末）如图，在四边形中，点是对角线的中点，点分别是边的中点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，在中，点、分别是边、的中点，点是线段上的一点．连接、，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24八年级下·广东云浮·期末）如图， 在中，， 分别是的中点， 连接， 则的度数为 （    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点是的中点，的度数为 ，的度数为 ． 类型二、利用三角形的中位线求线段的长度 【典例2】（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）如图中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（   ） A．16 B．6 C．4 D．10 【变式2-1】（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，为的中位线，点F在上，且，若，，则的长为 ． 【变式2-2】（21-22八年级下·广东江门·期中）如图，矩形中，，，R是的中点，P是上的动点，E、F分别是、的中点，那么线段的长是 ． 【变式2-3】（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，，，，分别为，的中点，连接，平分，交于点，则的长是（   ） A． B．1 C． D．2 类型三、利用三角形的中位线求周长 【典例3】（24-25九年级上·河南·阶段练习）如图，菱形中，，分别是，的中点，若，则菱形的周长为（  ）    A．14 B．16 C．15 D．17 【变式3-1】（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，四边形，已知对角线相交于点，且，点分别依次为四边形的边的中点，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式3-2】（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在四边形中，分别是的中点，若，则四边形的周长为 ． 【变式3-3】（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，在周长为2的三角形中，，，分别是，，的中点，则的周长是 ． 类型四、利用三角形的中位线求面积 【典例4】（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在矩形中，点是边上一点，连接，点分别是的中点，连接，若，则矩形的面积是（   ） A．200 B．196 C．192 D．188 【变式4-1】（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，四边形的对角线于点O，点E，F，G，H分别为边和的中点，顺次连接和，得到四边形．若，则四边形的面积等于（　　）． A．30 B．35 C．40 D．60 【变式4-2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是 ． 【变式4-3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点E，F是菱形边的中点，，，则菱形的面积是 ． 类型五、利用三角形的中位线求最值 【典例5】（23-24八年级下·山东潍坊·阶段练习）如图，矩形中，，，是边上的动点，是边上的一动点，点、分别是、的中点，则线段的长度最大为 ． 【变式5-1】（2024·江苏扬州·二模）在矩形中，，动点P在边上，过点P作于点E，连接，取的中点F，连接，在运动过程中当线段最小时，则线段的长为 ． 【变式5-2】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在正方形ABCD中，AD=3，BE=1，P，Q分别是线段BC，线段CD上的动点，当四边形AEPQ的周长最小时，四边形AEPQ的面积为 ． 【变式5-3】（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，6），点M是AB的中点，动点P在x轴上运动，连接BP，ON⊥BP于N，当MN最小时，点P的坐标为 ． 类型六、与三角形中位线有关的规律探究 【典例6】（22-23八年级下·山西吕梁·期中）如图，依次连接周长为1的小等边三角形各边的中点，得到第二个小等边三角形，再依次连接第二个小等边三角形各边的中点，得到第三个小等边三角形……按这样的规律，第2023个小等边三角形的周长为（    ）    A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，是边长为2的等边三角形，分别取边的中点，，，连接，得到四边形，它的周长记作；分别取的中点，，，连接，，得到四边形，它的周长记作；照此规律作下去，则等于 ．    【变式6-2】（2024·山东济南·模拟预测）如图，在中，已知，，，依次连接的三边中点，得到，再依次连接的三边中点，得到，，按这样的规律下去，的周长为 ． 【变式6-3】（2021·黑龙江·三模）如图，在等腰直角三角形中，，，分别连接，，的中点，得到第1个等腰直角三角形；分别连接，，的中点，得到第2个等腰直角三角形……以此规律作下去，得到等腰直角三角形，则的长为 ． 类型七、与三角形中位线有关的格点作图 【典例7】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点均在格点上，请回答下列问题． (1)直接写出的长度为_______； (2)在格点上找一点C，连接，使； (3)利用格点，画线段的中点； (4)在格点上找一点，连接，使． 【变式7-1】（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．在图中已标出线段，A，B均为格点，按要求完成下列问题． (1)以为对角线画一个，且C，D为格点，点C在线段AB的上方； (2)则（1）中的周长是______，面积是______； (3)仅用无刻度直尺画出上图中的一条中位线（保留所有画图痕迹）． 【变式7-2】（2024·浙江温州·三模）如图在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请按照要求画格点图形． (1)在图1中画出一个平行四边形，且平行四边形的面积为5； (2)在图2中画一个以为中位线的格点三角形． 【变式7-3】（23-24八年级下·浙江金华·期中）如图是5×5的方格纸，点A，B，C都在格点上，按要求作图． (1)在图1中找到一个格点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形； (2)在图2中仅用无刻度的直尺，作出的中位线MN使得M在AB上，N在AC上．（保留作图痕迹，不写作法）． 类型八、三角形中位线的实际应用 【典例8】（23-24八年级下·山西朔州·期末）阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 【变式8-1】（2024·广东东莞·模拟预测）为了倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，．当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（  ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图1，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接，分别取，的中点D、E． (1)测得的长为，则A、B两地的距离为_______． (2)如图2，在四边形中，，点E、F分别是和的中点， 求的长 【变式8-3】（23-24八年级下·广西南宁·期末）【综合与实践】 任务 如图1， 测出水池A， B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）．    测量工具 皮尺    皮尺的功能： 直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 测角仪    测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P， Q两点，可测得的大小．    小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2， 水池外选点 C， 用皮尺测得； （2）分别在上用皮尺测得，测得．    求解过程 由测量可知： ∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的______ ∵， ∴______． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离，依据是 ； (3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，测量次数不超过3次）．         类型九、与三角形中位线有关的证明 【典例9】（23-24八年级下·四川广安·阶段练习）如图，在四边形中，，，和分别是各边中点，对角线，交于点． (1)若，求证：四边形是菱形； (2)若，请问四边形是什么形状？并说明理由． 【变式9-1】（23-24九年级上·河南驻马店·期中）[教材呈现] （1）如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明． 如图①，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点． 求证：． [结论应用] （2）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段交的延长线于点E，延长线段交的延长线于点F．求证：． （3）若（2）中的，则的大小为多少？ 【变式9-2】（21-22八年级下·福建莆田·阶段练习）如图，将矩形绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形，使点B落在边上的点E处，连接交于点H，连接． (1)求证：平分； (2)取中点P，连接，求证：． 【变式9-3】（24-25九年级上·北京·期中）在中，，，于点，点是上动点（不与重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段． (1)如图1，当点在线段上时，求证：点是线段中点． (2)如图2，作点关于点的对称点，连结，． ①依题意补全图形． ②猜想的度数，并证明． 1．（23-24八年级下·河南开封·期末）某数学小组要测量池塘两侧，两点间的距离，无法直接测得，间的距离，先在地面上取可以直接到达，的点，连接和，分别取，的中点，，测得线段的长为，则，两点间的距离是（　　）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在中，，，是斜边上的一个动点，且在上（不包含端点）运动的过程中，始终保持，分别是的中点，连接，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山西晋中·期中）如图，在菱形中，，，顺次连接菱形各边的中点所得四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2021·河南·二模）如图，AC是边长为2的正方形ABCD的对角线，P为BC边上一动点，E，F为AB，AC的中点．当PE+PF的值最小时，CP的值为 ． 5．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，矩形中，点是边上任意一点，连接．点分别是的中点，连接．若，，则的值为 ． 6．（24-25八年级上·重庆垫江·期末）在如图所示的中，点D，E在边上，的平分线于F，的平分线于H，若，，则△ABC的周长为 ． 7．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，D为外一点，使，E为的中点，，求的度数． 8．（22-23八年级下·江苏·期末）解答题 (1)证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）] (2)如图2，在中，对角线交点为分别是的中点，分别是的中点，…，以此类推．若的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l； (3)借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？    10．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）实践操作：如图，是正方形网格，每个小正方形的边长都为1． (1)请在图中画出等腰，使得点在格点上，，且； (2)仅用无刻度直尺作出的中位线，使得点分别在上，并保留作图痕迹． 11．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，点、、分别是、、的中点，连接、、、．    (1)求证：、互相平分； (2)现有三个条件：①；②平分；③；请你从中选择两个条件（写序号）：使得四边形是正方形，并加以证明． 12．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接， 分别为的中点， ．（依据1） 分别为的中点， ． 同理： 四边形是平行四边形．（依据2） 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnon，Pierte1654∼1722）是法国数学家，力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．例如：瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系． 任务： (1)填空：材料中的依据1是：_______．依据2是：_______． (2)如图2，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论． (3)请用刻度尺，三角板等工具，画出四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形，且四边形的对角线与的夹角为，求瓦里尼翁平行四边形中的度数． 13．（24-25八年级上·山东烟台·期末）【问题背景】 小明遇到一个这样问题：如图1，两条相等的线段，交于点O，，连接，，求证：．通过尝试，他发现通过平移可以解决这个问题： 证明：过点C作，且使，连接． ∴四边形为平行四边形， ∴ ， ∵， ∴ ， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，即． （1）请完成证明中的两个填空、处的内容； 参考小明同学思考的方法，继续解决问题： （2）【类比运用】如图2，与相交于点，，，，，，求线段的长； （3）【联系拓展】如图3，的三条中线分别为，，．若的面积为10，则以，，的长为三边长的三角形的面积等于多少？ （请直接写出答案）． 14．（2025·江西·模拟预测）课本再现 想一想 你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系？能证明你的猜想吗？ 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理  三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 定理证明 （1）已知：如图①，是的中位线．延长至点，使，连接． 求证：且． 知识运用 （2）如图②，在正方形中，为的中点，、分别为、边上的点，若，，，求的长． （3）如图③，在四边形中，，，为的中点，，分别为，边上的点，若，，，求的长． 15．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图1，在中，是的中点，点E在线段上，连结，作交直线于点，连结． 【初步尝试】 （1）如图2，当时，线段的长度是______，线段的长度是______． 【结论探究】 （2）如图3，小宁猜想“”，但她未能想出证明思路，小波介绍了添加辅助线的方法，如表所示，请帮小宁完成证明． 如图，延长至G，使，连结． 【拓展应用】 （3）如图4，当点E在线段的延长线上时，连结，作交直线于点F，连结．请补全图形，并求出当时，线段的长． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$