10.3 几个三角恒等式（3个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

10．3 几个三角恒等式 课程标准 学习目标 （1）理解积化和差、和差化积、半角公式的推导过程. （2）掌握积化和差、和差化积、半角公式的结构特征. （1）能利用所学三角公式进行三角恒等变换． 知识点01 半角公式 ， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 【即学即练1】已知，，，均为锐角，则=（　　） A． B． C． D． 知识点02 积化和差公式 知识点诠释： 规律1：公式右边中括号前的系数都有． 规律2：中括号中前后两项的角分别为和． 规律3：每个式子的右边分别是这两个角的同名函数． 【即学即练2】在中，若，则是 三角形； 知识点03 和差化积公式 知识点诠释： 规律1：在所有的公式中，右边积的系数中都有2． 规律2：在所有的公式中，左边都是角与的弦函数相加减，右边都是与的弦函数相乘． 规律3：在第三个公式中，左边是两个余弦相加，右边是两个余弦相乘，于是得出“扣（cos）加扣等于俩扣”；而第四个公式中，左边是两个余弦相减，右边没有余弦相乘，于是得出“扣减扣等于没扣”． 规律4：两角正弦相加减时，得到的都是正弦、余弦相乘． 注意 1、公式中的“和差”与“积”，都是指三角函数间的关系，并不是指角的关系． 2、只有系数绝对值相同的同名三角函数的和与差，才能直接应用公式化成积的形式．如就不能直接化积，应先化成同名三角函数后，再用公式化成积的形式． 3、三角函数的和差化积，常因采用的途径不同，而导致结果在形式上有所差异，但只要没有运算错误，其结果实质上是一样的． 4、为了能把三角函数的和差化成积的形式，有时需要把某些特殊数值当作三角函数值，如． 5、三角函数式和差化积的结果应是几个三角函数式的最简形式． 【即学即练3】把下列各式化成积的形式： (1)； (2)； (3)． 题型一：积化和差公式的应用 【典例1-1】化简求值： . 【典例1-2】计算 . 【方法技巧与总结】 在运用积化和差公式时，如果形式为异名函数积时，化得的结果应为与的和或差；如果形式为同名函数积时，化得的结果应为与的和或差． 【变式1-1】 ． 【变式1-2】（1）求值：． （2）已知，求的值． 【变式1-3】求的值． 题型二：和差化积公式的应用 【典例2-1】已知，则 ． 【典例2-2】 ． 【方法技巧与总结】 和差化积公式应用时要注意只有系数的绝对值相同的各函数的和与差才能直接运用推论化成积的形式． 【变式2-1】若，则 ． 【变式2-2】（1）已知，求的值； （2）已知，试求的值； 【变式2-3】已知，，求的值． 题型三：应用半角公式求值 【典例3-1】已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】已知，，则（     ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 利用半角公式求值的思路 （1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解． （2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围． （3）选公式：涉及半角公式的正切值时，常用，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用，计算． （4）下结论：结合（2）求值． 【变式3-1】若是第三象限角，且，则的值为（    ） A． B．5 C． D． 【变式3-2】若为第三象限角，且，则（　　） A． B． C．2 D． 【变式3-3】已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型四：三角函数式的化简 【典例4-1】化简下列各式 (1) (2); (3)； (4). 【典例4-2】化简下列各式． (1)； (2)． 【方法技巧与总结】 三角函数式化简的要求、思路和方法 （1）化简的要求：①能求出值的应求出值．②尽量使三角函数种数最少．③尽量使项数最少．④尽量使分母不含三角函数．⑤尽量使被开方数不含三角函数． （2）化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法． 【变式4-1】化简： (1) (2) 【变式4-2】化简下列式子： (1) (2) 【变式4-3】化简：． 题型五：恒等式的证明 【典例5-1】证明下列恒等式. (1)； (2). 【典例5-2】证明下列恒等式. (1); (2). 【方法技巧与总结】 三角恒等式证明的常用方法 （1）执因索果法：证明的形式一般是化繁为简． （2）左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子． （3）拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同． （4）比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”． （5）分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到获得已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立． 【变式5-1】小明在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． ①； ②； ③； ④； ⑤． (1)请依据②式求出这个常数； (2)相据（1）的计算结果，将小明的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 【变式5-2】证明三角恒等式：． 【变式5-3】已知为斜三角形． (1)证明：； (2)若为锐角三角形，，求的最小值． 1．已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，B，C是函数的图像与x轴相邻的两个交点，D是图像在B，C之间的最高点或最低点，若为正三角形，则（    ） A． B． C． D． 3．若，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．计算：（   ） A．1 B． C． D． 6．已知角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知，且，则（    ） A． B．或7 C．或7 D． 8．已知函数，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）已知，且，则以下正确的有（   ） A． B．值域为 C．在上单调递增 D． 10．（多选题）下列四个等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 12．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可表示为，若，则 ； 13．当， ． 14． . 15．如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且. (1)若点的横坐标为，求的值； (2)求的取值范围. 16．已知函数的最小正周期为. (1)若，求的值域； (2)若，，求的值. 17．已知是第三象限角，且，求下列各式的值. (1)； (2)． 18．已知，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)若，，求的值. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10．3 几个三角恒等式 课程标准 学习目标 （1）理解积化和差、和差化积、半角公式的推导过程. （2）掌握积化和差、和差化积、半角公式的结构特征. （1）能利用所学三角公式进行三角恒等变换． 知识点01 半角公式 ， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 【即学即练1】已知，，，均为锐角，则=（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， ， 所以， 又因为，所以， 因为， 所以， 所以， 又因为， 所以. 故选：B. 知识点02 积化和差公式 知识点诠释： 规律1：公式右边中括号前的系数都有． 规律2：中括号中前后两项的角分别为和． 规律3：每个式子的右边分别是这两个角的同名函数． 【即学即练2】在中，若，则是 三角形； 【答案】等腰 【解析】由，得， 所以，，即， 由于为三角形内角，故， 所以，即， 则是等腰三角形， 故答案为：等腰 知识点03 和差化积公式 知识点诠释： 规律1：在所有的公式中，右边积的系数中都有2． 规律2：在所有的公式中，左边都是角与的弦函数相加减，右边都是与的弦函数相乘． 规律3：在第三个公式中，左边是两个余弦相加，右边是两个余弦相乘，于是得出“扣（cos）加扣等于俩扣”；而第四个公式中，左边是两个余弦相减，右边没有余弦相乘，于是得出“扣减扣等于没扣”． 规律4：两角正弦相加减时，得到的都是正弦、余弦相乘． 注意 1、公式中的“和差”与“积”，都是指三角函数间的关系，并不是指角的关系． 2、只有系数绝对值相同的同名三角函数的和与差，才能直接应用公式化成积的形式．如就不能直接化积，应先化成同名三角函数后，再用公式化成积的形式． 3、三角函数的和差化积，常因采用的途径不同，而导致结果在形式上有所差异，但只要没有运算错误，其结果实质上是一样的． 4、为了能把三角函数的和差化成积的形式，有时需要把某些特殊数值当作三角函数值，如． 5、三角函数式和差化积的结果应是几个三角函数式的最简形式． 【即学即练3】把下列各式化成积的形式： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）原式 （2）原式 （3）因为， 所以. 题型一：积化和差公式的应用 【典例1-1】化简求值： . 【答案】 【解析】 【典例1-2】计算 . 【答案】2 【解析】分母 ， 分子 ， 所以原式. 故答案为：2. 【方法技巧与总结】 在运用积化和差公式时，如果形式为异名函数积时，化得的结果应为与的和或差；如果形式为同名函数积时，化得的结果应为与的和或差． 【变式1-1】 ． 【答案】/ 【解析】 ． 故答案为： 【变式1-2】（1）求值：． （2）已知，求的值． 【解析】（1） ． （2）∵，∴．① 又，∴．② ∵，∴由①②，得，即． ∴． 【变式1-3】求的值． 【解析】 题型二：和差化积公式的应用 【典例2-1】已知，则 ． 【答案】/ 【解析】由得①， 由得②， 得． 故答案为：. 【典例2-2】 ． 【答案】1 【解析】方法一：， ，同理得， ， 令，以上三式相乘有： ． 方法二：令． 令， ， ， 令 ， ． 故答案为：1 【方法技巧与总结】 和差化积公式应用时要注意只有系数的绝对值相同的各函数的和与差才能直接运用推论化成积的形式． 【变式2-1】若，则 ． 【答案】 【解析】， ， ， . 故答案为：. 【变式2-2】（1）已知，求的值； （2）已知，试求的值； 【解析】（1）. 又. 由①②，得，即. ； （2）因为，所以.① 又因为，所以.  ② 因为， 所以由①②，得，即. 所以 . 【变式2-3】已知，，求的值． 【解析】，① ，② 由得． 故 ． 题型三：应用半角公式求值 【典例3-1】已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 因为， 所以. 故选：A 【典例3-2】已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以且， 所以， 又，所以. 故选：C 【方法技巧与总结】 利用半角公式求值的思路 （1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解． （2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围． （3）选公式：涉及半角公式的正切值时，常用，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用，计算． （4）下结论：结合（2）求值． 【变式3-1】若是第三象限角，且，则的值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【解析】由已知及正弦公式得，， 是第三象限角，． ． 故选：A. 【变式3-2】若为第三象限角，且，则（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】为第三象限角，且，则， 得， 故选：A 【变式3-3】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，所以， 所以 ， 所以， 即， 所以， 即， 所以. 故选：A. 题型四：三角函数式的化简 【典例4-1】化简下列各式 (1) (2); (3)； (4). 【解析】（1） ; （2） ; （3） ; （4） , 因为，所以，即， 即上式. 【典例4-2】化简下列各式． (1)； (2)． 【解析】（1）原式 （2）原式 【方法技巧与总结】 三角函数式化简的要求、思路和方法 （1）化简的要求：①能求出值的应求出值．②尽量使三角函数种数最少．③尽量使项数最少．④尽量使分母不含三角函数．⑤尽量使被开方数不含三角函数． （2）化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法． 