精品解析：江苏省常州市西夏墅高级中学2024-2025学年高三下学期期初调研测试数学试题

常州市西夏墅高级中学高三期初调研测试 高三数学 2025.2 考试时间120分钟 本试卷共19大题 满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数不等式解集合A，根据一元二次不等式解集合B，结合交集的定义与运算即可求解. 【详解】， 或. 所以. 故选：B 2. 若复数，则在复平面内对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用复数除法及共轭复数定义可得，即可判断对应点的坐标. 【详解】因为，所以，所以在复平面内对应点的坐标为. 故选：B 3. 已知平面向量，则“”是“，共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若则，共线，故充分性成立； 若，共线，不一定得到， 如，，显然满足，共线， 但是不存在实数使得，故必要性不成立； 所以“”是“，共线”的充分不必要条件. 故选：A 4. 若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（ ） A. 32 B. 64 C. 80 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式系数之和以及系数之和求，再根据二项式定理运算求解即可. 【详解】因为的二项式系数之和为32， 则，解得，即二项式为， 因为展开式各项系数和为243， 令，代入可得，解得，即二项式为， 则该二项式展开式的通项为， 令，解得， 则展开式中的系数为. 故选：C. 5. 已知各项均为正数的等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 25 B. 16 C. 9 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，由，得， （也可由等差数列的性质得，得） 解得，又，所以， 解得或． 因为各项均为正数，所以，所以，，所以． 故选：D 6. 已知满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和（差）的正弦公式即可求得结果. 【详解】由题得， （观察所求式发现，结合条件可知需要先求得的值） 因为，所以， 则． 故选：C． 7. 已知动直线与圆相交于，两点，若线段上一点满足，且，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】法一：根据题设有、且，应用向量数量积的运算律求轨迹方程；法二：设，由的坐标表示及已知求轨迹方程. 【详解】法一：设，若为原点，由，得， 因为在圆上，所以，连接， 由，得， 故，故动点的轨迹方程为． 法二：设，则由，得，得， ①②同时平方并相加，得． 又在圆上，， 所以，得， 故动点的轨迹方程为． 故选：A 8. 已知函数，且若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数式，结合条件，反向逆推，考虑所含的六种不同情况，逐一检验即得. 【详解】根据题设函数，由逆推，可有以下六种情况： ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ . 综上，对于A，由情况⑥可知A不正确； 对于B，C，由情况①可知B不正确，C也不正确； 对于D，由上分析知，故D正确. 故选：D. 【点睛】思路点睛：由条件和选项特点，考虑根据分段函数式进行逆推，在求函数值过程中，要考虑条件的满足，以及可能出现的所有情况，再进行判断即可. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 药物临床试验是验证新药有效性和安全性必不可少的步骤．在某新药的临床实验中，志愿者摄入一定量药物后，在较短时间内，血液中药物浓度将达到峰值，当血液中药物浓度下降至峰值浓度的20%时，需要立刻补充药物．已知血液中该药物的峰值浓度为120mg/L，为探究该药物在人体中的代谢情况，研究人员统计了血液中药物浓度y（mg/L）与代谢时间x（h）的相关数据，如下表所示： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y 120 110 103 93 82 68 59 47 38 根据表中数据可得到经验回归方程，则（ ） A. B. 变量y与x的相关系数 C. 当时，残差为-1.5 D. 代谢约10小时后才需要补充药物 【答案】AC 【解析】 【分析】根据样本中心点计算求解判断A，根据单调性判断B，应用回归直线计算求解得出残差判断C，计算判断得出D. 【详解】因为样本中心点在直线上，所以，A选项正确； 血液中药物浓度y（mg/L）随代谢时间x（h）的增大而减小，所以变量y与x的相关系数，B选项错误； 当时，，残差为，C选项正确； 令，解得，D选项错误； 综上所述，应选AC． 故选：AC. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数为奇函数 C. 当时，函数恰有两个零点 D. 设数列是首项为，公差为的等差数列，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简，再利用正弦函数单调性奇偶性判断ABC，利用裂项相消及累加求和判断D. 【详解】易知， 同理， 对A, 先减后增，故A错误； 对B, 为奇函数，故B正确； 对C, ,则在单调递增， 在单调递减，即在单调递增，在单调递减， 又， ， 故函数恰有两个零点，故C正确； 对D,易知，令，则， ， , …………………….. , 则， 故，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的性质及数列求和应用，关键是利用利用裂项相消及累加求和判断D. 11. 已知是定义在上的奇函数，是奇函数，且当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上单调递减 C. D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题设得，进而有，结合已知区间单调性，即可判断A、B；将自变量代入，结合对数的运算性质求函数值判断C；由得，再由即可判断D. 【详解】对于A：因为是奇函数，所以，且图象关于原点对称， 因为是奇函数，所以， 令，得，以代替得， 再以代替得，正确． 对于B：由知，在上单调性与在上相同， 由题意，在上单调递减，又是上的奇函数， 所以在上单调递减，又函数的图象连续， 所以在上单调递减，则在上单调递减，正确． 对于C：因为，所以，即， 所以 ，不正确． 对于D：当时，， 所以，， 所以当时，，正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，直线与曲线相切，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由直线与曲线相切，得，然后利用基本不等式，即可求得本题答案. 【详解】设切点为，由得，由题意， 解得，所以，即， 故，当且仅当时，等号成立， 故答案为： 13. 已知分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，是上一点且，若的面积为，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】解法一：由离心率得，，设，，结合椭圆定义及题干求得，，然后利用等比三角形面积列式求得，即可得解； 解法二：由离心率得，，设，，，结合椭圆定义及题干，利用余弦定理得，利用面积公式列式求解即可. 【详解】解法一：由题得，所以，，设，， 则，由题知， 将代入，得，解得，故， 所以是等边三角形，故，得，得． 解法二：由题得，所以，，设，，， 则，， 由余弦定理得， 故，得． 故答案为：2 14. “石头、剪刀、布”是我们小时候常玩的游戏，游戏规则如下： ①石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头； ②两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时都出相同的手势或者三种手势都出现为平局.现有人玩游戏. 若3人玩一轮游戏，平局的概率=_________；若求人玩一轮游戏，平局的概率= ______．（结果用n表示） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】应用古典概型公式计算可得第一空；应用古典概型及对立事件概率公式计算可得第二空. 【详解】用坐标表示三人出的手势顺序，则三人所有可能手势情况有： （石头，剪刀，布），（石头，布，剪刀），（剪刀，石头，布），（剪刀，布，石头）， （布，石头，剪刀），（布，剪刀，石头），（石头，石头，石头），（剪刀，剪刀，剪刀）， （布，布，布），（石头，石头，布），（石头，布，石头，），（布，石头，石头）， （石头，石头，剪刀），（石头，剪刀，石头，），（剪刀，石头，石头），（布，布，石头）， （布，石头，布），（石头，布，布），（剪刀，布，布），（布，剪刀，布）， （布，布，剪刀），（剪刀，剪刀，布），（剪刀，布，剪刀），（布，剪刀，剪刀）， （石头，剪刀，剪刀），（剪刀，石头，剪刀），（剪刀，剪刀，石头）， 共27种，其中，平局的情况有 （石头，剪刀，布），（石头，布，剪刀），（剪刀，石头，布），（剪刀，布，石头）， （布，石头，剪刀），（布，剪刀，石头），（石头，石头，石头），（剪刀，剪刀，剪刀）， （布，布，布），共有9种， 所以平局的概率； 由于平局的情况比较多，我们可以考虑人玩游戏分出胜负的概率， ， 其中表示分出胜负的三种情况， 即人只出了①石头，剪刀；②石头，布；③剪刀，布，此时分胜负， 而分出胜负与平局是对立事件， 故. 故答案为：①；②. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是应用古典概型及对立事件概率求解. 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，已知，． （1）求； （2）若为边上任意一点，作于，设，试用表示，并求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理可求角大小，再由，可得角； （2）在中，由正弦定理求，在直角中求，再利用三角恒等变换求的最值. 【小问1详解】 由得， ， 又，且； 【小问2详解】 由（1）知，，则为直角三角形， 在中，由正弦定理知，即， 在中，， 所以 由，当，即时，取得最大值为. 16. 如图，中，分别为的中点，将沿着翻折到某个位置得到. （1）若点为的中点，求证：平面； （2）当时，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，通过证明平面平面，可得证； （2）根据题意，由线面垂直的判定定理可得平面，然后以为原点建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及二面角的公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 取中点，连接， 因为为中点，所以，， 又平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面. 【小问2详解】 连接，则，又， 所以，即， 又因为，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以两两垂直， 以为原点，分别为轴正半轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，不妨令，则，所以， 设平面的一个法向量为， 则，不妨令，则，所以， 设平面与平面所成角大小为，则 ， 所以，平面与平面所成角的余弦值为. 17. 设是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且． （1）求，的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）先设等差数列的公差为，等比数列的公比为，再根据题干已知条件列出关于公差与公比的方程组，解出与的值，即可计算出等差数列与等比数列的通项公式； （2）先根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，再求数列的前项和时分奇数项与偶数项分别计算，奇数项求和运用错位相减法进行求和，偶数项求和时运用裂项相消法进行求和，最后综合即可得到前项和的结果． 【小问1详解】 由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则，化简，得， 整理，解得（舍去），或， 则， ，，． 【小问2详解】 由（1）可得， ， ， 令， 则， ， 两式相减，可得 ， ， 令， 则 ， ． 18. 已知双曲线为双曲线的左、右焦点，渐近线方程为，点为双曲线在第一象限上的一点，且的面积为． （1）求双曲线的标准方程； （2）、为双曲线的左右顶点，直线上一点，以为圆心，半径为的圆与直线交于两点，直线、与双曲线分别交于另一点、． ①证明：为定值； ②探究：直线是否恒过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②直线恒过定点，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由渐近线方程得到，再由余弦定理、三角形面积公式及双曲线的定义得到方程组，求出，，即可得解； （2）①设，即可表示出、的坐标，再由斜率公式计算可得；②设直线的方程为，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，根据，求出、的关系，即可得解. 【小问1详解】 双曲线的渐近线为， 设，由渐近线方程为，所以，则， 由，在中由余弦定理可得， 又点为双曲线在第一象限上的一点，所以， 即，所以， 又的面积为，即，所以， 又，解得，， 所以双曲线方程为； 【小问2详解】 ①由（1）可得、， 设，则，所以，， 所以，， 所以，即为定值； ②直线恒过定点，理由如下： 设，，显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 由，可得， 显然且，则，， 所以， 又， ， 所以，即，所以， 即直线的方程为，所以直线恒过点. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 19. 设函数（）. （1）当时，讨论函数的单调性； （2）当时，曲线与直线交于，两点，求证：； （3）证明：（，）. 【答案】（1）时，单调递减；时，单调递增. （2），则， 由题意，知有两解，，不妨设， 要证，即证， ①若，则； ②若，由知， 在上单调递减，在上单调递增，也有， 综合①②知，， 所以只需证（*）. 又， ∴两式相减，整理得， 代入（*）式，得，即. 令（），即证. 令（），则， ∴在上为增函数，∴， ∴成立. （3）由（2）知，， 故，，取， 所以（）， 则（）. 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的正负即可求解； （2）求导得，进而代入化简将问题转化成，构造函数即可利用导数求解； （3）利用（2）的结论取，，利用累加法即可求解. 【小问1详解】 当时，， ， 时，，单调递减； 时，，单调递增. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常州市西夏墅高级中学高三期初调研测试 高三数学 2025.2 考试时间120分钟 本试卷共19大题 满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则在复平面内对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，则“”是“，共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（ ） A. 32 B. 64 C. 80 D. 16 5. 已知各项均为正数的等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 25 B. 16 C. 9 D. 4 6. 已知满足，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知动直线与圆相交于，两点，若线段上一点满足，且，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，且若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 药物临床试验是验证新药有效性和安全性必不可少的步骤．在某新药的临床实验中，志愿者摄入一定量药物后，在较短时间内，血液中药物浓度将达到峰值，当血液中药物浓度下降至峰值浓度的20%时，需要立刻补充药物．已知血液中该药物的峰值浓度为120mg/L，为探究该药物在人体中的代谢情况，研究人员统计了血液中药物浓度y（mg/L）与代谢时间x（h）的相关数据，如下表所示： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y 120 110 103 93 82 68 59 47 38 根据表中数据可得到经验回归方程，则（ ） A. B. 变量y与x的相关系数 C. 当时，残差为-1.5 D. 代谢约10小时后才需要补充药物 10. 已知函数，则（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数为奇函数 C. 当时，函数恰有两个零点 D. 设数列是首项为，公差为的等差数列，则 11. 已知是定义在上的奇函数，是奇函数，且当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上单调递减 C. D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，直线与曲线相切，则的最小值为______. 13. 已知分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，是上一点且，若的面积为，则______． 14. “石头、剪刀、布”是我们小时候常玩的游戏，游戏规则如下： ①石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头； ②两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时都出相同的手势或者三种手势都出现为平局.现有人玩游戏. 若3人玩一轮游戏，平局的概率=_________；若求人玩一轮游戏，平局的概率= ______．（结果用n表示） 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，已知，． （1）求； （2）若为边上任意一点，作于，设，试用表示，并求的最大值． 16. 如图，中，分别为的中点，将沿着翻折到某个位置得到. （1）若点为的中点，求证：平面； （2）当时，求平面与平面所成角的余弦值. 17. 设是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且． （1）求，的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 18. 已知双曲线为双曲线的左、右焦点，渐近线方程为，点为双曲线在第一象限上的一点，且的面积为． （1）求双曲线的标准方程； （2）、为双曲线的左右顶点，直线上一点，以为圆心，半径为的圆与直线交于两点，直线、与双曲线分别交于另一点、． ①证明：为定值； ②探究：直线是否恒过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 19. 设函数（）. （1）当时，讨论函数的单调性； （2）当时，曲线与直线交于，两点，求证：； （3）证明：（，）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $