培优专题 平方根（知识盘点+12题型+2易错+好题必刷）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（人教版2024）

培优专题 平方根 平方根的概念及其性质 1. 平方根: 平方根 内容 概念 如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根。例如，所以6和-6都是36的平方根 表示方法 若是的平方根，则可表示为。其中，表示的算术平方根，表示的另一个平方根。例如25的平方根表示为 性质 正数有两个平方根，它们互为相反数，如49的平方根是，0 的平方根是 0，在实数范围内，负数没有平方根 2. 开平方:求一个数的平方根的运算,叫作开平方,与平方互为逆运算。 【提示】求一个数的平方根，就是把平方后等于的数全部找出来． 算术平方根的概念及表示方法 算术平方根 内容 示例 概念 正数有两个平方根，其中正的平方根叫作的算术平方根．规定：0的算术平方根是 0 ． ∵的平方根是的算术平方根是3． 表示方法 非负数的算术平方根记为读作“根号” 5的算术平方根记为． 注意 (1)只有正数和0有算术平方根,负数没有算术平方根. (2)算术平方根是它本身的数只有0和1. 平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫作的平方根或二次方根． 正数有两个平方根，其中正的平方根 叫作的算术平方根．规定：0的算术平方根是0。 个数 一个正数的平方根有两个. 一个正数的算术平方根只 有一个 表示方法 结果 正数的平方根一正一负，它们互为相反数. 正数的算术平方根一定是正数. 联系 具有包 含关系 平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根中的正的平方根. 存在条 件相同 只有非负数才有平方根和算术平方根. 特殊 值0 0的平方根和算术平方根都是0. 估算算术平方根 求一个正数(非完全平方数)的算术平方根的近似值,通常有两种方法:一是用计算器;二是夹逼法,对算术平方根进行估算时,通常利用与被开方数比较接近的两个完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小. 注意 夹逼法按照精确度估计的近似值 （1）确定的整数部分：根据算术平方根的定义，若夹在两个连续非负整数之间，则 的整数部分是． （2）确定的小数部分：从较小整数开始，逐步加0.1，并求其平方，采用与（1）类似的方法确定 的十分位上的数字；再用同样的方法确定其他数位上的数字，直到能按照精确度估计近似值为止．（注意：若要求精确到百分位，则估算过程中需计算到千分位，再用四舍五入法确定百分位上的数字，如典例3中，计算到后，需进一步估算出2.237 用计算器求正有理数的算术平方根 不同型号的计算器在操作上可能会有一些细微差别，但一般来说，使用计算器求正有理数的算术平方根的步骤如下： 1.打开计算器：按下计算器的电源键，将计算器开启。 2.输入数字:使用计算器的数字按键，输入需要求算术平方根的正有理数。例如，如果要求25的算术平方根，就依次按下数字键“2”“5”。 3.找到平方根按键:在计算器上找到表示平方根的按键，通常标记为“√”“”。 4.计算算术平方根:按下平方根按键后，计算器会显示出该正有理数的算术平方根。对于25，按下“√”键后，计算器将显示“5”。 5.处理小数或分数:如果输入的正有理数是小数或分数，计算器同样可以计算其算术平方根。比如求2.25的算术平方根，按上述步骤操作，计算器会显示“1.5”。对于分数，如可以先将其换算为小数0.5625，再进行计算，得到算术平方根为0.75. 平方根概念理解 例1（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）有下列表述：①49的算术平方根是7；②任何数都有平方根；③的平方根是；④算术平方根等于它本身的数是0和1．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题主要考查了平方根、算术平方根的意义，熟练掌握概念是解题关键.根据平方根和算术平方根的意义，逐一判断即可. 【详解】①49的算术平方根是7，选项正确； ②负数没有平方根，选项错误； ③的平方根是，，选项错误； ④算术平方根等于它本身的数是0和1，选项正确. 故选：B. 【变式1-1】（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）如果，是2024的两个平方根，那么 ． 【答案】4048 【分析】本题考查平方根和相反数的性质、求代数式的值，熟练掌握平方根和相反数的性质是解题的关键． 根据平方根的性质可知、互为相反数，再根据相反数的性质即可求出结果． 【详解】解：∵是2024的两个平方根， ， 故答案为：4048． 【变式1-2】（23-24七年级下·云南昆明·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的性质，由一个数的平方根互为相反数得，求出即可求解；理解平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 故答案：． 求一个数的平方根 例2（22-23八年级上·陕西西安·期中）16的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平方根的含义，根据，结合平方根的含义可得答案． 【详解】解：16的平方根是； 故答案为： 【变式2-1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若与是同类项，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，同类项，二元一次方程等知识，根据同类项的定义可得出，然后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 【变式2-2】（22-23七年级上·浙江金华·期中）如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A所表示的数为m． (1)实数m的值是______． (2)求的值． (3)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据左减原则计算解答即可． （2）根据，代入求值即可． （3）根据题意，得，解得，代入，计算平方根． 【详解】（1）解：根据题意，得， 故答案为：． （2）解：根据，代入，得 原式= ． （3）解：根据题意，得， 解得，代入， 故 ． 【点睛】本题考查了点的坐标的平移规律，已知字母的值求代数式的值，有理数的非负性，相反数的应用，平方根的意义，熟练掌握平移，非负性，平方根是解题的关键． 求代数式的平方根 例3（23-24七年级下·山东滨州·期末）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义．直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， 则， 故的平方根为：． 故答案为：． 【变式3-1】（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知与 互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方根以及相反数，解一元一次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由题意得 ，求出a、b值，即可求解． 【详解】解：∵，， 则当与 互为相反数时， 只能是， 解得：， ∴， ∴其平方根为． 【变式3-2】（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根及平方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可． 【详解】解：的算术平方根是5， ， 解得：． ∵的平方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ， ， 的平方根为． 【点睛】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键． 已知一个数的平方根，求这个数 例4（22-23七年级下·山东滨州·期中）已知一个正数有两个不相等的平方根和，则这个正数是 ． 【答案】36 【分析】本题考查了平方根，根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，据此列式计算，得，再代入，即可作答． 【详解】解：一个正数的两个不相等平方根分别是和， ， 解得， 这个正数是． 故答案为：36． 【变式4-1】（23-24七年级下·广东肇庆·期中）若与是同一个正数的两个不同的平方根，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握一个正数的平方根的性质是解题的关键．一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数，由此计算即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 故答案为：1． 【变式4-2】（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）一个正数x的两个不同的平方根分别是与． (1)求x和m的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查平方根定义与性质、相反数性质，理解平方根的定义是正确解答的关键． （1）根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可得到答案； （2）由（1）中，，代入，利用平方根定义求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得， ∴； （2）解： ∴的平方根为 利用平方根解方程 例5（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）， 则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了利用平方根的性质解方程，熟知一个正数有两个平方根是正确解决本题的关键． 根据题意，得两个一元一次方程，再求解即可． 【详解】解：， ， 即或， 或． 故答案为：或． 【变式5-1】（23-24七年级下·广东广州·期末）求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键． （1）根据，利用平方根的性质解方程即可得； （2）根据，利用平方根的性质解方程即可得． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， 或， 或． 【变式5-2】解方程： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键： （1）先将方程整理为，再利用平方根解方程即可得； （2）先将方程整理为，再利用平方根解方程即可得． 【详解】（1）解：， ， 或； （2）解： ， 或， 或． 求一个数的算术平方根 例6（的算术平方根是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了算术平方根，先求出，再求出4的算术平方根是即可. 【详解】解：， ∴4的算术平方根是， 即的算术平方根是， 故选：A 【变式6-1】的平方根是（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：， ∵9的平方根为， ∴的平方根是， 故选：A． 【变式6-2】的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键． 先计算，然后计算9的算术平方根即可得出答案． 【详解】，9的算术平方根为 的算术平方根为． 故答案为：． 利用算术平方根的非负性解题 例7（23-24七年级下·广东广州·期末）若，则的值是 ． 【答案】或/2或3 【分析】该题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，解题的关键是确定出算术平方根等于本身的数是1或0． 