精品解析：湖南省永州市冠一高级中学2024-2025学年高三下学期开学考试(实验班)数学试题

永州冠一高级中学2025年高三开学考试（实验班） 数学 (满分150分　时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 方程的解所在区间是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断所给选项中的区间的两个端点的函数值的积的正负性即可选出正确答案. 【详解】∵, ∴,,，,∴, ∵函数的图象是连续的, ∴函数的零点所在的区间是. 故选C 【点睛】本题考查了根据零存在原理判断方程的解所在的区间,考查了数学运算能力. 2. 关于x的不等式的解集为，且：，则a=（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以，又， 所以， 解得，因为，所以. 故选：A. 3. 若定义在上的偶函数在上单调递减且，则满足的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数在上的单调性，分、两种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集. 【详解】由于定义在上的偶函数在上单调递减，则该函数在上单调递增， 由可得 当时，，可得，即或， 解得或，此时； 当时，，可得，即，解得， 此时，. 综上所述，满足的取值范围是. 故选：B. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 4. 已知定义在上的奇函数满足.当时，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得函数的周期为4，结合条件可得，进而可求，即得. 【详解】∵定义在上的奇函数满足， ∴， ∴，即函数的周期为4， 又当时，，， ∴，即， ∴当时，， ∴， ∴. 故选：C. 5. 关于的不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据二次不等式的求解方法求解即可. 【详解】不等式可化为，则. 故选：A. 【点睛】本题考查含参一元二次不等式的解法，较简单. 6. 为了得到函数的图象，只需把函数的图像上所有的点（ ） A. 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D. 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】先将化简得，再由变换到，再变换到，得到答案. 【详解】，为了得到函数的图象， 只需把函数的图象上所有的点向右平移3个单位长度， 再向下平移个单位长度而得到. 故选：D. 【点睛】本题考查了对数的运算，函数图象的平移变换，要熟悉“左加右减，上加下减”基本原则的应用，考查推理能力，属于基础题. 7. 已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，则函数的零点个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】函数的零点个数转化为两个函数图象交点的个数，转化条件为函数周期，当时，，根据周期性可画出它的图象，从图象上观察交点个数即可. 【详解】∵，则函数是周期的周期函数． 又∵函数是定义在上的偶函数，且时，， ∴当时，， 令，则函数的零点个数即为函数和的图象交点个数， 分别作出函数和的图象，如下图， 显然与在上有1个交点，在上有一个交点， 当时，，而， 所以或时，与无交点． 综上，函数和的图象交点个数为2，即函数的零点个数是2． 故选：A 8. 若函数(且)的图象经过定点，且函数满足，则的值为（ ） A. B. 19 C. 38 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数过定点坐标求出的值，即可求出解析式，再根据对数的运算性质计算可得. 【详解】因为函数(且)的图象经过定点， 所以，则，则； 所以，又， 所以 . 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数满足，，且当时，，则（ ） A. B. C. 在单调递减 D. ， 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先根据题意得到函数为奇函数，再根据奇函数的性质依次判断选项即可. 【详解】因为，，所以函数为奇函数. 对选项A，，所以，故A正确. 对选项B，，故B正确. 对选项C，因为当时，为增函数， 又因为函数为奇函数，所以当时，函数也为增函数，故C错误. 对选项D，因为，故D正确. 故选：ABD 10. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：ABD 【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养. 11. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则以下说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数的图象关于对称 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平移求出函数，结合正弦函数的图像性质分别判断即可. 【详解】由题意得，，故， 对于选项C，因，故，因此C正确； 对于选项D，， 故不恒成立，因此D错； 对于选项B，因， 故函数的图象关于对称，因此B正确； 对于选项A，由，求单增区间， 得，即， 故函数在上不是单调递增，因此A错. 故选：BC. 【点睛】本题考查了三角函数的图像平移与正弦函数的图像性质问题，可通过“代入法”或“整体代换法”来处理. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设实数x满足，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用换底公式和对数运算法则可将方程转化为，解方程求得或，进而结合的范围求得结果. 【详解】 即，解得：或 或 故答案为： 【点睛】本题考查对数方程求解问题，涉及到对数运算法则和换底公式的应用；考查基础公式的应用能力. 13. 若曲线在点的切线与曲线也相切，则___________. 【答案】﹣2或4 【解析】 【分析】根据导数几何意义求得切线方程，与曲线方程联立，因为也相切，故判别式等于0，解得参数m即可. 【详解】解：的导数为， 可得曲线在点的切线斜率为1，切线的方程为， 联立，可得， 由切线与曲线也相切， 可得， 解得或﹣2. 故答案为：﹣2或4. 【点睛】关键点点睛：带参的一元二次函数与直线相切，可以通过联立方程，判别式等于0，来求得参数. 14. 若对于任意a[－1,1], 函数f(x) = x+ (a－4)x + 4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是 . 【答案】(-∞‚1)∪(3,+∞) 【解析】 【详解】 数 四、解答题：本题共5小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. △ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为 (1)求; (2)若求△ABC的周长. 【答案】(1)(2) . 【解析】 【详解】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式，再利用正弦定理将边化成角，从而得出的值；（2）由和计算出，从而求出角，根据题设和余弦定理可以求出和的值，从而求出的周长为. 试题解析：（1）由题设得，即. 由正弦定理得. 故. （2）由题设及（1）得，即. 所以，故. 由题设得，即. 由余弦定理得，即，得. 故的周长为. 点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 16. 如图，在直三棱柱中，点E、F在侧棱、上，且，，点D、G在侧棱、上，且，. （1）证明：点G在平面内； （2）若，，，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）连接，，证得且，得到四边形平行四边形，进而得到，再证得，得到故四边形为梯形，即可得到D、E、F、G四点共面，即可得到结论； （2）以为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）连接，，因为点E、F在侧棱、上，且，， 又且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为点D、G在侧棱、上，且，， 所以，且，所以且，故四边形为梯形. 即D、E、F、G四点共面，所以点G在平面内. （2）由题意知、、两两垂直，以为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， 由，，得，，，(1，0，0)， 设平面的法向量为， 因为，， 所以，取，则，所以. 又由是平面的一个法向量，所以， 即二面角的余弦值为. 【点睛】本题考查了平面的基本性质证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 17. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知等差数列的前项和为，满足 . （1）求的通项公式； （2）设，求的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，分别取三个不同条件，与联立求得首项与公差，可得等差数列的通项公式； （2）把（1）中求得通项公式代入，利用数列的分组求和与等差数列及等比数列的前项和公式求解． 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为． 若选择条件①，则由，得， 解得，； 若选择条件②，则由，得， 解得，； 若选择条件③，则由，得， 解得，； （2）由（1）知，选择三个条件中的任何一个，都有． 则， 前项和 ． 【点睛】本题是等差数列与等比数列的综合题，考查等差数列与等比数列的前项和，考查分组求和的应用，考查计算能力，是中档题． 18. 设函数． （1）当时，求函数的单调区间和极值； （2）试讨论函数在区间上的零点个数． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为，极小值，无极大值． （2）分类讨论，答案见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数分析单调性和极值即可； （2）先利用导数分析的单调性得到最小值，再由函数有零点，得到，然后结合函数的单调性分析即可； 【小问1详解】 当时，，则的定义域是， ， 令，得或 (舍去)． 当x变化时，，变化情况如下表所示： x 2 － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 函数在处取得极小值，无极大值． 【小问2详解】 由可得， 令，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以的最小值为， 若函数有零点，则，解得. 当时，函数在上单调递减． 又，，所以函数在上有一个零点； 当时，函数的最小值为正数，所以函数在上没有零点． 综上，当时，函数在上有一个零点，当时，函数在上没有零点． 19. 已知椭圆的左焦点为圆的圆心A． （1）求椭圆C的方程； （2）与x轴不重合的直线l经过椭圆C的右焦点B，与椭圆交于M、N两点，过B且与l垂直的直线交圆A交于P、Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标，再结合，即可求得椭圆方程； （2）当直线的斜率存在时，利用弦长公式，分别求和，四边形的面积，求得面积的取值范围，当直线的斜率不存在时，求四边形的面积，最后即可求得四边形MPNQ面积的取值范围． 【小问1详解】 圆的圆心A的坐标为，所以圆锥的半焦距， 又，所以，椭圆C的方程为． 【小问2详解】 当l与x轴不垂直时，设l的方程为， ，． 由得． 则，． 所以． 过点且与l垂直的直线，A到m的距离为， 所以． 故四边形MPNQ的面积． 可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为． 当l与x轴垂直时，其方程为，，，四边形MPNQ的面积为12． 综上，四边形MPNQ的面积的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永州冠一高级中学2025年高三开学考试（实验班） 数学 (满分150分　时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 方程的解所在区间是（ ）． A. B. C. D. 2. 关于x的不等式的解集为，且：，则a=（　　） A. B. C. D. 3. 若定义在上的偶函数在上单调递减且，则满足的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知定义在上的奇函数满足.当时，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 5. 关于的不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 6. 为了得到函数图象，只需把函数的图像上所有的点（ ） A. 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D. 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 7. 已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，则函数的零点个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 若函数(且)的图象经过定点，且函数满足，则的值为（ ） A. B. 19 C. 38 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数满足，，且当时，，则（ ） A. B. C. 在单调递减 D. ， 10. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ） A. B. C D. 11. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则以下说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数的图象关于对称 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设实数x满足，且，则______. 13. 若曲线在点切线与曲线也相切，则___________. 14. 若对于任意a[－1,1], 函数f(x) = x+ (a－4)x + 4－2a值恒大于零，则x的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. △ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为 (1)求; (2)若求△ABC的周长. 16. 如图，在直三棱柱中，点E、F在侧棱、上，且，，点D、G在侧棱、上，且，. （1）证明：点G在平面内； （2）若，，，求二面角的余弦值. 17. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知等差数列的前项和为，满足 . （1）求通项公式； （2）设，求的前项和. 18. 设函数． （1）当时，求函数的单调区间和极值； （2）试讨论函数在区间上的零点个数． 19. 已知椭圆的左焦点为圆的圆心A． （1）求椭圆C的方程； （2）与x轴不重合的直线l经过椭圆C的右焦点B，与椭圆交于M、N两点，过B且与l垂直的直线交圆A交于P、Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $