第7课 二元一次方程-2024-2025学年七年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第7课 二元一次方程 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解二元一次方程的概念. 2.了解二元一次方程的解的概念和解的不唯一性. 3.会将一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式. ( 知识精讲 ) 知识点01 二元一次方程的概念 二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。 知识点02 二元一次方程的解的概念 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解 ( 能力拓展 )考点01 二元一次方程的概念 【典例1】下列算式中，是二元一次方程的是（　　） A．x+17＝y B． C．（2x+1）（x﹣2）＝2x2+6x﹣15 D．x2﹣1＝0 【即学即练1】1．下列式子中，是二元一次方程的是（　　） A．x+y＝1 B．2x﹣1＝x C．x2+y2＝4 D．y＝2x2 2．若x|2m﹣3|+（m﹣2）y＝5是关于x，y的二元一次方程，则m的值是（　　） A．1 B．任何数 C．2 D．1或2 考点02 二元一次方程的解的概念 【典例2】已知关于x，y的二元一次方程3x﹣ky＝7有一组解为，则k的值为（　　） A．1 B．﹣1 C． D．﹣4 【即学即练2】和都是方程ax﹣y＝b的解，则a﹣b的值是（　　） A．﹣3 B．2 C．3 D．7 ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列方程中是二元一次方程的为（　　） A．3x﹣2＝x B．2x﹣3y＝5 C． D．x2＝6 2．墨迹覆盖了二元一次方程“2x+@＝5”的一部分，则覆盖的可能是（　　） A．3 B．4y C．xy D．y2 3．下列不是方程2x+3y＝13的解的是（　　） A． B． C． D． 4．已知是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝7的解，则代数式4m+6n﹣3的值是（　　） A．14 B．11 C．7 D．4 5．已知方程3x﹣y＝5，则下列解满足此方程的是（　　） ①；②；②；④． A．①② B．①④ C．②④ D．①②④ 6．在方程2x﹣3y＝8中，用x的代数式表示y，得 　 ． 7．写出二元一次方程2x﹣y＝4的一组解 　 　． 8．已知x＝3，y＝﹣2是关于x，y的二元一次方程ax+4y＝7的解，则a的值为　 　． 9．若关于x，y的二元一次方程的一个解是，则这个方程可以是　 　．（写一个即可） 10．若方程2x2m+3+3y5n﹣9＝4是关于x，y的二元一次方程，求m2+n2的平方根． 11．已知是关于m，n的二元一次方程3m+an＝18的一组解． （1）求a的值； （2）请用含有m的代数式表示n． 题组B 能力提升练 12．已知（2﹣a）x+y|a|﹣1＝3是关于x，y的二元一次方程，则a的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．1 13．若关于x，y的方程（n﹣1）x|n|+3y＝0是二元一次方程，则n的值为　 　． 14．已知2016x+2017y﹣2017＝0，若x、y互为相反数，则y＝ 　 　． 15．若是关于x、y的方程3x﹣2y＝2m和5x+y＝3n的公共解，则m+n＝　 　． 16．已知关于x、y的方程xa﹣2﹣2ya﹣b+3＝1是二元一次方程，求（a﹣b）3的值． 17．阅读与思考： 【阅读材料】： 把y＝ax+b（其中a，b是常数，x，y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当y＝x时，“雅系二元一次方程”y＝ax+b中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当y＝x时，“雅系二元一次方程”y＝4x﹣9化为x＝4x﹣9，其“完美值”为x＝3． 【任务】： （1）求“雅系二元一次方程”y＝2x﹣8的“完美值”； （2）x＝﹣8是“雅系二元一次方程的“完美值”，求m的值； （3）是否存在n，使得“雅系二元一次方程与“雅系二元一次方程”y＝3x﹣4n+1（n是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出n的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由． 题组C 培优拔尖练 18．关于x、y的方程kx﹣3y＝2x+1是二元一次方程，则k的取值范围是（　　） A．k≠0 B．k≠3 C．k≠2 D．k≠﹣2 19．若4xa+b﹣3y3a+2b﹣4＝2是关于x，y的二元一次方程，则a+b的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 20．方程x+y＝2的正整数的解的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．定义：对于任意两个有理数a，b组成的数对（a，b），我们规定（a，b）＝a+b﹣1．例如（﹣2，5）＝﹣2+5﹣1＝2．当满足等式（﹣5，3x+2m）＝6的x是正整数时，则m的正整数值为　 　． 22．关于x，y的二元一次方程均可以变形为ax+by＝c的形式，其中a，b，c均为常数且a≠0，b≠0，规定：方程ax+by＝c的“关联系数”记为（a，b，c）． （1）二元一次方程4x﹣3y＝5的“关联系数”为　 　； （2）已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为（2，﹣1，1），若为该方程的一组解，且m，n均为正整数，求m，n的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7课 二元一次方程 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解二元一次方程的概念. 2.了解二元一次方程的解的概念和解的不唯一性. 3.会将一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式. ( 知识精讲 ) 知识点01 二元一次方程的概念 二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。 知识点02 二元一次方程的解的概念 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解 ( 能力拓展 )考点01 二元一次方程的概念 【典例1】下列算式中，是二元一次方程的是（　　） A．x+17＝y B． C．（2x+1）（x﹣2）＝2x2+6x﹣15 D．x2﹣1＝0 【思路点拨】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，未知项的最高次数为1的整式方程是二元一次方程；即可进行解答． 【解析】解：A、x+17＝y是二元一次方程，故此选项正确，符合题意； B、是分式方程，故此选项错误，不符合题意； C、（2x+1）（x﹣2）＝2x2+6x﹣15，整理得：9x﹣13＝0，不是二元一次方程，故此选项错误，不符合题意； D、x2﹣1＝0是一元二次方程，故此选项错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的定义含有两个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程是二元一次方程． 【即学即练1】1．下列式子中，是二元一次方程的是（　　） A．x+y＝1 B．2x﹣1＝x C．x2+y2＝4 D．y＝2x2 【思路点拨】根据二元一次方程组的定义即可求解． 【解析】解：A．x+y＝1，是二元一次方程，故该选项符合题意； B．2x﹣1＝x，只有1个未知数，是一元一次方程，故该选项不符合题意； C．x2+y2＝4，含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； D．y＝2x2，含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程，故该选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程，需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次． 2．若x|2m﹣3|+（m﹣2）y＝5是关于x，y的二元一次方程，则m的值是（　　） A．1 B．任何数 C．2 D．1或2 【思路点拨】根据二元一次方程组的定义即可解答． 【解析】解：由条件可知|2m﹣3|＝1，m﹣2≠0， 解得m＝1， 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程的定义，熟练掌握定义是关键． 考点02 二元一次方程的解的概念 【典例2】已知关于x，y的二元一次方程3x﹣ky＝7有一组解为，则k的值为（　　） A．1 B．﹣1 C． D．﹣4 【思路点拨】将方程解代入方程，即可求出k的值．已知二元一次方程的解，代入等式必成立，由此求出k的值． 【解析】解：将代入方程，则： 3×3﹣2k＝7， 解得：k＝1， 故选：A． 【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，解题的关键是将方程解代入方程，即可求出k的值． 【即学即练2】和都是方程ax﹣y＝b的解，则a﹣b的值是（　　） A．﹣3 B．2 C．3 D．7 【思路点拨】把和代入方程ax﹣y＝b得关于a，b的方程组，解方程组求出a，b，再代入a﹣b进行计算即可． 【解析】解：把和代入方程ax﹣y＝b得：， 把②代入①得：a＝5， ∴a﹣b＝5﹣2＝3， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解的定义． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列方程中是二元一次方程的为（　　） A．3x﹣2＝x B．2x﹣3y＝5 C． D．x2＝6 【思路点拨】本题根据二元一次方程的定义解答． 二元一次方程必须满足三个条件： ①未知数的最高次数是1； ②是整式方程； ③含有两个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【解析】解：A、本方程中只有一个未知数，是一元一次方程；故本选项错误，不符合题意； B、本方程中含有两个未知数，未知数的最高次数为1；故本选项正确，符合题意； C、本方程中含有两个未知数，且都在分母上，是分式方程，故本选项错误，不符合题意； D、不符合二元一次方程的定义，故本选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的概念，关键掌握判断一个方程是否是二元一次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有两个未知数且未知数的最高次数是1． 2．墨迹覆盖了二元一次方程“2x+@＝5”的一部分，则覆盖的可能是（　　） A．3 B．4y C．xy D．y2 【思路点拨】根据二元一次方程的定义进行求解即可：只含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都为1的整式方程叫做二元一次方程． 【解析】解：∵2x+@＝5是二元一次方程， ∴四个选项中，覆盖的可能是4y， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟知二元一次方程的定义是解题的关键． 3．下列不是方程2x+3y＝13的解的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】把各项中x与y的值代入方程检验即可． 【解析】解：A、当x＝2、y＝3时，左边＝2×2+3×3＝13＝右边，是方程的解； B、当x＝﹣1、y＝5时，左边＝2×（﹣1）+3×5＝13＝右边，是方程的解； C、当x＝﹣4、y＝6时，左边＝2×（﹣4）+3×6＝4≠右边，不是方程的解； D、当x＝8、y＝﹣1时，左边＝2×8+3×（﹣1）＝13＝右边，是方程的解； 故选：C． 【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 4．已知是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝7的解，则代数式4m+6n﹣3的值是（　　） A．14 B．11 C．7 D．4 【思路点拨】把代入mx+ny＝7，求出2m+3n的值，再把所求代数式化成含有2m+3n的形式，最后整体代入进行计算即可． 【解析】解：把代入mx+ny＝7得：2m+3n＝7， ∴4m+6n﹣3 ＝2（2m+3n）﹣3 ＝2×7﹣3 ＝14﹣3 ＝11， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程解的定义． 5．已知方程3x﹣y＝5，则下列解满足此方程的是（　　） ①；②；②；④． A．①② B．①④ C．②④ D．①②④ 【思路点拨】将四组值分别代入方程，能使方程成立的即是方程的解．反之，则不是方程的解． 【解析】解：把代入方程，左边等于5，右边等于5，故①符合题意； 把代入方程，左边等于5，右边等于5，故②符合题意； 把代入方程，左边等于6，右边等于5，故③不符合题意； 把代入方程，左边等于，右边等于5，故④不符合题意； 所以解满足此方程的是①②． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，根据方程的解的定义，一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，若不满足，则不是方程的解． 6．在方程2x﹣3y＝8中，用x的代数式表示y，得 　　． 【思路点拨】对方程2x﹣3y＝8进行变形即可． 【解析】解：将含x项移到等号右侧得：﹣3y＝8﹣2x， 整理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握等式的性质． 7．写出二元一次方程2x﹣y＝4的一组解 　（答案不唯一）　． 【思路点拨】取x＝1，然后代入方程2x﹣y＝4，求出y即可． 【解析】解：把x＝1代入2x﹣y＝4得：y＝﹣2， ∴二元一次方程2x﹣y＝4的一组解为：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程解的定义． 8．已知x＝3，y＝﹣2是关于x，y的二元一次方程ax+4y＝7的解，则a的值为　5　． 【思路点拨】根据解一元一次方程和二元一次方程的步骤进行解答． 【解析】解：根据题意可知，3a+4×（﹣2）＝7， 解得：a＝5． 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程的解，解一元一次方程，掌握相应的运算法则是关键． 9．若关于x，y的二元一次方程的一个解是，则这个方程可以是　x+y＝0（答案不唯一）　．（写一个即可） 【思路点拨】因此此题可根据二元一次方程的解为来得出符合条件的二元一次方程即可． 