根据题意得出或，求解即可． 【详解】解：依题意得，或， 解得：或． 故答案为：或． 【变式7-1】（24-25七年级上·浙江湖州·期中）若，则的值为 【答案】1 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，根据算术平方根和绝对值的非负性得出m，n的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 【变式7-2】（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知、为实数，且，则 【答案】2010 【分析】本题考查了算术平方根的被开方数非负，代数式求值，熟练掌握知识点是解题的关键．由得到，则，即可求解的值． 【详解】解：由题意得， 则， ∴， ∴， 故答案为：2010． 【变式7-3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． (2)的平方根． 【答案】(1) (2)的平方根为 【分析】本题主要考查偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性、平方根，熟练掌握偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键； （1）根据题意易得，然后进行求解即可； （2）根据（1）可得的值，然后根据平方根可进行求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， 解得：； （2）解：由（1）得：， ∴， ∴4的平方根为， 即的平方根为． 估计算术平方根的取值范围 例8（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）估算值是在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的估算，先估算出的取值范围，再得出的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴值是在6和7之间， 故选：D 【变式8-1】（23-24七年级下·湖北·期中）已知，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，根据被开方数的小数点每向右（左）移动两位，其算术平方根的小数点每向右（左）移动一位进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ，这两个式子都不成立， 故选：A． 【变式8-2】（23-24七年级下·山东滨州·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． 下面有四个推断：①；②一定有3个整数的算术平方根在之间；③对于小于15的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于．所有合理推断的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】此题考查了乘方运算，算术平方根，平方差公式；根据表格中的信息可知和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各题即可． 【详解】解：根据表格中的信息知： ，故①正确； 根据表格中的信息知：， ∴正整数或或的算术平方根在， ∴一定有个整数的算术平方根在之间，故②正确； ∵由题意设且， 由， ， ∴对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于，故③正确； 故选：D 求算术平方根的整数部分和小数部分 例9（23-24七年级下·安徽黄山·期中）已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴9的平方根是； 故答案为． 【变式9-1】已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【答案】 【分析】根据的取值范围，根据整数部分和小数部分的定义，即可求解， 本题考查了，求算术平方根的整数部分和小数部分，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：∵的整数部分是，小数部分是，， ∴，， 故答案为：，． 【变式9-2】定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为 ． 【答案】35 【分析】根据题意可知，然后利用平方运算进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的最大整数为35． 故答案为：35． 【点睛】本题主要考查了算术平方根，根据题目得出是解此题的关键． 【变式9-3】已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】先依据算术平方根和平方根的定义列出关于、的方程组求得、的值，然后估算出的大小，可求得的值，接下来，求得的值，最后求它的平方根即可． 【详解】解：由题意得：， ，． ， ． ． ． 的平方根是． 【点睛】本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义、估算算术平方根的整数部分，熟练掌握相关定义和方法是解题的关键． 与算术平方根有关的规律探索题 例10如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行 第二行 第三行 第四行 根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化，算术平方根，观察题目找出解题点是解题的关键．根据数阵的规律可知：被开方数是连续的正整数，根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数，可得结论． 【详解】解：第1行的最后一个数是， 第2行的最后一个数是， 第3行的最后一个数是， …… 第8行最后一个数字为， ∴第8行倒数第三个数是， 故选：C． 【变式10-1】（23-24七年级下·河北唐山·期中）如果被开方数的小数点向右每移动两位，那么它的算术平方根的小数点就（    ） A．向右移动一位 B．向右移动两位 C．向左移动一位 D．向左移动两位 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的性质，根据被开方数的小数点向右每移动两位，算术平方根的小数点向右平移1位，作答即可． 【详解】解：如果被开方数的小数点向右每移动两位，那么它的算术平方根的小数点就向右移动一位； 故选：A． 【变式10-2】在草稿纸上计算：①，②，③…，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：= ，= ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根与数字变化规律题，解题关键是得出．先计算出前4个式子，进而得出规律，再计算即可． 【详解】解：， ， ， ， …… 观察发现， ， 故答案为：，． 【变式10-3】（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）先计算下列各式：，，，，通过观察并归纳结论： （1）请写出： ： （2）计算： ． 【答案】 n 102 【分析】本题主要考查了奇数求和，算术平方根，认真读题，寻找规律，掌握奇数求和的方法和算术平方根的定义是解答的关键． （1）总结规律，可以发现被开方数是奇数之和为，开方即可； （2）先把被开方数提取公因数4，再将括号内的按规律求和解答即可． 【详解】解：（1）∵，，，， ∴ 故答案为：n； （2） ． 故答案为：102． 算术平方根的实际应用 例11（23-24七年级下·广东肇庆·期中）阅读下列材料： 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，而，，所以，即． 小明：，，这就说明与都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以． 回答以下问题： (1)结合材料猜想，当，时，和之间存在怎样的关系？请直接写出； (2)运用以上结论，计算：①；②； (3)解决实际问题：已知一个长方形的宽为，长为，求这个长方形的面积． 【答案】(1) (2)； (3)16 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根的应用，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键． （1）由题意可得当，时，； （2）根据法则计算； ； （3）由长方形的面积可知，进而求解即可． 【详解】（1）解：当，时，； （2）解：； ， （3）解：根据题意得：长方形的面积为． 【变式11-1】如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．    (1)求大正方形的边长； (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 【分析】本题考查了算术平方根，能根据题意列出算式是解此题的关键． （1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可； （2）先求出长方形的边长，利用长与正方形边长比较大小再判断即可． 【详解】（1）解：由题意得，大正方形的面积， 大正方形的边长； （2）设长方形纸片的长为，宽为． 由题意，得，即． 此时． 不能裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 【变式11-2】（23-24七年级下·陕西安康·期中）图①是由四个边长为1的小正方形拼成的方格图，将图②沿虚线划分成四个完全相同的直角三角形，然后把这四个直角三角形拼成如图②所示的大正方形．若图②中小正方形的面积为1，求图②中大正方形的边长． 【答案】 【分析】主要考查了算术平方根的应用，有理数混合运算的应用，由题可知，图2中间小正方形的面积是1，大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个直角三角形的面积；把大正方形的面积的值开方即可得到大正方形的边长． 【详解】解：根据题意，得图②中大正方形的面积为， 图②中大正方形的边长为． 平方根的实际应用 例12如图，已知一个等腰直角三角形的直角边长为，把这个等腰直角三角形以的速度向右沿直线平移．当图中阴影部分面积为，则这个等腰直角三角形平移的时间为 s．    【答案】/ 【分析】用含有t的代数式各相关线段的长，再利用阴影部分面积以及三角形面积求出的面积，继而根据线段的和差列出方程求解即可． 【详解】解：设移动的时间为，且； 则，，    ∵阴影部分面积为， ∴的面积为， 即， ∴， ∴（负值舍去） ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移的性质，等腰直角三角形的定义，平方根的应用，掌握等腰直角三角形的定义以及梯形的面积公式是解题的关键． 【变式12-1】一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道（横向走道宽度不变）后将空地分割成两个花坛（花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为），花坛的总面积为1176平方米，宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？ 【答案】(1)这块长方形空地的周长为米 (2)宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行 【分析】本题考查了平方根的应用； （1）设长方形空地的长为，则宽为，根据面积为1500平方米列式，利用平方根的性质求出x，得到长方形空地的长和宽，然后即可计算周长； （2）设花坛2的宽为y，则长为，正方形花坛1的边长为，根据总面积为1176平方米列式，利用平方根的性质求出x，计算出“T字型”走道的宽，进行比较即可． 【详解】（1）解：设长方形空地的长为，则宽为， 由题意得：， ∴（负值已舍去）， ∴，， ∴这块长方形空地的周长为米； （2）设花坛2的宽为y，则长为，正方形花坛1的边长为， 由题意得：， 解得：（负值已舍去）， ∴花坛2的宽为14，正方形花坛1的边长为， ∵， ∴宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行． 【变式12-2】（22-23七年级下·吉林松原·阶段练习）“保护环境，节约资源”一直是现代社会所提倡的，墨墨参加了学校组织的“节约资源，废物利用”比赛，他想将一个废旧易拉罐的侧面制成一个正方体（有底有盖）储存盒，他经过测量得到废旧易拉罐的高是，底面直径是，废旧易拉罐的侧面刚好用完，正方体储存盒的接头部分忽略不计，求墨墨所做的正方体储存盒的棱长．（取） 【答案】墨墨所做的正方体储存盒的棱长为 【分析】设正方体储存盒的棱长为．根据圆柱的侧面积等于正方体的表面积，列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设正方体储存盒的棱长为． 由题意，得， 解得（舍去）． 答：墨墨所做的正方体储存盒的棱长为． 【点睛】本题考查了平方根的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 【例1】下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题关键． 根据平方根与算术平方根的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、，此项错误，不符合题意； B、，此项错误，不符合题意； C、，此项正确，符合题意； D、，此项错误，不符合题意； 故选：C． 【例2】如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形， (1)求大正方形的边长； (2)若将此大正方形纸片的局部剪掉，能否剩下一个长宽之比为3：2且面积为的长方形纸片，若能，求出剩下的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1)6cm； (2)不能，理由见解析． 【分析】（1）大正方形的边长就是小正方形的对角线，求小正方形对角线即可； （2）根据长方形长宽之比为3:2和面积求出长和宽，与正方形边长进行比较即可． 【详解】（1）由题意可知，大正方形的边长就是小正方形的对角线， 因为小正方形的边长为cm， 所以小正方形的对角线长为(cm)， 故大正方形的边长为6cm； （2）因为剩下的长方形长宽之比为3:2，设它的长为3x，则宽为2x， 因为面积为30cm2， 所以， 解得或（舍去）， 所以剩下的长方形长为，宽为， 因为， 所以不能使剩下的长方形纸片的长宽之比为3:2，且面积为30cm2． 【点睛】本题考查了算术平方根的应用，能根据题意正确列出算式是解题关键． 一、单选题 1．（2024·广东·中考真题）完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（    ） A．2 B．5 C．10 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，先求出一个正方形的面积，再根据正方形的面积计算公式求出对应的边长即可． 【详解】解：∵完全相同的4个正方形面积之和是100， ∴一个正方形的面积为， ∴正方形的边长为， 故选：B． 2．（2024·四川内江·中考真题）16的平方根是（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】D 【分析】题考查了平方根，熟记定义是解题的关键．根据平方根的定义计算即可． 【详解】解：16的平方根是， 故选：D． 3．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的估算．求出石雕的边长是解题的关键． 由于正方形的面积等于边长的平方，故边长等于面积的算术平方根，据此先求出正方形墙面的边长，进而利用割补法算出石雕的面积，再根据算术平方根求出石雕的边长，最后利用估算无理数大小的方法估算出石雕边长的取值范围即可． 【详解】解：∵正方形墙的面积为， ∴正方形墙的边长为， ∵石雕的四个角分别在墙的四边的中点， ∴石雕的面积为； ∴石雕的边长为， ∵， ∴， ∴石雕边长的整数部分为2． 故答案为：B． 4．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义，得小正方形的边长为，大正方形的边长为，故阴影的面积为大长方形的面积减去两个正方形的面积即，解答即可． 本题考查了算术平方根的应用，面积的计算，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长． 【详解】解：根据算术平方根的定义，得小正方形的边长为，大正方形的边长为， 故阴影的面积为大长方形的面积减去两个正方形的面积即， 故选B． 5．若，则的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了非负数的性质，求一个数的平方根，根据非负数的性质得到，则，再根据若两个实数a、b满足，那么a就叫做b的平方根进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为， 故选：B． 二、填空题 6．（2024·四川成都·中考真题）若，为实数，且，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查非负数的性质，根据平方式和算术平方数的非负数求得m、n值，进而代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：1． 7．的算术平方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义的定义解答即可． 【详解】解：， ∵4的算术平方根是2， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 8．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根以及算术平方根的估算，掌握算术平方根的估算方法是解本题的关键． 