【变式4-1】化简： (1) (2) 【解析】（1） . （2） 【变式4-2】化简下列式子： (1) (2) 【解析】（1） . （2） . 【变式4-3】化简：． 【解析】法一（“角”入手，“倍角”变“单角”）: 原式 ． 法二（从“名”入手，“异名”化“同名”）： 原式 ． 法三（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）： 原式 ． 法四（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）： 原式 ． 题型五：恒等式的证明 【典例5-1】证明下列恒等式. (1)； (2). 【解析】（1）左边右边，所以原式得证. （2）左边右边，原式得证. 【典例5-2】证明下列恒等式. (1); (2). 【解析】（1） ； （2） . 【方法技巧与总结】 三角恒等式证明的常用方法 （1）执因索果法：证明的形式一般是化繁为简． （2）左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子． （3）拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同． （4）比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”． （5）分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到获得已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立． 【变式5-1】小明在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． ①； ②； ③； ④； ⑤． (1)请依据②式求出这个常数； (2)相据（1）的计算结果，将小明的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 【解析】（1）由②得； （2）三角恒等式为． 证明如下： ． 【变式5-2】证明三角恒等式：． 【解析】证明： 先证左面： 所以 左边=右边 即，得证. 【变式5-3】已知为斜三角形． (1)证明：； (2)若为锐角三角形，，求的最小值． 【解析】（1）证明：，所以． 因为，所以，所以． 由，可得． （2）因为， 所以，可得． 由（1）得 ． 因为为锐角三角形，由可知， 设，则， 当且仅当时取等号，再由（1）可得， 此时，解得或时， 即当或时，等号成立， 故的最小值为. 1．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 因为，即，， 解得，又，， 所以. 故选：A． 2．已知函数，B，C是函数的图像与x轴相邻的两个交点，D是图像在B，C之间的最高点或最低点，若为正三角形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 所以函数的最小正周期， B，C是函数的图像与x轴相邻的两个交点，则， D是图像在B，C之间的最高点或最低点，为正三角形， 则有最高点的纵坐标为， ∴. 故选：B. 3．若，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 因为，所以， 所以，得. 故选：D 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以， 因为， 所以， 因为 所以， 即，其余选项无法确定， 故选：B. 5．计算：（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以， 故 故选：A. 6．已知角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 由积化和差得， 即， 故，解得. 故选：C 7．已知，且，则（    ） A． B．或7 C．或7 D． 【答案】B 【解析】解法一：由，得， 则．因为，所以， 即，解得或， 当时，，则； 当时，，则， 故选：B． 解法二：因为，其中，，所以或， 当，即，时，，，所以， 所以； 当，即，时，，则，同理，所以， 所以， 故选：B． 8．已知函数，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由于，则，所以， 所以函数的值域为. 故选：B 9．（多选题）已知，且，则以下正确的有（   ） A． B．值域为 C．在上单调递增 D． 【答案】BC 【解析】 所以，A错误； 函数的值域为，B正确； 当，可得，故在上单调递增，C正确； 由，可得， 所以， 所以，D错误， 故选：BC 10．（多选题）下列四个等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对于A， ， ，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D， 故D错误. 故选：AB. 11．（多选题）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】A：，错； B：，对； C：由， 所以，即，对； D：，错. 故选：BC 12．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可表示为，若，则 ； 【答案】 【解析】因为，， 所以，， 所以， 故答案为：. 13．当， ． 【答案】或， 【解析】因为， 所以， 即， 所以或， 即或， 故答案为：或. 14． . 【答案】 【解析】. 故答案为： 15．如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且. (1)若点的横坐标为，求的值； (2)求的取值范围. 【解析】（1）因为单位圆上点的横坐标，且点在第一象限， 所以点，即有，， 因为且为锐角，为钝角， 所以 ， 所以. （2）由（1）知，， 则， 设，则， 因为，所以， 则，所以， 因为 所以， 所以，， 所以的取值范围为. 16．已知函数的最小正周期为. (1)若，求的值域； (2)若，，求的值. 【解析】（1） ， 因为函数的最小正周期为，所以，得， 所以， ，则，所以， 所以函数的值域是； （2）， 设，，则，，所以， 所以， . 17．已知是第三象限角，且，求下列各式的值. (1)； (2)． 【解析】（1）； （2）， 而为第三象限角，， ． 18．已知，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)若，，求的值. 【解析】（1）由，得，解得， 而，则，， 因此，所以. （2）由（1）得. （3）由（1）知，，则， ，，则，所以. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$