【解析】解：可根据二元一次方程的解为来得出符合条件的二元一次方程可以是： x+y＝0（答案不唯一）； 故答案为：x+y＝0（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解是解题的关键． 10．若方程2x2m+3+3y5n﹣9＝4是关于x，y的二元一次方程，求m2+n2的平方根． 【思路点拨】根据只含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程是二元一次方程，列出方程，即可求出m、n的值，再代入即可得出答案． 【解析】解：根据题意得， 2m+3＝1，5n﹣9＝1， 解得：m＝﹣1，n＝2， ∴m2+n2＝（﹣1）2+22＝5， ∴m2+n2的平方根为． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，平方根，关键是二元一次方程定义的熟练掌握． 11．已知是关于m，n的二元一次方程3m+an＝18的一组解． （1）求a的值； （2）请用含有m的代数式表示n． 【思路点拨】（1）将代入3m+an＝18，得出关于a方程，解关于a的方程即可； （2）把a＝4代入3m+an＝18得3m+4n＝18，将n看作未知数，m看作已知数，解方程即可． 【解析】解：（1）将代入3m+an＝18，得 3×2+3a＝18， 解得a＝4． （2）∵a＝4， ∴原方程可变为3m+4n＝18， ∴4n＝18﹣3m， ∴． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，解题的关键是理解二元一次方程组解的定义． 题组B 能力提升练 12．已知（2﹣a）x+y|a|﹣1＝3是关于x，y的二元一次方程，则a的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．1 【思路点拨】先根据二元一次方程的定义得出关于a的不等式和方程，求出a的值即可． 【解析】解：∵方程（2﹣a）x+y|a|﹣1＝3是关于x，y的二元一次方程， ∴|a|﹣1＝1且2﹣a≠0， 解得a＝﹣2． 故选：B． 【点睛】本题考查的是二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 13．若关于x，y的方程（n﹣1）x|n|+3y＝0是二元一次方程，则n的值为　﹣1　． 【思路点拨】由二元一次方程的定义可知x，y的次数为1，据此可列出方程，并求解． 【解析】解：∵关于x，y的方程（n﹣1）x|n|+3y＝0是二元一次方程， ∴|n|＝1且n﹣1≠0， 解得n＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点睛】此题考查二元一次方程定义，绝对值，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的次数都为一次；（3）方程是整式方程． 14．已知2016x+2017y﹣2017＝0，若x、y互为相反数，则y＝ 　2017　． 【思路点拨】根据x、y互为相反数，得出x+y＝0，再把2016x+2017y﹣2017转化为2016（x+y）+y﹣2017即可求解． 【解析】解：∵x、y互为相反数， ∴x+y＝0， ∴2016x+2017y﹣2017＝2016（x+y）+y﹣2017＝0， 解得y＝2017， 故答案为：2017． 【点睛】本题考查解二元一次方程和相反数的应用，关键是求出x+y＝0． 15．若是关于x、y的方程3x﹣2y＝2m和5x+y＝3n的公共解，则m+n＝　7　． 【思路点拨】把x与y的值分别代入已知两个方程中计算求出m与n的值，代入计算即可求出m+n的值． 【解析】解：把分别代入方程3x﹣2y＝2m和5x+y＝3n得：6+2＝2m，10﹣1＝3n， 解得：m＝4，n＝3， 则m+n＝4+3＝7． 故答案为：7． 【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 16．已知关于x、y的方程xa﹣2﹣2ya﹣b+3＝1是二元一次方程，求（a﹣b）3的值． 【思路点拨】根据二元一次方程的定义，可列方程组求解，再代入代数式求值． 【解析】解：依题意，得， 解得， 故（a﹣b）3＝（﹣2）3＝﹣8． 【点睛】此题考查了二元一次方程定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 17．阅读与思考： 【阅读材料】： 把y＝ax+b（其中a，b是常数，x，y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当y＝x时，“雅系二元一次方程”y＝ax+b中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当y＝x时，“雅系二元一次方程”y＝4x﹣9化为x＝4x﹣9，其“完美值”为x＝3． 【任务】： （1）求“雅系二元一次方程”y＝2x﹣8的“完美值”； （2）x＝﹣8是“雅系二元一次方程的“完美值”，求m的值； （3）是否存在n，使得“雅系二元一次方程与“雅系二元一次方程”y＝3x﹣4n+1（n是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出n的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1）根据定义，得到x＝2x﹣8，解方程即可； （2）根据定义，得到，再把x＝﹣8代入，解方程即可； （3）根据定义，得到，假设存在n，则，方程无解，进而可判断结果． 【解析】解：（1）解：根据定义，得x＝2x﹣8， 解得x＝8， ∴“雅系二元一次方程”y＝2x﹣8的“完美值”为8； （2）根据定义，得到， ∵x＝﹣8是“雅系二元一次方程”的“完美值”， ∴， 解得m＝﹣6； （3）不存在，理由如下： 根据定义，得， 解得， 假设存在n，使得“雅系二元一次方程”与“雅系二元一次方程”y＝3x﹣4n+1（n是常数）的“完美值”相同， 则，无解， ∴不存在n，使得“雅系二元一次方程”与“雅系二元一次方程”y＝3x﹣4n+1（n是常数）的“完美值”相同． 【点睛】本题考查了新定义二元一次方程，一元一次方程的解法，正确理解新定义，熟练转化为一元一次方程求解是解题的关键． 题组C 培优拔尖练 18．关于x、y的方程kx﹣3y＝2x+1是二元一次方程，则k的取值范围是（　　） A．k≠0 B．k≠3 C．k≠2 D．k≠﹣2 【思路点拨】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数方面考虑． 【解析】解：方程kx﹣3y＝2x+1变形为（k﹣2）x﹣3y﹣1＝0， 根据二元一次方程的定义，得 k﹣2≠0，解得k≠2． 故选：C． 【点睛】二元一次方程必须符合以下三个条件： （1）方程中只含有2个未知数； （2）含未知数项的最高次数为一次； （3）方程是整式方程． 19．若4xa+b﹣3y3a+2b﹣4＝2是关于x，y的二元一次方程，则a+b的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【思路点拨】根据二元一次方程的定义，得出a+b＝1，3a+2b﹣4＝1，解出a、b的值，然后把a、b的值代入a+b，计算即可得出结果． 【解析】解：∵4xa+b﹣3y3a+2b﹣4＝2是关于x，y的二元一次方程， ∴， 解得：， 当a＝3，b＝﹣2时，a+b＝3﹣2＝1． 故选：D． 【点睛】此题考查二元一次方程定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的次数都为一次；（3）方程是整式方程． 20．方程x+y＝2的正整数的解的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据二元一次方程解的定义以及正整数解的意义进行判断即可． 【解析】解：x+y＝2的正整数的解只有x＝y＝1， 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，理解二元一次方程的解以及正整数解的定义是正确解答的关键． 21．定义：对于任意两个有理数a，b组成的数对（a，b），我们规定（a，b）＝a+b﹣1．例如（﹣2，5）＝﹣2+5﹣1＝2．当满足等式（﹣5，3x+2m）＝6的x是正整数时，则m的正整数值为　3　． 【思路点拨】由新定义得出﹣5+3x+2m﹣1＝6，求得，然后由等式（﹣5，3x+2m）＝6的x是正整数求解即可． 【解析】解：由条件可知﹣5+3x+2m﹣1＝6， ∴， ∵等式（﹣5，3x+2m）＝6的x是正整数， ∴m的正整数值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了新定义，以及根据一元一次方程的解求参数，熟练掌握以上知识点是关键． 22．关于x，y的二元一次方程均可以变形为ax+by＝c的形式，其中a，b，c均为常数且a≠0，b≠0，规定：方程ax+by＝c的“关联系数”记为（a，b，c）． （1）二元一次方程4x﹣3y＝5的“关联系数”为　（4，﹣3，5）　； （2）已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为（2，﹣1，1），若为该方程的一组解，且m，n均为正整数，求m，n的值． 【思路点拨】（1）根据关联系数的定义进行解答即可； （2）根据关联系数的定义得出该二元一次方程为2x﹣y＝1，把代入，得出m+2n＝6，根据m、n均为正整数，求出结果即可． 【解析】解：（1）∵a，b，c均为常数且a≠0，b≠0，规定：方程ax+by＝c的“关联系数”记为（a，b，c）， ∴二元一次方程4x﹣3y＝5的“关联系数”为（4，﹣3，5）； 故答案为：（4，﹣3，5）； （2）∵关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为（2，﹣1，1）， ∴二元一次方程为2x﹣y＝1． ∵为该方程的一组解，m，n均为正整数， ∴2（m+n）﹣m﹣5＝1，即m+2n＝6． ∴或． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，解题的关键是理解题意，熟练掌握解方程组的方法． 学科网（北京）股份有限公司 $$