3.6直线和圆的位置关系 同步训练 2024-2025学年北师大版 九年级数学下册

3.6直线和圆的位置关系 一、选择题： 1.下列命题中是真命题的为(    ) A. 长度相等的弧是等弧 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 任何三角形有且只有一个内切圆 D. 相等的圆周角所对的弧相等 2.若的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是(    ) A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不能确定 3.已知直角三角形的两直角边分别为和，则这个三角形的内切圆的半径为(    ) A. B. C. D. 4.在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆(    ) A. 与轴相交，与轴相切 B. 与轴相离，与轴相切 C. 与轴相离，与轴相交 D. 与轴相切，与轴相离 5.如图，与相切于点，连接，并延长交于点，连接，且，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在中，，，以的中点为圆心作，当与相切于点时，与相交于点、，则的值为(    ) A. B. C. D. 7.如图，为的外心，四边形为正方形．有下列结论：是的外心；是的外心；直线与的外接圆相切．其中正确结论的序号是  (    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，，，，以的中点为圆心作，当与相切于点时，与相交于点、，则的值为 (    ) A. B. C. D. 二、填空题： 9.的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是______． 10.把光盘、含角的三角板和直尺如图摆放，光盘与直尺和三角板的一边相切，若点为圆的切点，，则光盘的直径是          ． 11.如图，是的弦，是过点的直线，，当的度数为          时，是的切线． 12.如图，中，，，点在边上，，点是线段上一动点，当半径为的与边相切时，的长为___________________． 13.如图，在中，，是的内切圆，切点分别为、、，若，，则的半径为          ． 14.如图，已知是的内切圆，点是内心，若，则等于          ． 15.如图，在中，，，，是上一点点与点不重合若在的直角边上存在个不同的点分别和点、成为直角三角形的三个顶点，则长的取值范围是          ． 三、解答题： 16. 如图，射线，与相切，切点分别为，，连接并延长，交于点，连接，求证． 17. 如图，是的内接三角形，是的直径，是的切线，的平分线交于点，连接． 判断与的数量关系并说明理由； 若，求的长． 18. 如图，在中，，以为直径作与交于点，过点作的切线交的延长线于点． 求证：； 若，，求． 19. 如图：在中，，是的平分线，点在上，经过、两点，交于点． 试说明：是的切线； 若，，求的半径． 20.如图，是的直径，在的延长线上，与相切于点，在上，． 求证：是的切线； 连结，若，，求的半径． 答案和解析 1.【答案】  【解析】本题考查了等弧“在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧”、垂径定理、三角形的内切圆、圆周角定理推论，熟练掌握圆的相关性质是解题关键．根据等弧的定义、垂径定理、三角形的内切圆、圆周角定理推论逐项判断即可得． 【详解】解：、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧，则此项是假命题，不符合题意； B、平分弦不是直径的直径垂直于弦，则此项是假命题，不符合题意； C、因为三角形的内切圆的圆心是三角形的三个内角的角平分线的交点，只有一个，所以任何三角形有且只有一个内切圆，则此项是真命题，符合题意； D、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，则此项是假命题，不符合题意； 故选：． 2.【答案】  【解析】解：的半径为，圆心到直线的距离为， ，即， 直线与的位置关系是相交， 故选：． 由圆心到直线的距离小于半径，得到直线与的位置关系是相交，即可得解． 本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 3.【答案】  【解析】本题考查了勾股定理、直角三角形的内切圆与内心，熟练掌握勾股定理和直角三角形的内切圆半径公式是解题的关键．先利用勾股定理得出直角三角形的斜边长为，再利用直角三角形的内切圆半径公式：、是直角边，为斜边即可解答． 【详解】解：直角三角形的两直角边分别为和， 直角三角形的斜边长为， 直角三角形的内切圆的半径为． 故选：． 4.【答案】  5.【答案】  【解析】解：如图，连接， 与相切于点， ， ， ， ， 由圆周角定理得：， 故选：． 连接，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理计算即可． 本题考查的是切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径． 6.【答案】  【解析】解：连接，，，，，过点作的垂线，垂足为，如图所示， ，，， ， ． 与相切于点， ． 又， ． 又点为中点， ， ． 同理可得，． ，， ． 又， ． 在中， ， ， ． 故选：． 先求出及的长，再根据与切于点，得出的半径大小，再过点作的垂线，借助圆周角定理将进行转化即可解决问题． 