首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案． 【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为2，3，3， 则， 所以其面积， ， ， ， ∵面积介于整数和之间， 的值为2． 故答案为：2． 9．（23-24七年级下·山东滨州·期末）例、下面是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，应该在第 行． 【答案】45 【分析】本题主要考查数字规律的探索，涉及开平方，根据题意可知第一行最后一位为1；第二行最后一位为2；以此类推，第n行最后一位为n，结合所在范围即可求得答案． 【详解】解：根据题意可知第一行最后一位为1；第二行最后一位为2；以此类推，第n行最后一位为n， ∵，， ∴在第45行， 故答案为：45． 10．（23-24七年级下·吉林·阶段练习）已知一个数的一个平方根是，则它的另一个平方根是 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 直接根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵一个数的平方根有两个，且互为相反数，一个平方根是， ∴它的另一个平方根是2024， 故答案为：2024． 三、解答题 11．已知在数轴上点A，点B所对应的数为a，b满足． (1)填空：______，______． (2)若点A，点B分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度同时向右运动，设运动时间为t秒． ①当，求点A到点B的距离． ②若点P所对应的数为7，当点A到点P的距离恰好为时，求点B所对应的数．（用含m的代数式表示） 【答案】(1)，3 (2)①1；② 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值，算术平方根的，解题的关键是掌握数轴知识，非负数的性质，数轴上两点间的距离． （1）利用非负数的性质解答； （2）利用数轴知识和实数的意义解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①由(1)得， 当时， 点，点表示的数分别为：， 此时， 点到点的距离为1； ②点表示数，点所对应的数为7， 点移动向右移动个单位后，点位于点右侧， 移动后点表示的数为，移动了秒， 点移动了秒， 点所对应的数为：． 12．（23-24七年级下·安徽淮南·阶段练习）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失.在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长.每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和冰川消失后经过的时间近似地满足如下的关系式：.其中d代表苔藓的直径（单位：厘米）；t代表冰川消失后经过的时间（单位：年）. (1)计算冰川消失16年后苔藓的直径； (2)如果测得一些苔藓的直径是28厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 【答案】(1)冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米 (2)冰川约是在28年前消失的 【分析】 本题考查了无理数的应用，已知字母的值求代数式的值，求一个数的算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，得，进行计算，即可作答． （2）理解题意，得，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 答：冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米． （2）解：依题意，， 解得：， 答：冰川约是在28年前消失的． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 平方根 平方根的概念及其性质 1. 平方根: 平方根 内容 概念 如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根。例如，所以6和-6都是36的平方根 表示方法 若是的平方根，则可表示为。其中，表示的算术平方根，表示的另一个平方根。例如25的平方根表示为 性质 正数有两个平方根，它们互为相反数，如49的平方根是，0 的平方根是 0，在实数范围内，负数没有平方根 2. 开平方:求一个数的平方根的运算,叫作开平方,与平方互为逆运算。 【提示】求一个数的平方根，就是把平方后等于的数全部找出来． 算术平方根的概念及表示方法 算术平方根 内容 示例 概念 正数有两个平方根，其中正的平方根叫作的算术平方根．规定：0的算术平方根是 0 ． ∵的平方根是的算术平方根是3． 表示方法 非负数的算术平方根记为读作“根号” 5的算术平方根记为． 注意 (1)只有正数和0有算术平方根,负数没有算术平方根. (2)算术平方根是它本身的数只有0和1. 平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫作的平方根或二次方根． 正数有两个平方根，其中正的平方根 叫作的算术平方根．规定：0的算术平方根是0。 个数 一个正数的平方根有两个. 一个正数的算术平方根只 有一个 表示方法 结果 正数的平方根一正一负，它们互为相反数. 正数的算术平方根一定是正数. 联系 具有包 含关系 平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根中的正的平方根. 存在条 件相同 只有非负数才有平方根和算术平方根. 特殊 值0 0的平方根和算术平方根都是0. 估算算术平方根 求一个正数(非完全平方数)的算术平方根的近似值,通常有两种方法:一是用计算器;二是夹逼法,对算术平方根进行估算时,通常利用与被开方数比较接近的两个完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小. 