本题主要考查了切线的判定与性质、含度角的直角三角形、勾股定理、圆周角定理及解直角三角形，熟知圆周角定理及勾股定理是解题的关键． 7.【答案】  【解析】本题考查了三角形的外心的意义和正方形的性质．由为外心可知，由正方形性质可知，所以，即结论正确；因为，所以结论错误；因为，所以点在的外接圆上，又，所以结论正确． 8.【答案】  【解析】本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，过点作，垂足为，先由勾股定理和直角三角形的性质得出的长度，再证明，继而得出长度，证明，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点作，垂足为， ， ，，， ， ， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， 同理可得 ， ， ， ， ， ， 故选：． 9.【答案】相交  【解析】解：圆心到直线的距离是，小于的半径为， 直线与相交． 故答案为：相交． 根据圆心到直线的距离小于半径即可判定直线与的位置关系为相交． 此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离与半径的大小关系解答．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 10.【答案】  11.【答案】  12.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了切线的判定与性质，利用切线的性质得到圆心到直线的距离等于圆的半径解答是解题的关键． 依据题意画出图形，利用切线的性质，过点作于点，则为切点，过点作于点，利用比例式即可求得结论． 【解答】 解：当与边相切时，如图， 过点作于点，则为切点，． 过点作于点， ，， ． ． ，， ∽． ． ． ． ，， ． ． ， ． 13.【答案】  【解析】本题考查了三角形内切圆的性质，切线长定理，正方形的性质和判定，勾股定理，掌握三角形内切圆的性质是解题关键．连接，设，可证四边形为正方形，用表述出的长，列方程求解即可． 【详解】解：连接，则， 设， 在中，， 是的内切圆，切点分别为、、， ， 又， 四边形为正方形， ， ， ， 而， ， ，即的半径为 故答案为：． 14.【答案】  度  【解析】根据内切圆得到，，结合三角形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解： 是的内切圆， ，， ， ， ； 15.【答案】  【解析】本题考查了直角三角形的定义、切线的性质、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理．  当以为直径的圆与、相交时，两条直角边上有个点分别和点、成为直角三角形的三个顶点．  当以为直径的圆与相切时，则，，，，，∽，，，时，两条直角边上有个点分别和点、成为直角三角形的三个顶点． 16.【答案】证明：连接， 射线，与相切，切点分别为，， ，平分， 垂直平分， 的延长线交于点， ．  【解析】连接，由射线，与相切，切点分别为，，根据切线长定理得，平分，则垂直平分，所以． 此题重点考查切线长定理、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 17.【答案】解：， 理由如下：是的直径， ， ， 是的切线， ， ， ， 由圆周角定理得：， ； 如图，连接， 平分， ， ， ， 是的直径， ， ．  【解析】根据圆周角定理得到，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，得到； 连接，根据等腰直角三角形的性质计算即可． 本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 18.【答案】证明：为的切线， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ； 解：， ， ，， ∽， ，即， 解得：．  【解析】根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，再根据等角的余角相等证明； 证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 19.【答案】证明：如图，连接， ， ， 又是的平分线，即， ， ， ，即， ， 是的半径， 是的切线； 在中，，，， ， 设半径为，即，则， ， ∽， ， 即， 解得， 即半径为．  【解析】根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义得出，进而，又，即，得到，根据切线的判定方法即可得出结论； 根据勾股定理求出，再根据相似三角形的判定和性质列方程求解即可． 本题考查切线的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定方法，角平分线的定义，平行线的性质以及相似三角形的判定和性质是正确解答的关键． 20.【答案】证明：连接，； 与相切于， ． 在上，，，， ≌， ． 是的切线． 解：连接， ， ； ， ， ． 在直角中，， ， ； ， ， 的半径为．  【解析】要证是的切线，只要连接，，通过证明≌得出即可． 求出的度数，运用三角函数得出的半径． 本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点即为半径，通过切线的性质证明．同时考查了运用三角函数求长度． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$