注意 夹逼法按照精确度估计的近似值 （1）确定的整数部分：根据算术平方根的定义，若夹在两个连续非负整数之间，则 的整数部分是． （2）确定的小数部分：从较小整数开始，逐步加0.1，并求其平方，采用与（1）类似的方法确定 的十分位上的数字；再用同样的方法确定其他数位上的数字，直到能按照精确度估计近似值为止．（注意：若要求精确到百分位，则估算过程中需计算到千分位，再用四舍五入法确定百分位上的数字，如典例3中，计算到后，需进一步估算出2.237 用计算器求正有理数的算术平方根 不同型号的计算器在操作上可能会有一些细微差别，但一般来说，使用计算器求正有理数的算术平方根的步骤如下： 1.打开计算器：按下计算器的电源键，将计算器开启。 2.输入数字:使用计算器的数字按键，输入需要求算术平方根的正有理数。例如，如果要求25的算术平方根，就依次按下数字键“2”“5”。 3.找到平方根按键:在计算器上找到表示平方根的按键，通常标记为“√”“”。 4.计算算术平方根:按下平方根按键后，计算器会显示出该正有理数的算术平方根。对于25，按下“√”键后，计算器将显示“5”。 5.处理小数或分数:如果输入的正有理数是小数或分数，计算器同样可以计算其算术平方根。比如求2.25的算术平方根，按上述步骤操作，计算器会显示“1.5”。对于分数，如可以先将其换算为小数0.5625，再进行计算，得到算术平方根为0.75. 平方根概念理解 例1（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）有下列表述：①49的算术平方根是7；②任何数都有平方根；③的平方根是；④算术平方根等于它本身的数是0和1．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）如果，是2024的两个平方根，那么 ． 【变式1-2】（23-24七年级下·云南昆明·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则 ． 求一个数的平方根 例2（22-23八年级上·陕西西安·期中）16的平方根是 ． 【变式2-1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若与是同类项，则的平方根是 ． 【变式2-2】（22-23七年级上·浙江金华·期中）如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A所表示的数为m． (1)实数m的值是______． (2)求的值． (3)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 求代数式的平方根 例3（23-24七年级下·山东滨州·期末）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 【变式3-1】（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知与 互为相反数，求的平方根． 【变式3-2】（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 已知一个数的平方根，求这个数 例4（22-23七年级下·山东滨州·期中）已知一个正数有两个不相等的平方根和，则这个正数是 ． 【变式4-1】（23-24七年级下·广东肇庆·期中）若与是同一个正数的两个不同的平方根，则 ． 【变式4-2】（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）一个正数x的两个不同的平方根分别是与． (1)求x和m的值； (2)求的平方根． 利用平方根解方程 例5（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）， 则 ． 【变式5-1】（23-24七年级下·广东广州·期末）求下列各式的值． (1)； (2)． 【变式5-2】解方程： (1)； (2) 求一个数的算术平方根 例6（的算术平方根是（   ） A．2 B．4 C． D． 【变式6-1】的平方根是（   ） A． B．3 C． D．9 【变式6-2】的算术平方根是 ． 利用算术平方根的非负性解题 例7（23-24七年级下·广东广州·期末）若，则的值是 ． 【变式7-1】（24-25七年级上·浙江湖州·期中）若，则的值为 【变式7-2】（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知、为实数，且，则 【变式7-3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． (2)的平方根． 估计算术平方根的取值范围 例8（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）估算值是在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【变式8-1】（23-24七年级下·湖北·期中）已知，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24七年级下·山东滨州·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． 下面有四个推断：①；②一定有3个整数的算术平方根在之间；③对于小于15的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于．所有合理推断的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 求算术平方根的整数部分和小数部分 例9（23-24七年级下·安徽黄山·期中）已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 【变式9-1】已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【变式9-2】定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为 ． 【变式9-3】已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 与算术平方根有关的规律探索题 例10如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行 第二行 第三行 第四行 根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（     ） A． B． C． D． 【变式10-1】（23-24七年级下·河北唐山·期中）如果被开方数的小数点向右每移动两位，那么它的算术平方根的小数点就（    ） A．向右移动一位 B．向右移动两位 C．向左移动一位 D．向左移动两位 【变式10-2】在草稿纸上计算：①，②，③…，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：= ，= ． 【变式10-3】（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）先计算下列各式：，，，，通过观察并归纳结论： （1）请写出： ： （2）计算： ． 算术平方根的实际应用 例11（23-24七年级下·广东肇庆·期中）阅读下列材料： 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，而，，所以，即． 小明：，，这就说明与都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以． 回答以下问题： (1)结合材料猜想，当，时，和之间存在怎样的关系？请直接写出； (2)运用以上结论，计算：①；②； (3)解决实际问题：已知一个长方形的宽为，长为，求这个长方形的面积． 【变式11-1】如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．    (1)求大正方形的边长； (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【变式11-2】（23-24七年级下·陕西安康·期中）图①是由四个边长为1的小正方形拼成的方格图，将图②沿虚线划分成四个完全相同的直角三角形，然后把这四个直角三角形拼成如图②所示的大正方形．若图②中小正方形的面积为1，求图②中大正方形的边长． 平方根的实际应用 例12如图，已知一个等腰直角三角形的直角边长为，把这个等腰直角三角形以的速度向右沿直线平移．当图中阴影部分面积为，则这个等腰直角三角形平移的时间为 s．    【变式12-1】一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道（横向走道宽度不变）后将空地分割成两个花坛（花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为），花坛的总面积为1176平方米，宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？ 长方形空地的长和宽，然后即可计算周长； 【变式12-2】（22-23七年级下·吉林松原·阶段练习）“保护环境，节约资源”一直是现代社会所提倡的，墨墨参加了学校组织的“节约资源，废物利用”比赛，他想将一个废旧易拉罐的侧面制成一个正方体（有底有盖）储存盒，他经过测量得到废旧易拉罐的高是，底面直径是，废旧易拉罐的侧面刚好用完，正方体储存盒的接头部分忽略不计，求墨墨所做的正方体储存盒的棱长．（取） 【例1】下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形， (1)求大正方形的边长； (2)若将此大正方形纸片的局部剪掉，能否剩下一个长宽之比为3：2且面积为的长方形纸片，若能，求出剩下的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 一、单选题 1．（2024·广东·中考真题）完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（    ） A．2 B．5 C．10 D．20 2．（2024·四川内江·中考真题）16的平方根是（    ） A． B．4 C．2 D． 3．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 5．若，则的平方根是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024·四川成都·中考真题）若，为实数，且，则的值为 ． 7．的算术平方根是 ． 8．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 9．（23-24七年级下·山东滨州·期末）例、下面是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，应该在第 行． 10．（23-24七年级下·吉林·阶段练习）已知一个数的一个平方根是，则它的另一个平方根是 ． 三、解答题 11．已知在数轴上点A，点B所对应的数为a，b满足． (1)填空：______，______． (2)若点A，点B分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度同时向右运动，设运动时间为t秒． ①当，求点A到点B的距离． ②若点P所对应的数为7，当点A到点P的距离恰好为时，求点B所对应的数．（用含m的代数式表示） 12．（23-24七年级下·安徽淮南·阶段练习）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失.在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长.每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和冰川消失后经过的时间近似地满足如下的关系式：.其中d代表苔藓的直径（单位：厘米）；t代表冰川消失后经过的时间（单位：年）. (1)计算冰川消失16年后苔藓的直径； (2)如果测得一些苔藓的直径是28厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$